TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25031" 【題型1 利用三角形的中線求面積】 PAGEREF _Tc25031 \h 1
\l "_Tc25770" 【題型2 利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】 PAGEREF _Tc25770 \h 7
\l "_Tc22451" 【題型3 利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)或證明】 PAGEREF _Tc22451 \h 10
\l "_Tc25393" 【題型4 與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】 PAGEREF _Tc25393 \h 14
\l "_Tc19417" 【題型5 與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】 PAGEREF _Tc19417 \h 23
\l "_Tc1446" 【題型6 與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】 PAGEREF _Tc1446 \h 35
\l "_Tc32095" 【題型7 坐標(biāo)系中的角度探究問(wèn)題】 PAGEREF _Tc32095 \h 45
\l "_Tc25989" 【題型8 有關(guān)三角形角度的多結(jié)論問(wèn)題】 PAGEREF _Tc25989 \h 54
【題型1 利用三角形的中線求面積】
【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（ ）

A．60B．56C．70D．48
【答案】A
【分析】連接CG、BF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)S△AFG=a，根據(jù)同高的三角形的面積的比等于底邊的比，分別得到S△AFB=2a、SΔBCF=8a、S△ABC=10a、S△CFE=83a、SΔACG=SΔBCG=5a、S△BDG=53a，再根據(jù)四邊形DEFG的面積，求出a=6，即可得出△ABC的面積．
【詳解】解：連接CG、BF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，
設(shè)S△AFG=a，
∵S△AFG=12?AG?FM，S△FGB=12?BG?FM，AG=BG，
∴S△AFG=S△FGB=a，
∴S△AFB=2a，
∵CF=4AF，
同理可得：S△BCF=4S△AFB，
∴S△BCF=8a，
∴S△ABC=S△AFB+S△BCF=2a+8a=10a，
∵BD=DE=EC，
∴BC=3EC，
同理可得：S△CFE=13S△BFC=83a，
∵G是AB的中點(diǎn)，
同理可得：S△ACG=S△BCG=5a，
∵BD=DE=EC，
∴BC=3BD，
同理可得：S△BDG=13S△BCG=53a，
∵四邊形DEFG的面積為28，
∴S四邊形DEFG=S△ABC?S△AFG?S△CFE?S△BDG=10a?a?83a?53a=143a=28，
∴a=6，
∴S△ABC=10a=10×6=60，
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線的性質(zhì)，掌握三角形的中線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為 ．
【答案】14
【分析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，連接AF，
∵EF=FC，△BEF的面積為4，
∴S△BFC=4，
∵BF=2FD，
∴S△DFC=12S△BFC=2，
∵EF=FC，
∴S△AEF=S△AFC=S△ADF+2，
∵BF=2FD，
∴S△ABF=2S△ADF，
∴S△AEF+S△BEF=2S△ADF，
∴S△ADF+2+4=2S△ADF，解得S△ADF=6，
∴S△AEF=6+2=8，
∴S四邊形AEFD=S△ADF+S△AEF=6+8=14．
故答案為：14．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角形的中線求面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握等底等高的三角形面積相等．
【變式1-2】（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C為直線AB外一動(dòng)點(diǎn)，AB=6，連接CA、CB，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形BEFD的面積為5時(shí)，線段AC長(zhǎng)度的最小值為 ．

【答案】5
【分析】如圖：連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求得S△ABC=15，從而求得CH=5，利用垂線段最短求解即可．
【詳解】解：如圖：連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD=S△BFD，S△CEF=S△BEF，
∴S△CEF+S四邊形BDFE=S△CEF+S△ACF，S△AFD+S△CEF=S△BEF+S△BFD=S四邊形BDFE=5，
∴S四邊形BDFE=S△ACF=5，
∴S△ABC=S△ACF+S四邊形BDFE+S△AFD+S△CEF=15，
∴12CH?AB=15，
∴CH=5，
又∵點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，
∴AC≥CH=5，
∴AC的最小值為5．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、利用中線分析三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題情境】
蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因?yàn)楦逜E相同，所以S△ABD=S△ACD，于是S△ABC=2S△ABD．據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】
（1）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD上．
①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB=S△APC；
②若BD=3DC，則S△APB:S△APC=______．
【拓展延伸】
（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．
①求證：S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD；
②若S四邊形ABCD=3，則S四邊形EFGH=______．
【答案】（1）①證明見解析；②3:1；（2）①證明見解析；②15
【分析】（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得S△ADB=S△ADC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，推得PD是△PBC的中線，S△PDB=S△PDC，即可證明S△APB=S△APC；
②設(shè)△ABC邊BC上的高為?，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12×DC×?，即可推得S△ADB=3S△ADC，同理推得S△PDB=3S△PDC，即可求得S△APB=3S△APC，即可證明S△APB:S△APC=3:1；
（2）①連接AG，AC，CE，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG，推得S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB，即可求得S四邊形ABCD=12S△GHD+S△EFB，即可證明S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD，
②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD，同理可證得S△HEA+S△FGC=2S四邊形ABCD，根據(jù)S四邊形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四邊形ABCD，即可推得S四邊形EFGH=5S四邊形ABCD，即可求解．
【詳解】（1）①證明：∵AD是△ABC的中線，
∴S△ADB=S△ADC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴PD是△PBC的中線，
∴S△PDB=S△PDC，
∴S△ADB?S△PDB=S△ADC?S△PDC，
即S△APB=S△APC；
②S△APB:S△APC=3:1，
解：設(shè)△ABC邊BC上的高為?，
則S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12×DC×?，
∵BD=3DC，
∴S△ADB=3S△ADC，
同理S△PDB=3S△PDC，
則S△ADB?S△PDB=3S△ADC?3S△PDC，
即S△APB=3S△APC，
∴S△APB:S△APC=3:1．
（2）①證明：連接AG，AC，CE，如圖：

∵點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，
∴AG，BC，CE，DA分別為△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中位線，
∴S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG，
∴S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB
∵S四邊形ABCD=S△ADC+S△CBA=12S△GHD+12S△EFB=12S△GHD+S△EFB，
即S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD；
②15，
解：由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD，同理可證得S△HEA+S△FGC=2S四邊形ABCD，
S四邊形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四邊形ABCD，
即S四邊形EFGH=5S四邊形ABCD，
∵S四邊形ABCD=3，
∴S四邊形EFGH=5×3=15．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形是題的關(guān)鍵 ．
【題型2 利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】
【例2】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠AOBa
【答案】A
【分析】根據(jù)△OMP的形狀，大小是唯一確定的，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA交OA于點(diǎn)N，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)D，如圖：

∵點(diǎn)M到射線OA的距離為a，
∴MN=a，
∵M(jìn)N垂直平分OD，
∴MD=MO=6，
當(dāng)a5B．xBC，三個(gè)式子相加即可證得要求
（2）AB+AC>OB+OC，AB+BC>OA+OC，AC+BC>OA+OB，三個(gè)式子相加即可證得要求
（3）由AB+AC+BC=10km，點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，及（1）（2）可知12AB+BC+ACAB+AC+BC.
故OA+OB+OC>12AB+BC+AC.
（2）AB+AC>OB+OC，①
同理，AB+BC>OA+OC，②
AC+BC>OA+OB.③
由①+②+③，得2AB+AC+BC>2OA+OB+OC，
即AB+AC+BC>OA+OB+OC.
（3）由AB+AC+BC=10km，點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，及（1）（2）知12AB+BC+AC2BD，理由為：
∵AB+AD>BD，BC+CD>BD，
∴AB+AD+BC+CD>BD+BD
即：AB+BC+CA>2BD
（2）AB+AC>PB+PC，理由為：
在△ABD中，AB+AD>BP+PD，
在△PDC中，PD+DC>PC，
兩式相加得：AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC
即：AB+AC>PB+PC
（3）AB+AC>BD+DE+CE，理由為：
如圖，延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于G，交AC于點(diǎn)F，
在△ABF中，AB+AF>BD+DG+GF，①
在△GFC中，GF+AC?AF>GE+EC，②
△DEG中，DG+GE>DE，③
①+②+③得：AB+AC>BD+DE+CE
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三遍之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，現(xiàn)在要建立一個(gè)維修站H，試問(wèn)H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小，說(shuō)明理由
【答案】H建在AC、BD的交點(diǎn)處，理由見解析．
【分析】連接AC、BD相交于點(diǎn)H，任取一點(diǎn)H′，連接H′A、H′B、H′C、H′D，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到H′A+H′C>AC，H′B+H′D>BD，進(jìn)而得到H′A+H′B+H′C+H′D>HA+HB+HC+HD，即可推出結(jié)論．
【詳解】解：H建在AC、BD的交點(diǎn)處，理由如下：
連接AC、BD相交于點(diǎn)H，任取一點(diǎn)H′，連接H′A、H′B、H′C、H′D，
在△AH′C中，H′A+H′C>AC，
在△BH′D中，H′B+H′D>BD，
∴H′A+H′B+H′C+H′D>AC+BD，
∵AC+BD=HA+HB+HC+HD，
∴H′A+H′B+H′C+H′D>HA+HB+HC+HD，
∴HA+HB+HC+HD最小，
即維修站H建在AC、BD的交點(diǎn)處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最?。?br>【點(diǎn)睛】本題考查了線段最短，三角形的三邊關(guān)系，作輔助線構(gòu)造三角形，靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【題型4 與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】
【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)太倉(cāng)市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
(1)若∠A=60°，則∠BDC的度數(shù)為_________；
(2)若∠A=α，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
②如圖3，若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線段BC,AC于點(diǎn)M,N，試問(wèn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠NDC?∠MDB的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；
③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN，與線段AC交于點(diǎn)N，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)120°
(2)①90°-α2 ②不變，90°-α2 ③∠NDC與∠MDB的關(guān)系是∠NDC+∠MDB=90°?α2．
【分析】（1）利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，分步計(jì)算即可．
（2）①利用平角的定義，變形代入計(jì)算，注意與第（1）的結(jié)合．
②與 ①結(jié)合起來(lái)求解即可．
③根據(jù)平角的定義，變形后結(jié)合前面的計(jì)算，求解即可．
【詳解】（1）∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD=12∠ACB+12∠ABC=12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴180°-∠BDC=12(180°?∠A)，
∴∠BDC=90°+∠A2，
∵∠A=60°，
∴∠BDC=90°+30°=120°，
故答案為：120°．
（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴∠NDC?∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（90°+∠A2）
=90°?α2．
②∠NDC?∠MDB保持不變，恒等于90°-α2．理由如下：
∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴∠NDC?∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（90°+∠A2）
=90°?α2．
故保持不變，且為90°?α2．
③∠NDC與∠MDB的關(guān)系是∠NDC+∠MDB=90°?α2．理由如下：
∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，
∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，
∵∠BDC=90°+α2，
∴∠NDC+∠MDB=180°-（90°+α2）=90°?α2．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平角的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，平角的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023秋·河南漯河·八年級(jí)?？计谥校?）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB和∠DCB的角平分線，試求∠P的度數(shù)；
（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠D，∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）．
【答案】（1）∠A+∠D =∠C+∠B
（2）∠P=38°
（3）∠D+∠B=2∠P
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等就可以得出∠A，∠D，∠C，∠B的數(shù)量關(guān)系；
（2）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得∠D+∠B=2∠P，再把∠D=40°，∠B=36°代入計(jì)算即可得到答案；
（3）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得∠D+∠B=2∠P.
【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
且∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D =∠C+∠B；
（2）由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，
∵∠DAB和∠DCB的角平分線AP與CP相交于點(diǎn)P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
∴∠D+∠B=2∠P，
又∵∠D=40°，∠B=36°，
∴40°+36°=2∠P，
∴∠P=38°；
（3）存在的數(shù)量關(guān)系為：∠D+∠B=2∠P，
由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，
∵∠DAB和∠DCB的角平分線AP與CP相交于點(diǎn)P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
∴∠D+∠B=2∠P.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式4-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合)．
(1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)∠AEB= °；
(2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D，隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)∠D的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠D的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)如圖③，延長(zhǎng)MO至Q，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，求∠ABO的度數(shù)．
【答案】(1)135°
(2)∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，值為45°
(3)60°或45°
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理、兩角互余、角平分線性質(zhì)即可求解；
（2）利用對(duì)頂角相等、兩角互余、兩角互補(bǔ)、角平分線性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)不難得出∠EAF=90°，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，所以不確定是哪個(gè)角是哪個(gè)角的三倍，所以需要分情況討論；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．
【詳解】（1）解：∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，
∴∠EBA=12∠OBA，∠BAE=12∠BAO，
∵∠MON=90°，
∴∠EAB+EBA=90°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴∠AEB=180°?∠EBA?∠BAE，
=180°?12∠OBA+∠BAO，
=180°?12×90°，
=180°?45°，
=135°；
（2）解： ∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；
（3）解：∵∠BAO與∠BOQ的平分線交于點(diǎn)E，
∴∠AOE=135°，
∴∠E=180°?∠EAO?∠AOE，
=45°?∠EAO，
=45°?12∠BAO，
=45°?12(180°?90°?∠ABO)，
=12∠ABO
∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的平分線，
∴∠EAF=12∠BAO+12∠GAO=12×180°=90°，
在△AEF中，若有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，
則①當(dāng)∠EAF=3∠E時(shí)，得∠E=30°，此時(shí)∠ABO=60°；
②當(dāng)∠EAF=3∠F時(shí)，得∠E=60°，
此時(shí)∠ABO=120°＞90°，舍去；
③當(dāng)∠F=3∠E時(shí)，得∠E=14×90°=22.5°，
此時(shí)∠ABO=45°；．
④當(dāng)∠E=3∠F時(shí)，得∠E=34×90°=67.5°，
此時(shí)∠ABO=135°＞90°，舍去．
綜上可知，∠ABO的度數(shù)為60°或45°．
【點(diǎn)睛】前兩問(wèn)熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的兩銳角互余、對(duì)頂角相等、角平分線性質(zhì)等角的關(guān)系即可求解；第三問(wèn)需先證明∠EAF=90°，再分情況進(jìn)行討論，熟練運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．
(1)若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D．
①若∠BAO=60°，則∠D=______°；
②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化？并說(shuō)明理由．
(2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35∠NBA，則∠D=______°；
(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余條件不變，則∠D=______（用含m，n的代數(shù)式表示，其中m

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