TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12711" 【題型1 線段中點的有關(guān)計算】 PAGEREF _Tc12711 \h 1
\l "_Tc11478" 【題型2 線段的和差】 PAGEREF _Tc11478 \h 4
\l "_Tc32116" 【題型3 線段的數(shù)量關(guān)系】 PAGEREF _Tc32116 \h 8
\l "_Tc17928" 【題型4 簡單線段的長短比較】 PAGEREF _Tc17928 \h 11
\l "_Tc31283" 【題型5 兩點間的距離】 PAGEREF _Tc31283 \h 15
\l "_Tc15469" 【題型6 線段n等分點的有關(guān)計算】 PAGEREF _Tc15469 \h 18
\l "_Tc65" 【題型7 與線段的長短比較有關(guān)的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc65 \h 22
\l "_Tc24877" 【題型8 線段中的動點問題】 PAGEREF _Tc24877 \h 26
\l "_Tc5470" 【題型9 尺規(guī)作線段】 PAGEREF _Tc5470 \h 31
\l "_Tc8030" 【題型10 線段中的對折問題】 PAGEREF _Tc8030 \h 33
【知識點 比較線段的長短】
（1）兩點的所有連線中，線段最短。 簡稱：兩點之間，線段最短。
連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。
（2）線段的中點：線段上的一個點把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做線段的中點.
【題型1 線段中點的有關(guān)計算】
【例1】（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）已知線段AB=12cm，點C為直線AB上一點，且AC=4cm，點D為線段BC的中點，則線段AD的長為（ ）
A．4cmB．8cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm
【答案】D
【分析】分兩種情況考慮：點C在線段AB上，點C以線段BA的延長線上；利用中點的意義及線段的和差關(guān)系即可求得線段AD的長．
【詳解】①當點C在線段AB上時，如圖
則BC=AB?AC=12?4=8cm
∵點D為線段BC的中點
∴CD=12BC=4cm
∴AD=AC+CD=4+4=8cm
②點C以線段BA的延長線上時，如圖
則BC=AB+AC=12+4=16cm
∵點D為線段BC的中點
∴CD=12BC=8cm
∴AD=CD?AC=8?4=4cm
綜上所述，AD的長為4cm或8cm
故選：D
【點睛】本題考查了中點的含義、線段的和差運算，注意分類討論．
【變式1-1】（2023秋·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）如圖，C是AB的中點，點D，E分別在AC，BC上，且AD+BE=8，AE+BD=12，則CB的長為 ．

【答案】5
【分析】由線段和差關(guān)系可求DE，AB，由中點的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵AD+BE+DE=AB，AE+BD?DE=AB，
∴8+DE=AB，12?DE=AB，
∴DE=2，AB=10，
∵C是AB的中點，
∴CB=12AB=5．
故答案為：5．
【點睛】本題考查了線段和差與中點的性質(zhì)和應(yīng)用，熟練掌握線段和差倍分的計算是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023秋·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點C為線段AB上一點，AC=12cm，CB=8cm，D、E分別是AC、AB的中點．求：
(1)求AD的長度；
(2)求DE的長度；
(3)若M在直線AB上，且MB=6cm，求AM的長度．
【答案】(1)6cm
(2)4cm
(3)26cm或14cm
【分析】（1）直接根據(jù)D是AC的中點可得答案；
（2）先求出AB的長，然后根據(jù)E是AB的中點求出AE，做好應(yīng)AE?AD即為DE的長；
（3）分M在點B的右側(cè)、M在點B的左側(cè)兩種情況進行計算即可．
【詳解】（1）解：由線段中點的性質(zhì)AD=12AC=12×12=6cm；
（2）由線段的和差，得AB=AC+BC=12+8=20cm，
由線段中點的性質(zhì)，得AE=12AB=12×20=10cm，
由線段的和差，得DE=AE?AD=10?6=4cm；
（3）當M在點B的右側(cè)時，AM=AB+MB=20+6=26cm，
當M在點B的左側(cè)時，AM=AB?MB=20?6=14cm，
∴AM的長度為26cm或14cm．
【點睛】本題考查了關(guān)于線段的中點的計算，線段的和與差的計算，讀懂題意熟練運用線段的和差倍分是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀┤鐖D，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=10，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點M3，N3；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和M1N1+M2N2+???+M2023N2023=（ ）
A．10+522022B．10+522023C．10?522022D．10?522023
【答案】C
【分析】根據(jù)MN=10，M1、N1分別為AM、AN的中點，求出M1N1的長度，再由M1N1的長度求出M2N2的長度，找到MnNn的規(guī)律即可求出M1N1+M2N2+???+M2023N2023的值．
【詳解】解：∵MN=10，M1、N1分別為AM、AN的中點，
∴M1N1=AM1?AN1=12AM?12AN=12AM?AN=12MN=12×10=5，
∵M2、N2分別為AM1、AN1的中點，
∴M2N2=AM2?AN2=12AM1?12AN1=12AM1?AN1=12M1N1=12×5=52，
∵M3、N3分別為AM2、AN2的中點，
∴M3N3=AM3?AN3=12AM2?12AN2=12AM2?AN2=12M2N2=12×52=522，
……
由此可得：MnNn=52n?1，
∴M1N1+M2N2+?+M2023N2023=5+52+522+?+522022=10×12+122+?+122023=10×1?122023=10?522022，
故選C．
【點睛】本題考查線段中點的有關(guān)計算，有理數(shù)的簡便運算，相對較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【題型2 線段的和差】
【例2】（2023秋·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段AB上兩點，M、N分別是線段AD、BC的中點，下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD；②若AC=BD，則AM=BN；③AC?BD=2MC?DN；④2MN=AB?CN．
其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】A
【分析】根據(jù)線段中點的定義與線段的和差結(jié)合圖形逐一進行分析即可．
【詳解】解：如圖， ∵M、N分別是線段AD、BC的中點，
∴AM=MD=12AD，CN=BN=12BC，
∵AD=BM，
∴AD=MD+BD，
∴AD=12AD+BD，
∴AD=2BD，
∴AD+BD=2BD+BD=3BD，即AB=3BD，故①符合題意；
∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴12AD=12BC，
∴AM=BN，故②符合題意；
∵AC?BD=AD?CD?BD=AD?CD+BD=AD?BC，
∴AC?BD=2MD?2CN=2MD?CN=2MC+CD?CD?DN=2MC?DN ，故③符合題意；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD?CD，
∴2MN=2MD?CD+2CN=2MD+CN?CD，
∵MD=12AD，CN=12BC，
∴2MN=212AD+12BC?CD
=AD?CD+BC?CD
=AC+BD
=AB?CD，故④不符合題意，
故選：A．
【點睛】本題考查了線段的和差運算，能夠利用中點的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系求解一些線段之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·山東濟南·七年級?？茧A段練習）兩根木條，一根長10cm，另一根長8cm，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時兩根木條的中點之間的距離為 cm．
【答案】1或9
【分析】設(shè)AC=8cm，AB=10cm，根據(jù)題意分兩種情況：①如圖1，兩根木條如圖放置，有一端重合，根據(jù)點E是AC的中點，點D是AB的中點，可得AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，再由ED=AE+AD即可得出答案；②如圖2，兩根木條如圖放置，有一端重合，根據(jù)點E是AC的中點，點D是AB的中點，可得AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，再由ED=AD?AE即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)AC=8cm，AB=10cm，根據(jù)題意，
①如圖1，
∵點E是AC的中點，點D是AB的中點，
∴AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，
∴ED=AE+AD=4+5=9cm；
②如圖2，
∵點E是AC的中點，點D是AB的中點，
∴AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，
∴ED=AD?AE=5?4=1cm．
綜上所述，兩根木條的中點之間的距離為1cm或9cm．
故答案為：1或9．
【點睛】本題主要考查兩點間的距離及線段的和差，中點的定義，本題運用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法．熟練掌握兩點的距離及線段和差的計算方法是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023秋·江蘇南京·七年級校考期末）如圖，C為線段AD上一點，點B為CD的中點，且AD=26cm，BC=6cm．
(1)圖中共有 條線段？
(2)求AC的長．
(3)若點E在直線AD上，且EA=8cm，求BE的長．
【答案】(1)6
(2)14cm
(3)12cm或28cm
【分析】（1）根據(jù)兩點確定一條線段進行求解即可；
（2）先根據(jù)線段中點的定義求出CD=12cm，則AC=AD?CD=14cm；
（3）分當點E在線段AD上時，當點E在線段DA的延長線上時，兩種情況求出CE的長即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意得，圖中的線段有：AC，BC，BD，AB，CD，AD一共6條，
故答案為：6；
（2）解：∵BC=6cm，點B為CD的中點，
∴CD=2BC=12cm，
∵AD=26cm，
∴AC=AD?CD=14cm；
（3）解：如圖1所示，當點E在線段AD上時，
∵AC=14cm，AE=8cm，
∴CE=AC?AE=6cm，
∵BC=6cm，
∴BE=BC+CE=12cm；
解：如圖2所示，當點E在線段DA的延長線上時，
∵AC=14cm，AE=8cm，
∴CE=AC+AE=22cm，
∵BC=6cm，
∴BE=BC+CE=28cm；
綜上所述，BE的長為12cm或28cm．
【點睛】本題主要考查了線段的和差計算，與線段中點有關(guān)的線段計算，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023秋·安徽合肥·七年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┮阎狟、C在線段AD上．
(1)如圖，圖中共有 條線段，AD＝ ＋ － ；
(2)如圖，若AB:BD=2:5．AC:CD=4:1．且BC=18，求AD的長度．
【答案】(1)6；AC,BD,BC
(2)AD=35
【分析】（1）根據(jù)線段的定義可求出線段的數(shù)量；根據(jù)線段的和差可可解決與AD有關(guān)的數(shù)量關(guān)系；
（2）設(shè)AD=x，表示出AB、AC，根據(jù)BC=18列方程求解即可．
【詳解】（1）圖中線段有：AB,AC,AD,BC,BD,CD共6條；
AD=AC+BD?BC．
故答案為：6；AC,BD,BC．
（2）設(shè)AD=x
因為AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1
所以AB=25+2BD=27x，AC=44+1BD=45x
因為AC?AB=BC，BC=18
所以45x?27x=18
解得x=35
所以AD=35．
【點睛】本題考查了線段的定義，線段的和差，以及一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
【題型3 線段的數(shù)量關(guān)系】
【例3】（2023秋·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）已知點M是線段AB上一點，若AM=14AB，點N是直線AB上的一動點，且AN?BN=MN，則MNAB= ．
【答案】1或12
【分析】分兩種情況：當點N在線段AB上，當點N在線段AB的延長線上，然后分別進行計算即可解答．
【詳解】解：分兩種情況：當點N在線段AB上，如圖：

∵AN?BN=MN，AN?AM=MN，
∴BN=AM，
∵AM=14AB，
∴BN=14AB，
∴MN=AB?AM?BN=12AB，
∴MNAB=12；
當點N在線段AB的延長線上，如圖：

∵AN?BN=MN，AN?BN=AB，
∴AB=MN，
∴MNAB=1，
綜上所述：MNAB的值為1或12，
故答案為：1或12．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，分兩種情況進行計算是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023秋·江蘇·七年級期末）如圖，C、D是線段AB上兩點，且CD=3AD?2BC，則AC與BD的關(guān)系是（ ）
A．AC=BDB．2AC=BDC．3AC=2BDD．4AC=3BD
【答案】C
【分析】先分別表示出AC和BD，即可求出兩者的關(guān)系．
【詳解】解：∵AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，
BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，
∴ACBD=2BC?AD3BC?AD=23，
∴3AC=2BD，
故選：C．
【點睛】本題考查線段的計算，熟練掌握線段的和差是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，已知點C為線段AB的中點，D為CB上一點，下列關(guān)系表示錯誤的是（ ）
A．CD＝AC﹣DBB．BD+AC＝2BC﹣CD
C．2CD＝2AD﹣ABD．AB﹣CD＝AC﹣BD
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形可以明確線段之間的關(guān)系，對線段CD、BD、AD進行和、差轉(zhuǎn)化，即可發(fā)現(xiàn)錯誤選項．
【詳解】解：∵C是線段AB的中點，
∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC，
∴CD＝BC﹣BD＝12AB﹣BD＝AC﹣BD；
∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD；
∵CD＝AD﹣AC，
∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB；
∴選項A、B、C均正確．
而答案D中，AB﹣CD＝AC+BD；
∴答案D錯誤符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查線段的和差，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·浙江·七年級期中）如圖1，
AB是一條拉直的細繩，C,D兩點在AB上，且AC:BC=2:3，AD:BD=3:7．則
（1）CD:AD= ；
（2）若將點C固定，將AC折向BC，使得AC落在BC上（如圖2），再從點D處剪斷，使細繩分成三段，分成的三段細繩的長度由小到大之比為 ．
【答案】 1∶3 2∶3∶5
【分析】（1）根據(jù)題意AC:BC=2:3，可得AC:AB=2:5，AC=25AB；根據(jù)AD:BD=3:7，可得AD:AB=3:10，AD=310AB；CD=AC?AD=110AB，CD:AD就是110AB:310AB，計算求出答案即可．
（2）設(shè)對折后點D關(guān)于C點對稱處為D′，被剪斷兩處分別是點D和D′，剪開的三段細繩依次是AD、DD′、D′B，根據(jù)對折性質(zhì)DD′=2DC，D′B=CB?CD′，把AD、DD′、D′B的長度寫成關(guān)于AB的值，比較大小后代入計算即可．
【詳解】解：（1）∵AC:BC=2:3，AC+CB=AB，
∴AC:AB=2:(2+3)=2:5，
∴AC=25AB；
∵AD:BD=3:7，AD+DB=AB，
∴AD:AB=3:(3+7)=3:10，
∴AD=310AB；
∵CD=AC?AD=25AB?310AB=110AB，
∴CD:AD=110AB:310AB=1:3．
（2）設(shè)對折后點D關(guān)于C點對稱處為D′，
被剪斷兩處分別是點D和D′，剪開的三段細繩依次是AD、DD′、D′B，
∵根據(jù)上題，AD=310AB；
DD′=2DC=2×110AB=15AB；
D′B=CB?CD′=CB?CD=35AB?110AB=12AB；
∴DD′”、“=”或“BC+AC，見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，作出圖形即可；
（2）利用兩點之間線段最短以及線段的和差，求解即可．
【詳解】（1）解：如圖；
（2）解：根據(jù)兩點之間線段最短可判斷AB+AD>BD．
即AB+AD>BC+CD
∵CD=AC
∴AB+AD＞BC+AC
【點睛】此題考查了尺規(guī)作圖－線段，以及兩點之間線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識．
【題型5 兩點間的距離】
【例5】（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在線段MN上有P、Q兩點，PQ長度為2cm，MN長為整數(shù)，則以M、P、Q、N為端點的所有線段長度和可能為（ ）

A．19cmB．20cmC．21cmD．22cm
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知，所有線段的長度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根據(jù)PQ=2cm，線段MN的長度是一個正整數(shù)，可以解答本題．
【詳解】解：由題意可得，
圖中以M、P、Q、N這四點中任意兩點為端點的所有線段長度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN
MP+PQ+QN+MQ+PN+MN
=MN+MN+PQ+MN
=3MN+PQ
∴以M、P、Q、N為端點的所有線段長度和為長度為3的倍數(shù)多2，
∴以M、P、Q、N為端點的所有線段長度和可能為20．
故選B．
【點睛】本題考查兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
【變式5-1】（2023秋·江西吉安·七年級?？计谀┰谕恢本€上有A,B,C,D不重合的四個點，AB=8,BC=3,CD=5，則AD的長為 ．
【答案】6或10或16
【分析】由于沒有圖形，故A,B,C,D四點相對位置不確定，分：點C在B的左側(cè)、右側(cè)，點D在C的左側(cè)、右側(cè)等，不同情況畫圖分別求解即可．
【詳解】解：I．當點C在B的右側(cè)，點D在C的左側(cè)時，如圖：

∵ AB=8，BC=3，CD=5，
∴AD=AB+BC?CD=8+3?5=6，
II．當點C在B的右側(cè)，點D在C的右側(cè)時，如圖：

∴AD=AB+BC?CD=8+3+5=16，
III．當點C在B的左側(cè)，點D在C的左側(cè)時，如圖：

∴AD=AB?BC?CD=8?3?5=0，點A、D重合，不合題意，
IV．當點C在B的左側(cè)，點D在C的右側(cè)時，如圖：

∴AD=AB?BC+CD=8?3+5=10，點A、D重合，不合題意，
綜上所述：AD的長為6或10或16
故答案為：6或10或16．
【點睛】本題主要考查兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點的不同位置進行分類討論、利用線段之間的和差關(guān)系得到AD的長度．
【變式5-2】（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，則這三點的位置關(guān)系是（ ）
A．點A在B、C兩點之間B．點B在A、C兩點之間
C．點C在A、B兩點之間D．無法確定
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得a≥0，若點A在B、C兩點之間，則AB+AC=BC，此時無解，若點B在A、C兩點之間，則BC+AB=AC，解得a=54，若點C在A、B兩點之間，則BC+AC=AB，解得a=?72，綜上，即可得．
【詳解】解：∵AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，
∴a≥0，
A、若點A在B、C兩點之間，
則AB+AC=BC，
2a+a+6=3a+1，
此時無解，
故選項A情況不存在；
B、若點B在A、C兩點之間，
則BC+AB=AC，
3a+1+2a=a+6，
a=54，
故選項B情況存在；
C、若點C在A、B兩點之間，
則BC+AC=AB，
3a+1+a+6=2a，
a=?72，
故C情況不存在；
故選：B．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，整式的加減，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點，分類討論．
【變式5-3】（2023秋·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C、D、E是直線l上的點，線段AB=12cm，點D、E分別是線段AC、BC的中點．
(1)求線段DE的長；
(2)若BC=4cm，點O在直線AB上，AO=5cm，求線段OE的長；
(3)若BC=mcm，點O在直線AB上，AO=ncm，請直接寫出線段OE的長 cm．（用含m、n的式子表示）
【答案】(1)6cm
(2)5cm或15cm
(3)(n+12?m2)或(12?n?m2)或(n?12+m2)cm
【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義和線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）∵點D、E分別是線段AC、BC的中點，
∴DC=AD=12AC，BE=CE=12BC，
∴DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB=12×12=6cm；
（2）∵E為BC的中點，
∴BE=CE=12BC=2cm，
當點O在點A的左邊時，
OE=OA+AE=OA+AB?BE=5+12?2=15cm；
當點O在點A的右側(cè)時，
OE=AE?OA=AB?BE?OA=12?2?5=5cm；
（3）∵BC=m cm，
∴BE=CE=12BC=m2，
當點O在點A的左邊時，
OE=OA+AE=OA+AB?BE=(n+12?m2)cm；
當點O在點A的右側(cè)在E的左側(cè)時，OE=AE?OA=AB?BE?OA=(12?n?m2)cm，
當點O在E的右側(cè)時，OE=BE?AB+OA=(n?12+m2)cm，
綜上所述，線段OE的長為(n+12?m2)或(12?n?m2)或(n?12+m2)cm；
故答案為： (n+12?m2)或(12?n?m2)或(n?12+m2)cm．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
【題型6 線段n等分點的有關(guān)計算】
【例6】（2023·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，將一根繩子對折以后用線段AB表示，點P是AB的四等分點，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中的一段長為30cm，則這條繩子的原長為 cm．
【答案】40或80或120或240．
【分析】分AP=13PB，PB=13AP這兩種情況，結(jié)合圖形就所得三段繩子其中一段長度為30cm，再分類討論求解可得．
【詳解】解：①如圖1，當AP=13PB時，此時剪開的三段分別為AP、PP′、A′P′，
若AP=A′P′=30cm，則PB=P′B=3PA=90cm，此時AA′=AP+PP′+A′P′=30+180+30=240（cm）；
若PP′=30cm，則PB=P′B=15cm，AP=A′P′=13PB=5cm，此時AA′=5+30+5=40（cm）；
②如圖2，當PB=13AP時，此時剪開的三段分別為AP、PP′、A′P′，
若AP=A′P′=30cm，則PB=P′B=13AP=10cm，此時AA′=AP+PP′+A′P′=30+20+30=80（cm）；
若PP′=30cm，則PB=P′B=15cm，AP=A′P′=3PB=45cm，此時AA′=AP+PP′+A′P′=45+30+45=120（cm）；
綜上，這條繩子的原長為40或80或120或240cm，
故答案為：40或80或120或240．
【點睛】本題考查線段的和差．熟練掌握線段等分點的性質(zhì)和線段的和差計算及分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023秋·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期末）如圖B、C兩點把線段AD分成2:3:4的三部分，M是AD的中點，CD=8，求MC的長．
【答案】MC=1
【分析】設(shè)AB=2x，得CD=4x，BC=3x，AD=9x，再根據(jù)CD=8，求出x的值，故可得出線段AD的長度，再根據(jù)M是AD的中點可求出MD的長，由MC=MD?CD即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)AB=2x，
∵AB∶BC∶CD=2∶3∶4，
∴CD=4x，BC=3x，AD=2+3+4x=9x，
∵CD=8，
∴x=2，
∴AD=9x=18，
∵M是AD的中點，
∴MD=12AD，
∴MC=MD?CD
=12AD?CD
=12×18?8
=1．
【點睛】本題考查的是線段的和差運算，中點的含義，在解答此類問題時要注意各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系．
【變式6-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB和線段CD的公共部分是線段BD，點E、F分別是AB、CD的中點，若BF:DE=5:2，BC?EF=3，AE=6，則AC的長為 ．

【答案】26
【分析】由圖，可求CF?BE=3，由BE=AE=6，得DF=CF=3+BE=9，于是9?DB6?DB=52，得DB=4，進而求得AC=AB+CD?DB=26．
【詳解】解：∵BC?EF=3，BC，EF有一段公共邊BF，
∴CF?BE=3，
∵E、F分別是AB、CD的中點，
∴BE=AE=6，
∴DF=CF=3+BE=3+6=9，
∵BF=9?DB，DE=6?DB，BF:DE=5:2，
∴ 9?DB6?DB=52，
∴DB=4，
∴AC=AB+CD?DB=6×2+9×2?4=26．
故答案為：26．
【點睛】本題考查根據(jù)直線上線段間的數(shù)量關(guān)系計算線段長度，由直線上點之間的位置關(guān)系確定線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習了比較線段的長短時對下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：
如圖1，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．若AB=6，AC=2，求MN的長．
(1)根據(jù)題意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)MN的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．
設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點（不與點A，B重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．
①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點，則MN=______．
②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的長．
③若M，N分別是AC，BC的nn≥2等分點，即AM=1nAC，BN=1nBC，則MN=______．
【答案】(1)3
(2)①12a；②23a；③n?1n a
【分析】（1）由AB=6，AC=2，得BC=AB?AC=4，根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點，即得CM= 12 AC=1，CN= 12 BC=2，故MN=CM+CN=3；
（2）①由M，N分別是AC，BC的中點，知CM= 12 AC，CN= 12 BC，即得MN= 12 AC+ 12 BC= 12 AB，故MN= 12 a；
②由AM= 13 AC，BN= 13 BC，知CM= 23 AC，CN= 23 BC，即得MN=CM+CN= 23 AC+ 23 BC= 23 AB，故MN= 23 a；
③由AM= 1n AC，BN= 1n BC，知CM= n?1n AC，CN= n?1n BC，即得MN=CM+CN= n?1n AC+ n?1n BC= n?1n AB，故MN= n?1n a．
【詳解】（1）解：∵AB=6，AC=2，
∴BC=AB?AC=4，
∵M，N分別是AC，BC的中點，
∴CM= 12 AC=1，CN= 12 BC=2，
∴MN=CM+CN=3；
故答案為：3；
（2）解：①∵M，N分別是AC，BC的中點，
∴CM= 12 AC，CN= 12 BC，
∴MN= 12 AC+ 12 BC= 12 AB，
∵AB=a，
∴MN= 12 a；
故答案為：12 a；
②∵AM= 13 AC，BN= 13 BC，
∴CM= 23 AC，CN= 23 BC，
∴MN=CM+CN= 23 AC+ 23 BC= 23 AB，
∵AB=a，
∴MN= 23 a；
③∵AM= 1n AC，BN= 1n BC，
∴CM= n?1n AC，CN= n?1n BC，
∴MN=CM+CN= n?1n AC+ n?1n BC= n?1n AB，
∵AB=a，
∴MN= n?1n a，
故答案為：n?1n a．
【點睛】本題考查了線段的中點、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．
【題型7 與線段的長短比較有關(guān)的應(yīng)用】
【例7】（2023春·北京海淀·七年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1，A2，?，A7七個工廠，各工廠與公路MN（圖中粗線）之間有小公路連接．現(xiàn)在需要在公路MN上設(shè)置一個車站，選擇站址的標準是“使各工廠到車站的距離之和越小越好”，由以上幾個描述
①車站的位置設(shè)在C點好于B點；
②車站的位置在B點與C點之間任何一點效果一樣；
③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長短無關(guān)．
其中，正確的是 ．

【答案】①③
【分析】根據(jù)最優(yōu)化問題，即可判斷出正確答案．
【詳解】解；如圖，

因為A、D、E點各有一個工廠相連，B，C，各有兩個工廠相連，把工廠看作“人”．可簡化為“A，B，C，D，E處分別站著1，2，2，1，1個人（如圖），求一點，使所有人走到這一點的距離和最小”把人盡量靠攏，顯然把人聚到B、C最合適，靠攏完的結(jié)果變成了B=4，C=3，最好是移動3個人而不要移動4個人．所以車站設(shè)在C點，且與各段小公路的長度無關(guān)．
故答案為：①③．
【點睛】此題屬于最優(yōu)化問題，做這類題要做到規(guī)劃合理，也就是要考慮到省時省力．
【變式7-1】（2023春·江西宜春·七年級江西省豐城中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖所示，某公司有三個住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點在一條大道上（A，B，C三點共線），已知AB＝100米，BC＝200米．為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個?？奎c，為使所有的人步行到?？奎c的路程之和最小，那么該停靠點的位置應(yīng)設(shè)在（ ）
A．點AB．點BC．A，B之間D．B，C之間
【答案】A
【分析】此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，由題意設(shè)一個?？奎c，為使所有的人步行到?？奎c的路程之和最小，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點間線段最短定理．
【詳解】解：①以點A為?？奎c，則所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以點B為?？奎c，則所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），
③以點C為?？奎c，則所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④當在AB之間?？繒r，設(shè)?？奎c到A的距離是m，則（0＜m＜100），則所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤當在BC之間停靠時，設(shè)?？奎c到B的距離為n，則（0＜n＜200），則總路程為30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．
∴該?？奎c的位置應(yīng)設(shè)在點A；
故選A．
【點睛】此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，考查知識點為兩點之間線段最短．
【變式7-2】（2023春·浙江寧波·七年級校考開學(xué)考試）一條直街上有5棟樓，按從左至右順序編號為1、2、3、4、5，第k號樓恰好有k（k=1、2、3、4、5）個A廠的職工，相鄰兩樓之間的距離為50米．A廠打算在直街上建一車站，為使這5棟樓所有A廠職工去車站所走的路程之和最小，車站應(yīng)建在距1號樓 米處．
【答案】150
【詳解】假設(shè)車站距離1號樓x米，然后運用絕對值表示出總共的距離，繼而分段討論x的取值去掉絕對值，根據(jù)數(shù)的大小即可得出答案．
解：假設(shè)車站距離1號樓x米，
則總距離S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|，
①當0≤x≤50時，S=2000-13x，最小值為1350；
②當50≤x≤100時，S=1800-9x，最小值為900；
②當100≤x≤150時，S=1200-3x，最小值為750（此時x=150）；
當150≤x≤200時，S=5x，最小值為750（此時x=150）．
∴綜上，當車站距離1號樓150米時，總距離最小，為750米．
故答案為150．
【變式7-3】（2023秋·江蘇常州·七年級常州市清潭中學(xué)校考期中）在一條直線上有依次排列的nn>1臺機床在工作，我們需要設(shè)置零件供應(yīng)站P，使這n臺機床到供應(yīng)站P的距離總和最?。鉀Q這個問題，先要分析比較簡單的情形：
如果直線上只有2臺機床A1，A2時，很明顯供應(yīng)站P設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，距離之和等于A1到A2的距離；
如果直線上有3臺機床A1、A2、A3，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺機床A2處最合適，距離之和恰好為A1到A3的距離；
如果在直線上4臺機床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之間的任何地方；
如果直線上有5臺機床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第3臺的地方；
(1)閱讀遞推：如果在直線上有7臺機床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在（ ）處．
A．第3臺 B．第3臺和第4臺之間 C．第4臺 D．第4臺和第5臺之間
(2)問題解決：在同一條直線上，如果有n臺機床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在什么位置？
(3)問題轉(zhuǎn)化：在數(shù)軸上找一點P，其表示的有理數(shù)為x．當x=_______時，代數(shù)式x?1+x?2+x?3+?+x?99取到最小值，此時最小值為___________．
【答案】(1)C
(2)當n為奇數(shù)時，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第n+12臺的位置；當n為偶數(shù)時，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第n2臺第n2+1臺之間的任何位置
(3)50，2450
【分析】（1）從所給材料中找出規(guī)律即可求解；
（2）分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況，找出規(guī)律即可求解；
（3）根據(jù)絕對值的幾何意義和連續(xù)整數(shù)的和的計算公式即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知：
直線上有3臺機床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺機床A2處最合適，
直線上有5臺機床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺機床A3處最合適，
以此類推，如果在直線上有7臺機床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺機床A4處最合適，
故選C；
（2）解：由題意知：
當n為奇數(shù)時，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第n+12臺的位置；
當n為偶數(shù)時，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第n2臺和第n2+1臺之間的任何位置；
（3）解：1到99最中間的數(shù)為：1+99÷2=50，
應(yīng)用（2）中結(jié)論可知，當x=50時，代數(shù)式x?1+x?2+x?3+?+x?99取到最小值，
50?1+50?2+50?3+?+50?99
=49+48+47+?+2+1+0+1+2+?+48+49
=1+49×49
=2450，
即當x=50時，代數(shù)式x?1+x?2+x?3+?+x?99取到最小值，最小值為2450．
【點睛】本題考查絕對值的幾何意義、數(shù)軸上兩點間的距離、有理數(shù)的混合運算等，解題的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般和分類討論的方法．
【題型8 線段中的動點問題】
【例8】．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級?？计谀┤鐖D，已知點A、點B是直線上的兩點，AB=14厘米，點C在線段AB上，且BC=3厘米．點P、點Q是直線AB上的兩個動點，點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒．點P、Q分別從點C、點B同時出發(fā)在直線上運動，則經(jīng)過 秒時線段PQ的長為6厘米．
【答案】3或9或1
【分析】分四種情況：（1）點P、Q都向右運動；（2）點P、Q都向左運動；（3）點P向左運動，點Q向右運動；（4）點P向右運動，點Q向左運動；求出經(jīng)過多少秒時線段PQ的長為6厘米即可．
【詳解】解：（1）點P、Q都向右運動時，
(6?3)÷(2?1)
=3÷1
=3（秒）；
（2）點P、Q都向左運動時，
(6+3)÷(2?1)
=9÷1
=9（秒）；
（3）點P向左運動，點Q向右運動時，
(6?3)÷(2+1)
=3÷3
=1（秒）；
（4）點P向右運動，點Q向左運動時，
(6+3)÷(2+1)
=9÷3
=3（秒）．
∴經(jīng)過3或9或1秒時線段PQ的長為6厘米．
故答案為：3或9或1．
【點睛】此題主要考查了兩點間的距離的求法，以及分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
【變式8-1】（2023秋·湖南益陽·七年級校聯(lián)考期末）已知點M是線段AB上一點，點C在線段AM上，點D在線段BM上，C，D兩點分別從點M，B出發(fā)，以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動．
(1)若AB=10cm，當點C，D運動了2s時，點C，D的位置如圖①所示，求AC+MD的值；
(2)若點C，D在沒有運動到點A和點M時，總有MD=3AC，試說明此時有AM=14AB；
(3)如圖②，若AM=14AB，點N是直線AB上一點，且AN?BN=MN，求MNAB的值．
【答案】(1)2cm
(2)見解析
(3)12或1
【分析】（1）計算出CM及BD的長，進而可得出答案；
（2）根據(jù)圖形即可直接解答；
（3）分兩種情況討論，①當點N在線段AB上時，②當點N在線段AB的延長線上時，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可求解．
【詳解】（1）解：當點C，D運動了2s時，CM=2cm，BD=6cm．
∵AB=10cm，CM=2cm，BD=6cm，
∴AC+MD=AB?CM?BD=10?2?6=2（cm）
（2）解：∵C，D兩點的速度分別為1cm/s，3cm/s，
∴當運動時間為ts時，BD=3tcm，CM=tcm．
又∵MD=3AC，
∴BD+MD=3t+3AC=3（t+AC）cm，
即BM=3AM，
∴AM=14AB
（3）解：當點N在線段AB上時，如圖所示：
∵AN?BN=MN，且AN?AM=MN，
∴BN=AM=14AB，
∴MN=12AB，
即MNAB=12
當點N在線段AB的延長線上時，如圖所示：
∵AN?BN=MN，AN?BN=AB，
∴MN=AB，即MNAB=1．
綜上所述，MNAB的值為12或1
【點睛】本題考查求線段的長短的知識，有一定難度，解題的關(guān)鍵是細心閱讀題目，理清題意后再解答．
【變式8-2】（2023·全國·七年級專題練習）如圖，P是線段AB上一點，AB=18cm，C，D兩動點分別從點P，B同時出發(fā)沿射線BA向左運動，到達點A處即停止運動．

(1)若點C，D的速度分別是1cm/s，2cm/s．
①當動點C，D運動了2s，且點D仍在線段PB上時，AC+PD=_________cm；
②若點C到達AP中點時，點D也剛好到達BP的中點，則AP:PB=_________；
(2)若動點C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點C，D在運動時，總有PD=3AC，求AP的長
【答案】(1)①12；②1:2
(2)92cm
【分析】（1）①先分別求出PC=2cm,BD=4cm，再根據(jù)AC+PD=AB?PC?BD即可得；
②設(shè)運動時間為ts，則PC=tcm,BD=2tcm，再根據(jù)線段中點的定義可得AP=2PC=2tcm,BP=2BD=4tcm，由此即可得；
（2）設(shè)運動時間為xs，則PC=xcm,BD=3xcm，從而可得BD=3PC，再根據(jù)PD=3AC可得PB=3AP，從而可得AP=14AB，由此即可得．
【詳解】（1）解：①依題意得：PC=1×2=2cm,BD=2×2=4cm，
∵AB=18cm，點D仍在線段PB上，
∴AC+PD=AB?PC?BD=18?2?4=12cm，
故答案為：12；
②設(shè)運動時間為ts，則PC=tcm,BD=2tcm，
∵當點C到達AP中點時，點D也剛好到達BP的中點，
∴AP=2PC=2tcm,BP=2BD=4tcm，
∴AP:PB=1:2，
故答案為：1:2．
（2）解：設(shè)運動時間為xs，則PC=xcm,BD=3xcm，
∴BD=3PC，
∵PD=3AC，
∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3PC+AC=3AP，
∵PB+AP=AB，
∴3AP+AP=AB，
∴AP=14AB=14×18=92cm．
【點睛】本題考查了與線段有關(guān)的動點問題、線段的和與差、線段的中點，熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023秋·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB=24，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線AB方向運動，運動時間為t秒（t>0），點M為AP的中點．
（1）當t=3時，求線段MB的長度；
（2）當t為何值時，點P恰好是MB的中點？
（3）當t為何值時，AM=2PB？
【答案】（1）當t=3時，MB=21；（2）當t=8；點P恰好是MB的中點；（3）t=485或t=16，AM=2PB．
【分析】（1）如圖：當t=3時，先求出AP,然后再求出AM,最后根據(jù)MB=AB-AM求解即可；
（2）先求出AM=MP=t，再說明MP=PB=t，然后由AB=3AM=3t=24即可求得t；
（3）分P在線段AB上和P在線段AB延長線上兩種情況解答即可．
【詳解】解：（1）當t=3時，AP=3×2=6.
∵點M為AP的中點，
∴AM=12AP=12×6=3，
∴MB=AB?AM=24?3=21.
（2）∵點M為AP的中點，
∴AM=MP=12AP=12×2t=t.
∵點P是MB的中點，
∴MP=PB=t，
∴AB=3AM=3t=24，
∴t=8；
（3）當點P在線段AB上時，AM=t，
PB=AB?AP=24?2t，
∴t=224?2t，
解得t=485.
當P在線段AB的延長線上時，AM=t，
PB=AP?AB=2t?24，
∴t=22t?24，
解得t=16.
∴t=485或t=16．
【點睛】本題屬于直線上的動點問題，主要考查了中點的定義、線段的和差等知識點，正確畫出圖形并表示出相應(yīng)線段的長以及掌握分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．
【題型9 尺規(guī)作線段】
【例9】（2023秋·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段AB上，點M是線段AB的中點，AB=6．

(1)尺規(guī)作圖：延長線段AB，并在延長線上作一點D，使得BD+BC=AB；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，若CM=2AC，求線段AD的長度．
【答案】(1)見解析
(2)7
【分析】（1）延長線段AB，在延長線上截取BD=AC即可；
（2）根據(jù)中點的定義求出AM=3，再根據(jù)CM=2AC求出AC=1，結(jié)合BD=AC即可求解．
【詳解】（1）解：∵ AC+BC=AB，
∴若BD+BC=AB，則BD=AC，
以點B為圓心，AC長為半徑作弧，與線段AB的延長線的交點即為點D，如下圖所示：
；
（2）解：∵點M是線段AB的中點，AB=6，
∴ AM=12AB=12×6=3，
∵ CM=2AC，
∴ AC=11+2AM=13×3=1，
由（1）知BD=AC，
∴ AD=AB+BD=AB+AC=6+1=7．
【點睛】本題考查尺規(guī)作圖——作一線段等于已知線段，中點的定義，線段的和差關(guān)系等，難度一般，解題的關(guān)鍵是熟練掌握上述知識點．
【變式9-1】（2023春·福建·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知線段a，b，利用尺規(guī)作線段AB，使得AB=2a?b．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析
【分析】首先作射線，再截取AC=CD=a，進而截取BD=b，即可得出AB=2a?b．
【詳解】解：如圖所示，AB即為所求，
．
【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，正確作出射線進而截取得出是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023秋·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖,B,C兩點在射線AM上，AC>BC，用圓規(guī)在射線BM上作一點D,使得BD=AC?BC．(不寫作法，保留作圖痕跡)

【答案】詳見解析
【分析】先以點B為圓心，AC長為半徑畫弧與BM交于一點；再以該點為圓心，BC長為半徑畫弧與BM交于D點．
【詳解】解：如圖所示，點D即為所作：

【點睛】本題考查尺規(guī)作線段．理解題意即可作圖．
【變式9-3】（2023秋·甘肅蘭州·七年級?？计谀┮阎€段a，b，c，求作：線段m，使m=a+c?b．

【答案】見解析
【分析】畫出射線OP，以點O為圓心，a的長度為半徑畫弧，交射線OP于點A，再以點A為圓心，c的長度為半徑畫弧，在點A坐邊交射線OP于點B，最后以點B為圓心，b的長度為半徑畫弧，在點B右邊交射線OP于點C，OC即為所求．
【詳解】解：如圖所示：畫出射線OP，以點O為圓心，a的長度為半徑畫弧，交射線OP于點A，再以點A為圓心，c的長度為半徑畫弧，在點A坐邊交射線OP于點B，最后以點B為圓心，b的長度為半徑畫弧，在點B右邊交射線OP于點C，OC即為所求．
∵OA=a,AB=b,BC=c，
∴OC=a+c?b=m．

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握畫一條線段等于已知線段的方法和步驟，以及線段間的和差關(guān)系．
【題型10 線段中的對折問題】
【例10】（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一段長為30厘米繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計），使繩子與自身一部分重疊.
若將繩子AB沿M、N點折疊，點A、B分別落在A′，B′處.
(1)如圖2，若A′，B′恰好重合于點O處，展開拉直后如圖3，求MN的長；
(2)若點A′落在B′的左側(cè)，且A′B′=10cm，畫出展開拉直后的圖形，并求MN的長度；
(3)若點A′落在B′的右側(cè)，且A′B′=10cm，畫出展開拉直后的圖形，并求MN的長度.
【答案】(1)15厘米
(2)20厘米
(3)10厘米
【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)得出AM=MO=12AO，ON=BN=12OB，進而根據(jù)MN=MO+ON即可求解；
（2）先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，得出AM=12AA′，BN=12BB′，根據(jù)MN=AB?AM+BN即可求解；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，同（2）的方法即可求解．
【詳解】（1）解：∵繩子AB沿M、N點折疊，點A、B分別落在A′、B′處，A′、B′恰好重合于點O處，
∴AM=MO=12AO，ON=BN=12OB，
∴MN=MO+ON=12AO+OB=12AB=15cm；
（2）
∵AB=30cm，A′B′=10cm，
∴AA′+BB′=AB?A′B′=30?10=20cm.
根據(jù)題意得，M、N分別為AA′、BB′的中點，
∵AM=12AA′，BN=12BB′，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12AA′+BB′=12×20=10cm，
∴MN=AB?AM+BN=30?10=20cm；
（3）當點A′落在點B′的右側(cè)時，
∵AA′+BB′=AB+A′B′=40cm，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12AA′+BB′=20cm.
∴MN=AB?AM+BN=30?20=10cm.
【點睛】本題考查了線段的和差，線段的中點的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有公共端點C的兩條線段AC，BC組成一條折線A?C?B，若該折線A?C?B上一點D把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點D叫做這條折線的“折中點”．

（1）若AC=BC，點D與 重合（填A(yù)、B、C）；
（2）若E為線段AC中點，EC=5cm，CD=2cm，則BC的長為 ．
【答案】 C 6或14
【分析】（1）由折中點的含義、線段和差關(guān)系，可得CD=0，即可確定答案；
（2）分兩種情況：點D在線段AC上與點D在線段BC上，利用中點的意義及折中點的含義即可求解．
【詳解】（1）解：由折中點含義得：AD=CD+BC，
而AC=BC，AD=AC?CD，
∴AC?CD=CD+AC，
∴CD=0，
即點D與點C重合；
故選：C；
（2）解：當點D在線段AC上時，
則CD+BC=AD=AC?CD，
∴BC=AC?2CD；
∵E為線段AC中點，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC?2CD=10?2×2=6(cm)；
當點D在線段BC上時，如圖，

則CD+AC=BD=BC?CD，
∴BC=AC+2CD；
∵E為線段AC中點，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC+2CD=10+2×2=14(cm)；
綜上，BC的長為6cm或14cm；
故答案為：6或14．
【點睛】本題考查了線段的和差運算，線段中點，新定義折中點等知識，分類討論，結(jié)合圖形利用線段的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，線段OP表示一條拉直的繩子，A，B兩點在線段OP上，OP=a，OA:AP=3:7，B為OA的中點．固定點A，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上（如圖2所示）．

（1）若a=10．
①繩子折疊前，AB的長為 ；
②繩子折疊后，OP的長為 ；
（2）若從如圖2所示的點B及與點B重疊處一起剪開，使得繩子分成三段，三段繩子由小到大的長度比為 ．
【答案】 32 4 3：6：11
【分析】（1）①根據(jù)題意可得OA=3，根據(jù)線段中點的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)線段差的關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)OA，AP，OB，BP的比例關(guān)系，繩子長為a，結(jié)合（1）求出對應(yīng)的線段長度即可解得．
【詳解】（1）①∵OA:AP=3:7，B為OA的中點．OP=10，
∴OA=3，AB=12OA=32，
故答案為：32．
②∵折疊，則OP=10?2OA=10?6=4，
故答案為：4．
（2）根據(jù)（1）可得圖2中的AB=32×a10=3a20，OP=4×a10=2a5，
剪開后的三段分別長為OB,2AB,BP，
∴OB=320a，2AB=3a10，BP=BO+OP=320a+2a5=1120a
∴三段繩子由小到大的長度比為320a:310a:1120a=3:6:11
故答案為：3:6:11．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，準確利用線段的和差是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2023秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）學(xué)校舉行疊被子比賽，最后成品要求如圖1所示．圖2是被子的平面圖（長方形ABCD），被子的長度AD=200cm，寬度AB=150cm，具體折法如下：首先把被子平鋪分成五份（圖2），將長方形NBCK向上翻折作為中間層，再將長方形AEHD向下翻折作為上層，折疊時需要考慮被子的厚度和平整性（AE=FM=NB+12MN），接著按照如圖3方式折疊，最終折成如圖1所示．折完后被子高度是24cm，假設(shè)被子的厚度是均勻的，且不考慮折疊中間縫隙，則未折疊時被子的厚度為 cm，圖3中長方形FMQP的面積為 cm2．
【答案】 2 49703
【分析】由題圖2折了三層，題圖3折了四層，折完共3×4=12層，由此24÷12=2cm，所以未折時被子厚2cm，在圖3中，AB相當于折完后被子高，即AB=24cm，所以PC=DE=12AB=12cm，且AC=BD，EG=PF，可得AC+BD+EG+PF=2AC+2PF=200?AB?PC?DE=152，所以AC+PF=76，由折疊可知AC=PF+6，建立方程可得PF的長，在題圖2中，MN是兩層被子厚度，所以MN=4cm，同理EF=6cm，利用AE+EF+MF+MN+BN=150，求得MF的值，即可得出矩形面積．
【詳解】解：∵題圖2折了三層，題圖3折了四層，折完共3×4=12層，
∴24÷12=2cm，
∴未折時被子厚2cm，
如圖，AB相當于折完后被子高，即AB=24cm，
∴PC=DE=12AB=12cm，且AC=BD，EG=PF，
∴AC+BD+EG+PF=2AC+2PF=200?AB?PC?DE=152，
∴AC=PF+6，
折疊后可知AC=PF+6，
∴2PF+6=76，即PF=35，
在題圖2中，MN是兩層被子厚度，
∴MN=4cm，同理EF=6cm，
∴AE+EF+MF+MN+BN=MF+6+MF+4+MF?12MN=3MF+8=150，
∴MF=1423，
∴S=1423×35=49703cm2．
故答案為：2；49703．
【點睛】本題主要考查線段的和差問題，將圖2與圖3放在一起理解題意是解題關(guān)鍵．

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