2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
第07講 拋物線及其性質(zhì)
目錄
知識點一、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
注：若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點．
知識點二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向
【解題方法總結(jié)】
1、點與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．
（2）在拋物線上．
（3）在拋物線外．
2、焦半徑
拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
3、的幾何意義
為焦點到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．
4、焦點弦
若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．
（2）．
（3）焦點弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．
焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．
5、拋物線的弦
若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則
（1）弦長公式：
（2）
（3）直線AB的方程為
（4）線段AB的垂直平分線方程為
6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點和準(zhǔn)線的快速方法（法）
（1）焦點為，準(zhǔn)線為
（2）焦點為，準(zhǔn)線為
如，即，焦點為，準(zhǔn)線方程為
7、參數(shù)方程
的參數(shù)方程為（參數(shù)）
8、切線方程和切點弦方程
拋物線的切線方程為，為切點
切點弦方程為，點在拋物線外
與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果．
9、拋物線的通徑
過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．
10、弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
11、焦點弦的?？夹再|(zhì)
已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．
（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上
題型一：拋物線的定義與方程
例1．（2023·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點在拋物線C：上，則P到C的準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，
將代入得，
故P到準(zhǔn)線的距離為2，
故選：C．
例2．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽富樂大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國慶全線通車．大橋的拱頂可近似地看作拋物線的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€位置，它到拋物線焦點的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距離為（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
設(shè)鴿子所在位置為點，
因為它到拋物線焦點的距離為10米，
所以，解得，
則，
所以鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距離為，
故選：B
例3．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，直線交于，兩點，的準(zhǔn)線交軸于點，若，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題可設(shè)拋物線的方程為，則準(zhǔn)線方程為，
當(dāng)時，可得，
可得，又，，
所以，即，
解得，
所以的方程為.
故選：C
變式1．（2023·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線的焦點坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為，
所以拋物線的焦點在軸的正半軸上，
且，所以焦點坐標(biāo)為.
故選：B
變式2．（2023·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過拋物線的焦點的直線交于兩點，若直線過點，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為直線過點，所以直線的方程為.
由得，.
設(shè)，則.
因為
，
整理得，解得，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程是.
故選：D.
變式3．（2023·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點A，B在拋物線上，O為坐標(biāo)原點，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點F，則直線AB的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，為的垂心，為焦點，
，垂直平分線段，直線垂直于軸．
設(shè)，，其中，
為垂心，，，
即，解得，
直線的方程為，即．
故選：D．
變式4．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過上的一點作的垂線，垂足為，點，與相交于點．若，且的面積為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)點，拋物線的焦點，準(zhǔn)線，
由得：，解得，不妨令點A在第一象限，則，，如圖，
因為，則，即有點D到x軸距離，
，解得，
所以的方程為.
故選：C
【解題方法總結(jié)】
求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：
（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：
（2）根據(jù)題目條件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程
題型二：拋物線的軌跡方程
例4．（2023·高三課時練習(xí)）已知點F（1，0），直線，若動點P到點F和到直線l的距離相等，則點P的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】根據(jù)拋物線定義可知，點在以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，
所以，，拋物線方程為.
故答案為：.
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動點P和點滿足，則動點的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】由題意，
由得，
化簡得．
故答案為：．
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）與點和直線的距離相等的點的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點和直線的距離相等的點的軌跡為拋物線，且為焦點，直線為準(zhǔn)線，
設(shè)拋物線的方程為，
可知，解得，
所以該拋物線方程是，
故答案為：
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點的坐標(biāo)滿足，則動點的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)直線，則動點到點的距離為，動點到直線的距離為，又因為，
所以動點M的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為．
故答案為：
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點到定點與定直線的距離的差為1．則動點的軌跡方程為 ．
【答案】，（注：也算對）
【解析】由題意，若時，問題等價于，
則，化簡得，
若，也滿足題意.
所以動點的軌跡方程為，.
或者根據(jù)題意有，則，化簡整理得：.
所以動點的軌跡方程為.
故答案為：，（注：也算對）
變式7．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？茧A段練習(xí)）點，點是軸上的動點，線段的中點在軸上，且垂直，則點的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，則中點坐標(biāo)為，由得，即，
又，
若，則，即，
若，則，重合，直線不存在．
所以軌跡方程是．
故答案為：．
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動圓P與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直線x＝1相切，那么動圓圓心P的軌跡方程是 ．
【答案】y2＝﹣8x
【解析】設(shè)圓心P到直線x＝1的距離等于r，P（x，y ），由題意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化簡可得 y2＝﹣8x.
故答案為：y2＝﹣8x．
變式9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一個動圓與定圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，
由于動圓與定圓相外切，且與直線相切，
動圓圓心到點的距離比它到直線的距離大，
所以，動圓圓心到點的距離等于它到直線的距離，
所以，動圓圓心的軌跡是以點為圓心，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)動圓圓心的軌跡方程為，則，可得，
所以，動圓圓心的軌跡方程為.
故答案為：.
變式10．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知點，直線：，兩個動圓均過點且與相切，其圓心分別為、，若動點滿足，則的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡方程，設(shè)，，，根據(jù)可得，，利用可求得結(jié)果.由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡是以為焦點，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，
設(shè)，，，因為動點滿足，
所以，即，，
所以，，因為，所以，
所以，即的軌跡方程為.
故答案為：
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點、，直線與相交于點，且直線的斜率與直線的斜率之差為，點的軌跡為曲線，則曲線 的軌跡方程為
【答案】
【解析】設(shè)，由題意可得：，化簡可得曲線的軌跡方程．設(shè)，由題意可得：，
化為．
曲線的軌跡方程為且．
故答案為：．
【解題方法總結(jié)】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．
題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題
例7．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，
于是，
因此，表示拋物線上的點到y(tǒng)軸距離與到定點的距離的和，
而點在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，所以的最小值為3.
故答案為：3.
例8．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點是拋物線上的動點，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由題可知，過拋物線上的動點作直線的垂線交直線于，過點作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點，為拋物線焦點，
由，得，所以，如圖所示
則動點到軸的距離為
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，有最小值，即(此時為點到直線的距離)，
所以到直線的距離為，
所以，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：
例9．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)的最大值為 ．
【答案】
【解析】將給定的函數(shù)表達(dá)式變形為，
問題轉(zhuǎn)化為求點到點與距離之差的最大值，
而點的軌跡為拋物線，如圖所示，
由A、B的位置知直線必交拋物線于第二象限的一點C，
由三角形兩邊之差小于第三邊可知P位于C時，才能取得最大值.
.
故答案為：.
變式12．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于兩點，若為該拋物線上一點，為圓上一點，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由題可知直線的方程為，設(shè)，則
由,消去，整理得，，
所以，
所以，解得，
所以，而圓的圓心,
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)點在同一條直線上取等號，且點位于點之間，如圖所示：
又，
所以的最小值為.
故答案為：.
變式13．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，其焦點為F，PQ是過點F的一條弦，定點A的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時，則弦PQ的長是 .
【答案】
【解析】拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，
如圖，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，
所以當(dāng)取最小值時，點的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，即，
所以，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，消得，解得或，
當(dāng)時，，即，
所以.
故答案為：.
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點M為拋物線上的動點，點N為圓上的動點，則點M到y(tǒng)軸的距離與點M到點N的距離之和最小值為 ..
【答案】
【解析】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點坐標(biāo)為，
由拋物線的定義可知點M到y(tǒng)軸的距離即為，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
故點M到y(tǒng)軸的距離與點M到點N的距離之和，
根據(jù)圓的性質(zhì)可知點M到y(tǒng)軸的距離與點M到點N的距離之和最小值為.
故答案為：.
變式15．（2023·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）過點的直線交拋物線于兩點，點的坐標(biāo)為. 設(shè)線段的中點為則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，過點作準(zhǔn)線的垂線，
垂足分別為，，取的中點為，連接，如下圖所示：
點到準(zhǔn)線的距離為，易知四邊形為直角梯形，則由拋物線的定義可得
.
即（當(dāng)三點共線時，取等號）
即的最小值為.
故答案為：
變式16．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┮阎菕佄锞€上一點，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由題可知， 過拋物線上的動點作直線的垂線交直線于，過點作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點，為拋物線焦點.
由，得，所以，如圖所示
則動點到軸的距離為
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，有最小值，即,( 為點到直線的距離).
所以到直線的距離為
所以，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：.
變式17．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于，兩點，則的最小值是 ．
【答案】9
【解析】依題意，
因為拋物線的焦點為，所以，
①當(dāng)斜率存在時：因為直線交拋物線于，兩點，所以，
設(shè)過的直線的直線方程為：，，
由拋物線定義得：，
由消整理得：，
所以，即，
所以；
②當(dāng)不存在時，直線為，此時，
所以；
綜上可知，的最小值為：9.
故答案為：9.
變式18．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎cP是拋物線上的動點，Q是圓上的動點，則的最大值是 .
【答案】/
【解析】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，
圓的圓心為，半徑，
過點作垂直準(zhǔn)線，垂足為，由拋物線的定義可知，
設(shè)，則，，
所以，
令，則，
所以，
所以當(dāng)即時，取到最大值，
所以的最大值為，
因此，，所以的最大值是.
故答案為：.
變式19．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是拋物線上兩點，且，為焦點，則最大值為 .
【答案】
【解析】拋物線的焦點，
由題得，，
即，
故
，
即，因為，且余弦函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時成立.
故答案為：.
變式20．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知P是拋物線上的動點，P到y(tǒng)軸的距離為，到圓上動點Q的距離為，則的最小值為 ．
【答案】2
【解析】圓的圓心為，半徑，
拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，
過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
因為是拋物線上的動點，到軸的距離為，
到圓上動點的距離為，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，且點在線段上，
所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與拋物線的交點時等號成立，又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與拋物線的交點，點為線段與圓的交點時等號成立，
所以的最小值為2，
故答案為：2
變式21．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）的最小值為 ．
【答案】
【解析】易知動點的軌跡為拋物線，C的焦點為，設(shè)P到C的準(zhǔn)線的距離為d，，
則，
故的最小值為．
故答案為：.
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點 是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點， 若拋物線的焦點為， 點是拋物線上的一動點， 則的最小值是 .
【答案】/
【解析】
拋物線的準(zhǔn)線方程為，
過點作垂直準(zhǔn)線于點，
顯然，當(dāng)平行于軸時，
取得最小值，此時，
此時
故答案為:.
變式23．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為拋物線上的一個動點，為圓上的一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是 .
【答案】/
【解析】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點坐標(biāo)為，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
設(shè)點到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，故，
所以當(dāng)動點位于線段上時，點到點的距離與點到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小，
此時.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解．
題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題
例10．（2023·四川樂山·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線交C于P，Q兩點，于H，若，O為坐標(biāo)原點，則與的面積之比為（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】C
【解析】依題意，由于H，得，即是正三角形，，
而，則直線的方程為，
由，消去y并整理，得，
令，解得，又準(zhǔn)線，
因此，
所以與的面積之比.
故選：C.
例11．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，與及其準(zhǔn)線依次交于三點（其中點在之間），若，,則的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】過點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，
設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點，
如圖，
則，，
在中，，所以，所以，
在中，，
所以，所以.
又軸，，所以.
又拋物線，則,
所以，所以拋物線，點.
因為，所以直線的斜率，
則直線，
與拋物線方程聯(lián)立,消并化簡得,
設(shè)點，則，
則.
又直線可化為，
則點到直線的距離,
所以.
故選:B.
例12．（2023·北京·101中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線，定點，P是直線上的動點，若經(jīng)過點F，P的圓與l相切，則這個圓的面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則圓心到的距離等于到直線的距離，
故的軌跡為拋物線，拋物線方程為，
當(dāng)點與原點重合時，半徑最小為，
此時，圓心到直線的距離為，
直線與圓有交點，滿足，圓的面積的最小值為.
故選：B
變式24．（2023·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，點為拋物線上任意一點，過點向圓作切線，切點分別為，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
設(shè)，，
連接，圓為：，
則，
則，
當(dāng)點時，的最小值為，
所以，
故選：C
變式25．（2023·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點， 若， 則 (為坐標(biāo)原點)的面積是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】A
【解析】由題可得，因為，
所以，，
所以為坐標(biāo)原點)的面積是.
故選：A.
變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，點為拋物線上任意一點，過點向圓：作切線，切點分別為，，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】如圖，連接，圓：，該圓的圓心與拋物線的焦點重合，半徑為1，
則．
又，所以當(dāng)四邊形的面積最小時，最小．
過點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，
當(dāng)點與坐標(biāo)原點重合時，最小，此時．
故．
故選：C
變式27．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知斜率為的直線過拋物線：的焦點且與拋物線相交于兩點，過分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為2，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
由拋物線：，得，
設(shè)直線：，，，
由得，
所以，，
由已知和拋物線定義知：，
則有，即，
所以
解得，，.
故選：D
變式28．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F作傾斜角為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，，垂足為K，若的面積是，則p的值為（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】B
【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，，又，，
故是等邊三角形，又的面積是，
故可得，
故.
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比．
題型五：焦半徑問題
例13．（2023·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知為拋物線：的焦點，，，為上的三點，若，則 .
【答案】
【解析】由題意知，設(shè)，，的橫坐標(biāo)分別為，，，
由，得，所以，
由拋物線的定義得.
故答案為：
例14．（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點為曲線上一點，若，則點的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【解析】由拋物線可得：，
由拋物線的定義可得：，則，
又因為點為曲線上一點，所以，
所以，所以點的坐標(biāo)為.
故答案為：
例15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則 ．
【答案】8
【解析】由題意得，，當(dāng)直線的斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，
故設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，
聯(lián)立，可得，易得，
設(shè)，則，
則，
則，
，
由正弦定理得，，
因為，，
所以，，即，
又由焦半徑公式可知，
則，即，
即，解得，
則，解得，
故，
當(dāng)時，同理可得到.
故答案為：8
變式29．（2023·全國·模擬預(yù)測）若過點向拋物線作兩條切線，切點分別為A，B，F(xiàn)為拋物線的焦點，則 ．
【答案】/
【解析】由題意可得點F的坐標(biāo)為，點不在拋物線上，
設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為，
∵，即，則，
可得，
所以拋物線C在點A處的切線方程為，則，
又∵切線過點可，則，得，
同理可得，
即點A，B的坐標(biāo)滿足方程，
所以直線AB的方程為，即，
聯(lián)立方程，消去y并整得，
則，，，
∵，
則
，
且，
所以．
故答案為：.
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點A作的垂線，垂足為，設(shè)，若與相交于點的面積為，則拋物線的方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)，
又，則，
由拋物線的定義得，所以，則，
由得，即，
所以，,
所以，解得：.
故答案為：
變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線與圓于四點，則 .
【答案】1
【解析】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，可設(shè)直線方程為，直線，與聯(lián)立得：，可得,,
,
答案為1.
變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，與拋物線交于A、B兩點，若，則（O為坐標(biāo)原點）的面積為 ．
【答案】
【解析】由題意可知：，結(jié)合焦半徑公式有：，
解得：，故直線AB的方程為：，
與拋物線方程聯(lián)立可得：，
則，
故的面積.
變式33．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）拋物線: 的焦點為,設(shè)過點的直線交拋物線與兩點，且,則 .
【答案】4
【解析】設(shè)點的橫坐標(biāo)分別為，且
由焦半徑公式得，
當(dāng) 時，
，
的方程為 ，
則，化簡可得，
，且，所以，
所以 ，
同理，時，.
故答案為.
變式34．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）已知為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，與拋物線及其準(zhǔn)線依次交于三點（其中點在之間），若.則的面積是 .
【答案】/
【解析】過點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點，如圖，
則，
在中，，所以，所以，
故在中，，所以，則.
又軸，，所以，
又拋物線，則，所以，
所以拋物線，點.
因為，所以直線的斜率，則直線，
與拋物線方程聯(lián)立，消并化簡得，
易得，設(shè)點，則，
則，
又直線，可化為，
則點到直線的距離，
所以.
故選：B.
變式35．（多選題）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線E：的焦點為F，準(zhǔn)線l交x軸于點C，直線m過C且交E于不同的A，B兩點，B在線段上，點P為A在l上的射影．下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若P，B，F(xiàn)三點共線，則
C．若，則D．對于任意直線m，都有
【答案】BCD
【解析】解法一：由已知條件可得
由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線的方程為
依題意，由整理，得
當(dāng)，即時，由韋達(dá)定理，
得.
對于選項，因為直線的斜率為，
所以，即
又，所以，解得，所以
所以，
故，故錯誤；
對于選項，易得，所以
當(dāng)三點共線時，，
所以
由和，解得，
所以故正確
對于選項，過作，垂足為由已知可得，
所以.
又，所以.
由拋物線的定義，得
因此故正確；
對于選項，因為，
所以，又，
故成立.故正確.
故選：BCD.
解法二：對于選項，假設(shè)成立，則為等腰直角三角形，
，所以為等腰直角三角形，則點在軸上，這與已知條件顯然矛盾，故
故錯誤，其他選項同解法一進(jìn)行判斷.
故選：BCD.
變式36．（多選題）（2023·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線C交于A、B兩點，下面說法正確的是（ ）
A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為B．
C．時，D．
【答案】BD
【解析】由題意，可得，，準(zhǔn)線，故A錯誤；
設(shè)根據(jù)拋物線的定義可得
，則，，
根據(jù)拋物線的定義可得，
當(dāng)時，，故，故C錯誤；
，故D正確；
取AB的中點M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，設(shè)，過M作MN⊥準(zhǔn)線a于N，過A作⊥準(zhǔn)線a于，過B作⊥準(zhǔn)線a于，
根據(jù)梯形的性質(zhì)和拋物線的定義可得，
即以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，
則O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，故，故B正確.
故選：BD
變式37．（多選題）（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知A，B是拋物線：上兩動點，為拋物線的焦點，則（ ）
A．直線AB過焦點F時，最小值為4
B．直線AB過焦點F且傾斜角為時，
C．若AB中點M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5
D．
【答案】BC
【解析】對于A項，過點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
過點分別作軸的垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸的交點為，
設(shè)直線的傾斜角為，畫圖為：
根據(jù)拋物線的定義：，從圖可知，，
，在中，，
所以，同理，
則
，故當(dāng)時，
故最小值為，此時垂直于軸，所以A不正確；
對于B項，由A可知，，故B正確；
對于C項，，
當(dāng)且僅當(dāng)直線過焦點時等號成立，所以最大值為5，故C正確；
當(dāng)直線過焦點時，，
當(dāng)直線不過焦點時，不是定值，
舉例當(dāng)時，此時，，
即，，，故D錯誤；
故選：BC.
變式38．（多選題）（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知點是拋物線上過焦點的兩個不同的點，O為坐標(biāo)原點，焦點為F，則（ ）
A．焦點F的坐標(biāo)為（4，0）B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由拋物線，可得焦點為，故A錯誤；
由焦半徑公式可得，故B正確；
設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，
則，，故C錯誤；
，故D正確．
故選：BD
變式39．（多選題）（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為拋物線的焦點，為其準(zhǔn)線與軸的交點，為坐標(biāo)原點.直線與該拋物線交于、兩點.則以下描述正確的是（ ）
A．線段的長為4B．的面積為
C．D．拋物線在、兩點處的切線交于點
【答案】BC
【解析】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，所以，
由，消去整理得， 解得，，
此時，，則，，，
即，，或，，
所以或，故A錯誤；
因此，
因此原點到直線的距離等于，
所以，故B正確；
，故C正確；
對于D：不妨取，，由，，則，
則過的切線方程為，即，
顯然曲線在點處的切線不過，故D錯誤；
故選：BC
變式40．（多選題）（2023·山東德州·三模）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，直線與軸交于點，過點的直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，則（ ）
A．若，則B．
C．D．面積的最小值為16
【答案】ACD
【解析】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線，，
設(shè)直線為，則，即，
，故，，故，
對選項A：，正確；
對選項B：，錯誤；
對選項C：，正確；
對選項D：，
當(dāng)時等號成立，正確；
故選：ACD.
變式41．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知F為拋物線的焦點，A，B，C為該拋物線上的三點，O為坐標(biāo)原點，，，面積分別為 ，若F為的重心，且，則該拋物線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)、、三點的坐標(biāo)分別為，，，，，，
拋物線的焦點的坐標(biāo)為,
，，
，
、、在拋物線上，，，，
由此可得：，
點是的重心，
，可得,
因此，,解得 （負(fù)值舍去），
故該拋物線的方程為，
故選：．
變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，過原點O的動直線l交拋物線于另一點P，交拋物線的準(zhǔn)線于點Q，下列說法正確的是（ ）
A．若O為線段PQ中點，則PF＝1B．若PF＝4，則OP＝2
C．存在直線l，使得PF⊥QFD．△PFQ面積的最小值為2
【答案】D
【解析】拋物線的準(zhǔn)線為,焦點F(1,0).
對于A：若O為PQ中點,所以xp=1,所以,故A錯誤；
對于B：若,則,所以.故B錯誤;
對于C：設(shè),由O、P、Q三點共線，可得，所以,,所以,所以FP與FQ不垂直,故C錯誤;
對于D：,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號，所以△PFQ面積的最小值為2.故D正確.
故選：D.
變式43．（2023·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知直線與拋物線相切于點，是的焦點，則（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】聯(lián)立方程組，
整理得，
因為直線與拋物線相切，
則，
解得（舍去）或.
設(shè)，則，
故，則.
故選：D.
變式44．（2023·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，若直線與交于，兩點，且，則（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】令，則，故，所以，
所以，故準(zhǔn)線為，則.
故選：B
變式45．（2023·廣東珠海·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點是拋物線上一點，若，則的面積為（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】D
【解析】由，
得，
則，
根據(jù)拋物線的定義知2，
解得，
代入，
得，
所以的面積為.
故選：D.
變式46．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)校考三模）已知拋物線的焦點與的一個焦點重合，過焦點的直線與交于，兩不同點，拋物線在，兩點處的切線相交于點，且的橫坐標(biāo)為4，則弦長（ ）
A．16B．26C．14D．24
【答案】A
【解析】由題意可得，，則，拋物線方程為，準(zhǔn)線方程．
由題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，
設(shè)，其中，
由，得．
在點A處的切線方程為，化簡得，①
同理可得在點B處的切線為，②
聯(lián)立①②得，由M的橫坐標(biāo)為4，得，
將AB的方程代入拋物線方程，可得，
，得，
，
則．
故選：A．
【解題方法總結(jié)】
（1）．
（2）．
（3）．
題型六：拋物線的性質(zhì)
例16．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（ ）
A．開口向左B．焦點坐標(biāo)為C．準(zhǔn)線為D．對稱軸為軸
【答案】AD
【解析】對選項A，，開口向左，故A正確；
對選項B，，焦點為，故B錯誤；
對選項C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯誤；
對選項D，，對稱軸為軸，故D正確.
故選：AD
例17．（多選題）（2023·山東日照·高三校聯(lián)考期末）（多選）對于拋物線上，下列描述正確的是（ ）
A．開口向上，焦點為B．開口向上，焦點為
C．焦點到準(zhǔn)線的距離為4D．準(zhǔn)線方程為
【答案】AC
【解析】由拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點坐標(biāo)為，焦點到準(zhǔn)線的距離為4，準(zhǔn)線方程為．
故選：AC
例18．（多選題）（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）已知為拋物線上的三個點，焦點F是的重心．記直線AB，AC，BC的斜率分別為，則（ ）
A．線段BC的中點坐標(biāo)為
B．直線BC的方程為
C．
D．
【答案】ABD
【解析】設(shè)，
因為F為重心，
所以，設(shè)BC中點，則，
，由重心分中線得，
即，
又因為A在拋物線上，所以，所以，即，故A正確；
，
直線，故B正確；
因為，所以，所以，故C錯誤；
，同理，
所以，故D正確．
故選：ABD
變式47．（多選題）（2023·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，焦點到準(zhǔn)線的距離為，為上的一個動點，則（ ）
A．的焦點坐標(biāo)為
B．若，則周長的最小值為
C．若，則的最小值為
D．在軸上不存在點，使得為鈍角
【答案】BCD
【解析】選項A，拋物線，焦點到準(zhǔn)線的距離為，則，焦點，錯誤；
選項B，，，，
設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，
則的周長為，正確；
選項C，設(shè)，，則，
當(dāng)時，的最小值為，正確；
選項D，設(shè)，，，，
，
，不可能為鈍角，正確；
故選：BCD
變式48．（多選題）（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知點A是拋物線上的動點，為坐標(biāo)原點，為焦點，，且三點順時針排列，則（ ）
A．當(dāng)點在軸上時，
B．當(dāng)點在軸上時，點A的坐標(biāo)為
C．當(dāng)點A與點關(guān)于軸對稱時，
D．若，則點A與點關(guān)于軸對稱
【答案】ABC
【解析】因為，所以為等邊三角形，
對于A，當(dāng)點在軸上時，又三點順時針排列，所以大致圖像如圖，
此時所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，
解得或，所以，故A正確；
對于B，當(dāng)點在軸上時，又三點順時針排列，
所以此時A點在軸下方，且所在直線方程為，
與聯(lián)立，消去得，解得或，
當(dāng)時，，即A點坐標(biāo)為，故B正確；
對于C，當(dāng)點A與點關(guān)于軸對稱時，又三點順時針排列，
所以此時A點在軸上方，且所在直線方程為，
與聯(lián)立，消去得，解得或，所以，故C正確；
對于D，當(dāng)時，得A點橫坐標(biāo)為，此時A點可能在軸上方，也可能在軸下方.
因為三點順時針排列，
所以當(dāng)A點在軸上方時，可得點A與點關(guān)于軸對稱；
當(dāng)A點在軸下方時，可得此時點在軸上，點A與點不關(guān)于軸對稱；故D錯誤；
故選：ABC.
變式49．（多選題）（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．點關(guān)于x軸的對稱點在直線上
C．直線與直線相交于點D，則A，O，D三點共線
D．直線與間的距離最小值為4
【答案】ACD
【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB過拋物線的焦點，
設(shè)直線AB的方程為，
將直線AB的方程代入中，得，
所以由韋達(dá)定理得，，所以，故選項A正確；
若點關(guān)于x軸的對稱點在直線上，則，
所以，即，不一定成立，故不合題意，選項B錯誤；
直線與相交于點，所以直線OD的斜率為，
又直線OA的斜率為，所以，所以A，O，D三點共線，故選項C正確；
直線與間的距離，
當(dāng)時，d取最小值4，故選項D正確；
故選：ACD.
變式50．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，點P為C上任意一點，若點，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值為2
B．拋物線C關(guān)于x軸對稱
C．過點M與拋物線C有一個公共點的直線有且只有一條
D．點P到點M的距離與到焦點F距離之和的最小值為4
【答案】CD
【解析】設(shè)，則，，又拋物線的焦點為，
所以，時，等號成立．所以的最小值是1，A錯；
拋物線的焦點在軸上，拋物線關(guān)于軸對稱，B錯；
易知點在拋物線的內(nèi)部（含有焦點的部分），因此過與對稱軸平行的直線與拋物線只有一個公共點，其他直線與拋物線都有兩個公共點，C正確；
記拋物線的準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線方程為，
過作于，過作于，則，
，所以當(dāng)三點共線，即與重合時，最小，最小值為．D正確．
故選：CD．
變式51．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點F為拋物線的焦點，點K為點F關(guān)于原點的對稱點，點M在拋物線C上，則下列說法正確的是（ ）
A．使得為等腰三角形的點M有且僅有4個
B．使得為直角三角形的點M有且僅有4個
C．使得的點M有且僅有4個
D．使得的點M有且僅有4個
【答案】ABD
【解析】如圖，
由為等腰三角形，若，則有兩個點；若，則不存在，若，則有兩個點，則使得為等腰三角形的點有且僅有4個,故A正確；
由中為直角的點有兩個；為直角的點不存在；為直角的點有兩個，則使得為直角三角形的點有且僅有4個，故B正確；
若的在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程可得，解得，由對稱性可得在第四象限只有一個，則滿足的有且只有2個，故C錯誤；
使得的點在第一象限，可得直線，
代入拋物線的方程，可得，，
可得點有2個；若在第四象限，由對稱性可得也有2個，則使得的點有且只有4個，故D正確．
故選：ABD
【解題方法總結(jié)】
在處理拋物線的考題的時候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問題用上拋物線定義可以簡化計算．
1．（2023?北京）已知拋物線的焦點為，點在上，若到直線的距離為5，則
A．7B．6C．5D．4
【答案】
【解析】如圖所示，因為點到直線的距離，
點到直線的距離．
由方程可知，是拋物線的準(zhǔn)線，
又拋物線上點到準(zhǔn)線的距離和到焦點的距離相等，
故．
故選：．
2．（2021?新高考Ⅱ）若拋物線的焦點到直線的距離為，則
A．1B．2C．D．4
【答案】
【解析】拋物線的焦點，到直線的距離為，
可得，解得．
故選：．
3．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為12，到軸的距離為9，則
A．2B．3C．6D．9
【答案】
【解析】為拋物線上一點，點到的焦點的距離為12，到軸的距離為9，
因為拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，
故有：；
故選：．
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）．
（3）了解拋物線的簡單應(yīng)用．
2023年北京卷第6題，5分
2023年II卷第10題，5分
2023年乙卷（文）第13題，5分
2023年I卷第22題，12分
從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，其中標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)考查比較頻繁．拋物線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，新高考主要考查拋物線的定義、方程、焦點、準(zhǔn)線及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用．
圖形
標(biāo)準(zhǔn)
方程
頂點
范圍
，
，
，
，
對稱軸
軸
軸
焦點
離心率
準(zhǔn)線方程
焦半徑

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