2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第07講 離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無獎(jiǎng)券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有（ ）
A．1張B．2張C．3張D．4張
2．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）泊松分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.已知某線路每個(gè)公交車站臺(tái)的乘客候車相互獨(dú)立，且每個(gè)站臺(tái)候車人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，若該線路某站臺(tái)的候車人數(shù)為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個(gè)站臺(tái)各有1個(gè)乘客候車的概率為（ ）
A．B． C．D．
3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如下表，且，則（ ）
A．10B．15C．40D．45
4．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表：
則其數(shù)學(xué)期望（ ）
A．1B．0.3C．2.3D．3.2
5．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量X的分布列為：
則（ ）
A．2B．C．D．1
6．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將字母a，a，b，b，c，c放入如圖所示的3×2的表格中，每個(gè)格子各放一個(gè)字母，若字母相同的行的個(gè)數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是
則當(dāng)在內(nèi)減小時(shí)，（ ）
A．減小B．增大
C．先減小后增大D．先增大后減小
8．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）拋一枚硬幣，若拋到正面則停止，拋到反面則繼續(xù)拋，已知該硬幣拋到正反兩面是等可能的，則以上操作硬幣反面朝上的次數(shù)期望為（ ）
A．B．1C．D．
9．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）一組數(shù)據(jù)、、、、的方差為，則、、、、的方差為（ ）
A．2B．3C．4D．
10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）口袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)大小和形狀完全相同的小球，從中任取2個(gè)球，記取出的球的最大編號(hào)為，則（ ）
A．B．C．D．
11．（多選題）（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知甲盒中有2個(gè)紅球，1個(gè)籃球，乙盒中有1個(gè)紅球，2個(gè)籃球.從甲、乙兩個(gè)盒中各取1個(gè)球放入原來為空的丙盒中.現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)盒子中分別取1個(gè)球，記從各盒中取得紅球的概率為，從各盒中取得紅球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A． .B．
C．D．
12．（多選題）（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，滿足，其中的分布列如下：
若，則（ ）．
A．B．
C．D．
13．（多選題）（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┰趪?guó)家憲法日來臨之際，某中學(xué)開展“學(xué)憲法、講憲法”知識(shí)競(jìng)賽，一共設(shè)置了7道題目，其中5道是選擇題，2道是簡(jiǎn)答題?，F(xiàn)要求從中不放回地抽取2道題，則（ ）
A．恰好抽到一道選擇題、一道簡(jiǎn)答題的概率是
B．記抽到選擇題的次數(shù)為X，則
C．在第一次抽到選擇題的條件下，第二次抽到簡(jiǎn)答題的概率是
D．第二次抽到簡(jiǎn)答題的概率是
14．（多選題）（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如表：其中，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．有最大值D．隨y的增大而減小
15．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）在財(cái)務(wù)審計(jì)中， 我們可以用 “本?福特定律” 來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否造假. 本?福特定律指出， 在一組沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù) (均為正實(shí)數(shù)) 中， 首位非零的數(shù)字是這九個(gè)事件不是等可能的. 具體來說， 隨機(jī)變量是一組沒有人為編造的首位非零數(shù)字， 則 . 則根據(jù)本 ? 福特定律， 首位非零數(shù)字是1與首位非零數(shù)字是8的概率之比約為 (保留至整數(shù)).
16．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某社區(qū)為了豐富群眾的業(yè)余活動(dòng)，倡導(dǎo)群眾參加踢毽子、廣場(chǎng)舞、投籃、射門等體育活動(dòng)．在一次“定點(diǎn)投球”的游戲中，游戲共進(jìn)行兩輪，每小組兩位選手，在每輪活動(dòng)中，兩人各投一次，如果兩人都投中，則小組得3分；如果只有一個(gè)人投中，則小組得1分；如果兩人都沒投中，則小組得0分．甲、乙兩人組成一組，甲每輪投中的概率為，乙每輪投中的概率為，且甲、乙兩人每輪是否投中互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響，則該小組在本次活動(dòng)中得分之和不低于3分的概率為 ．
17．（2023·天津·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)袋中共有個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個(gè)球，至少得到個(gè)白球的概率是，則白球的個(gè)數(shù)為 .
18．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一摸球游戲，規(guī)則如下：袋子里有形狀和大小完全一樣的標(biāo)有1～6號(hào)的6個(gè)小球，游戲參與者每次從袋中不放回地摸1個(gè)球，若摸到1號(hào)球或6號(hào)球得2分，摸到3號(hào)球、4號(hào)球或5號(hào)球得1分，摸到2號(hào)球得0分，若參與者摸到2號(hào)球或摸了三次后不管有沒有摸到2號(hào)球游戲均結(jié)束．記隨機(jī)變量X為參與者摸球結(jié)束后獲得的分?jǐn)?shù)，則X的數(shù)學(xué)期望是 ．
19．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）某企業(yè)為提高競(jìng)爭(zhēng)力，成功研發(fā)了三種新品，其中能通過行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)的概率分別為，且是否通過行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)相互獨(dú)立．
(1)設(shè)新品通過行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)的品種數(shù)為，求的分布列；
(2)已知新品中的一件產(chǎn)品經(jīng)檢測(cè)認(rèn)定為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為0.025，現(xiàn)從足量的新品中任意抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，若取到的不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則繼續(xù)抽取下一件，直至取到優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品為止，但抽取的總次數(shù)不超過．如果抽取次數(shù)的期望值不超過5，求的最大值．
參考數(shù)據(jù)：
20．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)?？既＃┧刭|(zhì)教育是指一種以提高受教育者諸方面素質(zhì)為目標(biāo)的教育模式．它重視人的思想道德素質(zhì)、能力培養(yǎng)、個(gè)性發(fā)展、身體健康和心理健康教育．由此，某校的一位班主任在其班的課后服務(wù)課中展開羽毛球比賽，采用五局三勝制，經(jīng)過一段時(shí)間緊張激烈的角逐，最終甲、乙兩人進(jìn)行總決賽，在總決賽的比賽中，甲每局獲勝的概率為，且各局比賽之間沒有影響．
(1)求甲獲勝的概率；
(2)比賽結(jié)束時(shí)，甲比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列及其期望．
21．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了提高居民參與健身的積極性，某社區(qū)組織居民進(jìn)行乒乓球比賽，每場(chǎng)比賽采取五局三勝制，先勝3局者為獲勝方，同時(shí)該場(chǎng)比賽結(jié)束，每局比賽沒有平局.在一場(chǎng)比賽中，甲每局獲勝的概率均為p，且前4局甲和對(duì)方各勝2局的概率為.
(1)求p的值；
(2)記該場(chǎng)比賽結(jié)束時(shí)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與期望.
22．（2023·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)?？级＃┰谝粋€(gè)不透明袋子中放入除顏色外完全相同的2個(gè)白色球和2個(gè)黑色球，從中任意取出一個(gè)球，若是黑色球，則用2個(gè)同樣的白色球替換黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，則把該白色球放回袋子中．
(1)求第4次恰好取完兩個(gè)黑色球的概率；
(2)若取到兩個(gè)黑色球或者取球數(shù)達(dá)到5次就停止取球，設(shè)停止取球時(shí)取球次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
1．（2020?浙江）盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2 個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則 ， ．
2．（2023?甲卷）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：．
（1）設(shè)表示指定的兩只小鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）試驗(yàn)結(jié)果如下：
對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?br>3.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
4.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?br>5.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
6.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
3．（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望．
4．（2022?北京）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
（Ⅰ）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
5．（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價(jià)格變化時(shí)，用“”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．
用頻率估計(jì)概率．
（Ⅰ）試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；
（Ⅱ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的，在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
（Ⅲ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）
6．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有，兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．
已知小明能正確回答類問題的概率為0.8，能正確回答類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
（1）若小明先回答類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
7．（2021?北京）在核酸檢測(cè)中，“合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè)，如果這個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束；如果這個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束．
現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確．
（Ⅰ）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè)．
（?。┤绻腥拘鹿诓《镜?人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù)：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為．設(shè)是檢測(cè)的總次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè)．設(shè)是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望與（Ⅰ）中的大?。ńY(jié)論不要求證明）
8．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，，1，2，．
（Ⅰ）已知，，，，求；
（Ⅱ）設(shè)表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，是關(guān)于的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．
9．（2020?北京）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案；方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表：
假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．
（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為．假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為．試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）
10．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為，，，四個(gè)等級(jí)．加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于級(jí)品、級(jí)品、級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元．該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù)．甲分廠加工成本費(fèi)為25元件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元件．廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率；
（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？
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第21天
到第40天
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男生
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支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
等級(jí)
頻數(shù)
40
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20
20
等級(jí)
頻數(shù)
28
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34
21

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