2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第01講 平面向量的概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)表示
目錄
知識(shí)點(diǎn)一．向量的有關(guān)概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作．
（3）特殊向量：
①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．
④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．
知識(shí)點(diǎn)二．向量的線性運(yùn)算和向量共線定理
（1）向量的線性運(yùn)算
【注意】
（1）向量表達(dá)式中的零向量寫(xiě)成，而不能寫(xiě)成0．
（2）兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿(mǎn)足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．
（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，．
知識(shí)點(diǎn)三．平面向量基本定理和性質(zhì)
1、共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個(gè)線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式
如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．
D
A
C
B
4、三點(diǎn)共線定理
平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．
A、B、C三點(diǎn)共線
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；
存在，使得．
5、中線向量定理
如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．
D
A
C
B
知識(shí)點(diǎn)四．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算
（1）平面向量的坐標(biāo)表示．
在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作．
（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有
向量向量點(diǎn)．
（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．
若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．
（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．
知識(shí)點(diǎn)五．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
①已知點(diǎn)，，則，
②已知，，則，，
，．
，
【解題方法總結(jié)】
（1）向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱(chēng)為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．
即．
（2），當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．
（3）特別地：或當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)或者兩向量共線時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．
（4）減法公式：，常用于向量式的化簡(jiǎn)．
（5）、、三點(diǎn)共線，這是直線的向量式方程．
題型一：平面向量的基本概念
例1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．平行向量不一定是共線向量
C．對(duì)于任意向量，必有
D．若滿(mǎn)足且與同向，則
【答案】C
【解析】依題意，
對(duì)于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若同向共線，，
若反向共線，，
若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及
兩邊之和大于第三邊知.
綜上可知對(duì)于任意向量，必有，故正確；
對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.
故選：C.
例2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）給出如下命題：
①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；
②向量與平行，則與的方向相同或相反；
③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；
④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；
⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】對(duì)于①，向量與向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故①正確；
對(duì)于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿(mǎn)足條件，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；
對(duì)于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題是①③．
故選：B．
例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．
C．與的方向相反D．若，則
【答案】B
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由于任意兩個(gè)向量不能比大小，故A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，故B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，與的方向相同，故C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，但、、的方向不確定，故D錯(cuò).
故選：B.
變式1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則不是共線向量
【答案】C
【解析】A. 因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 若，則不一定相等，有可能它們方向不同，但是模相等，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. 若，則，所以該選項(xiàng)正確；
D. 若，則也有可能是共線向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C
變式2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）給出下列四個(gè)命題：
①若，則；
②若，則A，B，C，D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；
③若，則；
④若，，則；
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】①若，只能說(shuō)明模相等，它們方向不一定相同或相反，錯(cuò)；
②若，若且，即A，B，C，D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，若四點(diǎn)共線，不能構(gòu)成平行四邊形，錯(cuò)；
③若，即、分別為相等向量，故，對(duì)；
④若，，當(dāng)為零向量時(shí)不一定成立，錯(cuò).
故選：D
變式3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若，則，，（ ）
A．都是非零向量時(shí)也可能無(wú)法構(gòu)成一個(gè)三角形
B．一定不可能構(gòu)成三角形
C．都是非零向量時(shí)能構(gòu)成三角形
D．一定可構(gòu)成三角形
【答案】A
【解析】ACD選項(xiàng)，若非零向量共線時(shí)，也能滿(mǎn)足，但無(wú)法構(gòu)成一個(gè)三角形，A正確，CD錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，當(dāng)非零向量?jī)蓛刹还簿€時(shí)，可構(gòu)成三角形，B錯(cuò)誤.
故選：A
【解題方法總結(jié)】
準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個(gè)向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，兩個(gè)向量方向相同且長(zhǎng)度相等，就是相等向量．共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無(wú)關(guān)．
題型二：平面向量的線性表示
例4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在上且.記，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：

由，
所以，
又，
，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
，
則，
故選：B.
例5．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知等腰梯形滿(mǎn)足，與交于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
依題意，顯然，故有，
即，，則，故A正確；
又四邊形是等腰梯形，故，即，故B正確；
在中，，故C正確；
又，所以D錯(cuò)誤；
故選：D.
例6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖，
因?yàn)?，所以是線段的四等分點(diǎn)，且,
所以,
故A,B錯(cuò)誤；
由，可得，故C正確，D錯(cuò)誤，
故選:C.
變式4．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
故選：C
變式5．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由D為中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，
可得，
在中，.
故選:D．
變式6．（2023·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，由中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)得：
，
故選：D
變式7．（2023·山東濱州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，點(diǎn)E為的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
.
故選：C.
變式8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【解析】在平行四邊形中，，所以．
故選：B．
變式9．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中點(diǎn)為E，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
（1）兩向量共線問(wèn)題用向量的加法和減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標(biāo)向量即可，而此類(lèi)問(wèn)題又以“爪子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．
（2）進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解．
題型三：向量共線的運(yùn)用
例7．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得出，
由得
，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.
故選：D.
例8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（ ）．
A．B．C．3D．9
【答案】B
【解析】因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以?br>又，，所以，
又三點(diǎn)共線，所以，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故選：B.
例9．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，D是BC邊中點(diǎn)，CP的延長(zhǎng)線與AB交于AN，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
則，
因?yàn)镹，P，C三點(diǎn)共線，
所以，解得，
所以，所以.
故選：B.
變式10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)x＝，y＝，則的值為（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】A
【解析】由題意且，而x＝，y＝，
所以，
又G是△ABC的重心，故，
所以，可得，即.
故選：A
變式11．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在中，為上一點(diǎn)，為線段上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值是（ ）
A．8B．10C．13D．16
【答案】D
【解析】由題意，如下示意圖知：，且，又，
所以，故且，
故，
僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值是16.
故選：D
變式12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】因?yàn)榕c共線，則存在，使得，即，
因?yàn)橄蛄?、不共線，則，整理可得，即，
解得或.
故選：C.
變式13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線上有三點(diǎn)，，，為外一點(diǎn)，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】點(diǎn)、、是直線上不同的三點(diǎn)，
存在非零實(shí)數(shù)，使；
若，
，；
；
數(shù)列是等差數(shù)列，
；
．
故選：A．
變式14．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線．
(1)若，，求證三點(diǎn)共線．
(2)試確定實(shí)數(shù)，使和共線．
【解析】（1）因?yàn)?，，?br>所以

所以，共線，
又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)，
所以三點(diǎn)共線；
（2）因?yàn)楹凸簿€，
所以存在實(shí)數(shù)，使，
所以，
即 .
又，是兩個(gè)不共線的非零向量，
所以
所以，
所以或.
變式15．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，.
(1)用表示；
(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
【解析】（1）在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，
則，
故，
，
，
；
（2）證明：因?yàn)?，?br>所以，
所以，
又因有公共點(diǎn)，
所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
【解題方法總結(jié)】
要證明A，B，C三點(diǎn)共線，只需證明與共線，即證=（）．若已知A，B，C三點(diǎn)共線，則必有與共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得=．
題型四：平面向量基本定理及應(yīng)用
例10．（2023·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【解析】依題意，不共線，
A選項(xiàng)，不存在使，
所以和可以組成基底.
B選項(xiàng)，不存在使，
所以和可以組成基底.
C選項(xiàng)，，
所以和不能構(gòu)成基底.
D選項(xiàng)，不存在使，
所以和可以組成基底.
故選：C
例11．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對(duì)于A，假設(shè)共線，則存在，使得，
因?yàn)椴还簿€，所以沒(méi)有任何一個(gè)能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；
對(duì)于B，假設(shè)共線，則存在，使得，
即無(wú)解，所以沒(méi)有任何一個(gè)能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以?xún)上蛄抗簿€，
不能作為一組基底，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，假設(shè)共線，則存在，
使得，
即無(wú)解，所以沒(méi)有任何一個(gè)能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底，
故選:C.
例12．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，則（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，
三點(diǎn)共線，故可設(shè)，即，
整理得，
因?yàn)椋?，即?br>三點(diǎn)共線，
可得，
所以，解得，
可得，則，.
故選：B
變式16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點(diǎn)Q，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，
因?yàn)镼，M，A三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線可得向量的線性表示中的系數(shù)之和為1，
所以，
化簡(jiǎn)整理得．
故選：C．
變式17．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，
所以 .
即.
故選：C.
變式18．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，.
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，，
又，所以，，所以．
故選：A．
變式19．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱(chēng)蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)，則，，，，，
故，，.
設(shè)，則，
解得，
所以.
故選：B.
變式20．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點(diǎn)，且，，連接，交于P點(diǎn)，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，取為平面的基底，
由，得，
由，得，
由，知，
由，得，
因此，則，解得，
所以.
故選：C
變式21．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在梯形中，，且，則，
因?yàn)樵诰€段上，且，則，
，
所以，.
故選：D.
變式22．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，則①；
，則②；
①②兩式相加，，即，
故選：C.
變式23．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)槠叫兴倪呅沃校c相交于點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，
由，可得為的中點(diǎn)，所以，
可得，
又由，所以，所以.
故選：B．
【解題方法總結(jié)】
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：
（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止．
（2）將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三點(diǎn)共線定理：A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，O為AB外一點(diǎn)．
題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
例13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）為平行四邊形的對(duì)角線，，則____．
【答案】
【解析】

如圖在平行四邊形中，
，
在中，，
所以，
故答案為：.
例14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，，且，則_____.
【答案】
【解析】，
由可知 解得故．
故答案為：
例15．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】由題意得，所以.
設(shè)，則，
所以，解得 ，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
故答案為：
變式24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中與和的夾角分別為和，且，，若，則________．
【答案】8
【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作向量的平行線與它們的延長(zhǎng)線分別交于兩點(diǎn)，
所以四邊形平行四邊形，則，
因?yàn)橄蛄颗c和的夾角分別為和，
即,則,
在直角中，，，所以，
在直角中，，，所以，
又由，可得，
又因?yàn)椋裕?br>所以．
故答案為：8．
變式25．（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______．
【答案】±1
【解析】由題意，得，所以，解得．
故答案為：±1.
變式26．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知向量．若實(shí)數(shù)k與向量滿(mǎn)足，則可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
因?yàn)橄蛄浚?br>所以，
又，
所以，
時(shí)不成立，所以，
所以，
選項(xiàng)A，不滿(mǎn)足，
選項(xiàng)B，不滿(mǎn)足，
選項(xiàng)C，不滿(mǎn)足，
選項(xiàng)D，滿(mǎn)足，
故選：D.
變式27．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】在正六邊形ABCDEF中，以A為原點(diǎn)，
分別以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
不妨令，則，
,
由，可得，解之得
故選：B
變式28．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（ ）

A．B．2C．3D．6
【答案】A
【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，過(guò)點(diǎn)A作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則,
故,
則由可得，
即，
故，
故選：A
變式29．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【解析】由得，即，，
，
，
，
與同向的單位向量為，反向的單位向量為．
故選：C．
【解題方法總結(jié)】
（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．
（2）解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）來(lái)進(jìn)行求解．
題型六：向量共線的坐標(biāo)表示
例16．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，
則，，
即，
則，解得.
故選：C
例17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且三點(diǎn)共線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得,
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得.
所以.
故選：A.
例18．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的的坐標(biāo)為_(kāi)_____.
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)，
因?yàn)橄蛄浚遗c的夾角為鈍角，
所以，所以，
不妨令，則，故，
故答案為：（答案不唯一）.
變式30．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，向量，，若，則實(shí)數(shù)______.
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知，不共線
若，則，使得，即
則可得，解得
故答案為：．
變式31．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，若，則實(shí)數(shù)______.
【答案】
【解析】因?yàn)橄蛄壳遥?br>所以,解得，
故答案為：
變式32．（2023·上海普陀·上海市宜川中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，若與互相平行，則實(shí)數(shù)的值是__________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，解得，
故答案為：．
變式33．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知向量．若與共線，則實(shí)數(shù)__________．
【答案】
【解析】由題意知向量，
故，
由于與共線，故，
故答案為：
變式34．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，若與平行，則實(shí)數(shù)______________．
【答案】/
【解析】因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)榕c平行，所以，得.
故答案為：.
變式35．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn) ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
【答案】(3,3)
【解析】法一:由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè),
則,
又，
由共線，得，
解得 ，所以,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3),
故答案為：
法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則 ，因?yàn)椋?與共線，
所以 ，即x=y.
又 ， ，且共線，
所以 ，解得x=y=3，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)，
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若，，則的充要條件是；②若，則．
（2）向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解．
1．（2023?北京）已知向量，滿(mǎn)足，，則
A．B．C．0D．1
【答案】
【解析】，，
，，
．
故選：．
2．（2022?全國(guó)）已知向量，．若，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，．
，
，．
故選：．
3．（2022?新高考Ⅰ）在中，點(diǎn)在邊上，．記，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如圖，
，
，即．
故選：．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．
（2）掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．
（3）了解平面向量基本定理及其意義
（4）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算
2023年北京卷第3題，5分
2022年I卷第3題，5分
2021年乙卷（文）第13題，5分
2022年乙卷（文）第3題，5分
通過(guò)對(duì)近5年高考試題分析可知，高考在本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算，預(yù)計(jì)后面幾年的高考也不會(huì)有大的變化．
運(yùn)算
定義
法則（或幾何意義）
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
三角形法則平行四邊形法則
①交換律
②結(jié)合律
減法
求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差
三角形法則
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算
（1）
（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；
當(dāng)時(shí)，

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