2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（測試）
時間：120分鐘 分值：150分
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．從正整數(shù)1，2，……10中任意取出兩個不同的數(shù)，則取出的兩個數(shù)的和等于某個正整數(shù)的平方的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】從1，2，……10中任意取出兩個不同的數(shù)，共有種選擇，
其中滿足取出的兩個數(shù)的和等于某個正整數(shù)的平方，
故取出的兩個數(shù)的和等于某個正整數(shù)的平方的概率為.
故選：C
2．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一個大于的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)的和”，如.在不超過的素數(shù)中，隨機選取個不同的數(shù)，其和等于的概率是(注：若一個大于的整數(shù)除了和它本身外無其他因數(shù)，則稱這個整數(shù)為素數(shù))（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不超過的素數(shù)有：，，，，，，，，，，，，共個，
從中隨機選取個不同的數(shù)，共有個基本事件；
其中兩個素數(shù)和為的情況有，，，共個基本事件；
所求概率.
故選：C.
3．在概率論和統(tǒng)計學(xué)中用協(xié)方差來衡量兩個變量的總體誤差，對于離散型隨機變量，，定義協(xié)方差為，已知，的分布列如下表所示，其中，則的值為（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】A
【解析】的分布列為
，
，，
.
故選：A.
4．已知A，B，C為三個隨機事件且，，>0，則A，B，C相互獨立是A，B，C兩兩獨立的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】A，B，C相互獨立,則滿足，
且，，；
A，B，C兩兩獨立則滿足，，；
故而A，B，C相互獨立則有A，B，C兩兩獨立，但是A，B，C兩兩獨立不能得出A，B，C相互獨立，故A正確．
故選：A
5．現(xiàn)有甲乙兩個箱子，分別裝有除顏色外其它都相同的黑色和白色兩種球，甲箱裝有2個白球3個黑球，乙箱有3個白球2個黑球，先從甲箱隨機取一個球放入乙箱，再從乙箱隨機取一個球是白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)“從乙箱中取出白球”，“從甲箱中取出白球”，
則，，，，
故由全概率公式得．
故選：C．
6．下列說法中正確的是（ ）
①設(shè)隨機變量服從二項分布，則
②已知隨機變量服從正態(tài)分布且，則
③2023年7月28日第31屆成都大學(xué)生運動會在成都隆重開幕，將5名大運會志愿者分配到游泳、乒乓球、籃球和排球4個項目進行志愿者服務(wù)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有180種；
④，.
A．②③B．②③④C．①②④D．①②
【答案】C
【解析】對于①，隨機變量服從二項分布，，①正確；
對于②，隨機變量服從正態(tài)分布且，則，
，②正確；
對于③，依題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，
將5名志愿者按分成4組，有種分法，將分得的4組安排到4個項目，有種方法，
所以不同的分配方案共有.③錯誤
對于④，，，④正確，
所以說法正確的有①②④.
故選：C
7．一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為，設(shè)X為取出白球的個數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】由題可知，，解得，
X的可能取值為，
，，，，
∴.
故選：A
8．在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）下列說法錯誤的是（ ）
A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為
D．當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【答案】C
【解析】對于A，由題意可知：信號的傳輸相互獨立，輸入收到的概率為，輸入收到的概率為，
所以采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為，故A正確；
對于B，由題意可知：信號的傳輸相互獨立，輸入收到的概率為，輸入收到的概率為，
所以采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為，故B正確；
對于C，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，譯碼為1的情況分別為“”、“”、“”、“”，
因為信號的傳輸相互獨立，輸入收到的概率為，輸入收到的概率為，
所以采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為，故C錯誤；
對于D，若發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的情況有“”、“”、“”、“”，
所以其概率為；
若發(fā)送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率為，
由，且，
則，故D正確；
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．給定事件，且，則下列選項正確的是（ ）
A．若，則A，B互為對立事件
B．若，且A，B互斥，則A，B不可能相互獨立
C．
D．若A，B為相互獨立事件且，則
【答案】BCD
【解析】對A，由表明在事件發(fā)生的前提下，
事件或事件發(fā)生的概率為1，并不能得出A，B互為對立事件，A錯誤；
對B，若，且A，B互斥，
則,所以A，B不可能相互獨立，B正確；
對C，當互斥時，；
當不互斥時，，C正確；
對D，若A，B為相互獨立事件，
則，
,D正確.
故選:BCD.
10．甲盒中有3個白球，2個黑球，乙盒中有2個白球，3個黑球，則下列說法中正確的是（ ）
A．若從甲盒中一次性取出2個球，記表示取出白球的個數(shù)，則
B．若從甲盒和乙盒中各取1個球，則恰好取出1個白球的概率為
C．若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個球，每次抽取后都放回，則恰好得到2個白球的概率為
D．若從甲盒中取出1球放入乙盒中，再從乙盒中取出1球，記：從乙盒中取出的1球為白球，則
【答案】BCD
【解析】A選項，由題意得，故錯誤；
B選項，由題意得取出1個白球的概率為，故正確；
C選項，若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個球，每次抽取后都放回，設(shè)抽到白球個數(shù)為，則，
則恰好得到2個白球的概率為，故正確；
D選項，從甲盒中取出白球放入乙盒中，從乙盒中取出的1球為白球，此時概率為，
從甲盒中取出黑球放入乙盒中，從乙盒中取出的1球為白球，此時概率為，
故，故正確.
故選：BCD
11．若隨機變量，則（ ）
A．的密度曲線與軸只有一個交點B．的密度曲線關(guān)于對稱
C．D．若，則，
【答案】ACD
【解析】若，則其密度函數(shù)，因此的密度曲線與軸只有一個交點，故A正確；
的密度曲線關(guān)于直線對稱，故B錯誤；
，故C正確；
，，故D正確.
故選：ACD.
12．學(xué)校食堂每天中午都會提供A，B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為；前一天選擇B套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率也是，如此反復(fù).記某同學(xué)第天選擇套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.一個月（30天）后，記甲?乙?丙三位同學(xué)選擇套餐的人數(shù)為，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．數(shù)列是等比數(shù)列
C．D．
【答案】ABD
【解析】由于每人每次只能選擇A，B兩種套餐中的一種，所以，所以正確，
依題意，，則，
又時，，
所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
所以，
當時，，所以，
所以ABD正確，C錯誤，
故選：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．6名同學(xué)相約在周末參加創(chuàng)建全國文明城市志愿活動，現(xiàn)有交通值守、文明勸導(dǎo)、文藝宣講三種崗位需要志愿者，其中，交通值守、文明勸導(dǎo)崗位各需2人，文藝宣講崗位需1人．已知這6名同學(xué)中有4名男生，2名女生，現(xiàn)要從這6名同學(xué)中選出5人上崗，剩下1人留守值班．若兩名女生都已經(jīng)到崗，則她們不在同一崗位的概率為 .
【答案】/0.8
【解析】法一：設(shè)“兩名女生都到崗”為事件A，“兩名女生不在同一崗位”為事件B，
則，，
∴．
法二：．
故答案為：
14．若隨機變量，若，則 ．
【答案】/
【解析】由題意知隨機變量，，
所以，即，
即，
而，則，
故答案為：
15．甲、乙兩位同學(xué)進行象棋比賽，采用五局三勝制（當一人贏得三局時，該同學(xué)獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)以往比賽成績，每局比賽中甲獲勝的概率都是，且各局比賽結(jié)果相互獨立.若甲以獲勝的概率不高于甲以獲勝的概率，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】題意可知，甲以獲勝的概率為，
甲以獲勝的概率為，
因為，
所以，
解得，
故的取值范圍為.
故答案為：
16．某人投籃命中的概率為0.3，投籃15次，最有可能命中 次．
【答案】4
【解析】投籃命中次數(shù)，
設(shè)最有可能命中次，則
，，．
最有可能命中4次．
故答案為：4.
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
17．（10分）
習(xí)近平總書記指出：“要健全社會心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機制、危機干預(yù)機制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某心理調(diào)查機構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機抽取位市民進行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個等級：
并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在的市民為人.

(1)求的值及頻率分布直方圖中的值；
(2)在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取人，進行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為 “良好”的概率為，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?
【解析】（1）由已知條件可得，每組的縱坐標的和乘以組距為1，
所以，解得.
（2）由（1）知，
所以調(diào)查評分在的人數(shù)占調(diào)查評分在人數(shù)的，
若按分層抽樣抽取人，
則調(diào)查評分在有人，有人，
因為經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨立，
所以選出的人經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，
心理等級均達不到良好的概率為，
所以經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為良好的概率為.
18．（12分）
隨著《2023年中國詩詞大會》在央視持續(xù)熱播，它將經(jīng)典古詩詞與新時代精神相結(jié)合，使古詩詞綻放出新時代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學(xué)習(xí)古詩詞的熱情，掀起了學(xué)習(xí)古詩詞的熱潮.某省某校為了了解高二年級全部1000名學(xué)生學(xué)習(xí)古詩詞的情況，舉行了“古詩詞”測試，現(xiàn)隨機抽取100名學(xué)生，對其測試成績（滿分：100分）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生測試成績的平均數(shù)（單位：分）；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）
(2)若該校高二學(xué)生“古詩詞”的測試成績X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定“古詩詞”的測試成績不低于87分的為“優(yōu)秀”，據(jù)此估計該校高二年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；（取整數(shù)）
(3)現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國詩詞大會”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場校內(nèi)“詩詞大會”.該“詩詞大會”共有三個環(huán)節(jié)，依次為“詩詞對抗賽”“畫中有詩”“飛花令車輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個環(huán)節(jié)均參與，在前兩個環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學(xué)生甲在三個環(huán)節(jié)中獲勝的概率依次為，，，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨立的.記學(xué)生甲在這次“詩詞大會”中的累計得分為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期.
（參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
【解析】（1）由頻率分布直方圖估計平均數(shù)為：
（分）
（2）由題意可得測試成績X近似服從正態(tài)分布
所以，則
所以人
故該校高二年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)約為人；
（3）隨機變量的所有可能取值為：
，
，
，
所以的分布列如下：
數(shù)學(xué)期望.
19．（12分）
現(xiàn)有甲、乙、丙三個人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進行第二次傳球，隨機地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，
(1)試證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．
【解析】（1）由題意：第一次傳球后，球落在乙或丙手中，則，
時，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，
于是有 ，即 ，
故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列;
（2）由（1）可知 ，所以 ，
當時， ，所以當傳球次數(shù)足夠多時，球落在甲手上的概率趨向于一個常數(shù).
20．（12分）
甲、乙兩位同學(xué)決定進行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨立，經(jīng)商定共設(shè)定5個投籃點，每個投籃點投球一次，確立的比賽規(guī)則如下：甲分別在5個投籃點投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點順序依次投球，如投中可繼續(xù)進行下一次投籃，如沒有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計得分高低確定勝負．
(1)若乙得6分的概率，求；
(2)由（1）問中求得的值，判斷甲、乙兩位選手誰獲勝的可能性大？
【解析】（1）若乙得6分，則需乙前3個投籃投中，第4個投籃未中，
其概率為，又，
故，解得；
（2）設(shè)為甲累計獲得的分數(shù)，則，所以，
設(shè)為乙累計獲得的分數(shù)，則的可能取值為0，2，4，6，8，10，
，，
，，
，，
所以的分布列為：
所以，
因為，所以甲獲勝的可能性大
21．（12分）
(1)對于任意兩個事件，若，，證明：；
(2)貝葉斯公式是由英國數(shù)學(xué)家貝葉斯發(fā)現(xiàn)的，它用來描述兩個條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)，，…，是一組兩兩互斥的事件，，且，，2，…，，則對任意的事件，，有，，2，…，.
（i）已知某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為1%，先用低劑量進行肺癌篩查，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗結(jié)果是存在錯誤的.已知患有肺癌的人其化驗結(jié)果99%呈陽性（有?。?，而沒有患肺癌的人其化驗結(jié)果99%呈陰性（無?。?，現(xiàn)某煙民的檢驗結(jié)果為陽性，請問他真的患肺癌的概率是多少？
（ii）為了確保診斷無誤，一般對第一次檢查呈陽性的煙民進行復(fù)診.復(fù)診時，此人患肺癌的概率就不再是1%，這是因為第一次檢查呈陽性，所以對其患肺癌的概率進行修正，因此將用貝葉斯公式求出來的概率作為修正概率，請問如果該煙民第二次檢查還是呈陽性，則他真的患肺癌的概率是多少？
【解析】(1)因為，，所以
(2) （i）記檢查結(jié)果呈陽性為事件A，被檢查者患有肺癌為事件B，
由題意可得：，，由貝葉斯公式得
，
因此某煙民的檢查結(jié)果為陽性，他真的患有肺癌的概率是.
（ii）同（i），.
22．（12分）
某闖關(guān)游戲由兩道關(guān)卡組成，現(xiàn)有名選手依次闖關(guān)，每位選手成功闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率均為，兩道關(guān)卡能否過關(guān)相互獨立，每位選手的闖關(guān)過程相互獨立，具體規(guī)則如下：
①每位選手先闖第一關(guān)，第一關(guān)闖關(guān)成功才有機會闖第二關(guān).
②闖關(guān)選手依次挑戰(zhàn).第一位闖關(guān)選手開始第一輪挑戰(zhàn).若第位選手在10分鐘內(nèi)未闖過第一關(guān)，則認為第輪闖關(guān)失敗，由第位選手繼續(xù)挑戰(zhàn).
③若第位選手在10分鐘內(nèi)闖過第一關(guān)，則該選手可繼續(xù)闖第二關(guān).若該選手在10分鐘內(nèi)未闖過第二關(guān)，則也認為第輪闖關(guān)失敗，由第位選手繼續(xù)挑戰(zhàn).
④闖關(guān)進行到第輪，則不管第位選手闖過第幾關(guān)，下一輪都不再安排選手闖關(guān).令隨機變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束闖關(guān).
(1)求隨機變量的分布列；
(2)若把闖關(guān)規(guī)則①去掉，換成規(guī)則⑤：闖關(guān)的選手先闖第一關(guān)，若有選手在10分鐘內(nèi)闖過第一關(guān)，以后闖關(guān)的選手不再闖第一關(guān)，直接從第二關(guān)開始闖關(guān).令隨機變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束闖關(guān).
（i）求隨機變量的分布列
（ii）證明.
【解析】（1）由題意，每位選手成功闖過兩關(guān)的概率為，易知取1,2,3,4，則，，，，
因此的分布列為
（2）（i）時，第人必答對第二題，
若前面人都沒有一人答對第一題，其概率為，
若前面人有一人答對第一題，其概率為，
故.
當時，
若前面人都沒有一人答對第一題，其概率為，
若前面人有一人答對第一題，其概率為，
故.
的分布列為：
（ii）由（i）知.
，
故，
又，
故，
所以，①
，②
②－①，
故.
1
2
1
2
1
2
4
調(diào)查評分
心理等級
有隱患
一般
良好
優(yōu)秀
0
1
2
3
4
1
2
3
…
…

相關(guān)試卷

第08講 兩點分布、二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)（新教材新高考）：

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第08講 兩點分布、二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布（十一大題型）（講義）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)（新教材新高考）：

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第10章 §10.8　二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布：

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