知識(shí)講解
1．離散型隨機(jī)變量定義
隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．
2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)
(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表
稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．
(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．離散型隨機(jī)變量均值
(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.
4．離散型隨機(jī)變量方差
(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根eq \r(D?X?)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．
考點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量分布列
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，甲組研究新產(chǎn)品成功的概率為，乙組研究新產(chǎn)品成功的概率為，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．
(1)求恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；
(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤(rùn)120萬(wàn)元，不成功則會(huì)虧損50萬(wàn)元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功，企業(yè)可獲得利潤(rùn)100萬(wàn)元，不成功則會(huì)虧損40萬(wàn)元，求該企業(yè)獲利萬(wàn)元的分布列．
2．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級(jí)之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個(gè)年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個(gè)年級(jí)各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場(chǎng)的對(duì)陣同學(xué)），比賽時(shí)一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場(chǎng)就算勝利（即每?jī)蓚€(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿5場(chǎng)），若兩個(gè)年級(jí)之間打成則第5場(chǎng)比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，且隊(duì)員、年級(jí)之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．
(1)求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率．
(2)若獲勝年級(jí)積3分，被打敗年級(jí)積0分，求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望．
1．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應(yīng)屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績(jī)通過(guò)了某重點(diǎn)大學(xué)的初試，即將參加該重點(diǎn)大學(xué)組織的復(fù)試．已知甲，乙，丙三名同學(xué)通過(guò)復(fù)試的概率分別為，，p，復(fù)試是否通過(guò)互不影響，且甲，乙，丙三名同學(xué)都沒(méi)有通過(guò)復(fù)試的概率為．
(1)求p的值；
(2)設(shè)甲，乙，丙三名同學(xué)中通過(guò)復(fù)試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．
2．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn)．
(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽選到的概率；
(2)求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；
考點(diǎn)二、離散型隨機(jī)變量的均值
1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).
（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
4．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在核酸檢測(cè)中, “k合1” 混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.
現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.
（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的
分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)
5．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用 n表示) ．
6．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲乙兩家公司要進(jìn)行公開(kāi)招聘，招聘分為筆試和面試，通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若小明報(bào)考甲公司，每門(mén)科目通過(guò)的概率均為；報(bào)考乙公司，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為，，其中．
(1)若，分別求出小明報(bào)考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率；
(2)招聘規(guī)則要求每人只能報(bào)考一家公司，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)小明更希望通過(guò)乙公司的筆試時(shí)，求的取值范圍．
7．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，學(xué)校號(hào)召師生利用周末從事創(chuàng)城志愿活動(dòng)．高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng)，志愿活動(dòng)共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宣傳員、文明監(jiān)督員三項(xiàng)可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為；每名男生至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為．每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得綜合評(píng)價(jià)10分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不影響，求
(1)在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生的概率；
(2)記隨機(jī)選取的兩人得分之和為X，求X的期望．
8．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于今年在我國(guó)成都舉行．某體校田徑隊(duì)正在積極備戰(zhàn)，考核設(shè)有100米、400米和1500米三個(gè)項(xiàng)目，需要選手依次完成考核，成績(jī)合格后的積分分別記為，和，總成績(jī)?yōu)槔塾?jì)積分和．考核規(guī)定：項(xiàng)目考核逐級(jí)進(jìn)階，即選手只有在低一級(jí)里程項(xiàng)目考核合格后，才能進(jìn)行下一級(jí)較高里程項(xiàng)目的考核，否則考核終止．對(duì)于100米和400米項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目選手必須考核2次，且全部達(dá)標(biāo)才算合格；對(duì)于1500米項(xiàng)目，選手必須考核3次，但只要達(dá)標(biāo)2次及以上就算合格．已知選手甲三個(gè)項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)率依次為，，，選手乙三個(gè)項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)率依次為，，，每次考核是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立．
(1)用表示選手甲考核積分的總成績(jī)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)證明：無(wú)論，和取何值，選手甲考核積分總成績(jī)的數(shù)學(xué)期望值都大于選手乙考核積分總成績(jī)的數(shù)學(xué)期望值．
1．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙足球愛(ài)好者為了提高球技，兩人輪流進(jìn)行點(diǎn)球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲、乙每次踢球命中的概率均為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．
(1)經(jīng)過(guò)1輪踢球，記甲的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)求經(jīng)過(guò)3輪踢球累計(jì)得分后，甲得分高于乙得分的概率．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）手工刺繡是中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和線把人的設(shè)計(jì)和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)記為工序A，工序，工序.經(jīng)過(guò)試驗(yàn)測(cè)得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過(guò)三道工序最終的獎(jiǎng)勵(lì)金額是200元，為了更好地激勵(lì)參與者的興趣，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在著手前付費(fèi)聘請(qǐng)技術(shù)員，若某一道工序沒(méi)有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請(qǐng)一位技術(shù)員需另付費(fèi)100元，制作完成后沒(méi)有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘請(qǐng)費(fèi)用.
(1)若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.
3．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．
(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說(shuō)明理由．
4．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？既＃┘住⒁覂蛇x手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.
(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即.
(i)求的取值范圍；
(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說(shuō)明該結(jié)論的實(shí)際含義.
5．（2023·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)?？级＃┰谝粋€(gè)不透明袋子中放入除顏色外完全相同的2個(gè)白色球和2個(gè)黑色球，從中任意取出一個(gè)球，若是黑色球，則用2個(gè)同樣的白色球替換黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，則把該白色球放回袋子中．
(1)求第4次恰好取完兩個(gè)黑色球的概率；
(2)若取到兩個(gè)黑色球或者取球數(shù)達(dá)到5次就停止取球，設(shè)停止取球時(shí)取球次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、B進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由A部、B部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．
(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求，并求當(dāng)取最大值時(shí)p的值；
(2)當(dāng)時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知測(cè)試過(guò)程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為；第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為.
(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；
(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；
(3)若第n題只選擇B、C兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)Y表示第n題得分，求證：.
考點(diǎn)三、離散型隨機(jī)變量的方差
1．（2023·江西吉安·泰和縣第二中學(xué)?？家荒＃┐杏?個(gè)白球，3個(gè)紅球，5個(gè)黃球，這10個(gè)小球除顏色外完全相同.
(1)從袋中任取3個(gè)球，求恰好取到2個(gè)黃球的概率；
(2)從袋中任取2個(gè)球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布列、期望和方差.
2．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測(cè)）甲?乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，計(jì)分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得-1分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.7，乙贏機(jī)器人的概率為0.6.求：
(1)在一輪比賽中，甲的得分ξ的分布列；
(2)在兩輪比賽中，甲的得分的期望和方差.
3．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）某公司計(jì)劃在2023年年初將200萬(wàn)元用于投資，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇.項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為.
(1)針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由；
(2)若市場(chǎng)預(yù)期不變，該投資公司按照（1）中選擇的項(xiàng)目長(zhǎng)期投資（每一年的利潤(rùn)和本金繼續(xù)用作投資），問(wèn)大約在哪一年的年底總資產(chǎn)（利潤(rùn)+本金）可以翻兩番？（參考數(shù)據(jù)）
4．（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市第一中學(xué)?？级＃┠掣咝！爸参餇I(yíng)養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.
(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；
(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）某小組共人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為的人數(shù)分別為.現(xiàn)從這人中隨機(jī)選出人作為該組代表參加座談會(huì)．
(1)設(shè)為事件“選出的人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為”，求事件發(fā)生的概率；
(2)設(shè)X為選出的人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．
2．（2023秋·福建寧德·高三福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.
(3)設(shè)用表示甲學(xué)校的總得分，比較和的大小（直接寫(xiě)出結(jié)果）.
3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）某公司為活躍氣氛提升士氣，年終擬通過(guò)抓鬮兌獎(jiǎng)的方式對(duì)所有員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的鬮的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)鬮，鬮上所標(biāo)的面值之和為該員工獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金額.
(1)若袋中所裝的4個(gè)鬮中有1個(gè)所標(biāo)的面值為800元，其余3個(gè)均為200元，求
①員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為1000元的概率；
②員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)額的預(yù)算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)鬮只能由標(biāo)有面值200元和800元的兩種鬮或標(biāo)有面值400元和600元的兩種鬮組成.為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)鬮的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由.
4．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)．
(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】
一、解答題
1．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考一模）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知“星隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中猜對(duì)1個(gè)成語(yǔ)的概率為．
(1)求的值；
(2)記“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)成語(yǔ)的總數(shù)為，求的分布列與期望．
2．（2023·四川南充·閬中中學(xué)?？级＃┲袊?guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日至22日在北京人民大會(huì)堂順利召開(kāi)．某部門(mén)組織相關(guān)單位采取多種形式學(xué)習(xí)宣傳和貫徹黨的二十大精神．其中“學(xué)習(xí)二十大”進(jìn)行競(jìng)賽．甲、乙兩單位在聯(lián)合開(kāi)展主題學(xué)習(xí)及知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中通過(guò)此欄目進(jìn)行比賽，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個(gè)單位派出一人代表其所在單位答題，兩單位都全部答對(duì)或者都沒(méi)有全部答對(duì)則均記0分；一單位全部答對(duì)而另一單位沒(méi)有全部答對(duì)，則全部答對(duì)的單位記1分，沒(méi)有全部答對(duì)的單位記－1分，設(shè)每輪比賽中甲單位全部答對(duì)的概率為，乙單位全部答對(duì)的概率為，甲、乙兩單位答題相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響．
(1)經(jīng)過(guò)1輪比賽，設(shè)甲單位的記分為X，求X的分布列和期望；
(2)若比賽采取3輪制，試計(jì)算第3輪比賽后甲單位累計(jì)得分低于乙單位累計(jì)得分的概率．
3．（2023·上海楊浦·同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模）某學(xué)校最近考試頻繁，為了減輕同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力，班上決定進(jìn)行一次減壓游戲.班主任把8個(gè)小球(只是顏色不同)放入一個(gè)袋子里，其中白色球與黃色球各3個(gè)，紅色球與綠色球各1個(gè).現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球得分比賽，摸到白球每個(gè)記1分，黃球每個(gè)記2分，紅球每個(gè)記3分，綠球每個(gè)記4分，規(guī)定摸球人得分不低于8分為獲勝，否則為負(fù). 并規(guī)定如下：
①一個(gè)人摸球，另一人不摸球；
②摸球的人摸出的球后不放回；
③摸球的人先從袋子中摸出1球；若摸出的是綠色球，則再?gòu)拇永锩?個(gè)球；若摸出的不是綠色球，則再?gòu)拇永锩?個(gè)球，摸球人的得分為兩次摸出的球的記分之和 .
(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了綠色球，求該局甲獲勝的概率；
(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了紅色球，求該局乙得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
4．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校組織“消防”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類題目．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類題目中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一道題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得40分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得60分，否則得0分已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.7，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.5，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)
(1)若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；
(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．
5．（2023·山東煙臺(tái)·校聯(lián)考三模）某校開(kāi)展“學(xué)習(xí)二十大，永遠(yuǎn)跟黨走”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽.每人可參加多輪答題活動(dòng)，每輪答題情況互不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對(duì)，方可進(jìn)行第二組答題，否則本輪答題結(jié)束.已知甲同學(xué)第一組每道題答對(duì)的概率均為，第二組每道題答對(duì)的概率均為，兩組題至少答對(duì)3題才可獲得一枚紀(jì)念章.
(1)記甲同學(xué)在一輪比賽答對(duì)的題目數(shù)為，請(qǐng)寫(xiě)出的分布列，并求；
(2)若甲同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問(wèn)獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.
6．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某公司為了讓職工業(yè)余時(shí)間加強(qiáng)體育鍛煉，修建了一個(gè)運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部，公司隨機(jī)抽查了200名職工在修建運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部前后每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，得到以下頻數(shù)分布表：
表一（運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部修建前）
表二（運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部修建后）
(1)分別求出修建運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部前和修建運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部后職工每天運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間（同一時(shí)間段的數(shù)據(jù)取該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）﹔
(2)運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部?jī)?nèi)有一套與室溫調(diào)節(jié)有關(guān)的設(shè)備，內(nèi)有2個(gè)完全一樣的用電器A，只有這2個(gè)用電器A都正常工作時(shí)，整套設(shè)備才正常工作，且2個(gè)用電器A是否正常工作互不影響.用電器A有M，N兩種品牌，M品牌的銷售單價(jià)為1000元，正常工作壽命為11個(gè)月或12個(gè)月（概率均為）；N品牌的銷售單價(jià)為400元，正常工作壽命為5個(gè)月或6個(gè)月（概率均為）.現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案：
方案1：購(gòu)置2個(gè)M品牌用電器﹔
方案2：購(gòu)置1個(gè)M品牌用電器和2個(gè)N品牌用電器（其中1個(gè)N品牌用電器不能正常工作時(shí)則使用另一個(gè)N品牌用電器）.
試求兩種方案各自設(shè)備性價(jià)比（設(shè)備正常運(yùn)行時(shí)間與購(gòu)置用電器A的成本比）的分布列，并從性價(jià)比的數(shù)學(xué)期望角度考慮，選擇哪種方案更實(shí)惠?
7．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育最重要的階段，長(zhǎng)時(shí)間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩班學(xué)生每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到他們最近一周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)的樣本數(shù)據(jù)：
甲班 8 13 28 32 39
乙班 12 25 26 28 31
如果學(xué)生平均每周自我慗夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)超過(guò)26小時(shí)，則稱為“過(guò)度熬夜”．
(1)請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)甲、乙兩班的學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均值；
(2)從甲班、乙班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù)，記“過(guò)度熬夜”的學(xué)生總數(shù)為，寫(xiě)出的分布列和數(shù)學(xué)期望．
8．（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測(cè)）某超市每天以4元/千克購(gòu)進(jìn)某種有機(jī)蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6點(diǎn)以前所購(gòu)進(jìn)的有機(jī)蔬菜沒(méi)有全部銷售完，則對(duì)未售出的有機(jī)蔬菜降價(jià)處理，以2元/千克出售，并且降價(jià)后能夠把剩余所有的有機(jī)蔬菜全部處理完畢，且當(dāng)天不再進(jìn)貨．該超市整理了過(guò)去兩個(gè)月（按60天計(jì)算）每天下午6點(diǎn)前這種有機(jī)蔬菜的日銷售量（單位：千克），得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．（注：視頻率為概率，）
(1)求1天下午6點(diǎn)前的銷售量不少于350千克的概率；
(2)在接下來(lái)的2天中，設(shè)為下午6點(diǎn)前的銷售量不少于350千克的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
9．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，加強(qiáng)自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造?智能制造，把我國(guó)制造業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)搞上去，推動(dòng)我國(guó)經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強(qiáng)，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一些中小型工廠的規(guī)模不大，在選擇管理軟件時(shí)都要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).某一小型工廠自己沒(méi)有管理軟件的高級(jí)技術(shù)員，欲購(gòu)買管理軟件服務(wù)公司的管理軟件，并讓其提供服務(wù)，某一管理軟件服務(wù)公司有如下兩種收費(fèi)方案.
方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，對(duì)于提供的軟件服務(wù)，每次另外收費(fèi)200元；
方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務(wù)不超過(guò)15次，不另外收費(fèi)，若超過(guò)15次，超過(guò)部分的軟件服務(wù)每次另外收費(fèi)500元.
（1）設(shè)管理軟件服務(wù)公司月收費(fèi)為y元，每月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)為x，試寫(xiě)出兩種方案中y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該工廠對(duì)該管理軟件服務(wù)公司為另一個(gè)工廠過(guò)去20個(gè)月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從服務(wù)次數(shù)為13次和14次的月份中任選3個(gè)月求這3個(gè)月，恰好是1個(gè)13次服務(wù)?2個(gè)14次服務(wù)的概率；
（3）依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，把頻率視為概率從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇哪種方案更合適，請(qǐng)說(shuō)明理由.
10．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）某獵人發(fā)現(xiàn)在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準(zhǔn)備多次射擊.假設(shè)每次射擊結(jié)果之間相互獨(dú)立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.
(1)如果獵人第一次射擊沒(méi)有擊中藥物，則獵人經(jīng)過(guò)調(diào)整后進(jìn)行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時(shí)獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒(méi)有擊中獵物，則第三次射擊時(shí)獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進(jìn)行下去，每次射擊如果沒(méi)有擊中，則下一次射擊時(shí)獵物和他之間的距離都會(huì)增加50米，當(dāng)獵人擊中獵物或發(fā)現(xiàn)某次射擊擊中的概率小于時(shí)就停止射擊，求獵人停止射擊時(shí)射擊次數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.
(2)如果獵人直接連續(xù)射擊，由于射擊速度很快，可以認(rèn)為在射擊期間獵物和獵人之間的距離保持不變，如果希望至少擊中獵物一次的概率超過(guò)98%，至少要連續(xù)射擊多少次?
附:.
【能力提升】
一、解答題
1．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）5月25日是全國(guó)大、中學(xué)生心理健康日，“5.25”的諧音即為“我愛(ài)我”，意在提醒孩子們“珍惜生命、關(guān)愛(ài)自己”.學(xué)校將舉行心理健康知識(shí)競(jìng)賽.第一輪選拔共設(shè)有A，B，C三個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題A，B，C分別加2分，4分，5分，答錯(cuò)任一題減2分；②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完三題，若累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局，若累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；③每位參加者按問(wèn)題A，B，C順序作答，直至答題結(jié)束.假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題A，B，C回答正確的概率依次為，，，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.
(1)求在甲同學(xué)進(jìn)入下一輪的條件下，答了兩題的概率；
(2)用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答對(duì)的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┕信e行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽和決賽兩階段進(jìn)行.初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)學(xué)年派出兩名同學(xué)，且每名同學(xué)都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過(guò)的同學(xué)才具備參與決賽的資格.高三學(xué)年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過(guò)第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過(guò)第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學(xué)所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.
(1)若高三學(xué)年獲得決賽資格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問(wèn)題放入兩個(gè)紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學(xué)在兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.甲先從箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.
3．（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┯捎赬病毒正在傳染蔓延，對(duì)人的身體健康造成危害，某校擬對(duì)學(xué)生被感染病毒的情況進(jìn)行摸底調(diào)查，首先從兩個(gè)班共100名學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，并對(duì)這20人進(jìn)行逐個(gè)抽血化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果如下：.已知指數(shù)不超過(guò)8表示血液中不含病毒；指數(shù)超過(guò)8表示血液中含病毒且該生已感染病毒.
(1)從已獲取的20份血樣中任取2份血樣混合，求該混合血樣含病毒的概率；
(2)已知該校共有1020人，現(xiàn)在學(xué)校想從還未抽血化驗(yàn)的1000人中，把已感染病毒的學(xué)生全找出.
方案A：逐個(gè)抽血化驗(yàn)；
方案B：按40人分組，并把同組的40人血樣分成兩份，把其中的一份血樣混合一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)混合血液含病毒，再分別對(duì)該組的40人的另一份血樣逐份化驗(yàn)；
方案C：將方案中的40人一組改為4人一組，其他步驟與方案相同.
如果用樣本頻率估計(jì)總體頻率，且每次化驗(yàn)需要不少的費(fèi)用.試通過(guò)計(jì)算回答：選用哪一種方案更合算？（可供參考數(shù)據(jù)：）
4．（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取五場(chǎng)三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主”，設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)在比賽進(jìn)行4場(chǎng)結(jié)束的條件下，求甲隊(duì)獲勝的概率；
(2)賽事主辦方需要預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用萬(wàn)元．假設(shè)主辦方在前3場(chǎng)比賽每場(chǎng)收入100萬(wàn)元，之后的比賽每場(chǎng)收入200萬(wàn)元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用）的期望高于萬(wàn)元？
5．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙足球愛(ài)好者決定加強(qiáng)訓(xùn)練提高球技，兩人輪流進(jìn)行定位球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．
(1)經(jīng)過(guò)一輪踢球，記甲的得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)若經(jīng)過(guò)兩輪踢球，用表示經(jīng)過(guò)第2輪踢球后，甲累計(jì)得分高于乙累計(jì)得分的概率，求．
6．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃?021年奧運(yùn)會(huì)我國(guó)射擊項(xiàng)目收獲豐盛，在我國(guó)射擊也是一項(xiàng)歷史悠久的運(yùn)動(dòng).某射擊運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者甲來(lái)到靶場(chǎng)練習(xí).
(1)已知用于射擊打靶的某型號(hào)槍支彈夾中一共有發(fā)子彈，甲每次打靶的命中率均為，一旦出現(xiàn)子彈脫靶或者子彈打光便立即停止射擊.記標(biāo)靶上的子彈數(shù)量為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若某種型號(hào)的槍支彈巢中一共可裝填6發(fā)子彈，現(xiàn)有一槍支其中有發(fā)為實(shí)彈，其余均為空包彈，現(xiàn)規(guī)定：每次射擊后，都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈，假設(shè)每次射擊相互獨(dú)立且均隨機(jī)，在進(jìn)行次射擊后，記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù)為，
①當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出數(shù)學(xué)期望與的關(guān)系；
②求出關(guān)于的表達(dá)式.
7．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃楸Ｗo(hù)未成年人身心健康，保障未成年人合法權(quán)益，培養(yǎng)有理想、有道德、有文化、有紀(jì)律的社會(huì)主義建設(shè)者，《未成年人保護(hù)法》針對(duì)監(jiān)護(hù)缺失、校園欺凌、煙酒損害、網(wǎng)絡(luò)沉迷等問(wèn)題，進(jìn)一步壓實(shí)監(jiān)護(hù)人、學(xué)校、住宿經(jīng)營(yíng)者及網(wǎng)絡(luò)服務(wù)提供者等主體責(zé)任，加大對(duì)未成年人的保護(hù)力度.某中學(xué)為宣傳《未成年人保護(hù)法》，特舉行一次未成年人保護(hù)法知識(shí)競(jìng)賽，比賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競(jìng)賽中，小組兩人分別答兩題，若答對(duì)題數(shù)不少于3，則被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且同學(xué)甲和同學(xué)乙答對(duì)每道題的概率分別為.
(1)若，則在第一輪競(jìng)賽中，求他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；
(2)當(dāng)，且每輪比賽互不影響時(shí)，如果甲、乙同學(xué)組成的小組在此次活動(dòng)中獲得“優(yōu)秀小組”的期望值為9，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競(jìng)賽？
8．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2023年4月23日，是中國(guó)海軍成立74周年74年向海圖強(qiáng)，74年劈波斬浪．74年，人民海軍新裝備不斷增加，新型作戰(zhàn)力量加速發(fā)展，從“101南昌艦”到“108咸陽(yáng)艦”，8艘055型驅(qū)逐艦列陣.我國(guó)自主研制的075型兩棲攻擊艦“31海南艦”“32廣西艦”“33安徽艦”也相繼正式入列．從小艇到大艦，從近海防御到挺進(jìn)深藍(lán)大洋，人民海軍步履鏗鏘，捍衛(wèi)國(guó)家主權(quán)，維護(hù)世界和平．為了慶祝中國(guó)海軍成立74周年，某公司設(shè)計(jì)生產(chǎn)了三款兩棲攻擊艦?zāi)Ｐ停ǚ謩e為“31海南艦”?“32廣西艦”“33安徽艦”），并限量發(fā)行若該公司每個(gè)月發(fā)行300件（三款各100件），一共持續(xù)12個(gè)月，采用搖號(hào)的方式進(jìn)行銷售．假設(shè)每個(gè)月都有3000人參與搖號(hào)，搖上號(hào)的將等可能獲得三款中的一款．小周是個(gè)“戰(zhàn)艦狂熱粉”，聽(tīng)到該公司發(fā)行兩棲攻擊艦?zāi)Ｐ?，欣喜若狂?br>(1)若小周連續(xù)三個(gè)月參與搖號(hào)，求他在這三個(gè)月集齊三款模型的概率；
(2)若搖上號(hào)的人不再參加后面的搖號(hào)．已知小周從第一個(gè)月開(kāi)始參與搖號(hào)，并且在12個(gè)月的限量發(fā)行中成功搖到并獲得了模型．設(shè)他第X個(gè)月?lián)u到并獲得了模型，求X的數(shù)學(xué)期望．
9．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某人預(yù)定了2023年女足世界杯開(kāi)幕式一類門(mén)票一張，另外還預(yù)定了兩張其他比賽的門(mén)票，根據(jù)主辦方相關(guān)規(guī)定，從所有預(yù)定一類開(kāi)幕式門(mén)票者中隨機(jī)抽取相應(yīng)數(shù)量的人，這些人稱為預(yù)定成功者，他們可以直接購(gòu)買一類開(kāi)幕式門(mén)票，另外，對(duì)于開(kāi)幕式門(mén)票，有自動(dòng)降級(jí)規(guī)定，即當(dāng)這個(gè)人預(yù)定的一類門(mén)票未成功時(shí)，系統(tǒng)自動(dòng)使他進(jìn)入其它類別的開(kāi)幕式門(mén)票的預(yù)定.假設(shè)獲得一類開(kāi)幕式門(mén)票的概率是0.2，若未成功，仍有0.3的概率獲得其它類別的開(kāi)幕式門(mén)票的機(jī)會(huì)，獲得其他兩張比賽的門(mén)票的概率分別是0.4，0.5，且獲得每張門(mén)票之間互不影響.
(1)求這個(gè)人可以獲得2023年女足世界杯開(kāi)幕式門(mén)票的概率；
(2)假設(shè)這個(gè)人獲得門(mén)票的總張數(shù)是，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
10．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┠承＝M織“青春心向黨，喜迎二十大”主題知識(shí)競(jìng)賽，每題答對(duì)得3分，答錯(cuò)得1分，已知小明答對(duì)每道題的概率是，且每次回答問(wèn)題是相互獨(dú)立的.
(1)記小明答3題累計(jì)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若小明連續(xù)答題獲得的分?jǐn)?shù)的平均值大于2分，即可獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).現(xiàn)有答和道題兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大，小明應(yīng)該如何選擇？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【真題感知】
一、解答題
1．（浙江高考真題） 袋子和中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸一個(gè)紅球的概率是，從中摸出一個(gè)紅球的概率為p.
（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球則停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
（2）若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1：2，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求p的值.
2．（山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：
（Ⅰ）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；
（Ⅱ）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．
3．（安徽·高考真題）本小題滿分13分）
工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.
（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率．若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？
（2）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；
（3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最?。?br>4．（四川·高考真題）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有人獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)則車騎游.各租一車一次.設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí).
（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費(fèi)用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望
5．（陜西·高考真題）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：
現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站．
（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？
（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(duì)（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
6．（全國(guó)·高考真題）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)．
假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為50%，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立
（1）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；
（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）記該批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件A；則；
（2）X的可能取值為400、500、800；
，，，則X的分布列為
7．（福建·高考真題）某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．
（Ⅰ）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為,求的概率；
（Ⅱ）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？
8．（江西·高考真題）某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過(guò)程相互獨(dú)立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過(guò)第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5， 0.6， 0.4．經(jīng)過(guò)第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；
(2)經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后，合格工藝品的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的期望．
9．（山東·高考真題）先在甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得分，沒(méi)有命中得分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為,每命中一次得分，沒(méi)有命中得分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.
（Ⅰ）求該射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求該射手的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.
10．（江西·高考真題）因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹(shù)的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施．若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5．若實(shí)施方案二，預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6．實(shí)施每種方案第一年與第二年相互獨(dú)立，令表示方案i實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)．
(1)寫(xiě)出的分布列；
(2)實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？
(3)不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到、恰好達(dá)到、超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)利潤(rùn)分別為10萬(wàn)元、15萬(wàn)元、20萬(wàn)元．問(wèn)實(shí)施哪種方案的平均利潤(rùn)更大？
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
株高增量（單位：厘米）
第1組雞冠花株數(shù)
9
20
9
2
第2組雞冠花株數(shù)
4
16
16
4
第3組雞冠花株數(shù)
13
12
13
2
時(shí)間（分鐘）
人數(shù)
36
58
81
25
時(shí)間（分鐘）
人數(shù)
18
63
83
36
每天下午6點(diǎn)前的銷售量/千克
250
300
350
400
450
天數(shù)
10
10
5
時(shí)間（分鐘）
的頻率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
的頻率
0
0.1
0.4
0.4
0.1

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