專題6-1立體幾何動點與外接球歸類（14題型+解題攻略）-2024年高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（新高考通用）-試卷下載-教習網

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30050" 題型01四大基礎模型：三線垂直型 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc28684" 題型02 四大基礎模型：對棱相等型 PAGEREF _Tc28684 \h 2
\l "_Tc32446" 題型03四大基礎模型：直棱柱型 PAGEREF _Tc32446 \h 3
\l "_Tc32522" 題型04 四大基礎模型：雙線交心型 PAGEREF _Tc32522 \h 4
\l "_Tc16304" 題型05垂面型外接球 PAGEREF _Tc16304 \h 5
\l "_Tc9487" 題型06二面角型外接球 PAGEREF _Tc9487 \h 6
\l "_Tc31535" 題型07 四棱錐型外接球 PAGEREF _Tc31535 \h 8
\l "_Tc12683" 題型08圓錐形外接球 PAGEREF _Tc12683 \h 9
\l "_Tc16883" 題型09棱臺型外接球 PAGEREF _Tc16883 \h 10
\l "_Tc7476" 題型10圓臺型外接球 PAGEREF _Tc7476 \h 11
\l "_Tc12596" 題型11 內切球型 PAGEREF _Tc12596 \h 12
\l "_Tc25173" 題型12 最值型外接球 PAGEREF _Tc25173 \h 14
\l "_Tc11326" 題型13翻折型外接球 PAGEREF _Tc11326 \h 15
\l "_Tc2193" 題型14外接球計算截面 PAGEREF _Tc2193 \h 16
\l "_Tc4002" 高考練場 PAGEREF _Tc4002 \h 16

題型01四大基礎模型：三線垂直型
【解題攻略】
【典例1-1】在三棱錐中，點在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，則三棱錐的外接球表面積為___________
【典例1-2】.在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022上·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】．（2020下·四川綿陽·高三統(tǒng)考）在邊長為4的正方形中，，分別為，的中點.將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于，則三棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外國語學校階段練習）已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
題型02 四大基礎模型：對棱相等型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2019下·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州實驗中學?？茧A段練習）在三棱錐中，、、兩兩重直，，，，則該三棱錐外接球表面積為．
【變式1-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
題型03四大基礎模型：直棱柱型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐中，平面，，．過點分別作，交于點，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
題型04 四大基礎模型：雙線交心型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐中，平面平面，和都是邊長為的等邊三角形，若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為（）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（2021上·貴州·高三統(tǒng)考）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中?？迹┰谌忮F中，是邊長為2的正三角形，且平面底面，，，則該三棱錐的外接球表面積為．
【變式1-3】（2021上·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學考試）在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為 .
題型05垂面型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2020下·廣東深圳·高三深圳市南山區(qū)華僑城中學校考階段練習）在三棱錐中，，，，，平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三課時練習）在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線折起，使得平面平面，則所得三棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知正方形的邊長為4，若將沿翻折到的位置，使得平面平面，分別為和的中點，則直線被四面體的外接球所截得的線段長為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023上·江蘇連云港·高三?？迹┮阎忮F，為中點，，側面底面，則過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，平面平面ABC，，點Q為三棱錐外接球O上一動點，且點Q到平面PAC的距離的最大值為，則球O的體積為( )
A．B．
C．D．
.
題型06二面角型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）在菱形中，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，三棱錐的外接球球心為，的中點為，則
A．1B．2C．D．
【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三統(tǒng)考階段練習）在邊長為的菱形ABCD中，，沿對角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
題型07 棱錐型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考三模）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，則四棱錐外接球與內切球的表面積之比為（）
A．B．10C．D．11
【變式1-1】（2022·江西·校聯(lián)考模擬預測）在平行四邊形中，，現(xiàn)沿著將平面折起，E，F(xiàn)分別為和的中點，那么當四棱錐的外接球球心不在錐體內部時，的最大值為（）
A．1B．C．D．
【變式1-2】（2022·全國·模擬預測）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
題型08圓錐形外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三統(tǒng)考）圓錐內半徑最大的球稱為該圓錐的內切球，若圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，則稱該球為圓錐的外接球.如圖，圓錐的內切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則（）

A．設內切球的半徑為，外接球的半徑為，則
B．設內切球的表面積，外接球的表面積為，則
C．設圓錐的體積為，內切球的體積為，則
D．設、是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面截內切球所得截面的面積為
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于，的一點，為的中點，，圓錐的側面積為，則下列說法正確的是（）
A．圓上存在點使平面
B．圓上存在點使平面
C．圓錐的外接球表面積為
D．棱長為的正四面體在圓錐內可以任意轉動
【變式1-1】（2021·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側面積為 .
【變式1-2】圓錐（其中為頂點，為底面圓心）的側面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為
A．B．C．D．
【變式1-3】已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側面積為___________.
題型09棱臺型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】由正三棱錐截得的三棱臺的高為，，．若三棱臺的各頂點都在球的球面上，則球的表面積為______．
【典例1-2】由正三棱錐截得的三棱臺的各頂點都在球的球面上，若，三棱臺的高為2，且球心在平面與平面之間（不在兩平面上），則的取值范圍為___________.
【變式1-1】已知正三棱臺的上下底邊長分別為，高為7，若該正三棱臺的六個頂點均在球的球面上，且球心在正三棱臺內，則球的表面積為__________．
【變式1-2】在正四棱臺中，，則（）
A．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
B．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
C．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
D．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
【變式1-3】．如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺外接球的體積為（）
A．B．C．D．
題型10圓臺型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中點，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點P．以AD為旋轉軸旋轉一周，可以得到一個球和一個圓臺．給出以下結論，其中正確結論的個數(shù)是（）
①圓臺的母線長為3；
②球的半徑為；
③將圓臺的母線延長交的延長線于點，則得到的圓錐的高為；
④點的軌跡的長度是．
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】（2023下·湖南益陽·高三統(tǒng)考）已知一個球與某圓臺的上下底面和側面均相切，若圓臺的側面積為，上下底面面積之比為1：9，則該球的表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023下·湖北咸寧·高三統(tǒng)考）已知球內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（）

A．B．C．2D．
【變式1-2】已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．
【變式1-3】已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側面積為，則該圓臺的外接球半徑為（）
A．B．C．D．
題型11 內切球型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）在圓錐中，母線，底面圓的半徑為，圓錐的側面積為，則（）
A．當時，則圓錐的體積為
B．當時，過頂點和兩母線的截面三角形的最大面積為
C．當時，圓錐的外接球表面積為
D．當時，棱長為的正四面體在圓錐內可以任意轉動
【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有內切球，記該三棱柱的外接球和內切球的半徑分別為、，則（）
A．B．C．D．
【變式1-1】古代數(shù)學名著《九章算術?商功》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若四棱錐為陽馬，平面，，，則此“陽馬”外接球與內切球的表面積之比為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）已知AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的一點，N為SA的中點，，圓錐SO的側面積為，則下列說法正確的是（）
A．圓O上存在點M使∥平面SBC
B．圓O上存在點M使平面SBC
C．圓錐SO的外接球表面積為
D．棱長為的正四面體在圓錐SO內可以任意轉動
【變式1-3】已知正四棱錐的底面邊長為1，側棱與底邊夾角的余弦值為，則正四棱錐的外接球與內切球的半徑之比為___________.
題型12 最值型外接球
【典例1-1】在中，分別為三邊中點，將分別沿向上折起，使重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為
A．B．C．D．
【典例1-2】已知三棱錐的外接球O半徑為2，球心O到所在平面的距離為1，則三棱錐體積的最大值為（）
A．B．C．D．3
【變式1-1】已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）
A．B．
C．D．
【變式1-2】如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為______.
【變式1-3】如圖，已知等腰三角形的面積為，是底邊的中點，將沿中線折起，得到三棱錐．若，則該三棱錐外接球表面積的最小值為______．
題型13翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中學校校聯(lián)考三模）如圖，在梯形ABCD中，，，，將△ACD沿AC邊折起，使得點D翻折到點P，若三棱錐P-ABC的外接球表面積為，則（）
A．8B．4C．D．2
【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（）
A．14πB．15πC．πD．2π
【變式1-1】（2020·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知矩形中，，，取線段，的中點，，連接，以線段為折痕進行翻折，使得，則四面體的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）如圖1，直角梯形中，，取中點，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球為球（為球心）.是球上一動點，當直線與直線所成角最大時，四面體體積的最大值為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知等邊的邊長為，，分別為，的中點，將沿折起得到四棱錐.點為四棱錐的外接球球面上任意一點，當四棱錐的體積最大時，到平面距離的最大值為______.
題型14外接球計算截面
【典例1-1】已知球是正四面體的外接球，，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是（）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知球是棱長為1的正方體的外接球，為棱中點，現(xiàn)在棱和棱上分別取點，，使得平面與正方體各棱所成角相等，則平面截球的截面面積是__.
【變式1-1】已知正方體的棱長2，中心為，則四棱錐的外接球被平面截得的截面面積為______．
【變式1-2】如圖，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，過點A，E，F(xiàn)作三棱柱的截面α，若α交于M，過點M作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________．
【變式1-3】已知正三棱錐的外接球是球，，，點為中點，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是______.
高考練場
1.（2018上·四川成都·高三成都外國語學校階段練習）已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱錐中, ,,.則該三棱錐的外接球表面積為 .
3.（2023上·四川廣元·高三統(tǒng)考）三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面積為，則三棱錐P－ABC的外接球體積的最小值為（）
A．B．C．D．
4.（2021·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是 .
5.．（2023上·高三課時練習）已知三棱錐的底面ABC是等邊三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M為SB上一點，且．設三棱錐外接球球心為O，則（）
A．直線OM⊥平面SAC，OA⊥SBB．直線平面SAC，OA⊥SB
C．直線OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBCD．直線平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
6.在四面體中，，，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為（）
A．B．
C．D．
7.（2023下·陜西西安·高三長安一中?？迹┑酌姘霃綖榈膱A錐側面展開圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（）
A．B．C．D．
8.如圖所示，正四棱臺的頂點都在表面積為的球面上，側棱長為，且側棱與底面所成角為，則其上、下底面積之比為（）
A．B．C．D．
9.已知某圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為1∶4，則該圓臺外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
10.已知正三棱柱的側棱長為，底面邊長為，內有一個體積為的球，若的最大值為，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______.
11.已知三棱錐的外接球表面積為，，則三棱錐體積的最大值為___________.
12.如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（）
A．14πB．15πC．πD．2π
13.在邊長為的菱形ABCD中，，沿對角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（）
A．B．C．D．
14.設三棱錐的所有棱長均為1，點滿足，，，則三棱錐的外接球被平面所截的截面面積為（）
A．B．C．D．
15.（2021·四川·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）體積為8的四棱錐的底面是邊長為的正方形，四棱錐的外接球球心到底面的距離為1，則點軌跡的長度為（）
A．B．C．D．
正方體的棱長為a，球的半徑為R，則：
①若球為正方體的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
②若球為正方體的內切球，則2R＝a；
③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則外接球直徑＝長方體對角線，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
對棱相等的四面體：
三棱錐對棱相等，
存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）
1.模板圖形原理
圖1 圖2
2.計算公式
解幾何體外接球（表面積/體積）的一般方法和步驟為：
1、尋找一個或兩個面的外接圓圓心
2、分別過兩個面的外心作該面的垂線，兩條垂線的交點即為外接圓圓心；
3、構造直角三角形求解球半徑，進而求出外接球表面積或體積.
如果表面有等邊三角形或者直角三角形：兩垂線交心法
包含了面面垂直（倆面必然是特殊三角形）

等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；
（2）直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；
面面垂直型基本圖形
一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型，

二面角型求外接圓
在空間四邊形中，二面角的平面角大小為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，為兩面交線的中點
所以
因為四點共圓，，根據(jù)余弦定理可知
錐體求外接球
（1）：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
(2)：算出小圓的半徑，算出棱錐的高（即圓錐的高）；
(3)：勾股定理：，解出
類比正棱錐，可以得帶圓錐型外接球
正棱臺外接球，以棱軸截面為主。
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
基本規(guī)律:正棱臺外接球，以棱軸截面為主
圓臺外接圓模型
圓臺外接球，即軸截面題型外接圓
內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等，正多面體的內切球和外接球的球心重合，正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不重合.其中錐體與內切球的關系：(V為幾何體的體積，S為多面體的表面積，r為內切球的半徑)
三角形內切圓
類比：三棱錐

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