精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)八年級(jí)期末）一個(gè)不透明的箱子里裝有m個(gè)球，其中紅球有5個(gè)，這些球除顏色外都相同．每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回．大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25，那么可以估算出m的值為（ ）
A．25B．20C．15D．10
2．（2022·山東青島·七年級(jí)期末）下列敘述不正確的是（ ）
A．某種彩票中獎(jiǎng)的概率為1%，那么買(mǎi)100張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)
B．?dāng)S一枚骰子，向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4是隨機(jī)事件
C．某興趣小組14位同學(xué)中至少兩人的生日在同一月份是必然事件
D．在相同條件下，試驗(yàn)的次數(shù)足夠大時(shí)，某一隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定于某一數(shù)值
3．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期中）只有顏色不同的個(gè)紅球和若干個(gè)白球裝在不透明的袋子里，從袋子里摸出一個(gè)球記錄下顏色后放回，經(jīng)過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，則袋中紅球與白球共有( )
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
4．（2022·河北保定·九年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其他完全相同，通過(guò)多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，則估計(jì)口袋中大約共有白球（ ）
A．10B．15C．20D．都不對(duì)
5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)不透明的袋子中裝有除顏色外均相同的4個(gè)白球和若干個(gè)綠球，每次搖均勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)大量試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.2，則摸到綠球的概率約為（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.8
6．（2021·陜西銅川·七年級(jí)期末）某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（ ）
A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小時(shí)隨機(jī)出的是“剪刀”
B．袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中任取一球是黃球
C．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)
D．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌花色是紅桃
二、填空題
7．（2022·陜西安康·九年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同，小紅通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子里黃球的個(gè)數(shù)最有可能是______．
8．（2022·河北邢臺(tái)·九年級(jí)期末）在一只不透明的袋子中，裝有三個(gè)大小、質(zhì)地都相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)字1，-2，3，攪勻后先從袋中任意摸出一個(gè)球，記錄球面上數(shù)字，做為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；然后將球放回袋中攪勻，再?gòu)拇腥我饷鲆粋€(gè)球，記錄球面上數(shù)字，做為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)
（1）P（點(diǎn)A在第一象限）＝________．
（2）P（點(diǎn)A在直線(xiàn)y＝x上）＝________．
9．（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表：
則這名運(yùn)動(dòng)員在此條件下?lián)糁邪行牡母怕蚀蠹s是__________（精確到0.01）．
10．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）一只不透明的袋子中裝有若干個(gè)紅球和白球，這些球除顏色外都相同．將這個(gè)袋中的球攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，獲得如下數(shù)據(jù)：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)摸到白球的概率約為_(kāi)________（精確到0.01）．
三、解答題
11．（2022·江蘇南京·八年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)相同的白球，為了估計(jì)袋中白球的數(shù)量，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了摸球試驗(yàn)：先將12個(gè)相同的黑球裝入袋中，且這些黑球與白球除顏色外無(wú)其他差別，攪勻后從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球并記下顏色，再放回袋中，不斷重復(fù)．如表是這次摸球試驗(yàn)獲得的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
(1)表中的a＝____；b＝____；
(2)從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是黑球的概率的估計(jì)值是___；（精確到0.1）
(3)袋中白球個(gè)數(shù)的估計(jì)值為_(kāi)___．
12．（2022·江蘇連云港·八年級(jí)期中）一個(gè)不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球若干個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球，記下顏色后放回，不斷重復(fù)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決下列問(wèn)題：
(1)摸到黑球的頻率會(huì)接近 （精確到0.1）；
(2)若袋子中白球有4個(gè)，
①估算一下袋中兩種顏色球共有 個(gè)；
②若小明又將a個(gè)相同的黑球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里，然后再次進(jìn)行摸球試驗(yàn)，當(dāng)重復(fù)大量試驗(yàn)后，摸出黑球的概率估計(jì)值是多少？（用含a的式子表示）．
提升篇
一、填空題
1．（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）在一個(gè)不透明的口袋中，裝有若干個(gè)紅球和6個(gè)黃球，它們除顏色外沒(méi)有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回口袋中，通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.3，摸到紅球的頻率是 _____，則估計(jì)盒子中大約有紅球 _____個(gè)．
2．（2021·寧夏固原·二模）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其它完全相同．小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色、黑色球的頻率穩(wěn)定在20%和45%，則口袋中白色球的個(gè)數(shù)很可能是________．
3．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期中）已知數(shù)據(jù)：，，π，，0，其中無(wú)理數(shù)出現(xiàn)的頻率為_(kāi)____．
4．（2022·北京東城·九年級(jí)期末）社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個(gè)不透明的盒子里，裝有20個(gè)除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程．整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象，如圖所示，經(jīng)分析可以推斷“摸出黑球”的概率約為_(kāi)______．
5．（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)一批口罩進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計(jì)合格口罩的只數(shù)，得到合格口罩的頻率如下：
估計(jì)從該批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率為_(kāi)____．
二、解答題
6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)期中）一個(gè)不透明的口袋中放著若干個(gè)紅球和黑球，這兩種球除了顏色之外沒(méi)有其他任何區(qū)別，將袋中的球充分搖勻，閉眼從口袋中摸出一個(gè)球，經(jīng)過(guò)很多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在．
(1)估計(jì)摸到黑球的概率是_______；
(2)如果袋中原有黑球15個(gè)，估計(jì)原口袋中共有幾個(gè)球？
(3)在（2）的條件下，又放入個(gè)黑球，再經(jīng)很多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在，估計(jì)的值．
7．（2022·江蘇常州·八年級(jí)期中）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果如下：
(1)填寫(xiě)完成表格中的空格；
(2)畫(huà)出該批乒乓球優(yōu)等品頻率的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖；
(3)從這批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是___________（精確到0.01）
8．（2022·江蘇泰州·八年級(jí)期中）一個(gè)不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球共40只，這些球除顏色外都相同．小明從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球，記下顏色后放回，不斷重復(fù)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決下列問(wèn)題：
(1)估計(jì)袋中黑球的個(gè)數(shù)為 只；
(2)若小明又將一些相同的黑球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里，然后再次進(jìn)行摸球試驗(yàn)，當(dāng)重復(fù)大量試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)黑球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則小明后來(lái)放進(jìn)了多少個(gè)黑球？射擊總次數(shù)n
10
100
200
500
1000
擊中靶心次數(shù)m
9
86
168
426
849
擊中靶心頻率m/n
0.9
0.86
0.84
0.852
0.849
摸球的個(gè)數(shù)n
200
300
400
500
1000
1500
2000
摸到白球的個(gè)數(shù)m
116
192
232
298
590
906
1202
摸到白球的頻率
0.580
0.640
0.580
0.596
0.590
0.604
0.601
摸球的次數(shù)s
150
300
600
900
1200
1500
摸到黑球的頻數(shù)
64
123
a
367
486
600
摸到黑球的頻率
0.427
0.410
0.415
0.408
0.405
b
抽取只數(shù)（只）
50
100
150
500
1000
2000
10000
50000
合格頻率
0.82
0.83
0.82
0.83
0.84
0.84
0.84
0.84
抽取的乒乓球數(shù)n
50
100
200
500
1000
1500
2000
優(yōu)等品的頻數(shù)m
48
95
188
471
946
1426
1898
優(yōu)等品的頻率（精確到0.001）
0.960
0.950
______
0.942
0.946
0.951
______
第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)
3.2 用頻率估計(jì)概率
精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)八年級(jí)期末）一個(gè)不透明的箱子里裝有m個(gè)球，其中紅球有5個(gè)，這些球除顏色外都相同．每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回．大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25，那么可以估算出m的值為（ ）
A．25B．20C．15D．10
【答案】B
【分析】用紅球的數(shù)量除以紅球的頻率即可．
【詳解】解：（個(gè)，
所以可以估算出的值為20，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是掌握在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
2．（2022·山東青島·七年級(jí)期末）下列敘述不正確的是（ ）
A．某種彩票中獎(jiǎng)的概率為1%，那么買(mǎi)100張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)
B．?dāng)S一枚骰子，向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4是隨機(jī)事件
C．某興趣小組14位同學(xué)中至少兩人的生日在同一月份是必然事件
D．在相同條件下，試驗(yàn)的次數(shù)足夠大時(shí)，某一隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定于某一數(shù)值
【答案】A
【分析】分別利用隨機(jī)事件的定義以及利用頻率估計(jì)概率的方法分析求出即可．
【詳解】解：A.某種彩票中獎(jiǎng)的概率為1%，那么買(mǎi)100張這種彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)，此選項(xiàng)表述錯(cuò)誤，符合題意；
B.擲一枚骰子，向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4是隨機(jī)事件，正確，不符合題意；
C.某興趣小組14位同學(xué)中至少兩人的生日在同一月份是必然事件，正確，不符合題意；
D.在相同條件下，試驗(yàn)的次數(shù)足夠大時(shí)，某一隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定于某一數(shù)值，正確，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件以及確定時(shí)間和利用頻率估計(jì)概率等知識(shí)，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
3．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期中）只有顏色不同的個(gè)紅球和若干個(gè)白球裝在不透明的袋子里，從袋子里摸出一個(gè)球記錄下顏色后放回，經(jīng)過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，則袋中紅球與白球共有( )
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：全部情況的總數(shù)；符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【詳解】解：設(shè)袋中白球有個(gè)，根據(jù)題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，
故袋中白球有個(gè)，共有個(gè)球．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了利用概率的求法估計(jì)總體個(gè)數(shù)，利用如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率是解題關(guān)鍵．
4．（2022·河北保定·九年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其他完全相同，通過(guò)多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，則估計(jì)口袋中大約共有白球（ ）
A．10B．15C．20D．都不對(duì)
【答案】B
【分析】由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，可以得出摸到紅球的概率，即可求出白球個(gè)數(shù)．
【詳解】∵摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，
∴摸到紅球的概率為0.25，
∴總球數(shù)：5÷0.25=20（個(gè)）
∴白球個(gè)數(shù)：20-5=15（個(gè)）
故答案為：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了用頻率估計(jì)概率、已知概率求數(shù)量，得出摸到紅球的概率是本題的關(guān)鍵．
5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)不透明的袋子中裝有除顏色外均相同的4個(gè)白球和若干個(gè)綠球，每次搖均勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)大量試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.2，則摸到綠球的概率約為（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】A
【分析】設(shè)袋中綠球有x個(gè)，根據(jù)經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.2,估計(jì)摸到綠球的頻率為0.2，從而確定答案．
【詳解】】解：大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率可以估計(jì)概率，
∵經(jīng)大量試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.2，
∴摸到綠球的概率約為0.2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
6．（2021·陜西銅川·七年級(jí)期末）某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（ ）
A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小時(shí)隨機(jī)出的是“剪刀”
B．袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中任取一球是黃球
C．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)
D．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌花色是紅桃
【答案】C
【分析】利用折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖可得出試驗(yàn)的頻率在0.5左右，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：A、在“石關(guān)、剪刀、布”的游戲中，小時(shí)隨機(jī)出的是“剪刀”為，不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、從一個(gè)裝有1個(gè)紅球2個(gè)黃球的袋子中任取一球，取到的是黃球的概率為：，不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率是=0.5，符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)正確；
D、一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為：0.25，不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，正確求出各試驗(yàn)的概率是解題關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2022·陜西安康·九年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同，小紅通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子里黃球的個(gè)數(shù)最有可能是______．
【答案】12個(gè)##12
【分析】用球的總個(gè)數(shù)乘以摸到黃球的頻率即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，袋子里黃球的個(gè)數(shù)約為（個(gè)），
故答案為：12個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
8．（2022·河北邢臺(tái)·九年級(jí)期末）在一只不透明的袋子中，裝有三個(gè)大小、質(zhì)地都相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)字1，-2，3，攪勻后先從袋中任意摸出一個(gè)球，記錄球面上數(shù)字，做為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；然后將球放回袋中攪勻，再?gòu)拇腥我饷鲆粋€(gè)球，記錄球面上數(shù)字，做為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)
（1）P（點(diǎn)A在第一象限）＝________．
（2）P（點(diǎn)A在直線(xiàn)y＝x上）＝________．
【答案】
【分析】先根據(jù)題意應(yīng)用列表法列出所有可能的情況，再根據(jù)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行求解即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意兩次摸出乒乓球，可用下表列舉出所有可能的情況，
由表可看出所有的結(jié)果有9種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，
（1）點(diǎn)A在第一象限共有4種，即（1，1），（3，1）（1，3），（3，3），
所以P（點(diǎn)A在第一象限）=．
故答案為：；
（2）點(diǎn)A在直線(xiàn)y=x上有3種，即（1，1），（-2，-2），（3，3），
所有P（點(diǎn)A在直線(xiàn)y=x上）=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列表法求概率，熟練掌握列表法求概率的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表：
則這名運(yùn)動(dòng)員在此條件下?lián)糁邪行牡母怕蚀蠹s是__________（精確到0.01）．
【答案】0.85
【分析】根據(jù)表格中實(shí)驗(yàn)的頻率，然后根據(jù)頻率即可估計(jì)概率．
【詳解】解：由擊中靶心頻率m/n分別為：0.9、0.86、0.84、0.852、0.849，可知隨著射擊次數(shù)的增多,頻率都在0.85上下波動(dòng)，
所以這名運(yùn)動(dòng)員在此條件下?lián)糁邪行牡母怕蚀蠹s是0.85，
故答案為：0.85．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的思想，解題的關(guān)鍵是求出每一次事件的頻率，然后即可估計(jì)概率解決問(wèn)題．
10．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）一只不透明的袋子中裝有若干個(gè)紅球和白球，這些球除顏色外都相同．將這個(gè)袋中的球攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，獲得如下數(shù)據(jù)：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)摸到白球的概率約為_(kāi)________（精確到0.01）．
【答案】0.60
【分析】大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
【詳解】解：根據(jù)表格可知，摸到白球的頻率在0.600左右擺動(dòng)，
所以根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)，摸到白球的概率約為0.60．
故答案為：0.60．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是掌握頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
三、解答題
11．（2022·江蘇南京·八年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)相同的白球，為了估計(jì)袋中白球的數(shù)量，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了摸球試驗(yàn)：先將12個(gè)相同的黑球裝入袋中，且這些黑球與白球除顏色外無(wú)其他差別，攪勻后從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球并記下顏色，再放回袋中，不斷重復(fù)．如表是這次摸球試驗(yàn)獲得的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
(1)表中的a＝____；b＝____；
(2)從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是黑球的概率的估計(jì)值是___；（精確到0.1）
(3)袋中白球個(gè)數(shù)的估計(jì)值為_(kāi)___．
【答案】(1)249、0.4##
(2)0.4##
(3)18
【分析】（1）根據(jù)頻率=頻數(shù)÷樣本總數(shù)分別求得a、b的值即可；
（2）從表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.4左右；
（3）摸到黑球的概率為0.4，根據(jù)黑球的概率公式得到相應(yīng)方程求解即可．
（1）
解：由表可得a=600×0.415=249，b=600÷1500=0.4，
故答案為：249，0.4；
（2）
解：當(dāng)次數(shù)s很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.4，據(jù)此可估計(jì)摸到黑球的概率是0.4；
故答案為：0.4；
（3）
解：設(shè)白球有x個(gè)，
根據(jù)題意得：，
解得x=18，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=18是分式方程的解，
∴估算這個(gè)不透明的口袋中白球有18個(gè)．
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．組成整體的幾部分的概率之和為1．
12．（2022·江蘇連云港·八年級(jí)期中）一個(gè)不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球若干個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球，記下顏色后放回，不斷重復(fù)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決下列問(wèn)題：
(1)摸到黑球的頻率會(huì)接近 （精確到0.1）；
(2)若袋子中白球有4個(gè)，
①估算一下袋中兩種顏色球共有 個(gè)；
②若小明又將a個(gè)相同的黑球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里，然后再次進(jìn)行摸球試驗(yàn)，當(dāng)重復(fù)大量試驗(yàn)后，摸出黑球的概率估計(jì)值是多少？（用含a的式子表示）．
【答案】(1)0.5
(2)①8；②
【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖找到摸到黑球的頻率穩(wěn)定到的常數(shù)即可求解；
（2）①摸到黑球的頻率接近0.5知摸到白球的頻率約為0.5，用白球個(gè)數(shù)除以其對(duì)應(yīng)頻率可得球的總個(gè)數(shù)的估計(jì)值．
（1）
摸到黑球的頻率會(huì)接近0.5，
故答案為：0.5．
（2）
①∵摸到黑球的頻率接近0.5，
∴白球的頻率約為0.5，
則估算袋中兩種顏色球共有4÷0.5=8（個(gè)）；
故答案為：8．
②小明又將a個(gè)相同的黑球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里，則袋中球的總個(gè)數(shù)約為（a+8）個(gè)，其中黑球的個(gè)數(shù)為（a+4）個(gè)，
當(dāng)重復(fù)大量試驗(yàn)后，摸出黑球的概率估計(jì)值是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式和頻率估計(jì)概率，熟練掌握概率公式：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．
提升篇
一、填空題
1．（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）在一個(gè)不透明的口袋中，裝有若干個(gè)紅球和6個(gè)黃球，它們除顏色外沒(méi)有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回口袋中，通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.3，摸到紅球的頻率是 _____，則估計(jì)盒子中大約有紅球 _____個(gè)．
【答案】 0.7 14
【分析】根據(jù)頻率之和為1，以及在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，列出方程求解，即可．
【詳解】解：摸到黃球的頻率是0.3，摸到紅球的頻率是，
設(shè)有紅球x個(gè)，
根據(jù)題意得：，
解得：x＝14，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝14是原方程的解．
故答案是：0.7，14．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)黃球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．
2．（2021·寧夏固原·二模）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其它完全相同．小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色、黑色球的頻率穩(wěn)定在20%和45%，則口袋中白色球的個(gè)數(shù)很可能是________．
【答案】14
【分析】先由頻率之和為1計(jì)算出白球的頻率，再由數(shù)據(jù)總數(shù)×頻率=頻數(shù)計(jì)算白球的個(gè)數(shù)．
【詳解】解：∵摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在20%和45%，
∴摸到白球的頻率為1-20%-45%=35%，
故口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是40×35%=14個(gè)．
故答案為：14．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，具體數(shù)目應(yīng)等于總數(shù)乘部分所占總體的比值．
3．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期中）已知數(shù)據(jù)：，，π，，0，其中無(wú)理數(shù)出現(xiàn)的頻率為_(kāi)____．
【答案】．
【分析】把每個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)最簡(jiǎn)結(jié)果進(jìn)行有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的甄別，后根據(jù)頻率意義計(jì)算即可．
【詳解】∵=2，
∴，，0是有理數(shù)，，π是無(wú)理數(shù)，
∴無(wú)理數(shù)出現(xiàn)的頻率為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了頻率的意義，熟練掌握頻率的數(shù)學(xué)意義是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·北京東城·九年級(jí)期末）社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個(gè)不透明的盒子里，裝有20個(gè)除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程．整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象，如圖所示，經(jīng)分析可以推斷“摸出黑球”的概率約為_(kāi)______．
【答案】
【分析】根據(jù)“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象，即可得出“摸出黑球”的概率．
【詳解】解：由圖可知，摸出黑球的概率約為0.2，
故答案為：0.2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查用頻率估計(jì)概率，需要注意的是試驗(yàn)次數(shù)要足夠大，次數(shù)太少時(shí)不能估計(jì)概率．
5．（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)一批口罩進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計(jì)合格口罩的只數(shù)，得到合格口罩的頻率如下：
估計(jì)從該批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率為_(kāi)____．
【答案】0.84
【分析】觀(guān)察表格合格的頻率趨近于0.84，從而由此得到口罩合格的概率即可．
【詳解】解：∵隨著抽樣的增大，合格的頻率趨近于0.84，
∴估計(jì)從該批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率為0.84．
故答案為：0.84．
【點(diǎn)睛】本題考查了用頻率估計(jì)概率，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用頻率估計(jì)概率解決問(wèn)題．
二、解答題
6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)期中）一個(gè)不透明的口袋中放著若干個(gè)紅球和黑球，這兩種球除了顏色之外沒(méi)有其他任何區(qū)別，將袋中的球充分搖勻，閉眼從口袋中摸出一個(gè)球，經(jīng)過(guò)很多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在．
(1)估計(jì)摸到黑球的概率是_______；
(2)如果袋中原有黑球15個(gè)，估計(jì)原口袋中共有幾個(gè)球？
(3)在（2）的條件下，又放入個(gè)黑球，再經(jīng)很多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在，估計(jì)的值．
【答案】(1)
(2)估計(jì)原口袋中共有40個(gè)球
(3)估計(jì)的值為60
【分析】（1）利用頻率估計(jì)概率即可得出答案；
（2）設(shè)原口袋中有m個(gè)球，根據(jù)題意得，解之即可得出答案；
（3）根據(jù)題意得，解之即可得出答案．
（1）
解：∵經(jīng)過(guò)很多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在，
∴估計(jì)摸到黑球的概率是．
故答案為：．
（2）
設(shè)原口袋中有m個(gè)球，根據(jù)題意得：
，
解得：m＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)m＝40是分式方程的解，且符合題意，
答：袋中原有40個(gè)球．
（3）
解：根據(jù)題意得：，
解得：n＝60，
經(jīng)檢驗(yàn)n＝60是分式方程的解，且符合題意，
∴n＝60．
答：估計(jì)的值為60．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)，估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
7．（2022·江蘇常州·八年級(jí)期中）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果如下：
(1)填寫(xiě)完成表格中的空格；
(2)畫(huà)出該批乒乓球優(yōu)等品頻率的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖；
(3)從這批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是___________（精確到0.01）
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)見(jiàn)詳解
(3)0.95
【分析】（1）用頻數(shù)除以對(duì)應(yīng)的乒乓球數(shù)即可得；
（2）用橫軸表示乒乓球數(shù)，縱軸表示頻率，再結(jié)合表格描點(diǎn)，連線(xiàn)即可得；
（3）由折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖最后趨于0.95可得答案．
（1）
解：補(bǔ)全表格如下：
（2）
解：折線(xiàn)圖如下：
（3）
解：從這批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是0.95．
故答案為：0.95；
【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．也考查了頻率分布折線(xiàn)圖．
8．（2022·江蘇泰州·八年級(jí)期中）一個(gè)不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球共40只，這些球除顏色外都相同．小明從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球，記下顏色后放回，不斷重復(fù)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決下列問(wèn)題：
(1)估計(jì)袋中黑球的個(gè)數(shù)為 只；
(2)若小明又將一些相同的黑球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里，然后再次進(jìn)行摸球試驗(yàn)，當(dāng)重復(fù)大量試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)黑球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則小明后來(lái)放進(jìn)了多少個(gè)黑球？
【答案】(1)20
(2)10
【分析】（1）根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定到的常數(shù)即為摸到黑球的概率，根據(jù)概率的計(jì)算公式即可得出答案；
（2）設(shè)向袋子中放入x個(gè)黑球，根據(jù)摸到黑球最終穩(wěn)定的頻率即為概率的估計(jì)值，列出方程求解可得．
（1）
觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加頻率逐漸穩(wěn)定在常數(shù)0.5附近，因此摸到黑球的概率為0.5，估計(jì)袋中黑球的個(gè)數(shù)為只，
故答案為：20；
（2）
設(shè)放入黑球x個(gè)，根據(jù)題意得：
，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根且符合題意，
∴小明后來(lái)放進(jìn)了10個(gè)黑球．
【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式和頻率估計(jì)概率，熟練掌握概率公式：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．
射擊總次數(shù)n
10
100
200
500
1000
擊中靶心次數(shù)m
9
86
168
426
849
擊中靶心頻率m/n
0.9
0.86
0.84
0.852
0.849
摸球的個(gè)數(shù)n
200
300
400
500
1000
1500
2000
摸到白球的個(gè)數(shù)m
116
192
232
298
590
906
1202
摸到白球的頻率
0.580
0.640
0.580
0.596
0.590
0.604
0.601
摸球的次數(shù)s
150
300
600
900
1200
1500
摸到黑球的頻數(shù)
64
123
a
367
486
600
摸到黑球的頻率
0.427
0.410
0.415
0.408
0.405
b
抽取只數(shù)（只）
50
100
150
500
1000
2000
10000
50000
合格頻率
0.82
0.83
0.82
0.83
0.84
0.84
0.84
0.84
抽取的乒乓球數(shù)n
50
100
200
500
1000
1500
2000
優(yōu)等品的頻數(shù)m
48
95
188
471
946
1426
1898
優(yōu)等品的頻率（精確到0.001）
0.960
0.950
______
0.942
0.946
0.951
______
抽取的乒乓球數(shù)n
50
100
200
500
1000
1500
2000
優(yōu)等品的頻數(shù)m
48
95
188
471
946
1426
1898
優(yōu)等品的頻率
（精確到0.001）
0.960
0.950
0.940
0.942
0.946
0.951
0.949

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