1、多加總結(jié)。當(dāng)三年所有的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)加在一起，可能會(huì)使有些基礎(chǔ)不牢固的學(xué)生犯迷糊。
2、做題經(jīng)驗(yàn)。哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯(cuò)題。多刷錯(cuò)題能夠進(jìn)一步地掃清知識(shí)盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識(shí)點(diǎn)。
對(duì)于學(xué)生來說，三輪復(fù)習(xí)就相當(dāng)于是最后的“救命稻草”，家長(zhǎng)們同樣是這樣，不要老是去責(zé)怪孩子考試成績(jī)不佳，相反，更多的來說，如果能夠陪同孩子去反思成績(jī)不佳的原因，找到問題的癥結(jié)所在，更加重要。
【一專三練】
專題08 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用小題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)
分層訓(xùn)練（新高考通用）
一、單選題
1．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)和函數(shù)，具有相同的零點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義可整理得到，令，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理的知識(shí)可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，并得到，，由可確定，由此化簡(jiǎn)所求式子即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意知：，，
聯(lián)立兩式可得：，
令，則；
令，則在上單調(diào)遞增，
又，，
在上存在唯一零點(diǎn)，且，，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
又，，
.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)問題；解題關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用零點(diǎn)存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，并得到隱零點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系式，進(jìn)而利用等量關(guān)系式化簡(jiǎn)最值和所求式子.
2．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考二模）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，進(jìn)而得出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
設(shè)，則，
令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以，所以，
函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解，
則，
等價(jià)于函數(shù)與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
令，則，，
設(shè)，則，
令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且g(1)=e，
所以，
且趨向于0時(shí)，趨向于正無(wú)窮；趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮，
所以，解得.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．對(duì)于不適合分離參數(shù)的等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)，常用分類討論法，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)范圍.
3．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先證明此函數(shù)為偶函數(shù)，再利用其導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，利用其是偶函數(shù)得到，，通過指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，再根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)證明出，同取對(duì)數(shù)得到，則有，再利用單調(diào)性即可得到大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
所以為上的偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí),，設(shè)，
則，，，
所以即在上單調(diào)遞減,所以,
所以在上單調(diào)遞減,又因?yàn)闉榕己瘮?shù),
所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?,
又因?yàn)?
因?yàn)?，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題首先證明函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，對(duì)于其單調(diào)性的求解需要二次求導(dǎo)，其次就是利用函數(shù)的奇偶性對(duì)進(jìn)行一定的變形得，,然后就是比較的大小關(guān)系，需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行合理放縮，對(duì)于這種較為接近的數(shù)字比較大小問題，通常需要利用函數(shù)的單調(diào)性以及尋找合適的中間量放縮.
4．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用奇函數(shù)得到，再判斷，利用二次求導(dǎo)判斷在上單調(diào)遞增，從而可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以在上是奇函數(shù).所以
對(duì)求導(dǎo)得，
令，則
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
則時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以.
令，則
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
所以，
而，即，所以，即.
所以，即，則
所以
所以，即.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
構(gòu)造函數(shù)，判斷.
5．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）設(shè)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】對(duì)，，進(jìn)行變形，構(gòu)造，，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性，從而判斷出，，的大小.
【詳解】，，
故可構(gòu)造函數(shù)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即.
故選:B.
6．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，進(jìn)而得出大小關(guān)系.
【詳解】比較b、c只需比較，
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，
所以，所以.
比較a、b只需比較，
設(shè)，則，因?yàn)閱握{(diào)遞減，
且，所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減.即，，
所以，即.
綜上，.
故選：A
7．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且為奇函數(shù)，，，則（ ）
A．13B．16C．25D．51
【答案】C
【分析】根據(jù)題意利用賦值法求出、、、的值，推出函數(shù)的周期，結(jié)合，每四個(gè)值為一個(gè)循環(huán)，即可求得答案.
【詳解】由，令，得，所以．
由為奇函數(shù)，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得．
又④，
由③-④得，即，
所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，
故，
所以，
所以
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決此類抽象函數(shù)的求值問題時(shí)，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，比如奇偶性和對(duì)稱軸以及周期性等問題，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，解答時(shí)往往要采用賦值法求得某些特殊值，繼而推出函數(shù)滿足的性質(zhì)，諸如對(duì)稱性和周期性等，從而解決問題.
8．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)（）（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若恰好存在兩個(gè)正整數(shù)，使得，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，只需考查當(dāng)時(shí)，成立的正整數(shù)有且只有兩個(gè)，再構(gòu)造函數(shù)，探討其性質(zhì)即可作答.
【詳解】函數(shù)中，，而恰好存在兩個(gè)正整數(shù)使得，則，
當(dāng)時(shí)，，因此有且只有兩個(gè)大于1的正整數(shù)使得成立，
令，求導(dǎo)得：，由得，由得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，
則必有，又，因此符合題意的正整數(shù)只有2和3兩個(gè)，
于是得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式整數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的性質(zhì)并畫出圖象，數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
9．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，可知，可求出的大小，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，則，可得，最后比較與大小，即可得出答案.
【詳解】，，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，則，，
，，∴，排除D．
，則，，，∴，排除B．
比較與大小，先比較與大小，
,，
因?yàn)?，所?br>所以在上單調(diào)遞增，，
所以，所以，
∴，綜上.
故選：A．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及三個(gè)量的大小比較，關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可求出的大小，即可判斷的大小，的大小，最后構(gòu)造函數(shù)，比較與的大小即可得出答案.
二、多選題
10．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）函數(shù)，則（ ）
A．，使得在上遞減
B．，使得直線為曲線的切線
C．，使得既為的極大值也為的極小值
D．，使得在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且
【答案】BC
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)由即可求解A，根據(jù)切點(diǎn)為的切線，即可求解B,求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性即可確定極小值，結(jié)合對(duì)稱性即可確定極大值，根據(jù)，分情況討論，即可利用矛盾求解D.
【詳解】A．若，使得在上遞減，則，代入得，解得 且，故 不存在，因此不存在，使得在上遞減，故A錯(cuò)；
B．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，則只需，故B對(duì)；
C．注意到，令，
另一方面，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)時(shí)，取極小值，此時(shí)為極小值，
由，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，由對(duì)稱性可知：為的極大值，此時(shí)也為極大值．故C對(duì)；
對(duì)于D，若，則，
所以或，當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)要使有2個(gè)零點(diǎn)，則，
則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，
所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，在上遞增，所以可設(shè)，設(shè)，
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即，而在上單調(diào)遞減，所以，故D不正確；
故選：BC
【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
11．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．的最大值為0D．當(dāng)時(shí)，
【答案】AB
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，利用切線斜率和截距相等建立方程，然后利用指對(duì)互化判斷A、B，由數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，判斷函數(shù)值符號(hào)即可判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷D
【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以?br>切線：，即，
因?yàn)?，所以，又，所以?br>切線：，即，
由題意切線重合，所以，所以，即，A正確；
當(dāng)時(shí)，兩切線不重合，不合題意，
所以，，，
所以，，B正確；
，
當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，
則，，所以，C錯(cuò)誤；
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，
所以，∴，
記，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，D錯(cuò)誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題需要表示出兩條切線方程，然后比較系數(shù)，再進(jìn)行代換，在代換過程中要盡量去消去指數(shù)或?qū)?shù)，朝目標(biāo)化簡(jiǎn).
12．（2023·江蘇南通·二模）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】證明，放縮可判斷A，由，放縮可判斷B，先證出，再放縮，根據(jù)再放縮即可判斷C，可得，令，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求函數(shù)最小值即可判斷D.
【詳解】由，可得，
，
令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，
由知，A正確；
由可得，可得（時(shí)取等號(hào)），
因?yàn)?，所以，B正確；
時(shí)，，則，
，C錯(cuò)誤；
，
令，則，
，
在單調(diào)遞增，，，故D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：比較式子的的大小，要善于對(duì)已知條件變形，恰當(dāng)變形可結(jié)合，，放縮后判斷AB選項(xiàng)，變形，再令，變形，是判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵，變形到此處，求導(dǎo)得最小值即可.
13．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】通過多次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、選項(xiàng)及進(jìn)行求解.
【詳解】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以的最大值為，即.
因?yàn)椋?
設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；
因?yàn)?，，所?
由可得，所以，故B正確.
設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以的最大值為，所以，即.
.
設(shè)，易知為增函數(shù)，由可得，故C正確.
因?yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的圖象經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，的大小無(wú)法得出，故A不正確.
令，則，得，易知在為增函數(shù)，所以，
所以不成立，故D不正確.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的常用方法：
（1）作差比較法：作差，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)最值進(jìn)行比較；
（2）作商比較法：作商，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)最值進(jìn)行比較；
（3）數(shù)形結(jié)合法：構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象，進(jìn)行比較；
（4）放縮法：結(jié)合常見不等式進(jìn)行放縮比較大小，比如，等.
14．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)有唯一極小值
C．函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且
D．對(duì)于任意的，，恒成立
【答案】ABD
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用二次導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷導(dǎo)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性并證明不等式，進(jìn)而判斷選項(xiàng).
【詳解】，
，則，
設(shè)，
，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此對(duì)任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)正確；
又，所以，則存在，使得．在時(shí)，；時(shí)，；
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故有唯一極小值，故選項(xiàng)正確；
令，，
則，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
且，則有．
又，
因此存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．
又，
從而存在唯一，使得．
顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
又，令，
，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
有，，則，
即，從而函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，
函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，，
，
設(shè)，，
則
由選項(xiàng)知，在上單調(diào)遞增，而，則，
即有，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，即有，
所以對(duì)任意的，，總滿足，故選項(xiàng)正確．
故選：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù).
15．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．函數(shù)的極大值為1
B．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為
C．當(dāng)時(shí)，方程恰有2個(gè)不等實(shí)根
D．當(dāng)時(shí)，方程恰有3個(gè)不等實(shí)根
【答案】BD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討極大值判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷B；分析函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合函數(shù)圖象判斷CD作答.
【詳解】對(duì)于A：，
在區(qū)間，上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，
所以的極大值為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，，則函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，B正確；
對(duì)于C、D：因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，，，
在上遞增，且在上的取值集合為，在上的取值集合為，
因此函數(shù)在上的取值集合為，的極大值為，的極小值為，
作出函數(shù)的部分圖象，如圖，
觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).
16．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知正數(shù)滿足等式，則下列不等式中可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】將已知轉(zhuǎn)化為，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)CD；同理利用構(gòu)造函數(shù)和求導(dǎo)即可判斷AB.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
所以，
構(gòu)造
，
所以，
當(dāng)，即時(shí)，
分析即可，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以，
所以，
由，
所以，
構(gòu)造，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以由得，
所以，
故此時(shí)， D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以可能成立，故C選項(xiàng)可能正確，
由，即，
構(gòu)造，
所以，設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，所以當(dāng)時(shí)，
即，
所以，
構(gòu)造，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，故A可能正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)思想與邏輯推理能力，屬于難題.注意事項(xiàng)：利用構(gòu)造法，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)以及，利用導(dǎo)數(shù)以及參數(shù)的范圍進(jìn)行判斷.
17．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】依題意可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)說明，即，從而得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即可判斷.
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，則，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
由，可得，
令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，則，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)或，
結(jié)合與的圖象也可得到
所以或.
故選：AC
18．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】對(duì)于A、B選項(xiàng)，利用條件構(gòu)造，比值換元將問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)求值域問題；
對(duì)于C、D選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)通過分析單調(diào)性判斷即可.
【詳解】∵，∴
∴
令，因?yàn)椋裕?br>即，則
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)且時(shí)，令，
則
綜上，，即B正確；
又因?yàn)?，所?br>令，
顯然在上單調(diào)遞增，）的零點(diǎn)y滿足
∴，解得.
所以要證，即證
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以即證
而
所以成立，即成立，C正確
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，AD錯(cuò)誤.
故選：B、C．
19．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．有一個(gè)零點(diǎn)B．在上單調(diào)遞減
C．有兩個(gè)極值點(diǎn)D．若，則
【答案】BD
【分析】，，求出時(shí)，，并證明此解為的唯一解，則可判斷A,B,C，對(duì)D選項(xiàng)，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明其大于0,即可證明D選項(xiàng)正確.
【詳解】對(duì)A, B,C選項(xiàng)，
令，因?yàn)椋?br>，，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即
所以當(dāng)時(shí)，，且為唯一解，
所以單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，
所以，即在上無(wú)零點(diǎn)，
同時(shí)表明在上有唯一極值點(diǎn)，故A,C錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)D，若，設(shè)，則，
要證，即證，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以即證，
因?yàn)?，所以即證，
令，
，其中在上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以成立，即成立，故D正確.
故選：BD．
20．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．以下說法正確的是（ ）
A．若在處取得極值，則函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．若恒成立，則
C．若僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則
D．若僅有1個(gè)零點(diǎn)，則
【答案】AB
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a值，再探討單調(diào)性判斷A；變形給定不等式，利用同構(gòu)思想等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值判斷B；利用選項(xiàng)B中構(gòu)造的函數(shù)，探討函數(shù)的值域，進(jìn)而求出a值或范圍判斷CD作答.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)于A，，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，則，解得，
，因?yàn)楹瘮?shù)在上都單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此是函數(shù)的極小值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，A正確；
對(duì)于B，，
成立，令，顯然函數(shù)在R上都是增函數(shù)，
于是在R上單調(diào)遞增，即有，成立，
因此，成立，
令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，，從而，解得，
所以當(dāng)恒成立時(shí)，，B正確；
對(duì)于C，函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不等根，
由選項(xiàng)B知，方程有兩個(gè)不等根，
由選項(xiàng)B知，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
而當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值集合是，函數(shù)的取值集合是，
因此函數(shù)在的取值集合是，
當(dāng)時(shí)，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，即當(dāng)時(shí)，，因此，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，其取值集合是，無(wú)最小值，
因此函數(shù)在上的取值集合是，
從而函數(shù)在的值域是，在上的值域是，
于是要有兩個(gè)不等根，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，由選項(xiàng)C知，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，D錯(cuò)誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立或存在型問題，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
三、填空題
21．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)），則b的最大值是____________．
【答案】
【分析】將不等式變形為，等價(jià)于直線在與之間，通過圖象發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)l為兩函數(shù)的公切線時(shí)，b獲得最值，故利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得到（其中為l與的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)），故構(gòu)造，研究其零點(diǎn)的范圍即可
【詳解】，變形得．
問題等價(jià)于直線在與之間，
如圖所示．
當(dāng)且僅當(dāng)l為兩函數(shù)的公切線時(shí)，b獲得最值．
設(shè)l與的切點(diǎn)為，l與的切點(diǎn)為，
由公切線得，
得，
得
，
發(fā)現(xiàn)為的一個(gè)解．
令，
令，得，
所以當(dāng)，當(dāng)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
而，，
的兩根居于兩側(cè)，
已知一根為，所以另一根大于，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，b取得最大值，該值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵一是能看出直線在與之間，通過數(shù)形結(jié)合的方法得到當(dāng)且僅當(dāng)l為兩函數(shù)的公切線時(shí)b獲得最值，關(guān)鍵二是構(gòu)造借助導(dǎo)數(shù)的方法得到的兩根居于兩側(cè)，然后根據(jù)二次函數(shù)的函數(shù)進(jìn)行判斷即可
22．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）若函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，分類討論3是否為極值點(diǎn)，結(jié)合的圖像性質(zhì)即可求得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，
所以若3是極值點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，
則，所以；
當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于1，趨向于0，則趨向于正無(wú)窮，
當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向正無(wú)窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于趨向正無(wú)窮的速率，則趨向于正無(wú)窮，
若3不是極值點(diǎn)，則3是即的一個(gè)根，且存在另一個(gè)根，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
令，解得；令，解得；
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿足題意，
綜上：或，即.
故答案為：.
23．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】對(duì)函數(shù)轉(zhuǎn)換成分段函數(shù)，對(duì)各段求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，討論的大小明確單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)存在最小值列不等式即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?，則.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，得，
若時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使得存在最小值，則，所以，此時(shí)；
若時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使得存在最小值，則，此時(shí)；
若時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)增，則存在最小值.
綜上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)單調(diào)性最值取值情況問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)含參區(qū)間進(jìn)行討論，確定區(qū)間上與函數(shù)的極值點(diǎn)的包含關(guān)系，從而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并且要滿足函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，還得比較區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與極小值的大小，才能確定符合條件的的取值情況.
24．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）直線與曲線：及曲線：分別交于點(diǎn)A，B.曲線在A處的切線為，曲線在B處的切線為.若，相交于點(diǎn)C，則面積的最小值為____________.
【答案】2
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出直線，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
由，得到，由，得到
所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：，
，聯(lián)立方程解得：
的面積，
令，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故答案為：2
25．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【分析】將函數(shù)化簡(jiǎn)成，構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為即求解研究函數(shù)單調(diào)性即可解決.
【詳解】因?yàn)橥ǚ值茫杭矗?；設(shè)
，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
恒成立，得：即
設(shè)，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
故答案為：
26．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則______．
【答案】
【分析】求導(dǎo)得到，，，，則，解得答案.
【詳解】，定義域?yàn)?，所以?br>故，；又，所以．
又，故，所以，所以．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用消元的思想解方程是解題的關(guān)鍵.
27．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)k的最大值為______.
【答案】1
【分析】參變分離將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.
【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，
令，，則，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以在有且僅有一個(gè)根，滿足，即，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，
時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
由對(duì)勾函數(shù)可知，即，
因?yàn)椋?，，?br>所以.
故答案為：1.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：
若在區(qū)間上有最值，則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
28．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)且，若對(duì)都有恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.
【答案】
【分析】由原不等式結(jié)合基本不等式可得，再由可得，則得，然后由結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算可得，再通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明在，有即可.
【詳解】因?yàn)榍?，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故，所以，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以.
又，所以，顯然，
所以有，即恒成立，
又，所以，故，所以.
當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，與矛盾.
下面證明：在，有，
令
要使，即
即
由知，得
從而需證：
即需證明：，記
從而只需證：①
而，
令，則
，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，即，
因?yàn)?，所?br>∴在上遞增，又，
∴在遞減，，
遞增，，
而，從而在時(shí)總有
∴①式恒成立，不等式得證.
綜上所述，.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件結(jié)合基本不等式確定出的范圍，然后通過構(gòu)造函數(shù)再證明其正確性即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.
29．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)條件，由函數(shù)的定義域得到，再將原不等式轉(zhuǎn)化為時(shí)，
恒成立，構(gòu)造函數(shù)（），
利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合與在上的函數(shù)圖像討論的最大值，
從而得到關(guān)于的不等式，即可求解.
【詳解】由題意得：要使有意義，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即，所以，
當(dāng)時(shí)，令（），
要使不等式對(duì)恒成立，
則時(shí)，函數(shù)在上恒成立，
又，可知 在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，與在上的函數(shù)圖像必有一個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)其橫坐標(biāo)為，則有，即，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，的函數(shù)圖像在下方，
則，所以在單調(diào)遞減，所以；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，的函數(shù)圖像在上方，時(shí)，的函數(shù)圖像在下方，
所以時(shí)，；時(shí)，；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
要使時(shí)，函數(shù)在上恒成立，
則時(shí)，；
①當(dāng)時(shí)，不等式，
設(shè)，，
可知在上單調(diào)遞增，又，
所以時(shí)，成立，
故時(shí)，，解得：；
②當(dāng)時(shí)，不等式（），則，
又在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，
所以時(shí)，不等式，解得：，
綜上所述：的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.
30．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）曲線與的公共切線的條數(shù)為________．
【答案】2
【分析】設(shè)公切線關(guān)于兩函數(shù)圖像的切點(diǎn)為，則公切線方程為：
，則
，則公切線條數(shù)為零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】設(shè)公切線關(guān)于兩函數(shù)圖像的切點(diǎn)為，則公切線方程為：
，則，
注意到，，則由，可得
.
則公切線條數(shù)為方程的根的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
，令，則，
得在上單調(diào)遞增.因，
則，使得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
又注意到，
，則，
使得，得有2個(gè)零點(diǎn)，即公共切線的條數(shù)為2.
故答案為：2
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及研究?jī)珊瘮?shù)公切線條數(shù)，難度較大.
本題關(guān)鍵為將求公切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為求相關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，又由題有范圍，故選擇消掉，構(gòu)造與有關(guān)的方程與函數(shù).

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