【考前50天】最新高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練專題11 數(shù)列小題（壓軸版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、多加總結(jié)。當(dāng)三年所有的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)加在一起，可能會(huì)使有些基礎(chǔ)不牢固的學(xué)生犯迷糊。
2、做題經(jīng)驗(yàn)。哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯(cuò)題。多刷錯(cuò)題能夠進(jìn)一步地掃清知識(shí)盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識(shí)點(diǎn)。
對(duì)于學(xué)生來說，三輪復(fù)習(xí)就相當(dāng)于是最后的“救命稻草”，家長(zhǎng)們同樣是這樣，不要老是去責(zé)怪孩子考試成績(jī)不佳，相反，更多的來說，如果能夠陪同孩子去反思成績(jī)不佳的原因，找到問題的癥結(jié)所在，更加重要。
【一專三練】專題11 數(shù)列小題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)
分層訓(xùn)練（新高考通用）
一、單選題
1．（2023秋·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將遞推式化為，從而得到是常列數(shù)，進(jìn)而得到是等差數(shù)列，由此求得，據(jù)此解答即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，即，則，故，
又，，所以，
所以是以首項(xiàng)為的常數(shù)列，則，
又，，所以是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
故，則，
所以.
故選：A.
2．（2023秋·湖南岳陽·高三統(tǒng)考期末）裴波那契數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列滿足，且．盧卡斯數(shù)列是以數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯命名，與裴波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即，且，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先利用數(shù)列的遞推式推得，從而推得，由此得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
故，
因?yàn)椋?br>所以，，
故，
所以.
故選：C.
3．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，若存在正偶數(shù)m使得成立，則（）
A．2016B．2018C．2020D．2022
【答案】D
【分析】由得,由此可得化簡(jiǎn);
由及正偶數(shù)m得,由此可化簡(jiǎn) ,最后建立等式關(guān)系求得值.
【詳解】由題意，，故，
∴，
∵m為正偶數(shù)，∴，
∴左邊，
此時(shí)，，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:(1)化簡(jiǎn)的方法是用累乘法, 利用各項(xiàng)相乘相消后即可.
(2)化簡(jiǎn)的方法是用累加法,利用各項(xiàng)相加相消后即可.
4．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，則滿足等式的所有正整數(shù)為（）
A．1或3B．2或3C．1或4D．2或4
【答案】A
【分析】根據(jù)與的關(guān)系，求出，則①，又②，②－①×3得，得，進(jìn)而求出，由題意得，記，研究的單調(diào)性，求出的解即可．
【詳解】，
時(shí)，，
相減可得：，即
又時(shí)，，解得，滿足，
數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以．
對(duì)任意正整數(shù)n，都有成立，
得①，
又②，
②－①×3得：，
又，所以，得，
進(jìn)而，
由，得，即，
記，則，
以下證明時(shí)，，
因?yàn)椋?br>即時(shí)，單調(diào)遞減，，
綜上可得，滿足等式的所有正整數(shù)的取值為1或3．
故選：A．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要結(jié)合幾何知識(shí)，能熟練的應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)作答，關(guān)鍵是要注意構(gòu)造新數(shù)列解決問題.
5．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若對(duì)任意正整數(shù)n，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的概念可得，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件可得，然后分類討論即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，則，
即，又，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，則，又，
所以為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
則，則，
所以，又，
則，又，
所以，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，而，則，解得；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，而，則；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后通過討論結(jié)合數(shù)列不等式恒成立問題即得.
6．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，（），則下列結(jié)論正確的是（）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．D．
【答案】D
【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出，故不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，計(jì)算出的前三項(xiàng)，得到，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由題干條件得到，故為等比數(shù)列，得到，故，，……，，相加即可求出，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，在的基礎(chǔ)上，分奇偶項(xiàng)，分別得到通項(xiàng)公式，最后求出.
【詳解】由題意得：，，
由于，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；
則，，，
由于，故數(shù)列不為等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；
時(shí)，，即，
又，
故為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，
故，
故，，……，，
以上20個(gè)式子相加得：，C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，兩式相減得：
，
當(dāng)時(shí)，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符和該式，故，
令得：，
當(dāng)時(shí)，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符號(hào)該式，故，
令得：，
綜上：，D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】當(dāng)遇到時(shí)，數(shù)列往往要分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別求出通項(xiàng)公式，最后再檢驗(yàn)?zāi)懿荒芎喜橐粋€(gè)，這類題目的處理思路可分別令和，用累加法進(jìn)行求解.
二、多選題
7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列定義如下：，，若對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)已定義，則對(duì)于，定義，為其前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）
A．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為B．?dāng)?shù)列的第2023項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為D．
【答案】ACD
【分析】由數(shù)列的定義，對(duì)通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行討論，驗(yàn)證選項(xiàng)是否正確.
【詳解】
…，
，故A選項(xiàng)正確；
，
，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，，…，當(dāng)時(shí)，，
所以，故C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，
，故D選項(xiàng)正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決新定義問題，首先考查對(duì)定義的理解。其次是考查滿足新定義的數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的數(shù)列有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時(shí)需要結(jié)合新數(shù)列的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).第三是考查綜合分析能力，主要是將新性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).
8．（2023春·浙江寧波·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列前項(xiàng)和為，若，且，則以下結(jié)論正確的有（）
A．
B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
D．的最大值為
【答案】BCD
【分析】對(duì)A：取特值，結(jié)合，運(yùn)算求解即可；對(duì)B：根據(jù)題意可得，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析判斷；對(duì)C：可得，作差即可得結(jié)果；對(duì)D：利用累加法求得，整理可得，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性分析運(yùn)算.
【詳解】由，可得：
對(duì)A：令可得：，，則，
令可得：，
即，則，
由，解得，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：對(duì)，則，
故數(shù)列為遞增數(shù)列，B正確；
對(duì)C：當(dāng)時(shí)，可得，則，
故數(shù)列為等差數(shù)列，C正確；
對(duì)D：∵，
則
，
且，
故
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
可得，對(duì)恒成立，
故當(dāng)時(shí)，取最大值，D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點(diǎn)
(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點(diǎn)．
(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視的問題．
(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化．
9．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第十三中學(xué)校考期末）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）
A．是等差數(shù)列B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A,求出，再將轉(zhuǎn)化為,即可證明，
對(duì)于B,利用A的結(jié)論求出，再利用基本不等式，即可證明.
對(duì)于C，求出，即可判斷正誤，
對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)，即可判斷正誤
【詳解】，，解得：
時(shí)，，
整理得：
故是等差數(shù)列，選項(xiàng)A正確；
，則，，選項(xiàng)B正確；
，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
令，，
在遞增，，則
即，選項(xiàng)D正確；
故選：ABD.
10．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論正確的有（）．
A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】對(duì)A：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義分析證明；對(duì)B：先證，結(jié)合累加法運(yùn)算求解；對(duì)C：可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析運(yùn)算；對(duì)D：先證，結(jié)合累積法可得，再根據(jù)等比數(shù)列求和分析運(yùn)算.
【詳解】對(duì)A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，注意到，故，
可知對(duì)，，即，即，
故數(shù)列是遞增數(shù)列，A正確；
對(duì)B：∵，
由A可得：對(duì)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即，
則，即；
當(dāng)時(shí)，則也滿足；
綜上所述：，B正確；
對(duì)C：∵，則，
注意到，即，
∴，即，
故，
可得，C正確；
對(duì)D：∵，
注意到，則，
故，可得，
則，
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，，
故.
則，D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
（1）根據(jù)題意證明，放縮結(jié)合等比數(shù)列運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意整理可得，裂項(xiàng)相消求和；
（3）可證，放縮結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式運(yùn)算求解.
11．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，僅得最大值.記數(shù)列的前k項(xiàng)和為，（）
A．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值
B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值
C．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值
D．若，，則當(dāng)或14時(shí)，取得最大值
【答案】BD
【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，得數(shù)列為遞減數(shù)列，分析的正負(fù)號(hào)，可得的最大值的取到情況.
【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，
對(duì)于A，且時(shí)取最大值，設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，
所以或14時(shí)，前k項(xiàng)和取最大值，A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，則時(shí)，，時(shí)，.
，則，，
，，
前14項(xiàng)和最大，B項(xiàng)正確；
對(duì)于C，，則，同理，，，
前13項(xiàng)和最大，C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，得，由題等差數(shù)列在時(shí)，，時(shí)，，所以，，，所以或14時(shí)，前k項(xiàng)和取最大值，D項(xiàng)正確；
故選：BD.
12．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正整數(shù)，其中.記，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．
B．
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
D．
【答案】ACD
【分析】分別表示出，，即可求解A，再求出可求解B，利用等差數(shù)列的定義可求解C，根據(jù)可求解D.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，所以，同理，所以，…，，所以，，
所以，所以，A項(xiàng)正確；，，B項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)也符合，所以，所以，
所以，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，C項(xiàng)正確；，
，D項(xiàng)正確.
故選:ACD.
13．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列，，且滿足，，則（）
A．B．的最大值為
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可求得，知A錯(cuò)誤；由，采用作商法可證得數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，由此知B正確；由遞推關(guān)系式可求得，采用累加法，結(jié)合可推導(dǎo)得C正確；結(jié)合C中，采用放縮法得，裂項(xiàng)相消可求得D正確.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即，解得：；
當(dāng)時(shí)，，即，解得：；
當(dāng)時(shí)，，即，解得：；
，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由得：，
又，，，，，
數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，，B正確；
對(duì)于C，由得：，，
，
數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，即，，C正確；
對(duì)于D，由C知：，
，
，D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、數(shù)列求和與數(shù)列放縮的知識(shí)；本題判斷CD選項(xiàng)的關(guān)鍵是能夠?qū)τ跀?shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行準(zhǔn)確的放縮，從而根據(jù)不等關(guān)系，結(jié)合數(shù)列求和方法來得到結(jié)論.
14．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，若對(duì)于任意，都有，則（）
A．當(dāng)或時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列
B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，且
C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列
D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)數(shù)列
【答案】ABC
【分析】直接代入計(jì)算判斷A；由題知，，再依次討論BC選項(xiàng)即可判斷；根據(jù)無法確定符號(hào)判斷D.
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由得，
所以，當(dāng)時(shí)，，是常數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，是常數(shù)列，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)時(shí)，，即，
同理可得，，
所以，即，
所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由得，即
由得，
所以，，
同理可得，
所以，即，
所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，即，
由得，符號(hào)不確定，
所以符號(hào)不確定，
所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的單調(diào)性無法確定，故錯(cuò)誤.
故選：ABC
15．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）1979年,李政道博士給中國科技大學(xué)少年班出過一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺,準(zhǔn)備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來,先吃掉1個(gè)桃子,然后將其分成5等份,藏起自己的一份就去睡覺了;第2只猴子又爬起來,吃掉1個(gè)桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自己的一份睡覺去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問最初至少有多少個(gè)桃子?最后至少剩下多少個(gè)桃子?”.下列說法正確的是( )
A．若第n只猴子分得個(gè)桃子(不含吃的),則
B．若第n只猴子連吃帶分共得到個(gè)桃子,則為等比數(shù)列
C．若最初有個(gè)桃子,則第只猴子分得個(gè)桃子(不含吃的)
D．若最初有個(gè)桃子,則必有的倍數(shù)
【答案】ABD
【分析】設(shè)最初有個(gè)桃子，猴子每次分剩下的桃子依次為，則,若第n只猴子分得個(gè)桃子(不含吃的),則,根據(jù)與關(guān)系即可判斷A的正誤;由A構(gòu)造等比數(shù)列即可判斷B的正誤;根據(jù)B求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,將代入求解即可判斷C;根據(jù)題意,,又為等比數(shù)列,判斷D的正誤.
【詳解】設(shè)最初有個(gè)桃子,猴子每次分剩下的桃子依次為,則
,
若第n只猴子分得個(gè)桃子(不含吃的),則
,
所以,
即,故A正確;
由A，,
則,
即是等比數(shù)列,
若第n只猴子連吃帶分共得到個(gè)桃子,則,
所以是以為公比的等比數(shù)列,故B正確.
由B知,是等比數(shù)列,
所以,
即,
若最初有個(gè)桃子,即,
所以,故C錯(cuò)誤;
根據(jù)題意:,
因?yàn)橐詾楣鹊牡缺葦?shù)列,
所以,
化簡(jiǎn)得,
因?yàn)?且為正整數(shù),
所以,
即必有的倍數(shù),故D正確.
故選:ABD.
16．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知遞增的正整數(shù)列的前n項(xiàng)和為．以下條件能得出為等差數(shù)列的有（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】用與的關(guān)系，計(jì)算判斷A和B；按的奇偶求出，再結(jié)合遞增的正整數(shù)列推出判斷C；按給定條件求出數(shù)列的通項(xiàng)，再結(jié)合遞增的正整數(shù)列求出判斷D作答.
【詳解】對(duì)于A，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足，
而且時(shí)，，則為等差數(shù)列，A正確；
對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，
得，因此數(shù)列不是等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，即為隔項(xiàng)等差數(shù)列，且是遞增的正整數(shù)列，
則，，，且，有，即，
于是，，因此，
所以為等差數(shù)列，C正確；
對(duì)于D，，，
，，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，則，
從到中間恰有項(xiàng)：，它們是遞增的正整數(shù)，
而到中間有個(gè)遞增的正整數(shù)，無法一一對(duì)應(yīng)，
若，則會(huì)出現(xiàn)如：2，4，5，8，9，10，11，16…的數(shù)列，非等差數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：AC
17．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列，公比為，若存在無窮多個(gè)不同的，滿足，則下列選項(xiàng)之中，可能成立的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】分類討論，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)分析判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則有：
①當(dāng)，則為非零常數(shù)列，故，符合題意，A正確；
②當(dāng)，則為單調(diào)數(shù)列，故恒不成立，即且不合題意；
當(dāng)時(shí)，可得，則有：
①當(dāng)，若為偶數(shù)時(shí)，則；
若為奇數(shù)時(shí)，則；
故符合題意，B正確；
②當(dāng)，若為偶數(shù)時(shí)，則，且，即；
若為奇數(shù)時(shí)，則，且，即；
故符合題意，C正確；
③當(dāng)，若，可得，
∵，則，可得，則，這與等比數(shù)列相矛盾，
故和均不合題意，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
18．（2023秋·湖南株洲·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，數(shù)列前項(xiàng)和為，則下列敘述正確的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)數(shù)列的作差，放縮，累加，等方法即可求解.
【詳解】，
又，
歸納可得，
故選項(xiàng)A正確；
數(shù)列單調(diào)遞減，
當(dāng) 時(shí)，；
當(dāng) 時(shí)，.故選項(xiàng)D正確；
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
,
，
所以當(dāng)時(shí)，
.
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)B正確；
故選：ABD.
19．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，B證明數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列即得解；對(duì)于選項(xiàng)C，證明隨著減小，從而增大，即得解；對(duì)于選項(xiàng)D，證明，即得解.
【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A、B，因?yàn)椋?，所以?br>設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)椋赃@種情況不存在，
則數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減數(shù)列，
故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，
令，設(shè)
則，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，從而增大，
所以，即，所以C選項(xiàng)正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，由前面得，
下面證明，只需證明，
令，則，所以，
令，則，
成立，則
所以
所以D選項(xiàng)正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)、不等式與數(shù)列的綜合問題，屬于難題.解決該問題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：
（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)；
（2）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；
（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.
20．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．對(duì)于任意的，都有
B．對(duì)于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列
C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列
D．若，則當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【分析】A由遞推式有上，結(jié)合恒成立，即可判斷：B反證法：假設(shè)為常數(shù)列，根據(jù)遞推式求判斷是否符合，即可判斷；C、D由上，討論、研究數(shù)列單調(diào)性，即可判斷.
【詳解】A：由，對(duì)有，則，即任意都有，正確；
B：由，若為常數(shù)列且，則滿足，錯(cuò)誤；
C：由且，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)且，數(shù)列遞增；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，數(shù)列遞減；
所以時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；
D：由C分析知：時(shí)且數(shù)列遞減，即時(shí)，正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)B應(yīng)用反證法，假設(shè)為常數(shù)列求通項(xiàng)，判斷是否與矛盾；對(duì)于C、D，將遞推式變形為，討論、時(shí)研究數(shù)列的單調(diào)性.
21．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，，記，則下列結(jié)論正確的是（）
A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由數(shù)列的遞推公式可判斷A,B；利用累加法計(jì)算可判斷選項(xiàng)C,D.
【詳解】對(duì)A，由知，的前10項(xiàng)依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
其中，第一二項(xiàng)相等，不滿足遞增性，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，根據(jù)遞推公式，得，故B正確；
對(duì)C，，
，
，
……，
，
∴，即，故C正確；
對(duì)D，由遞推式，得，，…，，
累加得，
∴，
∴，
即，故D正確；
故選：BCD．
22．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，且，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】對(duì)于A,證明數(shù)列單調(diào)遞減即得解；對(duì)于B，證明即得解；
對(duì)于C，隨著減小，從而增大．即得解；對(duì)于D，證明即得解.
【詳解】對(duì)于A:,,在單調(diào)遞增, 在單調(diào)遞減, ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),
若,又因?yàn)閯t,則，則,又因?yàn)樗运裕?br>設(shè)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
所以所以所以
由, 當(dāng)時(shí),
因?yàn)?，所?則,同理得,
當(dāng)時(shí)，；
所以，所以數(shù)列單調(diào)遞減.則, 所以選項(xiàng)A正確.
對(duì)于B：由前面得．下面證明．
只需證明，令，
，
令，則，
∴成立．所以，
所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，設(shè)，設(shè)，
則．所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，
從而增大．所以，即．所以C錯(cuò)誤．
對(duì)于D：一般地，證明：．
只需證明．
．令，
則，
∴成立．所以，所以．所以D正確．
故選：.
23．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足為其前項(xiàng)和，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，先構(gòu)造函數(shù)，并研究其單調(diào)性，利用進(jìn)行放縮，利用數(shù)學(xué)歸納法可證明；
B選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性即可；
C 選項(xiàng)，利用數(shù)學(xué)歸納法和假設(shè)法可證明；
D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)結(jié)論對(duì)進(jìn)行放縮即可證明.
【詳解】設(shè)函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增.
用數(shù)學(xué)歸納法下證.
當(dāng)時(shí)，有；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，
由于，
所以根據(jù)在上單調(diào)遞增可知，
即當(dāng)時(shí)，有.
綜上可知，.
對(duì)于A，令，
因?yàn)?，故在上單調(diào)遞增，故，
即，即.
，故A正確.
對(duì)于B，令，，
令，
令，則>0，所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，所以即在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，即.
故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：.
當(dāng)時(shí)，有成立；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，
若，
則由可知，
與假設(shè)矛盾，故.
故，故C正確.
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
故，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】與數(shù)列相關(guān)的不等式問題證明方法點(diǎn)睛：
（1）可以利用數(shù)學(xué)歸納法來進(jìn)行證明；
（2）可以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合不等式進(jìn)行放縮得到結(jié)果.
24．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）
A．B．
C．D．若數(shù)列滿足，則
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式和柯西不等式推導(dǎo)出，從而得到A正確，B錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)得到在上恒成立，結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明出C正確；D選項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到，再用裂項(xiàng)相消法求和，證明出結(jié)論.
【詳解】A選項(xiàng)，，故，
由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，A正確；
B選項(xiàng)，由柯西不等式得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
依次類推，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
故
，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)，，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，故在上恒成立，
，C正確；
D選項(xiàng)，，
，
故，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】常見的裂項(xiàng)相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數(shù)型：，等，
根式型：等，
對(duì)數(shù)型：，且；
25．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中校考期中）已知數(shù)列，滿足，，，，，則下列選項(xiàng)正確的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】代入數(shù)據(jù)可計(jì)算出，可判斷A選項(xiàng)；推導(dǎo)出，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)列為常數(shù)列，通過可判斷B選項(xiàng)；推導(dǎo)出，結(jié)合以及不等式的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；推導(dǎo)出數(shù)列為常數(shù)列，結(jié)合C選項(xiàng)可判斷D選項(xiàng).
【詳解】已知數(shù)列，滿足，，，，.
對(duì)于A選項(xiàng)，，，
，，
所以，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，
將等式與等式相加可得
，
所以，
，
所以，，即數(shù)列為常數(shù)列，
所以，，
所以，，即，故，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，
，
所以，，
且，
因此，，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，
所以，，則，
將等式與等式相減可得
所以，，
所以，所以，，即數(shù)列為常數(shù)列，
所以，，
所以，，所以，，
故，D對(duì).
故選；ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查由遞推數(shù)列判斷數(shù)列不等式的正誤，本題注意到將題干中的兩個(gè)的等式分別相加或相減，推導(dǎo)出數(shù)列、均為常數(shù)列是解本題的關(guān)鍵，此外需要求出的取值范圍，再結(jié)合不等式的基本求解，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.
三、填空題
26．（2023秋·浙江寧波·高三期末）已知數(shù)列滿足：，若恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明單調(diào)遞減且，構(gòu)造函數(shù)可得，判斷出函數(shù)單調(diào)性根據(jù)恒成立問題即可求出k的取值范圍.
【詳解】由，可得，即，
因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增，且，
而，即，可得，
可猜想數(shù)列單調(diào)遞減且，
下面由數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，即，滿足，
當(dāng)時(shí)，假設(shè)成立，
當(dāng)時(shí)，，即，
即，可得，
又因?yàn)?，即?br>所以成立，
即數(shù)列單調(diào)遞減且成立，
由單調(diào)有界收斂定理可知收斂，設(shè)，
所以，所以，
所以，即遞減且趨于0，
令，則恒成立，
，令，
則在恒成立，
所以在恒成立，所以在單調(diào)遞增，
所以由恒成立可知，即，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定，再通過構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化成不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性即可求解.
27．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）“0，1數(shù)列”是每一項(xiàng)均為0或1的數(shù)列，在通信技術(shù)中應(yīng)用廣泛.設(shè)是一個(gè)“0，1數(shù)列”，定義數(shù)列：數(shù)列中每個(gè)0都變?yōu)椤?，0，1”，中每個(gè)1都變?yōu)椤?，1，0”，所得到的新數(shù)列.例如數(shù)列：1，0，則數(shù)列：0，1，0，1，0，1.已知數(shù)列：1，0，1，0，1，記數(shù)列，，2，3，…，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和為______.
【答案】
【分析】根據(jù)題意，依次討論中0與1的個(gè)數(shù)，從而得解.
【詳解】依題意，可知經(jīng)過一次變換，每個(gè)1變成3項(xiàng)，其中2個(gè)0，1個(gè)1；每個(gè)0變成3項(xiàng)，其中2個(gè)1，1個(gè)0，
因?yàn)閿?shù)列：1，0，1，0，1，共有5項(xiàng)，3個(gè)1，2個(gè)0，
所以有項(xiàng)，3個(gè)1變?yōu)?個(gè)0，3個(gè)1；2個(gè)0變?yōu)?個(gè)1，2個(gè)0；故數(shù)列中有7個(gè)1，8個(gè)0；
有項(xiàng)，7個(gè)1變?yōu)?4個(gè)0，7個(gè)1；8個(gè)0變?yōu)?6個(gè)1，8個(gè)0；故數(shù)列中有23個(gè)1，22個(gè)0；
有項(xiàng)，23個(gè)1變?yōu)?6個(gè)0，23個(gè)1；22個(gè)0變?yōu)?4個(gè)1，22個(gè)0；故數(shù)列中有67個(gè)1，68個(gè)0；
所以數(shù)列的所有項(xiàng)之和為.
故答案為：.
28．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，函數(shù)且.則______.
【答案】##0.25
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義和對(duì)稱性可得，利用輔助角公式對(duì)化簡(jiǎn)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合夾逼原理即可求解.
【詳解】因?yàn)橛形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，為偶函數(shù)，
所以，即，，
所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，
又因?yàn)?br>，
令，則為奇函數(shù)，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
由題意得，
因?yàn)閿?shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其中，則，假設(shè)，
，
因?yàn)?br>所以，
假設(shè)，同理可得，
綜上，，
故答案為：
29．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）定義是與實(shí)數(shù)的距離最近的整數(shù)（當(dāng)為兩相鄰整數(shù)的算術(shù)平均值時(shí)，取較大整數(shù)），如，令函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則__________；__________.
【答案】 3
【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可知，數(shù)列重新分組可得，，且滿足第組有個(gè)數(shù)，且每組中所有數(shù)之和為，即可求解.
【詳解】因?yàn)?br>所以；
根據(jù)，
當(dāng)時(shí)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，則，，
以此類推，將重新分組如下，
，
第組有個(gè)數(shù)，且每組中所有數(shù)之和為，
設(shè)在第組中，
則，可得解得，
所以，
故答案為：3;.
30．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列中，表示自然數(shù)的所有因數(shù)中最大的那個(gè)奇數(shù)，例如：20的因數(shù)有1，2，4，5，10，20，，21的因數(shù)有1，3，7，21，，那么數(shù)列前項(xiàng)的和______
【答案】
【分析】方法一：將數(shù)列，按照（，且）的奇數(shù)倍分組，根據(jù)數(shù)列的定義，求出每個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)值，得到一個(gè)等差數(shù)列，求出和為.然后將每組的和加起來，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果；方法二：由已知求出，，，可猜想.用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意正整數(shù)都成立即可. 然后由以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求出答案.
【詳解】方法一：根據(jù)數(shù)列的定義可得，，所以.
將數(shù)列分為以下各組：
所有的奇數(shù)：1，3，5，，.根據(jù)定義，對(duì)應(yīng)中的數(shù)列為1，3，5，，，構(gòu)成一個(gè)公差為2，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，和為；
2的奇數(shù)倍：，，，，.根據(jù)定義，對(duì)應(yīng)中的數(shù)列為1，3，5，，，構(gòu)成一個(gè)公差為2，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，和為；
的奇數(shù)倍：，，，，.根據(jù)定義，對(duì)應(yīng)中的數(shù)列為1，3，5，，，構(gòu)成一個(gè)公差為2，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，和為；
……
（，且）的奇數(shù)倍：，，，，.根據(jù)定義，對(duì)應(yīng)中的數(shù)列為1，3，5，，，構(gòu)成一個(gè)公差為2，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，和為；
……
的奇數(shù)倍：，.根據(jù)定義，對(duì)應(yīng)中的數(shù)列為1，3，和為；
的奇數(shù)倍：.根據(jù)定義，對(duì)應(yīng)中的數(shù)列為1，和為.
所以，數(shù)列前項(xiàng)的和.
方法二：由已知可得，，，
，
.
則可猜想，.
（1）當(dāng)時(shí)，成立；
（2）假設(shè)時(shí)，該式成立，即，即.
則當(dāng)時(shí)，有，
由定義可知，.
所以，
，
所以.
即當(dāng)時(shí)，該式也成立.
由（1）（2）可知，對(duì)都成立.
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)列的定義可得，，進(jìn)而可推出.即可按照（，且）的奇數(shù)倍，對(duì)數(shù)列進(jìn)行合理分組.

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