【考前50天】最新高考數(shù)學重點專題三輪沖刺演練專題06 導數(shù)大題（壓軸版）-試卷下載-教習網

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2、做題經驗。哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯題。多刷錯題能夠進一步地掃清知識盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識點。
對于學生來說，三輪復習就相當于是最后的“救命稻草”，家長們同樣是這樣，不要老是去責怪孩子考試成績不佳，相反，更多的來說，如果能夠陪同孩子去反思成績不佳的原因，找到問題的癥結所在，更加重要。
【一專三練】專題06 導數(shù)大題壓軸練-新高考數(shù)學復習
分層訓練（新高考通用）
1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)求的極值；
(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)極小值，無極大值
(2)
【分析】（1）先求導數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性，根據(jù)單調性得出極值；
（2）原問題轉化為不等式在上恒成立，方法一通過研究函數(shù)單調性求得的最小值為，從而求出；方法二通過同構構造函數(shù)并研究其單調性最值，從而說明的最小值為，進而求出.
【詳解】（1）求導得，
所以當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以有極小值，無極大值.
（2）方法一：由題知不等式在上恒成立，
則原問題等價于不等式在上恒成立，
記，
則，
記，則恒成立，
所以在上單調遞增，又，
所以存在，使得，
即當時，，此時；當時，，此時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
由，得，
即，
所以，
①當時，
因為，所以不等式恒成立，
所以；
②當時，
因為存在，使得，而，
此時不滿足，
所以無解.
綜上所述，.
方法二：由題知不等式在上恒成立，
原問題等價于不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
記，則，當單調遞減，單調遞增，
因為即，
①當時，
因為，所以不等式恒成立，所以；
②當時，令，顯然單調遞增，且，
故存在，使得，即，而，此時不滿足，所以無解.
綜上所述，.
【點睛】關鍵點點睛：已知不等關系求解參數(shù)范圍時，求解的關鍵是轉化為函數(shù)最值問題求解，求解最值時常借助隱零點、同構等方法進行求解.
2．（2023·廣東深圳·深圳中學校聯(lián)考模擬預測）設.
(1)求的單調性，并求在處的切線方程；
(2)若在上恒成立，求k的取值范圍.
【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
(2)
【分析】（1）利用函數(shù)單調性間與導數(shù)的關系，可直接求出單調增區(qū)間和單調減區(qū)間；再由導數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在處的導數(shù)值，即切線的斜率，從而求出切線方程；
（2）恒（能）成立問題，轉化求函數(shù)的最值，再利用的函數(shù)的單調性，即可求出結果.
【詳解】（1）因為，所以，
由得到，由，得到，
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.
當時，，
所以切點為，又，
∴在處的切線方程為：
，即.
（2）由，即，
所以，
∵，∴，∴，
由（1）可知在上單調遞減，
下證：，
即證：在恒成立，
令，則，
∴在上單調遞增，
又∵，∴.
∴，
∵在上單調遞減，
∴，即，∴.
∴.
3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）設函數(shù)，.
(1)若函數(shù)圖象恰與函數(shù)圖象相切，求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，，設點，，證明：、兩點連線的斜率.
【答案】(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）設切點為，結合導數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）由有兩個極值點，可得有兩個不等的正根，且，可得，要證：，即證.令證，進而構造函數(shù)，再利用導數(shù)求解即可；
【詳解】（1）設與切于，
由，則，
所以，則，
即，
令，則，
所以在上單調遞增，
又，所以，
所以.
（2）解法一：
由，
所以，
因為有兩個極值點，
，即有兩個不等的正根，且，
，
要證：，即證.
不妨設，即證：，
即證：，
令證
令，
在上，證畢!
解法二：
因為，所以，
令，則，
因為函數(shù)有兩個極值點，所以，解得.
所以，
所以的斜率
.
令，則，
所以在上單調遞增，又，
所以當時，.
不妨設，令，則，
所以，
即，證畢!
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式，通常要分析不等式結構，構造函數(shù)求解.本題關鍵在于分析要證：，即證.令證，進而構造函數(shù)，再利用導數(shù)求解.
4．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，證明：在區(qū)間上單調遞增；
(2)若函數(shù)存在兩個不同的極值點，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求導，再令，利用導數(shù)法判斷的正負即可；
（2）求導，由存在兩個不同的極值點，得到存在兩個不同的變號零點，再令，用導數(shù)法研究其零點即可；
【詳解】（1）解：，令，
則，
當時，，遞減；當時，，遞增，
∴，
∴在上單調遞增．
（2）因為，
所以，
∵存在兩個不同的極值點，
∴存在兩個不同的變號零點，
令，則，
，
令，
，則在上遞減，
注意到，
∴當時，，則，遞減；
當時，，則，遞增，
∴．
要使有兩個不同的變號零點，則，解得．
且當時，，當時，，
∴．
綜上：，即m的取值范圍為．
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問在研究的零點時，不僅要其最小值小于0，也要研究和時的情況.
5．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)若的最小值為1，求在上的最小值；
(2)若，證明：當時，．
【答案】(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，求得函數(shù)的單調性和，求得，得到，求得，設，由，得到在上是增函數(shù)，進而得到在上是增函數(shù)，即可求解.
（2）由（1）得時，得到，從而得到，轉化為上成立，進而轉化為，即證，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性，得到，進而證得成立.
【詳解】（1）解：因為，可得，
若，則，在上單調遞減，無最小值，
因此，令，可得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以，解得，
則，可得，
設，則在上恒成立，
所以在單調遞增，即在上是增函數(shù)，
又由，所以在上是增函數(shù)，所以.
（2）解：由（1）得時，，即，從而，
當時，，
又因為，所以，
所以在上成立，
即在上成立，
當時，，，，
要證，只要證明，
即要證，
設，，
，
易知，所以，是增函數(shù)，所以，
又時，，所以，
即成立，
綜上，當時，．
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
6．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)求的最小值.
(2)若，且.證明：
（?。?；
（ⅱ）.
【答案】(1)7
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）利用導數(shù)求得的單調區(qū)間，進而求得的最小值.
（2）（ⅰ）利用差比較法證得不等式成立.
（ⅱ）將證明轉化為證明，利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)證得不等式成立.
【詳解】（1）.
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增.
所以.
（2）（?。┯桑?）可知，
，
因為，所以，，
則，所以.
（ⅱ）由得，
要證，只需證，只需證，
即證.
令函數(shù)，
則，
所以
，
因為，
所以，在上單調遞減.
所以，則，故.
7．（2023·河北衡水·河北衡水中學?？既＃┮阎獮檎龑崝?shù)，函數(shù).
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)求證：（）.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導，分類討論判斷單調性，結合恒成立問題運算求解；
（2）根據(jù)（1）可得不等式可證，構建，利用導數(shù)證明，結合裂項相消法可證.
【詳解】（1），
①若，即，，函數(shù)在區(qū)間單調遞增，故，滿足條件；
②若，即，當時，，函數(shù)單調遞減，則，矛盾，不符合題意.
綜上所述：.
（2）先證右側不等式，如下：
由（1）可得：當時，有，則，
即，即，
則有，
即，右側不等式得證.
下證左側不等式，如下：
構建，則在上恒成立，
故在上單調遞減，則，
即，可得，即，
則有，
即，
∵，則，
故，左側得證.
綜上所述：不等式成立.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟：
(1)作差或變形．
(2)構造新的函數(shù)h(x)．
(3)利用導數(shù)研究h(x)的單調性或最值．
(4)根據(jù)單調性及最值，得到所證不等式．
特別地：當作差或變形構造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
8．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知有兩個極值點、，且．
(1)求的范圍；
(2)當時，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由可得，令，其中，分析可知直線與函數(shù)的圖象由兩個交點（非切點），利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，數(shù)形結合可得出實數(shù)的取值范圍，再結合極值點的定義檢驗即可；
（2）由（1）可知，可得出，，構造函數(shù)，其中，分析函數(shù)的單調性，可得出，以及，結合不等式的基本性質可證得；然后構造函數(shù)，通過分析函數(shù)的單調性證出，即可證得結論成立.
【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，，
令可得，
因為函數(shù)有兩個極值點，則函數(shù)有兩個異號的零點，
令，其中，則直線與函數(shù)的圖象由兩個交點（非切點），
，令可得，列表如下：
如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象由兩個交點，且交點橫坐標分別為、，
當時，，則，此時函數(shù)單調遞增，
當時，，則，此時函數(shù)單調遞減，
當時，，則，此時函數(shù)單調遞增.
因此，當時，函數(shù)有兩個極值點.
（2）證明：由（1）可知，
函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
且，則有，
由于，所以，，即，
又因為，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調遞減，則，
因為，所以，，
下面證明：.
因為，則，
因為函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，
所以，
，
令，其中，
則，
令，則，
當且僅當時，等號成立，所以，函數(shù)在上單調遞減，
所以，，則函數(shù)在上單調遞增，
因此，，
綜上所述，成立.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).
9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，．
(1)若直線是曲線的一條切線，求的值；
(2)若對于任意的，都存在，使成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 直線是曲線的一條切線,根據(jù)切點在切線和原函數(shù)上，斜率是切點處導數(shù)列式求的值即可；
(2) 把任意的，都存在，使成立轉化，在參數(shù)分離轉化為恒成立,構造函數(shù) ，求出，進而求出的取值范圍.
【詳解】（1）由得,
設直線與曲線的切點為,
則，
解得
因此的值為.
（2）由得
設，則 ,
因為當時，，所以在上單調遞增，
又因為
所以存在，使 ,
且當時，；當時，；
從而，且當時，；
當時， ,所以函數(shù) 在上單調遞減，在上單調遞增，
因此 ,
由，得從而 ,
所以
由對于任意的，都存在，使成立，
得對于任意的，都有 ,
即不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立.
設，則
因為，當時，;
當時，;
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，因此 ,
故的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：把任意的，都存在，使成立轉化為，參數(shù)分離后構造函數(shù)求導即可求解.
10．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)若存在兩個非負零點，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出導函數(shù)的值，求出切線的斜率，求出切點坐標，然后求解曲線的方程即可；
（2）結合（1）的結論和題意可知，只需證明當時，，且，然后分別證明和即可求證.
【詳解】（1）由題可知，
因為，所以，在處的切線方程為．
（2）存在兩個非負零點，設，
由（1）可知在處的切線方程為，
注意到，
所以，在處的切線方程為．
下證：當時，，且．
（i）要證，即證，只需證．①
設，故在上單調遞增，
故，即恒成立．
要證①，只需證．
當時上式成立；當時，即證，
此時，由于，故，
于是，當時，．
（ii）要證，只需證，
即證．
設，
則．
設，
則．
當時，，
當時，，故．
于是恒成立，故在上單調遞減．
從而，即恒成立，故在上單調遞增，
從而，于是．
設的零點為的零點為，
則．
因為，所以，
因為，所以，
又，
所以，
所以．
【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)． (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結合思想的應用．
11．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知，函數(shù)，.
(1)若，求證：僅有1個零點；
(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）代入，求出導數(shù)，通過證明單調性繼而證明出僅有1個零點；
（2）由解析式可知，證明有兩個零點，只需證明在或上存在零點，分類討論的不同取值時，在這兩個區(qū)間的單調情況，以及取值范圍從而求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當，，
時，，
所以在上單調遞增，且，
所以僅有1個零點.
（2），
當時，，在上單調遞增，此時僅有1個零點0；
當時，時，設，
則，所以在上單調遞減，
所以，所以在上單調遞增，
時，，
，所以在上單調遞減，此時僅有1個零點0；
當時，，
由上知在上單調遞增，在上，，
所以存在，使得，
在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，，
要使有兩個零點，則，
此時；
當時，由上知在上單調遞減，
且在上單調遞減，，
時，，則，
所以存在使得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
時，，
所以，所以在上有1個零點，此時有兩個零點.
綜上，的取值范圍為
【點睛】方法點睛：
本題中在判斷零點范圍是使用了兩個技巧：
①合理的放縮函數(shù)，如，，在有限定義域內放縮一般要求被放縮函數(shù)存在上界或者下界，將函數(shù)放縮至上確界或者下確界；
②通過函數(shù)取值范圍確定零點范圍，如通過可得，通過可得，此處用到整體換元的思想，令.
12．（2023·湖北·荊州中學校聯(lián)考二模）已知，函數(shù)有兩個零點，記為，．
(1)證明：．
(2)對于，若存在，使得，試比較與的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）問題化為方程有兩個根，構造研究單調性，結合得到，即可證結論；
（2）由已知，結合作差，再構造研究其函數(shù)值符號比較大小，根據(jù)單調性即可證結論.
【詳解】（1）函數(shù)有兩個零點，即方程有兩個根．
令，則，故上，上，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，在處取得最大值，
∴，即，且，
又，且，，
結合函數(shù)的單調性得，
∴．
（2）由得：
．
而，
∴．
設，則．
令，則，
∴在上是增函數(shù)，因此，故．
又，，即，
∴，從而，即．
又在上是增函數(shù)，
∴，即．
13．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，研究函數(shù)的單調性；
(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)在定義域內單調遞增
(2)
【分析】（1）求函數(shù)的導函數(shù)可得，根據(jù)導數(shù)結構考慮構造函數(shù)，利用導數(shù)證明，取對數(shù)證明，由此證明，由此可得函數(shù)的單調性；
（2）設，，由已知可得恒成立，構造函數(shù)，討論，利用導數(shù)求其最小值，可得a的取值范圍．
【詳解】（1）因為，所以，
所以函數(shù)的定義域為，且，
構造函數(shù)，則，
令，得，
∴當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減．
∴，∴，
∴當時，，
所以當時，，當且僅當時等號成立，
所以當時，，當且僅當時等號成立，
∴，當且僅當時等號成立，
∴，當且僅當時等號成立，
∴在上單調遞增．
（2）∵，，等價于
，
令，，構造函數(shù)，
∴，，．
令，，，
注意到．
當時，，
∴，當時，，即當時，，
所以在上單調遞減，所以，不符合題意．
當時，令，，
，
∴單調遞增，則，
當時，則，
，單調遞增，．
∴，單調遞增，，符合題意．
綜上所述．
【點睛】方法點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)． (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結合思想的應用．
14．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．
(1)對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)設方程在區(qū)間內的根從小到大依次為，，…，，…，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知可得出對任意的恒成立，驗證對任意的恒成立；在時，利用參變分離法可得出，利用倒數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可求解；
（2）令，利用導數(shù)分析在上的單調性，利用零點存在性定理可知，求得，證明出，結和的單調性，即可證得結論成立.
【詳解】（1），對任意的，恒成立，
即對任意的恒成立．
當時，則有對任意的恒成立；
當時，，則，令，其中，
，
且不恒為零，
故函數(shù)在上單調遞增，則，故．
綜上所述，．
（2）由可得，
令，則．
因為，則，
所以，，所以，函數(shù)在上單調遞減．
因為，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，則，
所以，
，
因為函數(shù)在上單調遞減，
故，即．
【點睛】利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結論構造輔助函數(shù).
15．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）設函數(shù).
(1)證明：當時，有唯一零點；
(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求導，根據(jù)導函數(shù)判斷函數(shù) 的單調性，再根據(jù)零點存在法則求解；
（2）求導，根據(jù)導函數(shù)的結構，對a分類討論.
【詳解】（1），
令，則，則單調遞增，
且，∴ ，
單調遞減，單調遞增，
且，則，
∴存在唯一零點，使得，即有唯一零點；
（2），
則，又令，
①當，即時，恒成立，∴在區(qū)間上單調遞增，
∴，∴ ，∴在區(qū)間上單調遞增，
∴（不合題意）；
②當即時，在區(qū)間上單調遞減，
∴，∴ ，∴在區(qū)間上單調遞減，
∴（符合題意）；
③當，即時，由，
∴ ，使，且時，，
∴在上單調遞增，∴（不符合題意）；
綜上，a的取值范圍是；
【點睛】本題的函數(shù)類型是三角函數(shù)與非三角函數(shù)組合成的，對于這一類函數(shù)往往是在一個周期內討論或半個周期內討論；如果一次求導不能判斷清楚導函數(shù)的符號，則需要多次求導，而且每次求導后都要研究導函數(shù)的解析式能否判斷清楚導函數(shù)的符號，直至能判斷清楚導函數(shù)的符號為止.
16．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）已知函數(shù),.
(1),求的最值;
(2)若函數(shù)恰有兩個不同的零點,求的取值范圍.
【答案】(1)最大值是,無最小值
(2)
【分析】(1)求導研究函數(shù)單調性即可求得最值.
(2)分析函數(shù)的零點,本質上是分析函數(shù)的單調性與極值的問題,求導之后發(fā)現(xiàn)導數(shù)有一個零點含參,需對導數(shù)的該零點進行分類討論,從而討論函數(shù)單調性和極值的情況,結合極限,即可分析函數(shù)的零點個數(shù).難點在于定義域是,需要對參數(shù)進行分類討論.
【詳解】（1）由題意可得,定義域為.
設,由,得,由,得.
則在上單調遞增,在上單調減,
,
故在上的最大值是,無最小值.
（2）由題意可得,
,
的定義域是.
①當,即時,時,時,
則在上單調遞減,在上單調遞增.
因為時,,時,,
所以要有兩個零點,
則,解得,故;
②當,即時,由,解得,
因為,所以,則有且僅有1個零點,故不符合題意;
③當,即時,由,得或,
由,得,
則在和上單調遞增,在上單調遞減.
因為時,,時,,
所以要有兩個零點,則或
,
若,解得,不符合題意,
若,設,則化為,
時,,,
所以,無解,
即無解,故不符合題意;
④當,即時,恒成立,則在上單調遞增,從而最多有1個零點,則不符合題意;
⑤當,即時,由,得或,由,得,
則在和上單調遞增,在上單調遞減.
因為時,,時,,
所以要有兩個零點,則或.
若,解得,不符合題意,
若.
設,則化為,
由（1）知在上單調遞減,所以,無解,
即無解,故不符合題意.
綜上,的取值范圍是.
【點睛】本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)零點個數(shù)問題,難點在于函數(shù)定義域是,因此導數(shù)的零點需要根據(jù)定義域分類討論,在定義域內有一個根, 還是兩個根,有兩個根時還需要比較兩根的大小,從而得出函數(shù)單調性極值,由于含有參數(shù)還需結合函數(shù)變化趨勢確定零點的存在性,從而得出結論.分類不清易出錯.
17．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)和有公切線，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，用導數(shù)法解即可；
（2）設函數(shù)在點處與函數(shù)在點處有相同的切線，
由，化簡得到，然后將問題轉化為關于的方程有解求解.
【詳解】（1）由題意，當時，設，
則，
，
令，得（舍負）
在上單調遞減，在上單調遞增，
.
根據(jù)題意的取值范圍為.
（2）設函數(shù)在點處與函數(shù)在點處有相同的切線，
則，
，代入
得.
問題轉化為：關于的方程有解，
設，則函數(shù)有零點，
，當時，
.
問題轉化為：的最小值小于或等于0.
，
設，則
當時，，當時，.
在上單調遞減，在上單調遞增，
的最小值為.
由知，
故.
設，
則，
故在上單調遞增，
當時，，
的最小值等價于.
又函數(shù)在上單調遞增，
.
【點睛】方法點睛：對于函數(shù)與函數(shù)有相同的切線問題，一般設函數(shù)在點處與函數(shù)在點處有相同的切線，由，利用消元法，轉化為方程有解求解.
18．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若函數(shù)有兩個零點，且.
(1)求a的取值范圍；
(2)若在和處的切線交于點，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)單調性，根據(jù)單調性及函數(shù)圖象的變化趨勢結合零點個數(shù)求解；
（2）構造函數(shù)，利用單調性證明證明右邊，再利用導數(shù)求切線方程得出，左邊可轉化為，利用導數(shù)證明即可.
【詳解】（1）
當，，在上單調遞減，不可能兩個零點；
當時，令得
，，單調遞增，，，單調遞減，
∵，；；，
∴有唯一零點且有唯一零點，滿足題意，
綜上：；
（2）先證右邊：令則，
∴，，單調遞增，，，單調遞減，
∴的最大值為，∴，即，
∴且，
∴，
又∵，∴，
∴；
再證左邊：曲線在和處的切線分別是

聯(lián)立兩條切線得，∴，
由題意得，
要證，即證，即證，即證，
令，即證，
令，
，∴在單調遞減，∴，
∴得證.
綜上：.
【點睛】關鍵點點睛：導數(shù)題目中的證明題，主要觀察所證不等式，直接構造函數(shù)，或者將不等式轉化變形后，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及最值，利用函數(shù)的單調性或有界性求證，對觀察、運算能力要求較高，屬于難題.
19．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的極值點的個數(shù)；
(2)當a，b，時，恒成立，求m的取值范圍．
【答案】(1)函數(shù)的極值點個數(shù)為.
(2)
【分析】（1）求導，利用導數(shù)結合零點存在性定理得出函數(shù)的單調性，進而得出極值點個數(shù)；
（2）當時，由的單調性得出，當時，取，利用單調性得出，由此得出，并與已知矛盾，進而得出m的取值范圍．
【詳解】（1），令，得.
當時，因為，所以，，
即函數(shù)在上單調遞減.
當時，令，，所以是增函數(shù).
，
因為，所以，
所以存在唯一，使得，所以.
即，；當，，
故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點.
綜上所述，函數(shù)的極值點個數(shù)為.
（2）當時，，所以，
所以函數(shù)在上單調遞增.
因為，所以，即.
所以.
同理可得
所以.
所以.
當時，由（1）可知，在上存在唯一的零點，
且函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
取，則，
即.
同理可得.
所以，與已知矛盾.
所以的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：求函數(shù)的極值點的一般步驟：（1）求或二階導數(shù)；（2）求出導數(shù)的零點；（3）利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性；（4）確定函數(shù)的極值點.
20．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
(1)證明：函數(shù)只有一個零點；
(2)在區(qū)間上函數(shù)恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意可判斷，然后說明當時無零點；當時，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，進而說明函數(shù)零點只有一個；
（2）將變?yōu)椋瑥亩鴺嬙旌瘮?shù)，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，分時和時兩種情況討論不等式是否恒成立，結合，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：由可得，
當時，，，所以，
故，故在區(qū)間上無零點．
當時，，而，，且等號不會同時取到，
所以，
所以當時，函數(shù)單調遞增，所以，
故函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點0，
綜上，函數(shù)在定義域上有唯一零點.
（2）由在區(qū)間上恒成立，得，
即在區(qū)間上恒成立．
設，則在區(qū)間上恒成立，
而，
，則．
設，則，當時，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故在區(qū)間上，，
即在區(qū)間上，
設函數(shù)，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，
故在區(qū)間上，即在區(qū)間上，，
所以在區(qū)間上，，即，
所以在區(qū)間上函數(shù)單調遞增．
當時，，故在區(qū)間上函數(shù)，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增．
又，故，即函數(shù)在區(qū)間上恒成立．
當時，，
，
故在區(qū)間上函數(shù)存在零點，即，
又在區(qū)間上函數(shù)單調遞增，
故在區(qū)間上函數(shù)，所以在區(qū)間上函數(shù)單調遞減，
又，所以在區(qū)間上函數(shù)，與題設矛盾．
綜上，a的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：解答函數(shù)不等式恒成立問題的方法：（1）分離參數(shù)，即將不等式中所含參數(shù)分離出來，然后構造函數(shù)，將問題轉化為利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題；（2）將不等式變形為不等式一側為0，直接構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調性，利用函數(shù)單調性解決恒成立問題；（3）將不等式變形，再利用放縮法轉化為較常見形式的不等式，結合導數(shù)解決問題.
21．（2023·江蘇南通·海安高級中學?？家荒＃┮阎瘮?shù)且.
(1)設，討論的單調性；
(2)若且存在三個零點.
1）求實數(shù)的取值范圍；
2）設，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)1）；2)證明見解析
【分析】(1)先求的導函數(shù),再分類討論即可.
(2)1)根據(jù)存在三個零點，轉化為兩個函數(shù)有三個交點,再根據(jù)最值可求.
2)根據(jù)三個零點所在區(qū)間，把要證明的式子分解為三個部分，分別求解后可得.
【詳解】（1）,,
因為,定義域為
當時,,解,得,解,得
當時,,解,得,解,得
綜上, 當時, 增區(qū)間為,減區(qū)間為,
當時, 增區(qū)間為,減區(qū)間為,
（2）1）因為且存在三個零點.
所以有3個根
當時, ,
在上是單調遞增的,由零點存在定理,方程必有一個負根.
當,,即有兩個根,
令,可轉化為與有兩個交點
,
可得,,是單調遞增的, 可得,,是單調遞減的,
其中,當,
所以可得,
即得.
2）因為且存在三個零點.
設，,易知其中 ,,
因為,所以,故可知;①
由1）可知與有兩個交點,
,是單調遞增的, ,,,所以;②
,
若,則
若,
構造函數(shù),
設,
因為
又因為,
所以③
因為
又因為
所以
即得④
由③④可知, ,在上單調遞增, 可得
,可知與同號
所以,
在上單調遞增.
,,又由1)可知
所以,
,,是單調遞增的,
所以⑤
由①②⑤可知
【點睛】本題考查利用導數(shù)證明不等式,解決問題的關鍵點是極值點偏移問題,
證明的方法總結:先構造,再確定的單調性,
結合特殊值得到再利用單調性可得.
22．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)和有相同的最大值.
(1)求實數(shù)；
(2)設直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標分別為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】(1)利用導函數(shù)分別討論兩個函數(shù)的單調性和最值即可求解；
(2)構造函數(shù)和，利用導數(shù)和單調性討論函數(shù)的零點，結合函數(shù)分類討論對應方程根的個數(shù)和分布證明.
【詳解】（1），令.
有最大值，且在上單調遞增上單調遞減，.
時，，
當時，單調遞增；當時，單調遞減，
.
（2）由，由，
令,
當時，，當時，，
所以在上單調遞增；上單調遞減，至多兩個零點，
令，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增；上單調遞減；至多兩個零點.
令，
當時，，所以；
當時，由，
設，，
所以當時，，
所以在單調遞增，所以，
所以，且，所以，
設
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，方程無解，
當時，由在上單調遞增，
方程有唯一解，
當時，注意到，
設，對恒成立，
所以，
所以當時，，即，
因為，所以，，所以，
所以，
在和上各有一個零點，
示意圖
如下注意到，
令，，即函數(shù)在上單調遞減，
因此，即有，
在和上各有一個零點.
且由，而，
而在上單調遞增，由，
由，而
而在上單調遞減，由，
于是得，
，證畢!
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵，進而可得同構等式，根據(jù)函數(shù)的單調性分類討論證明.
23．（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）已知函數(shù).（為實數(shù)）
(1)當時，若正實數(shù)滿足，證明：.
(2)當時，設，若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題設可得，討論與1的大小關系，并應用分析法將問題化為證，構造利用導數(shù)研究單調性判斷大小關系，即可證結論；
（2）令得，再構造并利用導數(shù)證明在上恒成立，即可確定范圍.
【詳解】（1）由題意，，定義域為，則恒成立，
所以在上為增函數(shù)，且，故，
若都大于1，則，不合題意，同理都小于1也不滿足，
設，欲證，即證，即證，即證，即證，
構造函數(shù)，
所以，
，
，
所以在區(qū)間上單調遞增，所以，則原不等式得證.
（2）由，令，則，故，
下面證明：時符合題意，
當時，，
以下證明：，
構造函數(shù)，
則.
令，則，
令，可得；令，可得，
于是在上遞減，在上遞增，于是，
所以，當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，故，
綜上，實數(shù)的取值范圍.
【點睛】關鍵點點睛：第一問，首先分析與1的大小，再設應用分析法轉化證明結論，最后構造函數(shù)、應用導數(shù)求證；第二問，通過求參數(shù)范圍，再由所得范圍證恒成立（利用充要關系證明）.
24．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)若，試判斷的單調性，并證明你的結論；
(2)若恒成立．
①求的取值范圍：
②設，表示不超過的最大整數(shù)．求．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)為上的增函數(shù)，證明見解析
(2)① ；②當或2時，；當時，
【分析】（1）求導，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出函數(shù)的單調性；
（2）①恒成立，只要即可，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而可得出答案；
②先利用作差法判斷的單調性，然后結合①中的結論求出的范圍，再根據(jù)的定義即可得解.
【詳解】（1），
記，則，
所以，所以單調遞減；
，所以單調遞增,
所以，所以，即，且僅有，
所以為上的增函數(shù)；
（2）①，
令，則，
則，所以單調遞增,
所以，即，
①當時，，所以為遞增函數(shù)，
所以，滿足題意；
②當時，，
有唯一零點，且，
則時，單調遞減，
所以，不合題意，舍去，
綜上，；
②經計算：，
因為，所以數(shù)列單調遞增，
所以，當或2時，，
當時，，
當時，由①可知，此時，即，
令，則，則有，
令，
則有，
因為，
所以當時，，
所以，當或2時，；當時，．
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
25．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，圓．
(1)若，寫出曲線與圓C的一條公切線的方程(無需證明)；
(2)若曲線與圓C恰有三條公切線．
(i)求b的取值范圍；
(ii)證明：曲線上存在點，對任意，．
【答案】(1)；
(2)(i)；(ii)證明見解析．
【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義表示出f(x)的切線方程，再根據(jù)該切線與圓相切列出方程，取方程的特殊解即可得到一條共切線的方程；
(2)(i)設曲線與圓公切線的方程為，根據(jù)導數(shù)幾何意義求出k和m的關系，在根據(jù)圓的切線方程的幾何性質得到關于k的方程，問題轉化為討論該方程有三個解的問題.構造函數(shù)，將問題轉化為討論函數(shù)有3個零點的問題.(ii)根據(jù)(i)中構造出的函數(shù)，結合圖象即可證明．
【詳解】（1）設f(x)的切線的切點為，
∵，∴切線斜率為，
∴切線方程為，即，
當b＝1時，圓的圓心為，半徑為，
當f(x)的切線也是圓的切線時，，
即，
易知是該方程的一個根，此時切線方程為．
（2）(i)設曲線與圓公切線的方程為(顯然，l斜率存在)，
∵與曲線相切，故，
∴切點為，，即，即，
∵與圓相切，∴，即，
∴，
令，
則，
設，則，
易證明：．
①當時，∵在上單調遞增，在上單調遞減；∴，
∵，，
；
∴存在，，使得．
∴，，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；
∵，且，
又∵，
且，
∴存在，使得，
∴當時，曲線與圓恰有三條公切線；
②當時，∵；
∴存在，使得，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；
∴，且，
∴不可能存在三個零點；
③當時，；∴在上單調遞減，最多一個零點；
∴最多一個極值點，不可能有三個零點；
綜上，若曲線與圓恰有三條公切線，則的取值范圍為．
(ii)函數(shù)的零點，
即方程的解，
即曲線和曲線交點的橫坐標，
結合圖象，
顯然存在，使得成立，
∴對任意恒成立．
【點睛】本題屬于導數(shù)的綜合題，需要利用導數(shù)討論方程根的個數(shù)問題（函數(shù)零點問題）.問題關鍵是熟練掌握利用導數(shù)分類討論函數(shù)的單調性，判斷函數(shù)的零點的個數(shù).
26．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若，試判斷的單調性，并證明你的結論；
(2)設，求證：．
【答案】(1)單調性見詳解，證明見詳解
(2)證明見詳解
【分析】（1）求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)單調性；
（2）根據(jù)題意分析可得原題意等價于，構建新函數(shù)，求導，結合基本不等式證明.
【詳解】（1）若，則，
構建，則的定義域為，，
令，解得；令，解得；
則在上單調遞減，在上單調遞增，可得，
即對恒成立，
故在上單調遞增.
（2）由題意可得：，
則，即，
可得，
故原題意等價于，
構建，則，
構建，則對恒成立，
可得在上單調遞增，故，
即，可得，
∵，則，
可得，
∵當時，則，當且僅當，即時，等號成立；
即對，均有，
故當，即，可得，
故，
則在上單調遞增，可得.
故，即證.
【點睛】方法定睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形．
(2)構造新的函數(shù)h(x)．
(3)利用導數(shù)研究h(x)的單調性或最值．
(4)根據(jù)單調性及最值，得到所證不等式．
特別地：當作差或變形構造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
27．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若有3個零點，，，其中．
（ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間
(2)（ⅰ）（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)在定義域內的符號判斷函數(shù)的單調性，得單調區(qū)間；
（2）（?。⒑瘮?shù)有三個零點轉化為有兩個零點，分類討論，得使條件成立的a的取值范圍；
（ⅱ）由，得，證明，得，可證明原命題成立.
【詳解】（1）當時，，，
則在恒成立，所以在單調遞增，
故的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間．
（2）（?。?，
，，則除1外還有兩個零點，
，令，
當時，在恒成立，則，
所以在單調遞減，不滿足，舍去；
當時，除1外還有兩個零點，則不單調，
所以存在兩個零點，所以，解得，
當時，設的兩個零點為，
則，，所以．
當時，，，則單調遞增；
當時，，，則單調遞減；
當時，，，則單調遞增；
又，所以，，
而，且，
，且，所以存在，，
使得，
即有3個零點，，．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．
（ⅱ）證明：因為，
所以若，則，所以．
當時，先證明不等式恒成立，
設，
則，
所以函數(shù)在上單調遞增，于是，
即當時，不等式恒成立．
由，可得，
因為，所以，
即，兩邊同除以，
得，即，
所以．
【點睛】（?。┲星笫沟糜袃蓚€零點的a的取值范圍，得，還需找點說明此時有三個零點；
（ⅱ）由欲證命題知需先求與間的數(shù)量關系，結合函數(shù)解析式特征發(fā)現(xiàn)，
進而得得，推斷需證明時，，構造函數(shù)證明.
28．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（）.
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若兩個極值點，，且，求的取值范圍.
【答案】(1)當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，
在，上單調遞增
(2)
【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，先對函數(shù)求導得（），再結合二次函數(shù)的圖像與性質分類討論，，時，的符號，從而得到函數(shù)的單調性；
（2）根據(jù)（1）和韋達定理得到，，結合化簡得到，，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求得的值域，即可求解.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
又，，
令，得，
當時，時，，所以在單調遞增；
當時，方程的，
①當時，，則，所以在單調遞增；
②當時，，令，得，，
當時，；當時，；
所以在上單調遞減，
在，上單調遞增；
綜上所述：
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，
在，上單調遞增；
（2）由（1）得，若有兩個極值點，，
則，且，，即，；
故
，，
令，
則，所以在上單調遞減；
即，故，
綜上所述：的取值范圍為：.
【點睛】關鍵點睛：破解含雙參不等式證明題的3個關鍵點
（1）轉化：即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關系式，并把含雙參的不等式轉化為含單參的不等式；
（2）巧構造函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，從而求其最值或值域；
（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.
29．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知，函數(shù).
(1)若，證明：當時，：
(2)若函數(shù)存在極小值點，證明：
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）把代入，構造函數(shù)，借助導數(shù)確定單調性推理作答.
（2）由給定條件確定a的取值范圍，再分段討論函數(shù)的極小值點及極小值推理判斷作答.
【詳解】（1）若，則，設，
，設，
，則在上單調遞增，，即，
于是在上單調遞增，，即，
所以當時，.
（2）函數(shù)，其定義域為，
，
由（1）知在上單調遞增，，
當時，，當時，，
則由，解得或，其中且，即且，
否則恒有，則在上單調遞增，函數(shù)無極值點，不符合題意，
若，即，當時，，
當時，，則在上單調遞增，
在上單調遞減，因此是的極小值點，，
若，即，當時，，
當時，，則在上單調遞增，
在單調遞減，因此是的極小值點，
，又，于是，
綜上所述，函數(shù)存在極小值點.
【點睛】思路點睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價轉化，構造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理.
30．（2023·江蘇南通·二模）已知函數(shù)．
(1)若，，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)設是函數(shù)的兩個極值點，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，利用含參函數(shù)單調性的討論中首項系數(shù)含參數(shù)問題討論，將分為零正負，又通過判別根式對導函數(shù)是否有根進行分類求解即可；
（2）由題意要證，只要證，涉及到轉化的思想令，，求的最小值即可求得結果.
【詳解】（1）依題意，.
①當時，在上，所以在上單調遞減，
所以，所以不符合題設.
②當時，令，得，解得，，
所以當時，所以在上單調遞減，
所以，所以不符合題設.
③當時，判別式，所以，
所以在上單調遞增，所以.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
（2）由（1）知，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以是的極大值點，是的極小值點.
由（1）知，，，則.
綜上，要證，只需證，
因為
，
設，.
所以，
所以在上單調遞增，所以.
所以，即得成立．
所以原不等式成立.
【點睛】關鍵點點睛：導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了分類討論思想，同時考查了利用導數(shù)證明不等式的成立，
（1）含參問題的分類討論，對參數(shù)的討論不重不漏；
（2）換元法的應用，通過換元研究函數(shù)時的常用方法.
減
極小值
增

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