2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
專題15反比例函數(shù)與幾何圖形綜合題
（與三角形、與特殊四邊形）
類型一與三角形有關(guān)
1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．
(2)點(diǎn)在軸上，是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；(2)或或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的長(zhǎng)，再分兩種情形討論即可．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入一次函數(shù)得，
解得：，
故一次函數(shù)的解析式為，
把點(diǎn)代入，得，
，
把點(diǎn)代入，得，
故反比例函數(shù)的解析式為；
（2）解：，，，
當(dāng)時(shí)，或，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
，
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C為中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．

(1)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)一次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)A、兩點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C為中點(diǎn)，可得，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，可得，可得，從而可得答案；
（2）如圖，過(guò)作于，則，而，，證明，可得，，，設(shè)直線為，再建立方程組求解即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C為中點(diǎn)，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)可得：，，
∴，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）如圖，過(guò)作于，
則，而，，

∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
設(shè)直線為，
∴，解得：，
∴直線為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的求解是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)，，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)M在x軸上，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)的解析式為；(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為，將代入，根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到反比例函數(shù)解析式，將代入求得的反比例函數(shù)，解得a的值，得到B點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)求出，分兩種情況：M在O點(diǎn)左側(cè)；M點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)，根據(jù)三角形面積公式即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為，
將代入，可得，解得，
反比例函數(shù)的解析式為，
把代入，可得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，
，
設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
將，代入，
可得，
解得，
一次函數(shù)的解析式為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，可得，
解得，
，
，
，
，
，
，
M在O點(diǎn)左側(cè)時(shí)，；
M點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，
綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)，一次函數(shù)與三角形面積問(wèn)題，熟練求出是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)．（，，為常數(shù)）

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)根據(jù)圖像直接寫出不等式的解集；
(3)為軸上一點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；；(2)或；(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖像位置關(guān)系即可得解；
（3）設(shè)，當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時(shí)，畫出圖形，根據(jù)關(guān)系列方程，然后解方程即可得解，同理，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，畫出圖形，根據(jù)列方程求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
將點(diǎn)代入得，
∴，
將點(diǎn)、分別代入得，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（2）根據(jù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線在反比例函數(shù)圖像的上方，滿足，
∴不等式的解集為或；
（3）如圖過(guò)點(diǎn)作軸平行線與交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)，作直線垂線，垂足分別為點(diǎn)、，
設(shè)，則，
∴，
則，
，
，
，
，
∵的面積為，
∴，
∴，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為．

如圖，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，設(shè)，

由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
則
，
，
∴，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述：或．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、利用圖像解不等式、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使周長(zhǎng)的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，；(2)在x軸上存在一點(diǎn)，使周長(zhǎng)的值最小,最小值是．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，證明，則，由得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上得到，解得，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，進(jìn)一步用待定系數(shù)法即可得到答案；
（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，，則，由知是定值，此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出周長(zhǎng)最小值即可．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，
則，

∵點(diǎn)，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
∵A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．
∴，
解得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式是，
設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，
，解得,
∴直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，
（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴，，
∵，
∴的最小值是的長(zhǎng)度，
∵，即是定值，
∴此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，
設(shè)直線的解析式是，
則，
解得，
∴直線的解析式是，
當(dāng)時(shí)，，解得，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是，
此時(shí)，
綜上可知，在x軸上存在一點(diǎn)，使周長(zhǎng)的值最小，最小值是．
【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點(diǎn)間距離、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．將點(diǎn)沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)為軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，連接的中點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．

(1)求的值；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，的值最大?最大值是多少?
【答案】(1)，；(2)當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為
【分析】（1）把點(diǎn)代入，得出，把點(diǎn)代入，即可求得；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，分別交軸于點(diǎn)，證明，得出，進(jìn)而可得，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，進(jìn)而表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，
∴，
解得：；
把點(diǎn)代入，解得；
（2）∵點(diǎn)橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，分別交軸于點(diǎn)，

∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵將點(diǎn)沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求的面積；
(3)請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．
【答案】(1)，；(2)9；(3)或
【分析】（1）把點(diǎn)B代入反比例函數(shù)，即可得到反比例函數(shù)的解析式；把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)一次函數(shù)即可求得a、b的值，從而得到一次函數(shù)的解析式；
（2）的面積是和的面積之和，利用面積公式求解即可；
（3）利用圖象，找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方所對(duì)應(yīng)的x的范圍，直接得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得：
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
∵在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
∵點(diǎn)A，B在一次函數(shù)的圖象上，
把點(diǎn)，分別代入，得，
解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）∵點(diǎn)C為直線與y軸的交點(diǎn)，
∴把代入函數(shù)，得
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為
∴，
∴
．
（3）由圖象可得，不等式的解集是或．

【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積，函數(shù)與不等式的關(guān)系，求出兩個(gè)函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．
8．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式：
(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出x的取值范圍；
(3)在雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)或
【分析】（1）將，代入,求得一次函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可；
（2）將一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)果；
（3）過(guò)點(diǎn)A作交y軸于點(diǎn)M，勾股定理得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，在求出直線AP的表達(dá)式，與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組即可．
【詳解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直線的解析式為，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）解：聯(lián)立，解得或，
∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
∴由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
∴當(dāng)時(shí)，或；
（3）解：如圖所示，設(shè)直線交y軸于點(diǎn)，
∵，，
∴，，，
∵是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，正確利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為的圖象交于兩點(diǎn)．

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足時(shí)x的取值范圍；
(3)點(diǎn)P在線段上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q，若面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，；(2)；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【分析】（1）將代入可求反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再將和點(diǎn)B坐標(biāo)代入即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）直線在反比例函數(shù)圖象上方部分對(duì)應(yīng)的x的值即為所求；
（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，代入一次函數(shù)解析式求出縱坐標(biāo)，將代入反比例函數(shù)求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，進(jìn)而用含p的代數(shù)式表示出，再根據(jù)面積為3列方程求解即可．
【詳解】（1）解：將代入，可得，
解得，
反比例函數(shù)解析式為；
在圖象上，
，
，
將，代入，得：
，
解得，
一次函數(shù)解析式為；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)直線在反比例函數(shù)圖象上方，此部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍為，
即滿足時(shí)，x的取值范圍為；
（3）解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
將代入，可得，
．
將代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，考查求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中求三角形面積、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．
10．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，其中點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上

(1)求k的值；
(2)連接，記的面積為S，設(shè)，求T的最大值．
【答案】(1)；(2)1
【分析】（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，代入即可得到k的值；
（2）由點(diǎn)在x軸負(fù)半軸得到，由四邊形為正方形得到，軸，得的面積為，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到T的最大值．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，
∴，
∴，
即k的值為2；
（2）∵點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，軸，
∴的面積為，
∴，
∵，
∴拋物線開口向下，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，T的最大值是1．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，將直線沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)D，E．

(1)求k，m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)連接，，求的面積．
【答案】(1)；；；(2)
【分析】（1）把點(diǎn)代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（2）延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，先求出平移后的關(guān)系式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出解析式，得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入和得：
，，
解得：，，
∴的解析式為，反比例函數(shù)解析式為，
把代入得：，
解得：，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
（2）解：延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，如圖所示：

將直線沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后解析式為：
，
聯(lián)立，
解得：，，
∴點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
把代入得，
解得：，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∴，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握待定系數(shù)法，能求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)．
12．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線l．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)C在直線l上，且的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫，使它與位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．
【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為或；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；m的值為3
【分析】（1）利用直線解析式可的點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)代入可得a的值，再將點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式可得k的值，從而得解；
（2）設(shè)直線l于y軸交于點(diǎn)M，由點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l是的垂線先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線l的解析式，C點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)(分別代表點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo))可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，從而得解；
（3） 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線可知點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在直線l上，不妨設(shè)為點(diǎn)E，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組得到，由得到，繼而得到直線與直線的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)相等，設(shè)直線的解析式是：，將代入求得的解析式是：，再將直線與雙曲線的解析式聯(lián)立求得，再用待定系數(shù)法求出的解析式是，利用直線的解析式與直線l的解析式聯(lián)立求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，再用兩點(diǎn)間的距離公式得到，從而求得．
【詳解】（1）解：令，則
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入得：
解得：
∴
將點(diǎn)代入得：
解得：
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)直線l于y軸交于點(diǎn)M，直線與x軸得交點(diǎn)為N，

令解得：
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
又∵直線l是的垂線即，，
∴，
∴
設(shè)直線l得解析式是：，
將點(diǎn)，點(diǎn)代入得：
解得：
∴直線l的解析式是：，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是
∵，(分別代表點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo))
解得： 或6，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或
（3）∵位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在直線l上，不妨設(shè)為點(diǎn)E，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，
∴點(diǎn)E是直線l與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，
將直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立得：
解得：或
∴
畫出圖形如下：

又∵
∴
∴
∴直線與直線的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)相等，
設(shè)直線的解析式是：
將點(diǎn)代入得：
解得：
∴直線的解析式是：
∵點(diǎn)D也在雙曲線上，
∴點(diǎn)D是直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，
將直線與雙曲線的解析式聯(lián)立得：
解得：或
∴
設(shè)直線的解析式是：
將點(diǎn)，代入得：
解得：
∴直線的解析式是：，
又將直線的解析式與直線l的解析式聯(lián)立得：
解得：
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)綜合幾何問(wèn)題，三角形的面積公式，位似的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性大，利用聯(lián)立方程組求交點(diǎn)和掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C．

(1)求直線和反比例函數(shù)圖象的表達(dá)式；
(2)求的面積．
【答案】(1)直線的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；(2)6
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）由一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)軸，可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，再利用反比例函數(shù)表達(dá)式求得點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，
∴，，即，
∴直線的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）解：∵直線的圖象與y軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵軸，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)、一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
14.（2022·四川廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝x+b的圖像與函數(shù)（x＞0）的圖像相交于點(diǎn)B（1，6），并與x軸交于點(diǎn)A．點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△OAC與△OAB的面積比為2：3
(1)求k和b的值；(2)若將△OAC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在x軸正半軸上，得到△OA′C′，判斷點(diǎn)A′是否在函數(shù)（x＞0）的圖像上，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)b=5，k=6
(2)不在，理由見詳解
【分析】（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；
（2）由（1）及題意易得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知點(diǎn)C′的坐標(biāo)，則根據(jù)等積法可得點(diǎn)A′的縱坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)可得點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)，最后問(wèn)題可求解．
(1)解：由題意得：，∴b=5，k=6；
(2)解：點(diǎn)A′不在反比例函數(shù)圖像上，理由如下：
過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖，
由（1）可知：一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為，∴點(diǎn)，
∵△OAC與△OAB的面積比為2：3，且它們都以O(shè)A為底，
∴△OAC與△OAB的面積比即為點(diǎn)C縱坐標(biāo)與點(diǎn)B縱坐標(biāo)之比，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，∴CF=4，OF=1，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
根據(jù)等積法可得：，
∴，∴，∴，
∴點(diǎn)A′不在反比例函數(shù)圖像上．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15.（2021·黑龍江大慶市·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)．以為邊作正方形，點(diǎn)落在軸的負(fù)半軸上，已知的面積與的面積之比為．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式：
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)及外接圓半徑的長(zhǎng)．
【答案】(1)；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；外接圓半徑的長(zhǎng)為
【分析】
(1)過(guò)D點(diǎn)作DE∥y軸交x軸于H點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作EF∥x軸交DE于E點(diǎn)，過(guò)B作BF∥y軸交EF于F點(diǎn)，證明△ABF≌△DAE，，的面積與的面積之比為得到，進(jìn)而得到，求出A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
(2)聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；再求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CP長(zhǎng)度，Rt△CPD外接圓的半徑即為CP的一半．
【詳解】
解：(1)過(guò)D點(diǎn)作DE∥y軸交x軸于H點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作EF∥x軸交DE于E點(diǎn)，過(guò)B作BF∥y軸交EF于F點(diǎn)，如下圖所示：
∵與有公共的底邊BO，其面積之比為1:4，
∴DH:OA=1:4，
設(shè)，則，
∵ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： ,
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴
又，
∴，解得(負(fù)值舍去)，
∴，代入中，
∴ ，解得 ，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；
(2)聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式： ，
整理得到：，
解得 ，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,1）
∵四邊形ABCD為正方形，
∴，
且，
在中，由勾股定理：，
∴，
又△CPD為直角三角形，其外接圓的圓心位于斜邊PC的中點(diǎn)處，
∴△CPD外接圓的半徑為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理求線段長(zhǎng)，本題屬于綜合題，解題的關(guān)鍵是正確求出點(diǎn)A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)．
15.（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，
（1）求直線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）以線段為斜邊在直線的上方作等腰直角三角形．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的雙曲線的解析式．
【答案】（1）y=-0.5x+2；點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0.5）；（2）過(guò)點(diǎn)C的雙曲線解析式為．
【分析】
（1）把點(diǎn)A橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入可求出直線解析式，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式即可得點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，n），過(guò)點(diǎn)C的雙曲線解析式為，根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC=，根據(jù)兩點(diǎn)間距離個(gè)數(shù)求出m、n的值即可得點(diǎn)C坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求出k值即可得答案．
【詳解】
（1）∵點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1.5，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1.5），
∵直線與雙曲線相交于點(diǎn)A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直線的解析式為y=-0.5x+2，
聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式得，
解得：，（舍去），
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0.5）．
（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，n），過(guò)點(diǎn)C的雙曲線解析式為，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB==，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC==，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴或0（舍去），
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（，2），
把點(diǎn)C坐標(biāo)代入雙曲線解析式得：，
解得：，
∴過(guò)點(diǎn)C的雙曲線解析式為．
【點(diǎn)睛】
本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵．
17.如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，的面積為8．
（1）填空：反比例函數(shù)的關(guān)系式為_________________；
（2）求直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段與之差最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）把點(diǎn)代入解析式，即可得到結(jié)果；
（2）過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則四邊形為矩形，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，表示出△ABE的面積，根據(jù)△AOB得面積可得，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入即可的到解析式；
（3）根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可知，當(dāng)點(diǎn)P為直線與y軸的交點(diǎn)時(shí)，有最大值為，代入即可求值．
【詳解】
解：（1）把點(diǎn)代入可得，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則四邊形為矩形．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴．
∴．
∵A，B兩點(diǎn)均在雙曲線上，
∴．
∴
．
∵的面積為8，
∴，整理得．
∴．解得（舍去）．
∴．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，
則．解得．
∴直線的函數(shù)關(guān)系式為．
（3）如上圖，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可知，
當(dāng)點(diǎn)P為直線與y軸的交點(diǎn)時(shí)，有最大值為，
把代入，得．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，準(zhǔn)確分析題意是解題的關(guān)鍵．
18.已知：如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為
【解析】
【分析】
（1）過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)M，由設(shè)BM=x，MO=2x，由勾股定理求出x的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則．設(shè)直線AB的解析式為：，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入AB的函數(shù)關(guān)系式，可得，令y=0得到，令，解得兩個(gè)x的值，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由列出方程求解即可．
【詳解】
解：（1）過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)M，則
在中．
設(shè)，則．
又．
．
又
，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是
∴反比例的解析式為．
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則．設(shè)直線AB的解析式為：．
又∵點(diǎn)在直線AB上將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線解析式中，
．
．
∴直線AB的解析式為：．
令，則．
．
令，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的解．
又．
．
．
．
．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】
本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
19.如圖所示，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上存在一點(diǎn)C，使為等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．
【答案】（1），；（2），，，；（3）-12

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專題16 反比例函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積、其他有關(guān)）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難題型（全國(guó)通用）：

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