專(zhuān)題19 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與線段問(wèn)題）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難題型（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類(lèi)討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類(lèi)討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
專(zhuān)題19二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與線段問(wèn)題）
1．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)以點(diǎn)為圓心，畫(huà)半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．
【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為；(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；(3)
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸，，得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在上取點(diǎn)，使，連接，證得，又，得到，推出，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸，，
∴，
將代入直線，得，
解得，
∴直線的解析式為；
將代入，得
，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在點(diǎn)，
∵直線的解析式為，拋物線對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
①當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；
（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，
∵，
∴，
∴的最小值為．

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
(3)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．
【答案】(1)；(2)四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）作交拋物線于點(diǎn)，垂足為，連接，，由點(diǎn)在上，可知，，連接，得出，則，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得出，然后證明，即可得出結(jié)論；
（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）四邊形是平行四邊形．
理由：如圖1，作交拋物線于點(diǎn)，垂足為，連接，．
∵點(diǎn)在上，
∴，，
連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（3）如圖2，由題意得，，連接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最短），
∴的最小值為，
∵，
∴，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3.（2022·四川涼山）在平面直角坐標(biāo)系xy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，將點(diǎn)代入拋物線的解析式求出的值，由此即可得；
（3）先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律求出點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，從而可得與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，由此即可得出答案．
(1)解：將點(diǎn)代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為．
(2)解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，即，
將點(diǎn)代入得：，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(3)解：拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則將其先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在原點(diǎn)，
這時(shí)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且，
，即，恰好在對(duì)稱軸直線上，
如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
則，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，此時(shí)的值最小，即的值最小，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
則直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
故在軸上存在點(diǎn)，使得的值最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有
(1)求b的值；
(2)將拋物線平移后得到拋物線．
探究下列問(wèn)題：
①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對(duì)拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)0；(2)①②
【分析】（1）根據(jù)，且時(shí)，總有，變形后即可得到結(jié)論；
（2）按照臨界情形，畫(huà)出圖象分情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：由題可知：
時(shí)，總有，
．
則，
∴，
∴總成立，且，
；
（2）①注意到拋物線最大值和開(kāi)口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或（舍）．
（ii）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，
解得或（舍），
綜上，，
②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或（舍）．
（ii）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或0（舍）．
綜上，
如圖，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E、F在線段的垂直平分線上．

令，解得，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，即，
．
，即，
，
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)存在，的最大值為，；(3)或
【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；
（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；
（3）過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為；
設(shè)（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
，
．
故的最大值為，．
（3）解：存在，
如圖，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，連接，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得：，
；
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線解析式為，
，且經(jīng)過(guò)，
直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
；
綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
6.（2021·安徽中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（1）求a的值；
（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與拋物線交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比．
【答案】（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）
【分析】
（1）根據(jù)對(duì)稱軸，代值計(jì)算即可
（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果
（3）先根據(jù)求根公式計(jì)算出，再表示出，=，即可得出結(jié)論
【詳解】
解：（1）由題意得：
（2）拋物線對(duì)稱軸為直線，且
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．
當(dāng)時(shí)，y1隨x1的增大而減小，
時(shí)，，時(shí)，
同理：時(shí)，y2隨x2的增大而增大
時(shí)，．
時(shí)，

（3）令

令

AB與CD的比值為
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對(duì)稱軸、函數(shù)的交點(diǎn)、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，利用交點(diǎn)的特點(diǎn)解題是重點(diǎn)
7.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接．

(1)直接寫(xiě)出結(jié)果；_____，_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)____，______；
(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的邊上的動(dòng)點(diǎn)，，記的最小值為m．
①求m的值；
②設(shè)的面積為S，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出k的取值范圍．
【答案】(1)，2，，；(2)；(3)，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求得、，從而可得，，由，可得，求得，在中，根據(jù)正切的定義求值即可；
（2）過(guò)點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作軸，交y軸于點(diǎn)E，由，即，再由，可得，證明，可得，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，可得，再進(jìn)行求解即可；
（3）①作，且使，連接．根據(jù)證明，可得，即Q，F(xiàn)，H共線時(shí)，的值最?。饔邳c(diǎn)G，設(shè)，則，根據(jù)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作軸，交于點(diǎn)T，求出解析式，設(shè)，，利用三角形面積公式表示出S，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍，結(jié)合①中結(jié)論即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
∴，解得：，
∴拋物線解析式為：，
∵拋物線與x軸交于A、兩點(diǎn)，
∴時(shí)，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案為：，2，，；
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作軸，交y軸于點(diǎn)E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵軸，軸，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則，，
∴，解得：（舍），，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為．

（3）解：①如圖2，作，且使，連接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F(xiàn)，H共線時(shí)，的值最小．作于點(diǎn)G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；

②如圖3，作軸，交于點(diǎn)T，待定系數(shù)法可求解析式為，
設(shè)，，
則，
∴，
∴，
∴，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、銳角三角函數(shù)、最值問(wèn)題、二次函數(shù)最值、用分割法求三角形面積，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
8.（2021·四川資陽(yáng)市·中考真題）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法即可得；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線的解析式求解即可得；
（3）先根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短求解即可得．
【詳解】
解：（1）由題意，將點(diǎn)代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為；
（2）對(duì)于二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，解得或，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，解得，
，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，解得，
，
則平移后的二次函數(shù)的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
，
軸，
，
，
由兩點(diǎn)之間線段最短得：的最小值為，
由垂線段最短得：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
即，解得，
則，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確求出平移后的拋物線的解析式是解題關(guān)鍵．
9（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)或或；(3)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，則，，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值，同理可求得當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求得另一個(gè)解，進(jìn)而即可求解；
（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，，代入
得
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）∵點(diǎn)，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線：，
如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖所示，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此時(shí)，
綜上所述，或或；
（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，
∵點(diǎn)，，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，的解析式為，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，
∵在拋物線上，則
∴
∴為定值．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10.（2021·江蘇中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象過(guò)B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l平行于y軸交于點(diǎn)F，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；
（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)
【分析】
（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，根據(jù)比例式列出方程，即可求解；
（3）先推出四邊形NCFE是平行四邊形，再推出FE=FC，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，從而得CN=EF=，進(jìn)而即可得到答案．
【詳解】
解：（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∵二次函數(shù)的圖象過(guò)B、C兩點(diǎn)，
∴，解得：，
∴二次函數(shù)解析式為：；
（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y軸，
∴OB=OC，
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，
∴以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，
設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，
∴EF=-(-m+3)= ，CF=，
∴或，
∴或（舍去）或或（舍去），
∴EF==或；
（3）∵l∥y軸，點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，
∴∠EFC=∠NCG，
∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，
∴∠CNE=∠EFC，
∴∠CNE=∠NCG，
∴NE∥FC，
∴四邊形NCFE是平行四邊形，
∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，
∴∠NCE=∠FCE，
∵l∥y軸，
∴∠NCE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FE=FC，
∴=，解得：或（舍去），
∴CN=EF=，
∴ON=+3=，
∴N(0，)．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合，相似三角形的判定，掌握函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．
11.（2021·湖北中考真題）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接，在第一象限內(nèi)將沿翻折得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若，求線段的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．
①若點(diǎn)在內(nèi)部（不包括邊），求的取值范圍；
②在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)，使最大？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1），，；（2）1；（3）①；②存在，
【分析】
（1）令x=0，令y=0分別代入，即可得到A，B的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出P的坐標(biāo)，即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作于，易得，，又點(diǎn)，可得，，進(jìn)而即可求解；
（3）①把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而得點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，進(jìn)而即可求解；②作點(diǎn)Q關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接E交直線于點(diǎn)C，則CQ=C，此時(shí)最大．求出(4，1)，E(5，5)，從而得E的解析式，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
解：（1）令x=0代入，y=6，
令y=0代入，x=4，
∴，，
∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴；
（2）過(guò)點(diǎn)作于，
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)，
∴
∴，
即的長(zhǎng)為1；
（3）①，
∴其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，
又∵點(diǎn)在直線上
∴當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部（不含邊）時(shí)，的取值范圍是；
②作點(diǎn)Q關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接E交直線于點(diǎn)C，則CQ=C，此時(shí)==E，最大．
∵，，P是Q的中點(diǎn)，
∴(4，1)，
∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，
∴E(5，5)，
設(shè)E的解析式為：y=kx+b，則，解得：，
∴E的解析式為：y=4x-15，
聯(lián)立，解得：，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為．
答：存在點(diǎn)使最大，此時(shí)C的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用軸對(duì)稱性，作出線段差的最大值，是解題的關(guān)鍵．
12.（2021·青海中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集；
（3）點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線段，垂足為點(diǎn),當(dāng)時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）；（3）坐標(biāo)有或或
【分析】
(1)先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再代入拋物線中即可求出解析式；
(2)將不等式變形為,進(jìn)而得到二次函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上方即可求解；
(3)先證明△PDQ為等腰直角三角形，進(jìn)而求出，再分類(lèi)討論P(yáng)點(diǎn)在直線AB上方或下方進(jìn)而求解．
【詳解】
解：(1)當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)，點(diǎn)，
把，，，分別代入得
解得：，，，
∴該拋物線的解析式為．
(2)由不等式，
得，
由圖像可知，二次函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上方，
則不等式的解集為；
(3)如圖，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

在中，∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，
，
即，解得，
則，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：．
當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，
，
即解得，
∴，
∴或，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)有或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，圖像法解不等式及等腰直角三角形的性質(zhì)等，第(3)問(wèn)中需要分類(lèi)討論P(yáng)點(diǎn)位于直線AB上方或下方的情況．
13．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)D是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作直線的垂線，分別交直線，線段于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)F作軸，垂足為G，求的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）由題易得c的值，再根據(jù)對(duì)稱軸求出b的值，即可解答；
（2）過(guò)作x軸的垂線，垂足為H求出A和B的坐標(biāo)，得到，，由，推出，解直角三角形得到的長(zhǎng)，即可解答；
（3）求得所在直線的解析式為，設(shè)，設(shè)所在直線的解析式為：，得，令，解得，分別表示出和，再對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，配方成頂點(diǎn)式即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點(diǎn)，
∴，
∵對(duì)稱軸為，
∴，，
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，過(guò)作x軸的垂線，垂足為H，

令，
解得：，
∴，，
∴，
由翻折可得，
∵對(duì)稱軸為，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）設(shè)所在直線的解析式為，
把B、C坐標(biāo)代入得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴直線與x軸所成夾角為，
設(shè)，
設(shè)所在直線的解析式為：，
把點(diǎn)P代入得，
∴，
令，則，
解得，
∴
∴
∵點(diǎn)P在直線上方，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
14.（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+x的圖象過(guò)O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；
（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）將點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)知，直線BO的傾斜角為30°，則OB中垂線（CD）與x負(fù)半軸的夾角為60°，故設(shè)CD的表達(dá)式為：y=?3x+b，而OB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（34，34），將該點(diǎn)坐標(biāo)代入CD表達(dá)式，即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸額平行線交CD于點(diǎn)H，PH=?3x+3?（233x2?233x）=?233x2?33x+3，即可求解．
【解析】（1）將點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得c=0a+b+c=032=94a+32b+c，解得a=?233b=?233c=0，
故拋物線的表達(dá)式為：y=233x2?233x；
（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)知，直線BO的傾斜角為30°，則OB中垂線（CD）與x負(fù)半軸的夾角為60°，
故設(shè)CD的表達(dá)式為：y=?3x+b，而OB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（34，34），
將該點(diǎn)坐標(biāo)代入CD表達(dá)式并解得：b=3，
故直線CD的表達(dá)式為：y=?3x+3；
（3）設(shè)點(diǎn)P（x，233x2?233x），則點(diǎn)Q（x，?3x+3），
則PQ=?3x+3?（233x2?233x）=?233x2?33x+3，
∵?233＜0，故PQ有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?14，27316）．
15.（2020?樂(lè)山）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=43，如圖所示．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；
②連結(jié)PB，求35PC+PB的最小值．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），可得對(duì)稱軸為直線x＝2，由銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)C坐標(biāo)，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直線BC解析式，設(shè)P（2，t），可得點(diǎn)E（5?34t，t），點(diǎn)F(5?34t，2t?14t2)，可求EF的長(zhǎng)，由三角形面積公式和二次函數(shù)性質(zhì)可求解；
②根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則PG+PH≥BH，即BH是35PC+PB的最小值，由三角形面積公式可求解．
【解析】（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴D（2，0），
又∵tan∠CBD=43=CDDB，
∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 a=?49，
∴二次函數(shù)的解析式為 y=?49(x+1)(x?5)=?49x2+169x+209；
（2）①設(shè)P（2，t），其中0＜t＜4，
設(shè)直線BC的解析式為 y＝kx+b，
∴0=5k+b，4=2k+b.，
解得 k=?43，b=203.
即直線BC的解析式為 y=?43x+203，
令y＝t，得：x=5?34t，
∴點(diǎn)E（5?34t，t），
把x=5?34t 代入y=?49(x+1)(x?5)，得 y=t(2?t4)，
即F(5?34t，2t?14t2)，
∴EF=(2t?14t2)?t=t?t24，
∴△BCF的面積=12×EF×BD=32（t?t24）=?38(t2?4t)=?38(t?2)2+32，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，△BCF的面積最大，且最大值為32；
②如圖，連接AC，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
∴sin∠ACD=ADAC=35，
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，PG=PC?sin∠ACD=35PC，
∴35PC+PB=PG+PB，
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則PG+PH≥BH，
∴線段BH的長(zhǎng)就是35PC+PB的最小值，
∵S△ABC=12×AB×CD=12×6×4=12，
又∵S△ABC=12×AC×BH=52BH，
∴52BH=12，
即BH=245，
∴35PC+PB的最小值為245．
16．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．
(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，；(2)滿足條件的E、F兩點(diǎn)存在，，，；(3)當(dāng)時(shí)，的最大值為
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，在中，，解得或4，進(jìn)而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為得出，進(jìn)而可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）滿足條件的、兩點(diǎn)存在，，，
解：①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、.

過(guò)點(diǎn)作軸于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)故舍去；
當(dāng)時(shí)，.
綜上所述：，，
（3）∵向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線
當(dāng)，即
解得：
∴，
∵過(guò)，，三點(diǎn)
∴
在直線下方的拋物線上任取一點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17.（2020?達(dá)州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=12x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于另一點(diǎn)C（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)M為直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△MAB的面積最大時(shí)，求MN+12ON的最小值．
【分析】（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）分兩種情況討論，利用平行線之間的距離相等，可求OP解析式，EP''的解析式，聯(lián)立方程組可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC，交AB于F，設(shè)點(diǎn)M（m，12m2?32m﹣2），則點(diǎn)F（m，12m﹣2），可求MF的長(zhǎng)，由三角形面積公式可求△MAB的面積＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求點(diǎn)M坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)O作∠KOB＝30°，過(guò)點(diǎn)N作KN⊥OK于K點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MR⊥OK于R，延長(zhǎng)MF交直線KO于Q，由直角三角形的性質(zhì)可得KN=12ON，可得MN+12ON＝MN+KN，則當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)K三點(diǎn)共線，且垂直于OK時(shí)，MN+12ON有最小值，即最小值為MP，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【解析】（1）∵直線y=12x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，﹣2），
設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a=12，
∴拋物線解析式為：y=12（x+1）（x﹣4）=12x2?32x﹣2；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB，交拋物線與點(diǎn)P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABP是等底等高的兩個(gè)三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直線PO的解析式為y=12x，
聯(lián)立方程組可得y=12xy=12x2?32x?2，
解得：x=2+22y=1+2或x=2?22y=1?2，
∴點(diǎn)P（2+22，1+2）或（2﹣22，1?2）；
當(dāng)點(diǎn)P''在直線AB下方時(shí)，在OB的延長(zhǎng)線上截取BE＝OB＝2，過(guò)點(diǎn)E作EP''∥AB，交拋物線于點(diǎn)P''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△ABP''＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且過(guò)點(diǎn)E（0，﹣4），
∴直線EP''解析式為y=12x﹣4，
聯(lián)立方程組可得y=12x?4y=12x2?32x?2，
解得x=2y=?3，
∴點(diǎn)P''（2，﹣3），
綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（2+22，1+2）或（2﹣22，1?2）或（2，﹣3）；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC，交AB于F，
設(shè)點(diǎn)M（m，12m2?32m﹣2），則點(diǎn)F（m，12m﹣2），
∴MF=12m﹣2﹣（12m2?32m﹣2）=?12（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面積=12×4×[?12（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，△MAB的面積有最大值，
∴點(diǎn)M（2，﹣3），
如圖3，過(guò)點(diǎn)O作∠KOB＝30°，過(guò)點(diǎn)N作KN⊥OK于K點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MR⊥OK于R，延長(zhǎng)MF交直線KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN=12ON，
∴MN+12ON＝MN+KN，
∴當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)K三點(diǎn)共線，且垂直于OK時(shí)，MN+12ON有最小值，即最小值為MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直線OK解析式為y=3x，
當(dāng)x＝2時(shí)，點(diǎn)Q（2，23），
∴QM＝23+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM=12QM=3+32，
∴MN+12ON的最小值為3+32．
18．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．直線過(guò)點(diǎn)，且平行于軸，與拋物線交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)連接，若為直角三角形，求此時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)，且，以為一邊作正方形，連接，寫(xiě)出長(zhǎng)度的最小值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)，見(jiàn)解析
【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性，即可求解．
（2）由題意得，的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，則拋物線．進(jìn)而得出可得，①當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)作軸，垂足為．求得，代入解析式得出，求得．②當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③當(dāng)時(shí)，此情況不存在．
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積為1，不合題意舍去．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積為3，符合題意．由題意可求得．取的中點(diǎn)，在中可求得．在中可求得．易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為．
【詳解】（1）∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
∵，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．
∴．
（2）由題意得，的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，拋物線．
∴當(dāng)時(shí)，可得．
①當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)作軸，垂足為．
∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵，
∴．
∵直線軸，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵點(diǎn)在圖像上，
∴．
解得或．
∵當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)重合，舍去．當(dāng)時(shí)，符合題意．
將代入，
得．

②當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
同理可得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵點(diǎn)在圖像上，
∴．解得或．
∵，
∴．此時(shí)符合題意．
將代入，得．
③當(dāng)時(shí)，此情況不存在．
綜上，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或．
（3）如圖3，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)
則，，則的面積為1，不合題意舍去．
當(dāng)時(shí)，，
則，
∴，此時(shí)的面積為3，符合題意
∴．
依題意，四邊形是正方形，
∴．
取的中點(diǎn)，在中可求得．
在中可求得．
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，特殊三角形問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，面積問(wèn)題，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．

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