2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
專題13一次函數(shù)與幾何圖形綜合題
（函數(shù)與面積、與其他有關(guān)）
類型一與面積有關(guān)問(wèn)題
1．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形在第一象限，且軸，直線沿軸正方向平移，在平移過(guò)程中，直線被矩形截得的線段長(zhǎng)為，直線在軸上平移的距離為，、間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）所示，那么矩形的面積為（ ）
A．B．C．8D．10
2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在直線上，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，過(guò)原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．
（1）如圖，點(diǎn)B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點(diǎn)D．
①若，求證：．
②若，求四邊形的面積．
（2）是否存在點(diǎn)B，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求OB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接.設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，的面積為．
（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）關(guān)于的函數(shù)解析式為其圖象如圖2所示，結(jié)合圖1、2的信息，求出與的值；
（3）在上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
類型二其他問(wèn)題
4．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)．與的重疊面積為．關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示．

(1)的長(zhǎng)為_(kāi)______________；的面積為_(kāi)______________．
(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍．
5．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)計(jì)了點(diǎn)的兩種移動(dòng)方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次甲方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次乙方式．
點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)2次；若都按甲方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若都按乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．

(1)設(shè)直線經(jīng)過(guò)上例中的點(diǎn)，求的解析式；并直接寫(xiě)出將向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線的解析式；
(2)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，每次移動(dòng)按甲方式或乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．其中，按甲方式移動(dòng)了m次．
①用含m的式子分別表示；
②請(qǐng)說(shuō)明：無(wú)論m怎樣變化，點(diǎn)Q都在一條確定的直線上．設(shè)這條直線為，在圖中直接畫(huà)出的圖象；
(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次為，若A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，直接寫(xiě)出此時(shí)a，b，c之間的關(guān)系式．
6．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，為半圓的直徑，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，已知，．如圖，連接，為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線分別交，于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，．

(1)求的長(zhǎng)和關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)，且長(zhǎng)度分別等于，，的三條線段組成的三角形與相似時(shí)，求的值．
(3)延長(zhǎng)交半圓于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
7.如圖1，⊙I與直線a相離，過(guò)圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．

（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D．
①過(guò)點(diǎn)E畫(huà)垂直于y軸的直線m，則⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_(kāi)________；
②若直線n的函數(shù)表達(dá)式為，求關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點(diǎn)是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．
8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，和，請(qǐng)按下列要求畫(huà)圖并填空．
（1）平移線段，使點(diǎn)平移到點(diǎn)，畫(huà)出平移后所得的線段，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（2）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后所得的線段，并直接寫(xiě)出的值為_(kāi)_____；
（3）在軸上找出點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
9．（2021·江蘇中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于A、兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)T，使得，且，則稱A、兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，把其中一個(gè)點(diǎn)叫做另一個(gè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)、，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上．
（1）①如圖，在點(diǎn)、、中，點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在線段上存在點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_______；
（2）若在線段上存在點(diǎn)Q的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）分別以點(diǎn)、Q為圓心，1為半徑作、．若對(duì)上的任意一點(diǎn)G，在上總存在點(diǎn)，使得G、兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
10.在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦（分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段長(zhǎng)度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．
（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長(zhǎng)度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是 ；在點(diǎn)中，連接點(diǎn)A與點(diǎn) 的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；
（2）若點(diǎn)A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；
（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫(xiě)出的取值范圍．
11.如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，線段的長(zhǎng)是方程的一個(gè)根，．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，交y軸正半軸于點(diǎn)F，交直線于點(diǎn)C．若C是的中點(diǎn)，，反比例函數(shù)圖象的一支經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，求k的值；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)N在直線上．坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以D，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并直接寫(xiě)出其中兩個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
12.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，C分別是直線y=﹣x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，且D，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于y軸上的某點(diǎn)成中心對(duì)稱，連結(jié)DF，EF．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，EF2為l，請(qǐng)?zhí)骄浚?br>①線段EF長(zhǎng)度是否有最小值．
②△BEF能否成為直角三角形．
小明嘗試用“觀察﹣猜想﹣驗(yàn)證﹣應(yīng)用”的方法進(jìn)行探究，請(qǐng)你一起來(lái)解決問(wèn)題．
（1）小明利用“幾何畫(huà)板”軟件進(jìn)行觀察，測(cè)量，得到l隨m變化的一組對(duì)應(yīng)值，并在平面直角坐標(biāo)系中以各對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)描點(diǎn)（如圖2）．請(qǐng)你在圖2中連線，觀察圖象特征并猜想l與m可能滿足的函數(shù)類別．
（2）小明結(jié)合圖1，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用三角形和函數(shù)知識(shí)能驗(yàn)證（1）中的猜想，請(qǐng)你求出l關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式及自變量的取值范圍，并求出線段EF長(zhǎng)度的最小值．
（3）小明通過(guò)觀察，推理，發(fā)現(xiàn)△BEF能成為直角三角形，請(qǐng)你求出當(dāng)△BEF為直角三角形時(shí)m的值．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線分別與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線在第二象限的點(diǎn)
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式：并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）作的外接圓，延長(zhǎng)PC交于點(diǎn)Q，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的半徑．

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