專(zhuān)題20 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問(wèn)題）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難題型（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類(lèi)討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類(lèi)討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
專(zhuān)題20二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問(wèn)題）
1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對(duì)稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若以的切線長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求長(zhǎng)的取值范圍．
2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．
（?。┊?dāng)時(shí)，求與的面積之和；
（ⅱ）在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，對(duì)稱軸過(guò)點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)，且垂直于軸．過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交直線于點(diǎn)，其中點(diǎn)、Q在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在軸上時(shí)，為直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，其中交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．
4.（2022·江蘇連云港）已知二次函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限；
(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值．
5．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
6.（2021·湖北中考真題）如圖，直線與，軸分別交于，，頂點(diǎn)為的拋物線過(guò)點(diǎn)．
（1）求出點(diǎn)，的坐標(biāo)及的值；
（2）若函數(shù)在時(shí)有最大值為，求的值；
（3）連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)．設(shè)的面積為．
①直接寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；
②結(jié)合與的函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出時(shí)的取值范圍．
7．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題提出：某興趣小組開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，_______．
②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_(kāi)______．
(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長(zhǎng)．
(3)延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．
①_______；
②當(dāng)時(shí)，求正方形的面積．
8．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求四邊形的面積；
(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
9.（2021·福建中考真題）已知拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)，求的最小值；
（2）已知點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．
①求拋物線的解析式；
②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線上，且，過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B，C．求證：與的面積相等．
10．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①當(dāng)時(shí)，求的值；
②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．
11.（2021·廣西中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：交x軸于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)M為第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)N，連接，記的面積為，的面程為，求的最大值．
12．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．
13.（2021·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，得到新拋物線，點(diǎn)在新拋物線的對(duì)稱軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考：若點(diǎn)、，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．
14．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，并與動(dòng)直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．
①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；
②探究直線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由．
15.（2021·湖北中考真題）拋物線（）與軸相交于點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為，為對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，求的面積；
（3）若是對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值（用含的代數(shù)式表示）．
16．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn)，記中點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若，且，求證：三點(diǎn)共線；
(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無(wú)論在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要三點(diǎn)共線，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫(xiě)出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說(shuō)明理由．
17.（2021·黑龍江中考真題）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，，對(duì)稱軸為，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上C，D兩點(diǎn)之間的距離是__________；
（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE．求面積的最大值；
（4）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
18．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；
(3)如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．
19.（2020?武威）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB．點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）若PC∥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
20．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值．
(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿足條件的的值．
21.（2020?樂(lè)山）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=43，如圖所示．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；
②連結(jié)PB，求35PC+PB的最小值．
22.（2019·海南）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過(guò)A（–5，0），B（–4，–3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連結(jié)CD．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值；
②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
23.（2019?廣西南寧）如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上時(shí)，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1=x2+x與C2：y2=ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C2的頂點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（6，–1）．
（1）直接寫(xiě)出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；
（2）拋物線C2上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)F（–6，3）在拋物線C1上，點(diǎn)M，N分別是拋物線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相同，記△AFM面積為S1（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A，F(xiàn)重合時(shí)S1=0），△ABN的面積為S2（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A，B重合時(shí)，S2=0），令S=S1+S2，觀察圖象，當(dāng)y1≤y2時(shí)，寫(xiě)出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)S的最大值．
24．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類(lèi)型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．例如，拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
(1)請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：___________，___________；
【技能訓(xùn)練】
(2)如圖2，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【能力提升】
(3)如圖3，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值；
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線l：的距離．
請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：
(4)如圖4，點(diǎn)是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，請(qǐng)求出的面積．

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