2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
專題16反比例函數(shù)與幾何圖形綜合題
（與面積、其他有關(guān)）
類型一與面積有關(guān)
1．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)．（，，為常數(shù)）

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)根據(jù)圖像直接寫(xiě)出不等式的解集；
(3)為軸上一點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；；(2)或；(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖像位置關(guān)系即可得解；
（3）設(shè)，當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時(shí)，畫(huà)出圖形，根據(jù)關(guān)系列方程，然后解方程即可得解，同理，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，畫(huà)出圖形，根據(jù)列方程求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
將點(diǎn)代入得，
∴，
將點(diǎn)、分別代入得，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（2）根據(jù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線在反比例函數(shù)圖像的上方，滿足，
∴不等式的解集為或；
（3）如圖過(guò)點(diǎn)作軸平行線與交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)，作直線垂線，垂足分別為點(diǎn)、，
設(shè)，則，
∴，
則，
，
，
，
，
∵的面積為，
∴，
∴，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為．

如圖，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，設(shè)，

由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
則
，
，
∴，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述：或．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、利用圖像解不等式、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C．

(1)求直線和反比例函數(shù)圖象的表達(dá)式；
(2)求的面積．
【答案】(1)直線的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；(2)6
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）由一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)軸，可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，再利用反比例函數(shù)表達(dá)式求得點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，
∴，，即，
∴直線的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）解：∵直線的圖象與y軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵軸，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)、一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)（為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像交于兩點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若y軸上有一點(diǎn)的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；；(2)或
【分析】（1）把分別代入函數(shù)的解析式，計(jì)算即可．
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的中對(duì)稱性質(zhì)，得到，設(shè)，根據(jù)，列式計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵反比例函數(shù)（為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像交于兩點(diǎn)，
∴，
解得，
故反比例函數(shù)的表達(dá)式為，正比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）∵反比例函數(shù)（為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像交于兩點(diǎn)，
根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性質(zhì)，
∴，設(shè)，
根據(jù)題意，得，
∴，
解得或，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合，反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性，三角形面積的特殊坐標(biāo)表示法，熟練掌握反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合，反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．
4.（2022·山東泰安）如圖，點(diǎn)A在第一象限，軸，垂足為C，，，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)B，與交于點(diǎn)D．
(1)求k值；(2)求的面積．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）在中，，，再結(jié)合勾股定理求出，，得到，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積，找平行于坐標(biāo)軸的邊為底，根據(jù)軸，選擇為底，利用代值求解即可得出面積．
(1)解：根據(jù)題意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中點(diǎn)是B，
，
；
(2)解：當(dāng)時(shí)，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及到勾股定理，三角函數(shù)求線段長(zhǎng)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式、待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式中的，平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求解，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求的面積；
(3)請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式的解集．
【答案】(1)，；(2)9；(3)或
【分析】（1）把點(diǎn)B代入反比例函數(shù)，即可得到反比例函數(shù)的解析式；把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)一次函數(shù)即可求得a、b的值，從而得到一次函數(shù)的解析式；
（2）的面積是和的面積之和，利用面積公式求解即可；
（3）利用圖象，找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方所對(duì)應(yīng)的x的范圍，直接得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得：
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
∵在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
∵點(diǎn)A，B在一次函數(shù)的圖象上，
把點(diǎn)，分別代入，得，
解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）∵點(diǎn)C為直線與y軸的交點(diǎn)，
∴把代入函數(shù)，得
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為
∴，
∴
．
（3）由圖象可得，不等式的解集是或．

【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積，函數(shù)與不等式的關(guān)系，求出兩個(gè)函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．
6.（2022·四川瀘州）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6
(1)求的值；(2)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且的面積為3，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)b=9 (2)C(4,0)，或C(8,0)
【分析】（1）把y=6代入得到x=2，得到A(2,6)，把A(2,6)代入，得到b=9；
（2）解方程組，得到 x=2(舍去)，或x=4，，得到B(4,3)，設(shè)C(x,0)，直線與x軸交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，得到AE=6，BF=4，根據(jù)時(shí)，x=6，得到D(6,0)，推出，根據(jù)=3，求得x=3，或x=9，得到C(4,0)，或C(8,0)．
(1)解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6，
∴，x=2，
∴A(2,6)，
∴，b=9；
(2)，即，
∴x=2(舍去)，或x=4，
∴，
∴B(4,3)，
設(shè)C(x,0)，直線與x軸交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，
則AE=6，BF=3，
時(shí)，x=6，
∴D(6,0)，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴x=4，或x=8，
∴C(4,0)，或C(8,0)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，三角形面積，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積計(jì)算公式．
7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)．

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；
(2)觀察圖象，直接寫(xiě)出不等式的解集；
(3)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，若為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，圖見(jiàn)解析；(2)或；(3)或
【分析】（1）先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式，求出的坐標(biāo)，待定系數(shù)法，求出一次函數(shù)的解析式即可，連接，畫(huà)出一次函數(shù)的圖象即可；
（2）圖象法求出不等式的解集即可；
（3）分點(diǎn)在軸的正半軸和負(fù)半軸，兩種情況進(jìn)行討論求解．
【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
圖象如圖所示：

（2）解：由圖象可知：不等式的解集為或；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)：

設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，
∵，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∴；
當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)：

，
∴
解得：或（不合題意，舍去）；
∴．
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
8.（2022·四川樂(lè)山）如圖，己知直線1：y=x+4與反比例函數(shù)y=(x

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