高考考前適應(yīng)性試卷
文科數(shù)學(xué)（三）
注意事項(xiàng)：
1、本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2、回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在試卷上無(wú)效。
3、回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案填寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。
4、考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由中不等式變形得，解得，即，，故選B．
2．下列命題中，，為復(fù)數(shù)，則正確命題的個(gè)數(shù)是（）
①若，則；②若，，，且，則；
③的充要條件是．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，在復(fù)數(shù)集中可得，對(duì)于①，若，則，錯(cuò)誤，如，，故①錯(cuò)誤；②中的復(fù)數(shù)不能比較大小，故②錯(cuò)誤．③中，時(shí)也成立，故③錯(cuò)誤．故選A．
3．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，在等比數(shù)列中有，解得或，則或．故選C．
4．某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由三視圖可知：該幾何體為四棱錐，由體積公式易得．
故選A．
5．已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得到，，
結(jié)合兩式得到．故答案為：C．
6．已知函數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，從而模擬程序運(yùn)行，可得程序框圖的功能是求
時(shí)的最小值，解得，，則輸出的值是．故選C．
7．如圖，在圓中，若，，則的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，，
∴．又，，
，故選C．
8．實(shí)數(shù)，，滿足且，則下列關(guān)系式成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，
∴，∴，綜上，可得．故選A．
9．已知變量，滿足約束條件，則的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由變量，滿足約束條件，畫(huà)出可行域如圖所示，
則的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與連線的斜率不小于，由圖形可知，直線與直線的交點(diǎn)為，直線與的交點(diǎn)為，∴的概率是，則的概率是．故選D．
10．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于是定義在上的奇函數(shù)，∴，且在上為增函數(shù)，
∴是上的增函數(shù)，∵，所以，∴，∴．故選A．
11．如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面，，分別為棱，上一點(diǎn)，已知，，，且平面，四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在棱上取一點(diǎn)，使得，，，則平面，
又平面，，平面平面，又平面平面，平面平面，，，故四面體可以補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)，寬，高分別為，，，所以球的表面積為．故選C．
12．在雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與雙曲線的左、右焦點(diǎn)，形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，
由平行于軸得，則，所以的面積，又，則，，由焦半徑公式，得，因此代入雙曲線方程得，可得，，即．故選C．
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)~(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第(22)~(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
13．命題“，”的否定是__________．
【答案】，．
【解析】命題“，”的否定是“，”．
即答案為，．
14．在中，角的平分線長(zhǎng)為，角，，則__________．
【答案】．
【解析】設(shè)角的平分線為，由正弦定理得，即，得，，，，．即答案為．
15．拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為原點(diǎn)，則的面積為_(kāi)_________．
【答案】．
【解析】如圖，
由題可得，，由，所以，又根據(jù)可得，即，即，可以求得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或，，即答案為2．
16．已知函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】．
【解析】由題得．，．
∴．∵，∴，．
由得，即的圖象與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，即．故填．
三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，有，
所以，
即，所以時(shí)，，
所以是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
所以，當(dāng)時(shí)，滿足該通項(xiàng)公式，
故通項(xiàng)公式為．
（2），
．
18．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，．
（1）求證：平面平面；
（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，求三棱錐的體積．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．
【解析】（1）在中，有，
，同理可得：，平面，
又平面，
平面平面．
（2）由為中點(diǎn)，可知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半．
由（1）知平面，則，
故所求體積為．
19．（12分）在甲地，隨著人們生活水平的不斷提高，進(jìn)入電影院看電影逐漸成為老百姓的一種娛樂(lè)方式．我們把習(xí)慣進(jìn)入電影院看電影的人簡(jiǎn)稱為“有習(xí)慣”的人，否則稱為“無(wú)習(xí)慣的人”．某電影院在甲地隨機(jī)調(diào)查了位年齡在歲到歲的市民，他們的年齡的頻數(shù)分布和“有習(xí)慣”的人數(shù)如下表：
（1）以年齡歲為分界點(diǎn)，請(qǐng)根據(jù)個(gè)樣本數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“有習(xí)慣”的人與年齡有關(guān)；
（2）已知甲地從歲到歲的市民大約有萬(wàn)人，以頻率估計(jì)概率，若每張電影票定價(jià)為元，則在“有習(xí)慣”的人中約有的人會(huì)買票看電影(為常數(shù))．已知票價(jià)定為元的某電影，票房達(dá)到了萬(wàn)元．某新影片要上映，電影院若將電影票定價(jià)為元，那么該影片票房估計(jì)能達(dá)到多少萬(wàn)元？
參考公式：，其中．
參考臨界值
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）77萬(wàn)元．
【解析】（1）
．
所以有的把握認(rèn)為“有習(xí)慣”的人與年齡有關(guān)．
（2）依題意，有，
∴．
∴（萬(wàn)元）.
估計(jì)新影片上映票房能達(dá)到萬(wàn)元．
20．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到左右兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和是．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若，求四邊形面積的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依題意，，，
因?yàn)?，所以，?br>所以橢圓方程為；
（2）設(shè)，，，
則由，可得，
即，，
又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形?br>設(shè)平面四邊形的面積為，
則，
設(shè)，則，
所以，因?yàn)?，所以，所以?br>所以四邊形面積的最大值為．
21．（12分）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．
【解析】（1）．
①當(dāng)時(shí)，由，得，則，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；
②當(dāng)時(shí)，由得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（2）依題意，要滿足對(duì)任意，均存在，使得，
只需滿足．
因?yàn)?，，所以?br>由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，值域?yàn)椋环项}意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
令，解得
綜上，的取值范圍是．
請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。
22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），已知直線的方程為．
（1）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值；
（2）若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依題意，設(shè)，
則點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)，即，時(shí)，，
故點(diǎn)到直線的距離的最小值為．
（2）因?yàn)榍€上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，
所以對(duì)，有恒成立，
即（其中）恒成立，
所以，
又，所以．
故的取值范圍為．
23．（10分）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)，，．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若對(duì)任意的，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，．
，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；
②當(dāng)時(shí)，，即，即或．
綜合可知：；
③當(dāng)時(shí)，，則或，綜合可知：．
由①②③可知：．
（2）當(dāng)時(shí)，，的最大值為，
要使恒成立，故只需，
則，∴；
當(dāng)時(shí)，，的最大值為，
要使恒成立，故只需，
∴，從而．
綜上討論可知：．
小于45歲
不小于45歲
合計(jì)
“有習(xí)慣”的人數(shù)
“無(wú)習(xí)慣”的人數(shù)
合計(jì)
100
小于45歲
不小于45歲
合計(jì)
“有習(xí)慣”的人數(shù)
52
18
70
“無(wú)習(xí)慣”的人數(shù)
8
22
30
合計(jì)
60
40
100

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