理科數(shù)學(xué)
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2. 若，則的值為（ ）
A． 3 B．5 C． D．
3. “”是“”恒成立的（ ）
A． 充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D． 既不充分也不必要條件
4. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C. D．
5. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問(wèn)物幾何？”人們把此類題目稱為“中國(guó)剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如.現(xiàn)將該問(wèn)題設(shè)計(jì)一個(gè)程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（ ）
A．21 B． 22 C. 23 D．24
6. 已知展開(kāi)式中的系數(shù)為0，則正實(shí)數(shù)（ ）
A．1 B． C. D．2
7. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A． B． C. D．
8. 如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，分別是的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中：①與平行；②與為異面直線；③與成60°角；④與垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A． 1 B． 2 C. 3 D．4
9. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A． B．8 C. 16 D．
10. 已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在上單調(diào)，同時(shí)的圖象向左平移個(gè)單位之后與原來(lái)的圖象重合，當(dāng)，且時(shí)，，則（ ）
A． B． -1 C. 1 D．
11. 下圖是某四棱錐的三視圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該四棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C. D．
12. 設(shè)函數(shù)滿足，則時(shí)，的最小值為（ ）
A． B． C. D．
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13.由曲線與直線所圍成的圖形的面積是．
14.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16，左焦點(diǎn)為是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．
15.要從甲、乙等8人中選4人在座談會(huì)上發(fā)言，若甲、乙都被選中，且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有種（用數(shù)字作答）.
16.已知數(shù)列與滿足，且，則．
三、解答題 ：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17.已知的內(nèi)切圓面積為，角所對(duì)的邊分別為，若.
（1）求角；
（2）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的面積.
18. 如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，平面，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
19.按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》規(guī)定，交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種，若普通7座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是保費(fèi)浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一、二、三個(gè)年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相關(guān)聯(lián)，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表：
某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通7座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了80輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車在下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：
以這80輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題：
（1）某家庭有一輛該品牌車且車齡剛滿三年，記為該車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求的分布列；
（2）某銷售商專門(mén)銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基準(zhǔn)保費(fèi)的車輛記為事故車.
①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至少有2輛事故車的概率；
②假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損4000元，一輛非事故盈利8000元，若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求其獲得利潤(rùn)的期望值.
20. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)直線，直線，直線的斜率分別為，且成等比數(shù)列.
（1）求的值；
（2）若點(diǎn)在橢圓上，滿足的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21.已知函數(shù)的最大值為.
（1）若關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，求證：；
（2）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在函數(shù)的最小零點(diǎn)處取得極小值.
（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求圓的普通方程；
（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng).
23.選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù).
（1）求的最小值及取得最小值時(shí)的取值范圍；
（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
試卷答案
一、選擇題
1-5: CDADC 6-10: BBCAB 11、12：CD
二、填空題
13. 14. 15. 120 16.
三、解答題
17.解：（1）由正弦定理得，
∴，
∵，∴，
∴；
（2）
由余弦定理得，
由題意可知的內(nèi)切圓半徑為1，
如圖，設(shè)圓為三角形的內(nèi)切圓，為切點(diǎn)，
可得，
則，
于是，
化簡(jiǎn)得，
所以或，
又，所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為6，
此時(shí)三角形的面積.
18.解：（1）在梯形中，∵，
∴，
又∵，∴，
∴，∴， 即.
∵平面，平面，
∴，而，
∴平面，
∵，∴平面；
（2）
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
∴，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
由得，
取，則，
∵是平面的一個(gè)法向量，
∴.
19.解：（1）由題意可知的可能取值為，由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知：
，
所以的分布列為
（2）①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至少有2輛事故車的概率為；
②設(shè)為該銷售商購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)，的可能取值為.
所以的分布列為：
所以，
所以該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤(rùn)的期望為萬(wàn)元.
20.解：（1）由已知得，則，
故橢圓的方程為；
設(shè)直線的方程為，
由，得，
則，
由已知，
則，即，
所以；
（2）假設(shè)存在直線滿足題設(shè)條件，且設(shè)，
由，得，
代入橢圓方程得：，
即，
則，即，
則，
所以，
化簡(jiǎn)得：，而，則，
此時(shí)，點(diǎn)中有一點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)（或下頂點(diǎn)處），與成等比數(shù)列相矛盾，故這樣的直線不存在.
21.解：（1），由，
得；由，得；
所以，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
所以，
不妨設(shè)，∴，
∴，
∴，∴，∴，
設(shè)，則，
所以，在上單調(diào)遞增，，則，
因，故，所以；
（2）由（1）可知，在區(qū)間單調(diào)遞增，又時(shí)，，
易知，在遞增，，
∴，且時(shí)，；時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
于是時(shí)，，
所以，若證明，則證明，
記，
則，∵，∴，
∴在內(nèi)單調(diào)遞增，∴，
∵，
∴在內(nèi)單調(diào)遞增，
∴，于是時(shí)，
22.解：（1）圓的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），
∴圓的普通方程為；
（2）化圓的普通方程為極坐標(biāo)方程，
設(shè)，則由解得，
設(shè)，則由，解得，
∴.
23.解：（1）∵函數(shù)，
故函數(shù)的最小值為3，
此時(shí)；
（2）當(dāng)不等式的解集為，函數(shù)恒成立，
即的圖象恒位于直線的上方，
函數(shù)，
而函數(shù)表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的一條直線，
如圖所示：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，
∴，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，∴，
數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為.
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表
投保類型
浮動(dòng)因素
浮動(dòng)比率
上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故
下浮10%
上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故
下浮20%
上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故
下浮30%
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故
0%
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故
上浮10%
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故
上浮30%
類型
數(shù)量
20
10
10
20
15
5
-4000
8000

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