一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
1. 若集合，則 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
3. 已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A. B. C. D.
4. “直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0與直線（m+2）x+3my+1＝0相互垂直”是“”的什么條件（ ）
A. 充分必要 B. 充分而不必要 C. 必要而不充分 D. 既不充分也不必要
5. 若變量滿足約束條件則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列函數(shù)中在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知為等差數(shù)列，滿足，則（ ）
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
8. 某商場對顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額：
（1）如果不超過200元，則不給予優(yōu)惠；
（2）如果超過200元但不超過500元，則按標(biāo)價給予9折優(yōu)惠；
（3）如果超過500元，其500元內(nèi)的按第（2）條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠。
某人兩次去購物，分別付款168元和423元，假設(shè)他一次性購買上述兩次同樣的商品，則應(yīng)付款是（ ）
A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元
9. 已知自然數(shù)執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的不小于55的概率為（ ）
A. B. C. D.

10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，，則（ ）
A. B. ﹣C. D.
11. 設(shè)函數(shù)，若對于任意都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. （﹣∞，2]B. [0+∞）C. [0，2]D.
12. 已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)、分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)（，）在雙曲線上且滿足，則（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. 已知為等比數(shù)列，是其前n項和，，，則___________。
14. 一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為_________。
15. 已知圓C的方程為，過軸正半軸上一點(diǎn)且斜率為的直線交圓C于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，直線的斜率________。
16. 已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時，則的最小值為________。
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17. （本小題滿分12分）
△ABC的內(nèi)角的對邊分別是，且滿足。
（1）求的值。
（2）如圖，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，若AC=2，求△DBC面積的最大值。
18. （本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，是的中點(diǎn)。
（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積。
19. （本小題滿分12分）
古有造紙術(shù)、指南針、火藥、印刷術(shù)“四大發(fā)明”，今有高鐵、移動支付、共享單車、網(wǎng)購“新四大發(fā)明”，中國古代的“四大發(fā)明”影響了世界，中國現(xiàn)代的“新四大發(fā)明”改變了中國。其中作為“共享經(jīng)濟(jì)”的代表，共享單車已經(jīng)成為第三大城市出行方式，實(shí)實(shí)在在地改變了我們的生活。以往出行除了開車之外，就只能乘坐公交、地鐵等公共交通工具，而現(xiàn)在我們可以選擇共享單車這種綠色低碳，節(jié)能環(huán)保的出行方式。而且，共享單車不僅遍布中國各大城市，也已經(jīng)成功走向了海外。在美國、英國、德國、意大利等國家的街頭都可以見到中國共享單車的身影。
某運(yùn)營公司M的市場研究人員為了了解本公司共享單車在海外的經(jīng)營狀況，對該公司在海外的最近六個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）若月份代碼x與市場占有率y具有線性相關(guān)性，用最小二乘法求得回歸方程為，則寫出回歸直線方程并預(yù)測第7個月的市場占有率；
（2）由（1）可知，M公司在海外的市場占有率有可能進(jìn)一步提升，為滿足市場需求，公司擬再采購一批單車。考慮到公司運(yùn)營的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先任意選取100輛單車進(jìn)行使用壽命的統(tǒng)計調(diào)查，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年且最多可使用4年，得到這100輛單車使用壽命頻數(shù)分布圖?，F(xiàn)從這100輛單車中用分層抽樣的方法抽取20輛單車。為分析單車的最小使用壽命和最大使用壽命，現(xiàn)在這20輛單車中壽命為1年和4年的單車中任選2輛單車進(jìn)行分析，求選出的2輛單車中至少有1輛使用壽命為4年的概率。
附：回歸直線的方程是，其中，，。
20. （本小題滿分12分）
已知橢圓的方程為，其離心率，且點(diǎn)在橢圓上。
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（2）如圖橢圓C的左頂點(diǎn)是A，點(diǎn)M、N是橢圓C上的兩動點(diǎn)且滿足，求證：M，N，O三點(diǎn)共線。
21. （本小題滿分12分）
已知函數(shù)。
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性。
（2）若在上恒成立，求的取值范圍。
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]
22. [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，為傾斜角），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為。
（1）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求當(dāng)時直線l的傾斜角。
23. [選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù)，函數(shù)。
（1）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)與的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
答案與解析
1. B
【解析】：，，則。
【命題依據(jù)】本題主要考查集合的交運(yùn)算、分式不等式的解法，考查考生的運(yùn)算求解能力。
2. D
【解析】：由題，，則的共軛復(fù)數(shù)為
【命題依據(jù)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)，考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。
3. A
【解析】：因為點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，則，所以。
【命題依據(jù)】本題主要考查指數(shù)的運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值，考查考生的指、對數(shù)運(yùn)算能力。
4. C
【解析】：當(dāng)m＝時直線（m+2）x+3my+1＝0的斜率是直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0的斜率是，∴滿足k1?k2＝﹣1
∴“直線（m+2）x+3my+1＝0與直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”是“m＝”的必要條件，而當(dāng)兩直線垂直時，（m+2）（m﹣2）+3m?（m+2）＝0得：m＝或m＝﹣2
∴“直線（m+2）x+3my+1＝0與直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”是“m＝”必要而不充分條件。故選：C。
【解題技巧】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件。⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，可以根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系。
【命題依據(jù)】本題主要考查命題的充分、必要條件的判斷以及直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力。
5. D
【解析】：如圖可行區(qū)域為：
則，在點(diǎn)（2，0）處取得最大值4。
【命題依據(jù)】本題主要考查線性規(guī)劃，考查考生的運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合能力，考查考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。
6. C
【解析】：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，，為二次函數(shù)，在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，（﹣1，+∞）上遞增，不符合題意，
對于B，，設(shè)t＝1﹣x，則y＝，設(shè)（﹣∞，0）上，t＝1﹣x為減函數(shù)，y＝為減函數(shù)，則f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，不符合題意；
對于C，，在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，符合題意；
對于D，，設(shè)t＝﹣x，y＝，在t＝﹣x在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，y＝在（0，+∞）上為減函數(shù)，則f（x）＝（﹣x）在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，不符合題意；
【命題依據(jù)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，涉及簡單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想。
7. C
【解析】：
所以，所以
【解題技巧】單一條件下求等差數(shù)列前n項和，不可能分別求出公差和首項，只能利用等差數(shù)列的對稱性進(jìn)行求解。
【命題依據(jù)】本題主要考查等差數(shù)列的對稱性，考查考生的運(yùn)算求解能力。
8. C
【解析】：某人兩次去購物，分別付款168元與423元，由于商場的優(yōu)惠規(guī)定，168元的商品未優(yōu)惠，而423元的商品是按九折優(yōu)惠后的，則實(shí)際商品價格為423÷0.9＝470元，如果他只去一次購買同樣的商品即價值168+470＝638元的商品時，應(yīng)付款為：500×0.9+（638﹣500）×0.7＝450+96.6＝546.6（元）。
【解題技巧】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解。
【命題依據(jù)】本題主要考查函數(shù)模型及其應(yīng)用，考查考生的分析問題的能力以及建立簡單的函數(shù)模型的能力。
9. A
【解析】：根據(jù)程序框圖可知，共循環(huán)3次，則輸出的，當(dāng)，則。所以，輸出的不小于55的概率。
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】識圖，并判斷循環(huán)次數(shù)以及判斷是幾何概型還是古典概型。
【命題依據(jù)】本題主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖、幾何概型，考查考生的邏輯分析能力、讀圖識圖的能力。
10. B
【解析】：由圖象可得A＝3，T=＝4（﹣），解得ω＝2，
故f（x）＝3sin（2x+φ），代入點(diǎn)（，﹣3）可得3sin（+φ）＝﹣3，
故sin（+φ）＝﹣1，+φ＝2kπ﹣，∴φ＝2kπ﹣，k∈Z
結(jié)合0＜φ＜π可得當(dāng)k＝1時，φ＝，故f（x）＝3sin（2x+），
∵f（）＝3sin（2+）＝1，∴sin（2+）＝，
∵∈（0，），∴2+∈（，），
∴＝﹣。
【解題技巧】根據(jù)三角函數(shù)部分圖象求A，，。其中，；求，一般代入函數(shù)圖象上最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，特別注意題干中的范圍。
【命題依據(jù)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，涉及整體法和同角三角函數(shù)基本關(guān)系等知識，應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，考查考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。
11. C
【解析】：若x＝0，則不論a取何值，都成立；
當(dāng)x＞0即x∈（0，1]時，可化為：，
設(shè)，顯然在（0，1]上單調(diào)遞減，
因此，從而；
當(dāng)x＜0即x∈[﹣1，0）時，可化為：，
在區(qū)間[﹣1，0）上也單調(diào)遞減，
因此，從而，
則0≤a≤2。即有實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，2]。
【解題技巧】恒成立主要問題主要處理辦法是參變分離，也可以數(shù)形結(jié)合分析。
【命題依據(jù)】本題主要考查三次函數(shù)的單調(diào)性、帶參不等式恒成立等知識，應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)形結(jié)合的思想，考查考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。
12. A
【解析】：法一：由題，，，，，則有
得，所以軸，
所以，
，
所以。
法二：雙曲線方程為，=4
由，可得，
得平分，又結(jié)合平面幾何知識可得，的內(nèi)心在直線上；
所以點(diǎn)M（2，1）就是的內(nèi)心。
故
【解題技巧】法一直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，計算難度較大，通常在圓錐曲線與向量運(yùn)算的綜合問題中利用向量的幾何性質(zhì)進(jìn)行分析，可將繁雜的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化成幾何分析。（雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心在雙曲線對應(yīng)頂點(diǎn)的正上方）。
【命題依據(jù)】本題主要考查圓錐曲線與向量運(yùn)算的綜合問題，考查考生邏輯分析能力、向量的運(yùn)算能力。
13. 6
【解析】：法一：設(shè)等比數(shù)列公比為，
當(dāng)時，，，所以，則。
當(dāng)時，，，所以，，即，這與矛盾。
綜上，。
法二：由題，，因為成等比數(shù)列，
則，所以。
【解題技巧】解決數(shù)列的常規(guī)方法是基本量法，將已知轉(zhuǎn)化為首項和公比的二元一次方程組，進(jìn)而通過解方程組，來解決所要解決的問題。
【命題依據(jù)】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，考查考生運(yùn)算求解能力。
14.
【解析】：由三視圖可知，該三棱錐可以補(bǔ)成長、寬、高分別為3，2，3的長方體。所以外接球半徑，則該三棱錐的外接球的表面積。
【解題技巧】補(bǔ)成長、寬、高分別為3，2，3的長方體是本題的關(guān)鍵。
【命題依據(jù)】本題主要考查三棱錐的三視圖、三棱錐的外接球表面積、補(bǔ)體求解三棱錐外接球半徑等知識，考查考生空間想象能力。
15. 1或7
【解析】：設(shè)直線的方程為，圓心，
點(diǎn)C到直線的距離，
又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，所以，或
【解題技巧】本題是圓與直線相交，求三角形面積最值問題，不能輕易按照圓錐曲線大題一樣的做法。圓與直線相交求弦長，一般采用圓心距（點(diǎn)到直線的距離）與圓的半徑建立勾股關(guān)系解決。
【命題依據(jù)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、三角形面積最值問題，考查考生分析問題的能力以及運(yùn)算求解的能力。
16.
【解析】，，，
因為，則，則
則。令
，則在上單調(diào)遞減，所以，
所以的最小值為。
【解題技巧】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，用分別表示出、，進(jìn)而建立關(guān)于的函數(shù)式，最后利用求導(dǎo)，求函數(shù)的最值。
【命題依據(jù)】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、單變元函數(shù)求最值，應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力。
17. 解：（1）∵，則，
因為B∈（0，π）
所以
（2）由（1）知
可得4=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，
∴ac≤3，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號），
由AD=2DC，可得S△BDC=S△ABC=acsinB≤，
∴△DBC的面積最大值為。
【解題技巧】余弦定理、均值不等式是處理已知一邊和對應(yīng)角求三角形面積最大值的最優(yōu)處理技巧。
【命題依據(jù)】本題主要考查解三角形，包括正、余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積最值問題，考查考生的邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。
18. 解：（Ⅰ）證明：過點(diǎn)C作CQ⊥AB于點(diǎn)Q，
∵AB⊥AD，AB∥CD
∴AD⊥CD，即∠ADC=90°
∵AD=CD=2
∴AC2=AD2+CD2=8
∵CQ⊥AB ∴四邊形ADCQ為矩形
∴AQ=CD=2，CQ=AD=2
∵AB=4 ∴BQ=2
∴BC2=CQ2+BQ2=8
,
又
∴ AC⊥平面PBC
。
（Ⅱ）取BC的中點(diǎn)F，則，所以，
由題，
，，又，
所以，。
【命題依據(jù)】本題主要考查空間幾何體的面面垂直的證明，考查考生空間想象能力、運(yùn)算求解能力。
19. 解：（1）由題意，計算＝×（1+2+3+4+5+6）＝3.5，
＝×（11+13+16+15+20+21）＝16，＝17.5，
＝＝2，∴＝16﹣2×3.5＝9，
∴回歸直線的方程是 ＝2x+9；
當(dāng)x＝7時，＝2×7+9＝23，∴預(yù)測該企業(yè)2017年7月份的市場份額為23%；
（2）由使用壽命頻率分布圖可知，分層抽樣比例為：，
則分層抽樣出的20輛單車中使用壽命為1年和4年的單車分別有3輛、2輛。
設(shè)使用壽命為1年的單車記為，使用壽命為4年的單車。
從中任意選取2輛，共有，，，，，，，，，10種，至少有1輛使用壽命為4年包括，，，，，，7種，所以
設(shè)“選出的2輛單車中至少有1輛使用壽命為4年”為事件A，
則。
【命題依據(jù)】本題主要考查最小二乘法求線性回歸方程、分層抽樣、古典概型等知識，考查考生數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力。
20. 解：（1）由題，則
又點(diǎn)在橢圓上，則，所以，，
所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
（2）由題意，，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，
直線的方程為，
由，得
其中
設(shè)，則，則
所以，，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為
同理，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)，即。
所以，M，N，O三點(diǎn)共線。
【解題技巧】圓錐曲線中證明三點(diǎn)共線問題，如證明M，N，O三點(diǎn)共線，一般等價證明。
此題中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求得點(diǎn)M、N坐標(biāo)后就能直接判斷，進(jìn)而證明M，N，O三點(diǎn)共線。
【命題依據(jù)】本題主要考查橢圓幾何意義，橢圓的方程，橢圓與直線的位置關(guān)系以及三點(diǎn)共線等知識，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。
21. 解：（1）函數(shù)定義域為（0，+∞），
因為
則
當(dāng)時，由，得，即；由，得，即。
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
當(dāng)時，由，得，即；由，得，即。
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。
綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。
（2）解：設(shè)g（x）=，易知g（x）與f（x）有相同的單調(diào)區(qū)間.
1°當(dāng)a>0且（1，+∞） ，即 時，由（1）可知，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，此時gmin（x）=g（1）=0，可見對
都有 即 恒成立.
2°當(dāng)a

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