基礎落實·必備知識全過關
知識點1　等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征
受n的取值的限制,畫出的圖象為平面直角坐標系內(nèi)的一串點
名師點睛1.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn,有下面幾種常見變形:
2.求等差數(shù)列前n項和最值的方法(1)二次函數(shù)法:用求二次函數(shù)最值的方法來求其前n項和的最值,但要注意n∈N+,結合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值,更加直觀.3.求等差數(shù)列{an}的前n項的絕對值之和,關鍵是找到數(shù)列{an}的正負項的分界點.
過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列的前n項和一定是常數(shù)項為0的關于n的二次函數(shù).(　　)(2)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=An2+Bn,則數(shù)列{an}的公差為2A.(　　)(3)若等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=An2+Bn(A≠0),則其最大值或最小值一定在n= 取得.(　　)(4)若等差數(shù)列{an}的公差d>0,則{an}的前n項和一定有最小值.(　　)2.若數(shù)列{an}的通項公式an=2n-37(n∈N+),則當n為何值時Sn取得最小值?
提示 由通項公式易知,a1,a2,…,a18都小于0,所以當n=18時Sn取得最小值.
知識點2　等差數(shù)列{an}的前n項和Sn的性質(zhì)1.若{an}是等差數(shù)列,則 也成等差數(shù)列,其首項與{an}首項相同,公差是{an}的公差的 .2.若Sm,S2m,S3m分別為公差是d的等差數(shù)列{an}的前m項、前2m項、前3m項的和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成公差是m2d的等差數(shù)列.
3.關于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì):
過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n-1,前n項和為Sn,則Sn=(2n-1)an.(　　)(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+1,則{an}不是等差數(shù)列.(　　)2.若{an}是公差為d的等差數(shù)列,那么a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是否也是等差數(shù)列?如果是,公差是多少?
提示 (a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d,(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d.∴a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差為9d的等差數(shù)列.
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
探究點一　等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應用
(2)等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,求數(shù)列{an}的前3m項的和S3m.
解 (方法一)在等差數(shù)列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,∴30,70,S3m-100成等差數(shù)列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
規(guī)律方法　等差數(shù)列前n項和Sn的有關問題中,如果關于Sn的性質(zhì)運用得當,可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.
解析 因為等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別是Sn,Tn,
(2)等差數(shù)列{an}的前10項和為100,前100項和為10,求前110項之和.
(3)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列,奇數(shù)項之和為44,偶數(shù)項之和為33,求這個數(shù)列的中間項及項數(shù).
解 (方法一)設此等差數(shù)列為{an},公差為d,Sn為其前n項和,S奇、S偶分別表示奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和.由題意知項數(shù)為奇數(shù),可設為(2n+1)項,則奇數(shù)項為(n+1)項,偶數(shù)項為n項,an+1為中間項.由性質(zhì)知S奇-S偶=an+1,∴an+1=11.
又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,∴(2n+1)a1+ d=77.∴(2n+1)(a1+nd)=77.又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7.故這個數(shù)列的中間項為11,項數(shù)為7.∴項數(shù)為2n+1=7.又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11.故中間項為11,項數(shù)為7.
探究點二　等差數(shù)列前n項和的綜合運用
角度1.等差數(shù)列前n項和的最值問題【例2】 (1)(多選題)在等差數(shù)列{an}中,首項a1>0,公差d≠0,前n項和為Sn(n∈N+),則下列說法正確的是(　　)A.若S3=S11,則必有S14=0B.若S3=S11,則S7是{Sn}中的最大項C.若S7>S8,則必有S8>S9D.若S7>S8,則必有S6

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5.2.1 等差數(shù)列

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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