類型一：向量在物理中的應(yīng)用
類型二：利用正、余弦定理解三角形
類型三：判斷三角形解的個(gè)數(shù)
類型四：判斷三角形的形狀
類型五：余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例
角度1：測(cè)量距離問(wèn)題
角度2：測(cè)量高度問(wèn)題
角度3：測(cè)量角度問(wèn)題
類型六：三角形中線問(wèn)題
角度1：向量化法
角度2：角互補(bǔ)法
類型七：三角形角平分線問(wèn)題
角度1：比例法
角度2：等面積法
角度3：角互補(bǔ)法
類型八：三角形面積問(wèn)題
角度1：三角形面積（定值問(wèn)題）
角度2：三角形面積（最值問(wèn)題）
角度3：三角形面積（范圍問(wèn)題）
類型九：三角形周長(zhǎng)問(wèn)題
角度1：三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（定值問(wèn)題）
角度2：三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（最值問(wèn)題）
角度3：三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（范圍問(wèn)題）
類型十：新定義題
類型一：向量在物理中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)力，，同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個(gè)力，則等于（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是_____.（寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào)）
①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷變??；③船的浮力不斷變小；④船的浮力保持不變.
例題3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力，，處于平衡狀態(tài)，若，，且與的夾角為，如圖所示．
（1）求的大小；
（2）求與的夾角．
同類題型演練
1．（2023·高一單元測(cè)試）一質(zhì)點(diǎn)在力，的共同作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到，則、 的合力對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功為_(kāi)_____．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是F1，F(xiàn)2，且F1，F(xiàn)2與水平夾角均為45°，，則物體的重力大小為_(kāi)____．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面上三個(gè)力、、作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，，，與的夾角為，求：
(1)的大?。?br>(2)與夾角的大?。?br>4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)力，，，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)(其中，分別是軸正方向、軸正方向上的單位向量)．試求：
(1)，分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；
(2)，的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．
類型二：利用正、余弦定理解三角形
典型例題
例題1．（2023秋·北京通州·高三統(tǒng)考期末）在中，若，，，則等于（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，已知，，，于，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，則的面積為_(kāi)_____．
例題4．（2023秋·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學(xué)校考期末）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且，，的面積為，則的值為_(kāi)___________.
例題5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)邊的長(zhǎng)，已知，，面積，求的值．
同類題型演練
1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)，已知，，，則邊AB的長(zhǎng)是______．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，，則的最小值為_(kāi)_____．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，，則___________．
4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，已知，，．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在邊上，且，求的長(zhǎng)．
5．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）在中，，，，則___________，_____________．
類型三：判斷三角形解的個(gè)數(shù)
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，下面使得三角形有兩組解的的值可以為（ ）
A．4B．C．D．
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（ ）
A．B．
C．D．
例題3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）張老師整理舊資料時(shí)發(fā)現(xiàn)一題部分字跡模糊不清，只能看到：在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，已知，，求邊，顯然缺少條件，若他打算補(bǔ)充的大小，并使得只有一解，的可能取值是______只需填寫(xiě)一個(gè)適合的答案
例題4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，若， ，如果可解，則邊的取值范圍是______．
同類題型演練
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，當(dāng)有兩解時(shí)，的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則B的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．1C．0D．不確定
3．（2023秋·河南鄭州·高二鄭州市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，A＝45°，若三角形有兩解，則b的可能取值是（ ）
A．2B．2.3C．3D．4
4．（2023秋·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)?？计谥校┲?，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知下列條件：①，，；②，，；③，，；④，，.其中滿足上述條件的三角形有唯一解的是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，．分別根據(jù)下列條件，求邊長(zhǎng)a的取值范圍．
(1)有一解；
(2)有兩解；
(3)無(wú)解．
類型四：判斷三角形的形狀
典型例題
例題1．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）在中，分別為角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形
例題2．（2023·高一單元測(cè)試）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．非等邊的等腰三角形D．等腰直角三角形
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，已知且滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等邊三角形
例題4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，已知．
(1)求；
(2)若，判斷的形狀．
同類題型演練
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則為（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形
C．銳角三角形D．等邊三角形
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若且，則是（ ）
A．等腰直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．直角三角形
3．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．B．是鈍角三角形
C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍D．若，則外接圓的半徑為
4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，是鈍角三角形的三邊，則的取值范圍是______．
類型五：余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例
角度1：測(cè)量距離問(wèn)題
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，為某海邊相鄰的兩座山峰，到海平面的距離分別為100米，50米．現(xiàn)欲在，之間架設(shè)高壓電網(wǎng)，須計(jì)算，之間的距離．勘測(cè)人員在海平面上選取一點(diǎn)，利用測(cè)角儀從點(diǎn)測(cè)得的，點(diǎn)的仰角分別為30°，45°，并從點(diǎn)觀測(cè)到，點(diǎn)的視角為45°，則，之間的距離為（ ）
A．米B．米C．米D．米
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地為響應(yīng)習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開(kāi)展“青山綠水”工程，造福于民，擬對(duì)該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得角，，米，則，間的直線距離約為（參考數(shù)據(jù)）（ ）
A．60米B．120米C．150米D．300米
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了測(cè)量一個(gè)不規(guī)則公園兩點(diǎn)之間的距離，如圖，在東西方向上選取相距的兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)A的正東方向上，且四點(diǎn)在同一水平面上．從點(diǎn)A處觀測(cè)得點(diǎn)在它的東北方向上，點(diǎn)在它的西北方向上；從點(diǎn)處觀測(cè)得點(diǎn)在它的北偏東方向上，點(diǎn)在它的北偏西方向上，則之間的距離為_(kāi)_____km.
例題4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地，城建部門(mén)欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為、，經(jīng)測(cè)量，，，．
(1)求的長(zhǎng)度；
(2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰(shuí)的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用較低（請(qǐng)說(shuō)明理由）？較低造價(jià)為多少？
角度2：測(cè)量高度問(wèn)題
典型例題
例題1．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）為測(cè)量河對(duì)岸的直塔的高度，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)，，測(cè)得的大小為60°，點(diǎn)，的距離為200m，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則直塔的高為（ ）
A．100mB．C．D．200m
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）翠浪塔，位于贛州市章江西岸楊梅渡公園山頂上，與贛州古城的風(fēng)水塔——玉虹塔相呼應(yīng)．塔名源于北宋大文豪蘇東坡吟詠贛州的詩(shī)句“山為翠浪涌，水作玉虹流”，該塔規(guī)劃設(shè)計(jì)為仿宋塔建筑風(fēng)格，塔體八面．一研學(xué)小組在李老師的帶領(lǐng)下到該塔參觀，這時(shí)李老師（身高約1.7米）站在一個(gè)地方（腳底與塔底在同一平面）面朝塔頂，仰角約為45；當(dāng)他水平后退50米后再次觀測(cè)塔頂，仰角約為30，據(jù)此李老師問(wèn)：同學(xué)們，翠浪塔高度大約為（ ）米？（參考數(shù)據(jù)：）
A．68B．70C．72D．74
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，某市人民廣場(chǎng)正中央有一座鐵塔，為了測(cè)量塔高，某人先在塔的正西方點(diǎn)C處測(cè)得塔項(xiàng)的仰角為45°，然后從點(diǎn)處沿南偏東30°方向前進(jìn)60到達(dá)點(diǎn)處，在處測(cè)得塔項(xiàng)的仰角為，則鐵塔的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
例題4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）為了測(cè)量金茂大廈最高點(diǎn)與上海中心大廈最高點(diǎn)之間的距離，一架無(wú)人機(jī)在兩座大廈的正上方飛行，無(wú)人機(jī)的飛行軌跡是一條水平直線，并且在飛行路線上選擇、兩點(diǎn)進(jìn)行定點(diǎn)測(cè)量（如圖），無(wú)人機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有：無(wú)人機(jī)的飛行高度，間的距離和俯角（即無(wú)人機(jī)前進(jìn)正方向與無(wú)人機(jī)、測(cè)量目標(biāo)連線所成的角）
（1）若無(wú)人機(jī)在處測(cè)得，在D處測(cè)得，其中，問(wèn)：
能否測(cè)得金茂大廈的高？若能，請(qǐng)求出金茂大廈的高度（用已知數(shù)據(jù)表示）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若要進(jìn)一步計(jì)算金茂大廈最高點(diǎn)與上海中心大廈最高點(diǎn)之間的距離，還需測(cè)量些數(shù)據(jù)？請(qǐng)用文字和公式簡(jiǎn)要敘述測(cè)量與計(jì)算的步驟．
角度3：測(cè)量角度問(wèn)題
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，兩座燈塔和與河岸觀察站的距離相等，燈塔在觀察站南偏西40°，燈塔在觀察站南偏東60°，則燈塔在燈塔的（ ）
A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡的頂上有一高度為的建筑物，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角，在山坡的處測(cè)得，沿山坡前進(jìn)到達(dá)處，又測(cè)得，根據(jù)以上數(shù)據(jù)得_________．
例題3．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，我國(guó)的海監(jiān)船在島海域例行維護(hù)巡航，某時(shí)刻航行至處，此時(shí)測(cè)得其北偏東方向與它相距16海里的處有一外國(guó)船只，且島位于海監(jiān)船正東海里處．
（1）求此時(shí)該外國(guó)船只與島的距離；
（2）觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，此外國(guó)船只正以每小時(shí)4海里的速度沿正南方向航行，為了將該船攔截在離島12海里處，不讓其進(jìn)入島12海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船航向，并求其速度的最小值．

例題4．（2023·高一單元測(cè)試）甲船在點(diǎn)發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東的點(diǎn)處，且乙船以的速度向北行駛，已知甲船的速度是，問(wèn)甲船沿什么方向前進(jìn)，才能與乙船最快相遇？此時(shí)甲船行駛了多少時(shí)間？
類型五同類題型演練
1．（2023秋·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)對(duì)該校旗桿的高度進(jìn)行測(cè)量，該社團(tuán)的同學(xué)在A處測(cè)得該校旗桿頂部P的仰角為，再向旗桿底部方向前進(jìn)15米到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得該校旗桿頂部P的仰角為．若，則該校旗桿的高度為（ ）

A．14米B．15米C．16米D．17米
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)和．現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高為（ ）米．
A．B．C．D．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在某體育場(chǎng)上，寫(xiě)有專用字體“一”、“起”、“向”、“未”、“來(lái)”的五塊高度均為2米的標(biāo)語(yǔ)牌正對(duì)看臺(tái)（B點(diǎn)為看臺(tái)底部）由近及遠(yuǎn)沿直線依次豎直擺放，分別記五塊標(biāo)語(yǔ)牌為，，…，，且米．為使距地面6米高的看臺(tái)第一排A點(diǎn)處恰好能看到后四塊標(biāo)語(yǔ)牌的底部，則（ ）
A．40.5米B．54米C．81米D．121.5米
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）魏晉南北朝時(shí)期，中國(guó)數(shù)學(xué)的測(cè)量學(xué)取得了長(zhǎng)足進(jìn)展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國(guó)傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，因其第一題為測(cè)量海島的高度和距離，故題為《海島算經(jīng)》.受此題啟發(fā)，某同學(xué)依照此法測(cè)量鄭州市二七紀(jì)念塔的高度.如圖，點(diǎn)D，G，F(xiàn)在水平線DH上，CD和EF是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”測(cè)得以下數(shù)據(jù)（單位：米）：前表卻行DG=1，表高CD=EF=2，后表卻行FH=3，表距DF=61.則塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡對(duì)于地平面的坡度為θ，則cs θ等于
A．B．C．－1D．－1
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，一架飛機(jī)從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開(kāi)某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來(lái)的飛行方向成角的方向繼續(xù)飛行到達(dá)終點(diǎn).
(1)求、兩地之間的距離；
(2)求.
7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）甲船在A處測(cè)得乙船在北偏東70°方向，兩船相距10海里，且乙船正沿著南偏東40°方向以每小時(shí)12海里的速度航行，經(jīng)過(guò)半小時(shí)，甲船追上乙船，問(wèn)甲船的航行方向是南偏東多少度？航行的速度是多少？（精確到0.1海里）（，，）
類型六：三角形中線問(wèn)題
角度1：向量化法
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的面積為，，，則邊的中線的長(zhǎng)為（ ）
A．B．3C．D．4
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________.
例題3．（2022秋·廣東肇慶·高三肇慶市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，則邊上中線長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
例題4．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中）12．從①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并給出解答.
問(wèn)題：設(shè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且___.
(1)求A；
(2)若，邊的中線，求的面積.
角度2：角互補(bǔ)法
典型例題
例題1．（多選）（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，邊上的中線，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．B．
C．D．的最大值為
例題2．（多選）（2022春·浙江·高一嘉興一中校聯(lián)考期中）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，BC邊上的中線，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．與均為定值B．
C．D．的最大值為
例題3．（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)若邊上的中線長(zhǎng)為4，求面積的最大值.
例題4．（2022春·全國(guó)·高一期末）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，．
(1)求大??；
(2)若邊上的中線長(zhǎng)為，求的面積．
類型六同類題型演練
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，，則邊上的中線長(zhǎng)為（ ）
A．49B．7C．D．
2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考開(kāi)學(xué)考試）在等腰中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為3，則的面積的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
3．（多選）（2022春·湖北襄陽(yáng)·高一襄陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，BC邊上的中線，則下列說(shuō)法正確的有：（ ）
A．B．C．D．∠BAD的最大值為60°
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，，為邊的中點(diǎn)，為中線的中點(diǎn)，則向量的模為_(kāi)________.
5．（2022春·江蘇鹽城·高一?？茧A段練習(xí)）銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的取值范圍．
6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，.
(1)求的面積；
(2)若，求BC邊中線的長(zhǎng).
類型七：三角形角平分線問(wèn)題
角度1：比例法
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是的角平分線，，，，求的長(zhǎng)．
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①；②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．
已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，， ．
(1)求角的大??；
(2)若的角平分線交線段于點(diǎn)，且，求的面積．
例題3．（2022秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，的角平分線交邊于點(diǎn).
(1)證明：.
(2)若，且的面積為，求的長(zhǎng).
角度2：等面積法
典型例題
例題1．（2022秋·廣西柳州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，為的角平分線，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2022春·北京通州·高一統(tǒng)考期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，的角平分線交于點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．D．
例題3．（多選）（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的面積為B．
C．D．
例題4．（2022春·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期中）在△中，其內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是，，，且滿足___________．
①
②
③
請(qǐng)從上述所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面的橫線上，并解答下列問(wèn)題：
(1)求角的大?。?br>(2)已知外接圓的半徑為，如圖所示，是的角平分線，且，求的面積．
例題5．（2022春·湖北武漢·高一統(tǒng)考期末）已知，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，，的角平分線交于點(diǎn).若，則__________，的取值范圍是___________.
角度3：角互補(bǔ)法
典型例題
例題1．（2022秋·河北滄州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，分別是的內(nèi)角，，的對(duì)邊，．
(1)求角的大??；
(2)從下面兩個(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)作答，兩個(gè)都作答則按第一個(gè)記分．
①設(shè)角的角平分線交邊于點(diǎn)，且，求面積的最小值．
②設(shè)點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，且，求面積的最大值．
例題2．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，的角平分線與邊相交于點(diǎn)，滿足.
(1)求證：；
(2)若，求的大小.
類型七同類題型演練
1．（2022春·江蘇宿遷·高一沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)?？计谀┰谥?，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且滿足．角A的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)M，若，則（ ）
A．B．C．D．2
2．（2022春·福建廈門(mén)·高一廈門(mén)一中校考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，，AB邊上的角平分線長(zhǎng)度為t，則（ ）
A．3B．6C．3或6D．
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在 ABC中，，，∠A的角平分線AD的長(zhǎng)為，則|AC|＝（ ）
A．2B．3C．D．
4．（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，若角A的內(nèi)角平分線AD的長(zhǎng)為2，則的最小值為（ ）
A．10B．12C．16D．18
5．（2022春·山西長(zhǎng)治·高一山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校?？计谀┑膬?nèi)角的對(duì)邊分別為.若，邊角平分線，則邊的最小值為_(kāi)________．
6．（2022春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┰谌切沃校堑膶?duì)邊分別是，若，角的角平分線交邊于點(diǎn)，且，則邊c的大小為_(kāi)__________.
7．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．
(1)求角A的大??；
(2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面積．
注：三角形的內(nèi)角平分線定理：在△PQR中，點(diǎn)M在邊QR上，且PM為∠QPR的內(nèi)角平分線，有．
8．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的角平分線且，若，則__________，的面積為_(kāi)_________．
類型八：三角形面積問(wèn)題
角度1：三角形面積（定值問(wèn)題）
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且，則的面積為_(kāi)_______．
例題2．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足.
(1)求的值；
(2)若與邊上的高之比為3∶5，且，求的面積.
例題3．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）在中，角，，對(duì)邊分別為，，，且，.
(1)求；
(2)若，邊上中線，求的面積.
例題4．（2023秋·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？计谀┮阎?、分別為三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，且.
(1)求；
(2)若，則的面積為3，求、.
例題5．（2023秋·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).用五點(diǎn)法畫(huà)在區(qū)間上的圖象時(shí)，取點(diǎn)列表如下：
(1)直接寫(xiě)出的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，，求的面積.
角度2：三角形面積（最值問(wèn)題）
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的外心為點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，，.
(1)求；
(2)求面積的最大值.
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，、、的對(duì)邊分別為、、，其中邊最長(zhǎng)，并且．
(1)求證：是直角三角形；
(2)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．
例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
（1）求的值；
（2）若，求面積的最大值.
例題5．（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，點(diǎn)在線段上，且
(1)求角的大?。?br>(2)求的面積的最大值.
角度3：三角形面積（范圍問(wèn)題）
典型例題
例題1．（2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考期末）設(shè)銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，則面積的取值范圍為_(kāi)_____.
例題2．（2022春·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，且，求；
(2)若為銳角三角形，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，求面積的取值范圍．
例題3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，且．向量，且，求面積的取值范圍．
例題4．（2022春·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，．
(1)求的值．
(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍．
類型八同類題型演練
1．（2023·廣西柳州·二模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，且的面積為，則（ ）
A．B．1C．2D．3
2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在中，，，，則的面積為_(kāi)________．
3．（2022春·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且外接圓的半徑為．
(1)求C的大?。?br>(2)若G是的重心，求面積的最大值．
4．（2022春·安徽蚌埠·高一統(tǒng)考期末）在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題的橫線中，并求解該問(wèn)題.
已知中，，，分別是內(nèi)角，，的對(duì)邊，_____________.
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值.
5．（2022春·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若是銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．
在中，角的對(duì)邊分別是，若__________．（填條件序號(hào)）
(1)求角A的大小；
(2)若，求面積的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
7．（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中?？计谥校┰阡J角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，向量，，滿足.
(1)求角的值；
(2)若，求的面積的取值范圍．
類型九：三角形周長(zhǎng)問(wèn)題
角度1：三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（定值問(wèn)題）
典型例題
例題1．（2022·河南商丘·校聯(lián)考三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，則______________．
例題2．（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且的面積為．
(1)求的值；
(2)若為邊的中點(diǎn)且，求的周長(zhǎng)．
例題3．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).
例題4．（2022春·四川達(dá)州·高一統(tǒng)考期末）在中，角 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，，求的周長(zhǎng)．
例題5．（2023·河南信陽(yáng)·河南省信陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若.
(1)求證：；
(2)若，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，平分，，求邊長(zhǎng).
例題6．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，在①、②、③中任選一個(gè)作為條件解答下列問(wèn)題.
①向量與向量平行；
②；
③.
(1)確定角和角之間的關(guān)系；
(2)若為線段上一點(diǎn)，且滿足，若，求.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
角度2：三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（最值問(wèn)題）
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，若點(diǎn)在邊上，且，則的最大值是___________.
例題2．（2023秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，在
①，②
兩個(gè)條件中任選一個(gè)完成以下問(wèn)題：
(1)求；
(2)若在上，且，求的最大值．
例題3．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，.
(1)求；
(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.
例題4．（2022秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，且滿足．
(1)求角；
(2)若，求的最大值．
例題5．（2022秋·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在條件：①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．
已知，，分別為銳角的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，，而且__________；
(1)求角的大?。?br>(2)求周長(zhǎng)的最大值．
角度3：三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（范圍問(wèn)題）
典型例題
例題1．（2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，．
(1)證明：．
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．
例題2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，求的取值范圍．
例題3．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）記銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．
(1)求；
(2)求的取值范圍．
例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，是的面積,．
(1)證明：；
(2)若，且為銳角三角形，求的取值范圍．
例題5．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）在①，②函數(shù)圖像的一個(gè)最低點(diǎn)為，③函數(shù)圖像上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出問(wèn)題的解答.
已知函數(shù)，滿足
(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角中，，求周長(zhǎng)的取值范圍.
例題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；
(2)在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
例題7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知銳角中，角、、所對(duì)邊為、、，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍．
例題8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.問(wèn)題：在中，角的對(duì)邊分別為，且___________
(1)求角的大小；
(2)，求周長(zhǎng)的取值范圍.
例題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
(1)求角；
(2)若，為的最小角，求周長(zhǎng)的取值范圍．
類型九同類題型演練
1．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考期中）已知的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，，，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．6
2．（2022秋·江蘇南京·高二南京師大附中校考開(kāi)學(xué)考試）已知△ABC的三邊長(zhǎng)互不相等，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c＝1，acsA＝bcsB，則a+b的取值范圍是 _____.
3．（2022秋·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在①，，；②；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足______.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
(1)求；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
4．（2022秋·江蘇南京·高三江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的三個(gè)角所對(duì)的邊為滿足：.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值.
5．（2022秋·廣東深圳·高三?？计谥校┰谥?，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，且，求的取值范圍．
6．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中?？计谀┰谥?，角所對(duì)的邊分別為，，，，且．
(1)求角的值；
(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍．
7．（2022春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，函數(shù)．
(1)求函數(shù)在上的值域；
(2)若的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
8．（2022春·云南昆明·高一昆明市第三中學(xué)?？计谥校┰O(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．
(1)求A；
(2)從三個(gè)條件：①的面積為；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求周長(zhǎng)的取值范圍．
類型十：新定義題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長(zhǎng)，相同的長(zhǎng)度（如將CA延長(zhǎng)至D）得到圖2．在圖2中，若，，D，E兩點(diǎn)間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．1D．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）疫情期間，為保障市民安全，要對(duì)所有街道進(jìn)行消毒處理.某消毒裝備的設(shè)計(jì)如圖所示，為街道路面，為消毒設(shè)備的高，為噴桿，，，處是噴灑消毒水的噴頭，其噴灑范圍為路面，噴射角.若，，則消毒水噴灑在路面上的寬度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則的面積為.若，且的外接圓的半徑為，則面積的最大值為_(kāi)_________.
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“趙爽弦圖”一一由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖1所示.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖2所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.在中，若，則___________.
5．（2022春·江蘇蘇州·高一吳縣中學(xué)?？计谥校┫聢D所示的畢達(dá)格拉斯樹(shù)畫(huà)是由圖（i）利用幾何畫(huà)板或者動(dòng)態(tài)幾何畫(huà)板Gegebra做出來(lái)的圖片，其中四邊形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改變圖（i）中的大小會(huì)得到更多不同的“樹(shù)形”．
(1)在圖（i）中，，且，求的值；
(2)在圖（ii）中，，設(shè)，求的最大值．0
1
0
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第1講 平面向量的概念及其運(yùn)算（練透重點(diǎn)題型）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期重點(diǎn)題型精講精練（人教A版必修第二冊(cè)）：

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