類型一：頻率分布表或頻率分布直方圖
類型二：頻率分布折線圖
類型三：條形圖，折線圖，扇形圖的應(yīng)用
類型四：總體百分位數(shù)的估計
類型五：計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)
類型六：在莖葉圖中求平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)
類型七：在頻率分布直方圖中估算平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)
類型八：計算方差，標準差
類型九：平均數(shù)，方差的性質(zhì)
類型十：根據(jù)平均數(shù)方差決策
類型十一：計算頻率分布直方圖中的方差，標準差
類型十二：估計總體的方差，標準差
類型一：頻率分布表或頻率分布直方圖
典型例題
例題1．（2022·高二單元測試）有一容量為200的樣本，數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下：
(1)列出樣本的頻率分布表；
(2)畫出樣本的頻率分布直方圖和折線圖；
(3)求樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率．
例題2．（2022·高一課時練習）考查某校高三年級男同學的身高，隨機地抽取50名男同學，測得他們的身高（單位：cm）如下表所示：
(1)這組數(shù)據(jù)的極差為______，數(shù)據(jù)160的頻數(shù)為______，數(shù)據(jù)171的頻率為______；
(2)填寫下面的頻率分布表：
(3)畫出該校高三年級男同學身高的頻率分布直方圖．
例題3．（2022·高一課時練習）從總體中抽取容量為的樣本，數(shù)據(jù)分組及各組的頻數(shù)如下：
根據(jù)上表，制作頻率分布直方圖．
例題4．（2023·高一課時練習）如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：
（1）求這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？
（2）估計這次環(huán)保知識競賽的及格率（分及以上為及格）.
同類題型演練
1．（2022·高二課時練習）對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，情況如下表．
(1)制作頻率分布表，并繪制頻率分布直方圖；
(2)估計電子元件壽命在400h以上的在總體中占的比例．
2．（2023·遼寧沈陽·高二學業(yè)考試）為了調(diào)查學生在一學期內(nèi)參加物理實驗的情況，從某校隨機抽取100名學生，經(jīng)統(tǒng)計得到他們參加物理實驗的次數(shù)均在區(qū)間內(nèi)，其數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，.若.
(1)求這100名學生中，物理實驗次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)；
(2)估計該校學生在一學期內(nèi)參加物理實驗的次數(shù)在15次到20次之間的概率.
3．（2023·高一課時練習）某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．求：
(1)直方圖中的a的值；
(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)．
4．（2023秋·陜西西安·高三西安市鐵一中學校考期末）從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求直方圖中x的值；
（2）①求在這些用戶中，用電量在區(qū)間[100，250）內(nèi)的居民數(shù)；
②如果按分層抽樣方法，在這些用戶中按1：10的比例抽取用戶進一步調(diào)查，那么用電量在[150，200）內(nèi)的居民數(shù)應(yīng)抽取多少？
類型二：頻率分布折線圖
典型例題
例題1．（2022·高一課時練習）有一容量為200的樣本，數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下：
(1)列出樣本的頻率分布表；
(2)畫出樣本的頻率分布直方圖和折線圖；
(3)求樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率.
例題2．（2022·高一課時練習）某校從高三學生中選取了50名學生參加數(shù)學質(zhì)量檢測，成績（單位：分）分組及各組的頻數(shù)如下：，2；，3；，10；，15；，12；，8．
(1)列出頻率分布表；
(2)畫出頻率直方圖及頻率折線圖．
例題3．（2022秋·廣東汕頭·高二汕頭市聿懷中學校考期末）為了了解某城市居民用水量的情況，我們獲得100戶居民某年的月均用水量（單位：噸）通過對數(shù)據(jù)的處理，我們獲得了該100戶居民月均用水量的頻率分布表，并繪制了頻率分布直方圖（部分數(shù)據(jù)隱藏）100戶居民月均用水量的頻率分布表

(1)確定表中與的值；
(2)求頻率分布直方圖中左數(shù)第4個矩形的高度；
(3)在頻率分布直方圖中畫出頻率分布折線圖.
同類題型演練
1．（2022·高二課時練習）有一個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：，6；，16；，18；，22；，20；，10；，8．
(1)列出樣本的頻率分布表；
(2)繪制頻率分布直方圖和頻率折線圖．
2．（2022·高一課時練習）有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：，4；，5；，10；，11；，9；，8；，3．
(1)求出樣本中各組的頻率；
(2)畫出頻率分布直方圖及頻率分布折線圖．
3．（2022·高一課時練習）某制造商為運動會生產(chǎn)一批直徑為40的乒乓球，現(xiàn)隨機抽樣檢查20只，測得每只球的直徑(單位：，保留兩位小數(shù))如下：
40.02 40.00 39.98 40.00 39.99
40.00 39.98 40.01 39.98 39.99
40.00 39.99 39.95 40.01 40.02
39.98 40.00 39.99 40.00 39.96
（1）完成下面的頻率分布表，并在補全圖中頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.
（2）假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02為合格品，若這批乒乓球的總數(shù)為10000只，試根據(jù)抽樣檢查結(jié)果估計這批產(chǎn)品的合格只數(shù).
類型三：條形圖，折線圖，扇形圖的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）如圖是民航部門統(tǒng)計的2021年春運期間12個城市售出的往返機票的平均價格以及相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（ ）
A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高
B．天津和重慶的春運期間往返機票價格同去年相比有所上升
C．平均價格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門
D．平均價格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州
例題2．（多選）（2023·全國·高三專題練習）某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.
A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上
B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%
C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多
D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多
例題3．（2023·全國·高三專題練習）某校高一年級500名學生全部參加了體育達標測試，現(xiàn)從中隨機抽取40名學生的測試成績，整理并按分數(shù)段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]進行分組，假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，則得到體育成績的折線圖如圖：
(1)估計該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學生人數(shù)；
(2)現(xiàn)從體育成績在[60,70)和[80,90)的樣本學生中隨機抽取2人，求2人體育成績都在[80,90)的概率.
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習）已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為
A．400，40B．200，10C．400，80D．200，20
2．（2023·全國·高二專題練習）2021年3月，樹人中學組織三個年級的學生進行“慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年”黨史知識競賽.經(jīng)統(tǒng)計，得到前200名學生分布的餅狀圖（如圖）和前200名中高一學生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯誤的是（ ）
A．成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人
B．成績第1-100名的100人中，高一人數(shù)不超過一半
C．成績第1-50名的50人中，高三最多有32人
D．成績第51-100名的50人中，高二人數(shù)比高一的多
3．（2023·全國·高三專題練習）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍．實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖：
則下面結(jié)論中不正確的是
A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少
B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上
C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍
D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半
類型四：總體百分位數(shù)的估計
典型例題
例題1．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)?第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則等于（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考期末）某校為了了解高三年級學生的身體素質(zhì)狀況，在開學初舉行了一場身體素質(zhì)體能測試，以便對體能不達標的學生進行有針對性的訓練，促進他們體能的提升，現(xiàn)從整個年級測試成績中抽取100名學生的測試成績，并把測試成績分成六組，繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.其中分數(shù)在這一組中的縱坐標為，則該次體能測試成績的分位數(shù)約為___________分.
例題3．（2023·全國·高三專題練習）2022年“中國航天日”線上啟動儀式在4月24日上午舉行，為普及航天知識，某校開展了“航天知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該競賽的學生中隨機抽取了60名，統(tǒng)計他們的成績（滿分100分），其中成績不低于80分的學生被評為“航天達人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)若該中學參加這次競賽的共有2000名學生，試估計全校這次競賽中“航天達人”的人數(shù)；
(2)估計參加這次競賽的學生成績的80%分位數(shù)；
(3)若在抽取的60名學生中，利用分層隨機抽樣的方法從成績不低于70分的學生中隨機抽取6人，則從成績在[70，80），[80，90），[90，100]內(nèi)的學生中分別抽取了多少人？
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習）某地區(qū)為了解最近11天該地區(qū)的空氣質(zhì)量，調(diào)查了該地區(qū)過去11天的濃度（單位：），數(shù)據(jù)依次為53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，．已知這組數(shù)據(jù)的極差為40，則這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為（ ）
A．71B．75.5C．79D．72
2．（2023·福建·統(tǒng)考一模）以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：
甲組：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；
乙組：17，22，32，43，45，49，b，56．
若甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則__________．
3．（2023·高一課時練習）某旅游網(wǎng)考察了一個景點附近的15家酒店，根據(jù)清潔程度、舒適程度、服務(wù)態(tài)度、位置、早餐質(zhì)量等給每個酒店一個評分（滿分10分），結(jié)果如下：
9.0，8.8，8.7，9.1，8.2，8.5，9.7，8.9，9.5，9.8，9.2，8.9，9.6，8.6，8.9．
(1)計算第25百分位數(shù)；
(2)某網(wǎng)站計劃將評分在第95百分位數(shù)以上的酒店列為優(yōu)先推薦酒店，若某酒店的評分為9.6，該酒店能否列為優(yōu)先推薦酒店？
類型五：計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）運動員甲10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)說法不正確的是（ ）.
A．眾數(shù)為7和9B．平均數(shù)為7
C．中位數(shù)為7D．方差為
例題2．（2023·高三課時練習）已知一組數(shù)據(jù)10，5，4，2，2，2，，且這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則所有可能的取值為__________．
例題3．（2023·高一單元測試）某賽季甲、乙兩名運動員在若干場比賽中的得分情況如下：
甲：18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；
乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48．求：
(1)分別計算甲、乙兩人每場得分的平均數(shù)；
(2)計算甲、乙兩人每場得分的中位數(shù)；
(3)計算甲、乙兩人得分的標準差，并回答誰的成績比較穩(wěn)定．
例題4．（2023·全國·高三專題練習）在①55%分位數(shù)，②眾數(shù)這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答問題.維生素又叫L-抗壞血酸，是一種水溶性維生素，是高等靈長類動物與其他少數(shù)生物的必需營養(yǎng)素.現(xiàn)從獼猴桃?柚子兩種食物中測得每100克維生素的含量（單位：mg）各10個數(shù)據(jù)如下，其中獼猴桃的一個數(shù)據(jù)被污損.
獼猴桃：104，119，106，102，132，107，113，134，116，x；
柚子：121，113，109，122，114，116，132，121，131，117.
已知等于柚子的10個數(shù)據(jù)中的___________.
(1)求的值與獼猴桃的數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
(2)分別計算上述獼猴桃?柚子兩種食物中測得每100克維生素含量的平均數(shù).
同類題型演練
1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如圖所示莖葉圖，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4
B．乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)約為8.60（按四舍五入精確到0.01）
C．甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值小于0.4
D．乙同學周課外體育運動時長的方差約為0.80（按四舍五入精確到0.01）
2．（2023·全國·高三對口高考）已知的中位數(shù)為，平均數(shù)為4，則________．
3．（2023·高一課時練習）在高三數(shù)學聯(lián)賽中，參賽的100名學生做10個題目，正確個數(shù)如下：
求：
(1)人均正確答題數(shù)；
(2)每人正確答題數(shù)的中位數(shù)；
(3)每人正確答題數(shù)的方差．
4．（2023·高一課時練習）某單位黨員分為4個黨小組，各組人數(shù)分別為10，10，x，8．已知各組人數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，求中位數(shù)．
類型六：在莖葉圖中求平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）如圖是2021年青年歌手大獎賽中，七位評委為甲?乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉圖（其中均為數(shù)字中的一個），在去掉一個最高分和一個是低分后，則下列說法錯誤的是（ ）
A．甲選手得分的平均數(shù)一定大于乙選手得分的平均數(shù)
B．甲選手得分的中位數(shù)一定大于乙選手得分的中位數(shù)
C．甲選手得分的眾數(shù)與的值無關(guān)
D．甲選手得分的方差與的值無關(guān)
例題2．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考階段練習）在我校舉辦的藝術(shù)節(jié)舞蹈比賽中，有15位評委為選手打分，若選手甲所得分數(shù)用莖葉圖表示如圖所示，則該選手所得分數(shù)的中位數(shù)為（ ）
A．80B．81C．84D．85
例題3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中學?？茧A段練習）甲乙兩名籃球運動員最近場比賽的得分如下莖葉圖所示，若甲、乙的平均數(shù)相等，則=（ ）
A．B．
C．D．
4．（多選）（2022·山東德州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某市共青團委統(tǒng)計了甲、乙兩名同學近十期“青年大學習”答題得分情況，整理成如圖所示的莖葉圖．則下列說法中正確的是（ ）
A．甲得分的30%分位數(shù)是31B．乙得分的眾數(shù)是48
C．甲得分的平均數(shù)小于乙得分的平均數(shù)D．甲得分的極差等于乙得分的極差
例題5．（2022秋·上海浦東新·高二?？计谀┠持袑W高三年級從甲、乙兩個班級各選出名學生參加數(shù)學賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的平均分是，乙班學生成績的中位數(shù)是，則的值為________.
同類題型演練
1．（2022·上海·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某班共有50名同學，班主任李老師將大家分成了5個學習小組，每組10人，在某次數(shù)學測試中，甲、乙兩小組的測試成績的莖葉圖如圖所示，則對該次測試的成績，下列說法錯誤的是（ ）
A．甲組學生成績的眾數(shù)是78B．乙組學生成績的中位數(shù)是79
C．甲組學生的成績更穩(wěn)定D．乙組學生的平均成績更高
2．（2022秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學校考階段練習）如圖是6株圣女果植株掛果個數(shù)（兩位數(shù)）的莖葉圖，則6株圣女果植株掛果個數(shù)的中位數(shù)為（ ）
A．21B．21.5C．22D．22.5
3．（2022·全國·高一專題練習）某中學從甲、乙兩個班中各選出7名學生參加2022年“希望杯”全國數(shù)學邀請賽，他們?nèi)〉贸煽兊那o葉圖如圖，其中甲班學生成績的中位數(shù)是84，乙班學生成績的平均數(shù)是86，則xy的值為（ ）
A．36B．12C．10D．24
4．（2022秋·廣西玉林·高二統(tǒng)考期末）隨機抽取某社區(qū)名居民，調(diào)查他們某一天吃早餐所花的費用（單位：元），所獲數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則這個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_________．
5．（2022春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知甲，乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)相等，則_________．
類型七：在頻率分布直方圖中估算平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)
典型例題
例題1．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從使用該產(chǎn)品的用戶中隨機調(diào)查了100個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到如圖所示的用戶滿意度評分的頻率分布直方圖.若用戶滿意度評分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別為,,,則（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國·高二專題練習）某校舉辦了迎新年知識競賽，將100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下，則根據(jù)頻率分布直方圖，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．中位數(shù)70B．眾數(shù)75C．平均數(shù)68.5D．平均數(shù)70
例題3．（多選）（2023秋·浙江·高二浙江省江山中學校聯(lián)考期末）某校為了解學生對食堂的滿意程度，設(shè)計了一份調(diào)查問卷，從該校高中生中隨機抽取部分學生參加測試，記錄了他們的分數(shù)，將收集到的學生測試分數(shù)按照、、、、、、分組，畫出頻率分布直方圖，已知隨機抽取的學生測試分數(shù)不低于分的學生有人，則以下結(jié)論中正確的是（ ）
A．此次測試眾數(shù)的估計值為
B．此次測試分數(shù)在的學生人數(shù)為人
C．隨機抽取的學生測試分數(shù)的第百分位數(shù)約為
D．平均數(shù)在中位數(shù)右側(cè)
例題4．（2023春·四川達州·高二四川省宣漢中學校考開學考試）在某校2022年春季的高一學生期末體育成績中隨機抽取50個，并將這些成績共分成五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.在的成績?yōu)椴贿_標，在的成績?yōu)檫_標.
(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖求的值，并估計樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到個位）；
(2)以體育成績是否達標為依據(jù)，用分層抽樣的方法在該校2022年春季的高一學生中選出5人，再從這5人中隨機選2人，那么這兩人中至少有一人體育成績達標的概率是多少？
例題5．（2023·全國·高三專題練習）已知，兩家公司的員工月均工資（單位：萬元）情況分別如圖1，圖2所示：
(1)以每組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值為代表，根據(jù)圖1估計A公司員工月均工資的平均數(shù)、中位數(shù)，你認為用哪個數(shù)據(jù)更能反映該公司普通員工的工資水平？請說明理由．
(2)小明擬到，兩家公司中的一家應(yīng)聘，以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，他應(yīng)該選哪個公司？
同類題型演練
1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）為了解市民的生活幸福指數(shù)，某組織隨機選取了部分市民參與問卷調(diào)查，將他們的生活幸福指數(shù)（滿分100分）按照分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，估計市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為（ ）
A．70B．C．D．60
2．（多選）（2023·全國·高二專題練習）某大學共有12 000名學生，為了了解學生課外圖書閱讀情況，該校隨機地從全校學生中抽取1000名，統(tǒng)計他們年度閱讀書籍的數(shù)量，并制成如圖所示的頻率分布直方圖，由此來估計全體學生年度閱讀書籍的情況，下列說法中不正確的是(注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)（ ）
A．該校學生年度閱讀書籍本數(shù)的中位數(shù)為6
B．該校學生年度閱讀書籍本數(shù)的眾數(shù)為10
C．該校學生年度閱讀書籍本數(shù)的平均數(shù)為6.88
D．該校學生年度讀書不低于8本的人數(shù)約為3600
3．（2023秋·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）某果園新采摘了一批蘋果，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），將重量按照進行分組，得到頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）.
(1)估計這批蘋果的重量的平均數(shù)；
(2)該果園準備把這批蘋果銷售給一家超市，據(jù)市場行情，有兩種銷售方案；
方案一：所有蘋果混在一起，價格為2.5元/千克；
方案二：將不同重量的蘋果分開，重量不小于160克的蘋果的價格為3元/千克，重量小于160克的蘋果的價格為2元/千克，但果園需支付每1000個蘋果5元的分揀費.
分別估計并比較兩種方案下果園銷售10000個蘋果的收入.
4．（2023春·江蘇南京·高二校考開學考試）2022年10月16日至10月22日中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京順利召開，會后各地掀起了學習貫徹二十大精神的熱潮.某中學在進行二十大精神學習講座后，從全校學生中隨機抽取了200名學生進行筆試（試卷滿分100分），并記錄下他們的成績，其中成績分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，并整理得到如下頻率分布直方圖，已知圖中前三個組的頻率依次構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求這部分學生成績的中位數(shù)?平均數(shù)（保留一位小數(shù)）；
5．（2023秋·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）從某中學隨機抽樣1000名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的樣本數(shù)據(jù)，整理得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：，，，，，，.
(1)求該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；
(2)估計該校學生每周課外閱讀時間超過8小時的概率.
類型八：計算方差，標準差
典型例題
例題1．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A．，B．，C．，D．，
例題2．（2023·高一課時練習）某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表．
(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；
(2)計算（1）中樣本的平均值和方差；
(3)36名工人中年齡在與之間有多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01%）？
例題3．（2023秋·上海靜安·高二?？计谀┘滓覂擅鋼暨\動員在某次選拔賽中的成績的莖葉圖為：
如果以這個成績?yōu)橐罁?jù)選擇一個人參加正賽，從平均水平和穩(wěn)定性的角度出發(fā)應(yīng)該選擇誰？用統(tǒng)計學相關(guān)數(shù)據(jù)說明你選擇的理由．
例題4．（2023·高一課時練習）檢查甲、乙兩廠的100瓦電燈泡的生產(chǎn)質(zhì)量，分別抽取20只燈泡，檢查結(jié)果如下：
(1)請計算甲、乙兩廠燈泡瓦數(shù)的總體均值的估計值；
(2)請計算甲、乙兩廠所抽取燈泡瓦數(shù)的標準差；（精確到0.01）
(3)哪個廠的生產(chǎn)情況較穩(wěn)定？
同類題型演練
1．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）在某校的“迎新年”歌詠比賽中，6位評委給某位參賽選手打分，6個分數(shù)的平均分為分，方差為，若去掉一個最高分分和一個最低分分，則剩下的4個分數(shù)滿足（ ）
A．平均分分，方差B．平均分分，方差
C．平均分分，方差D．平均分分，方差
2．（2023秋·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）農(nóng)科院的專家為了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況，從種植有甲、乙兩種麥苗的兩塊試驗田中分別抽取了6株麥苗測量株高，得到數(shù)據(jù)如下（單位：cm）：
(1)分別求出甲、乙麥苗株高的平均數(shù)；
(2)分別求出甲、乙麥苗株高的方差，并分析甲、乙哪種麥苗的苗更齊.
3．（2023·高一單元測試）為調(diào)查家庭人口數(shù)，從某小區(qū)抽取了263戶家庭，人口數(shù)表示如下：
求該樣本的平均數(shù)，中位數(shù)，方差和標準差．（精確到0.01）
4．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級中學?？计谀┠嘲酁榱肆私鈱W生每月購買零食的支出情況，利用分層抽樣抽取了一個9人的樣本統(tǒng)計如下：
估計全班學生每月購買零食的平均支出為______元，方差為______.（分數(shù)或精確到小數(shù)點后一位）
類型九：平均數(shù)，方差的性質(zhì)
典型例題
例題1．（2023·高一單元測試）設(shè)有個樣本，，…，，其標準差是，另有個樣本，，…，，且，其標準差為，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2023·高一課時練習）已知一組數(shù)據(jù)，，…，，c是非零常數(shù)，則對于數(shù)據(jù)，，…，，以下說法中正確的是（ ）
A．平均數(shù)與方差都不變B．平均數(shù)變了，方差不變
C．平均數(shù)不變，方差變了D．平均數(shù)與方差都變了
例題3．（2023秋·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┮阎獢?shù)據(jù)、、…、的方差為16，則數(shù)據(jù)、、…、的標準差為______.
例題4．（2023·全國·高三專題練習）已知、、…、的平均值為6，方差為3，則、、…、的平均值為______，方差為______．
同類題型演練
1．（2023·全國·高二專題練習）若，，…，的方差為2，則，，…，的方差是（ ）
A．18B．7C．6D．2
2．（多選）（2023秋·遼寧·高二沈陽市第三十一中學校聯(lián)考期末）已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差為，則樣本數(shù)據(jù)的（ ）
A．平均數(shù)是B．平均數(shù)是
C．方差是D．方差是
3．（2023秋·上海靜安·高二?？计谀┰O(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為6，則數(shù)據(jù)的方差是______．
4．（2023·高三課時練習）若一組數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為2，方差為3，則，，，…，的方差是_________.
類型十：根據(jù)平均數(shù)方差決策
典型例題
例題1．（2023·全國·高一專題練習）甲、乙兩人同時加工一種零件，在10天中兩人每天生產(chǎn)的次品數(shù)如下表：
按照以下數(shù)據(jù)，分別估計他們加工零件時出現(xiàn)次品的平均數(shù)和標準差（精確到0.01），并比較兩人哪一個更穩(wěn)定一些．
例題2．（2023·全國·高二專題練習）某市射擊隊準備在甲、乙兩名射擊運動員中選拔一名運動員代表該市去參加射擊比賽，他們兩人共進行了5輪射擊選拔賽，得到的成統(tǒng)統(tǒng)計如下（單位環(huán)）：
(1)分別計算甲、乙兩名射擊運動員5輪選拔賽成績的平均數(shù)；
(2)分別計算甲、乙兩名射擊運動員5輪選拔賽成績的方差；
(3)選派哪名運動員代表該市參賽比較合適，請說出你的理由.
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習）隨著手機和網(wǎng)絡(luò)的普及，外賣行業(yè)得到迅速的發(fā)展．某外賣平臺為了解某地區(qū)用戶對其提供的服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了40個用戶，得到用戶的滿意度評分如下：
(1)請你估計該地區(qū)所有用戶評分的25%，95%分位數(shù)；
(2)若從這40個用戶中抽取一個容量為10的樣本，且抽到的10個用戶的評分分別為92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，試計算這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；
(3)在（2）的條件下，若用戶的滿意度評分在內(nèi)，則滿意度等級為“A級”，試用樣本估計總體的思想，根據(jù)所抽到的10個數(shù)據(jù)，估計該地區(qū)滿意度等級為“A級”的用戶所占的百分比．
（參考數(shù)據(jù)：，，）
2．（2023·全國·高三專題練習）為響應(yīng)“綠色出行”號召，某市先后推出了“共享單車”和“新能源分時租賃汽車”，并計劃在甲?乙兩個工廠選擇一個工廠生產(chǎn)汽車輪胎，現(xiàn)分別從甲?乙兩廠各隨機選取10個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：mm）記錄下來并繪制出如下的折線圖：
(1)分別計算甲?乙兩廠提供的10個輪胎寬度的平均數(shù)；
(2)輪胎的寬度在內(nèi)，則稱這個輪胎是標準輪胎.試比較甲?乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個工廠會被選擇.
類型十一：計算頻率分布直方圖中的方差，標準差
典型例題
例題1．（2022春·河南商丘·高一校聯(lián)考期末）某中學為調(diào)研學生在餐廳用餐的滿意度，在本校學生中隨機抽取了100人，對餐廳進行評分，滿分為100分.整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以20為組距分為4組，依次為：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）.
(1)估計該校餐廳得分的80%分位數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù)；
(2)估計該校餐廳得分的平均數(shù)和方差.
例題2．（2022春·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）《中國制造2025》是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領(lǐng)，制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基．發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強國的生命線某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)效率，對現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進行技術(shù)升級改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)得到下表（單位：件）
(1)估計產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標值的70百分位數(shù).
(2)估計這組樣本的質(zhì)量指標值的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）；
(3)設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于x的最小整數(shù)，s精確到個位，，，，根據(jù)檢驗標準，技術(shù)升級改造后，若質(zhì)量指標值有65%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定；若有95%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，可認為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．請問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造是成功的？（參考數(shù)據(jù)： ，）
例題3．（2022·高一課時練習）某種治療新型冠狀病毒感染肺炎的復(fù)方中B配方的頻率分布直方圖.藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好.為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，我國醫(yī)療科研專家攻堅克難，新研發(fā)出、兩種新配方，在兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取數(shù)量相同的樣本，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，規(guī)定指標值小于時為廢品，指標值在為一等品，不小于為特等品.現(xiàn)把測量數(shù)據(jù)整理如下，其中配方廢品有件.
配方的頻數(shù)分布表
(1)求實數(shù)、的值；
(2)試確定配方和配方哪一種好?（說明：在統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表）
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）某學校對高一某班的同學進行了身高（單位：）調(diào)查，將得到的數(shù)據(jù)進行適當分組后（每組為左閉右開區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求直方圖中的值；
(2)估計全班同學身高的中位數(shù)；
(3)估計全班同學身高的平均數(shù)及方差．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）
2．（2022春·全國·高一期末）隨著新課程改革和高考綜合改革的實施，學習評價更關(guān)注學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，為此，某市于2021年舉行第一屆高中文科素養(yǎng)競賽，競賽結(jié)束后，為了評估該市高中學生的文科素養(yǎng)，從所有參賽學生中隨機抽取1000名學生的成績（單位：分）作為樣本進行估計，將抽取的成績整理后分成五組，從左到右依次記為，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)請補全頻率分布直方圖并估計這1000名學生成績的平均數(shù)和計算80%分位數(shù)（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
(2)現(xiàn)從以上各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人.若第三組學生實際成績的平均數(shù)與方差分別為74分和2，第四組學生實際成績的平均數(shù)與方差分別為84分和1，求這20人中分數(shù)在區(qū)間所有人的成績的方差.
3．（2022春·廣西梧州·高一?？奸_學考試）樹人中學為了了解，兩個校區(qū)高一年級學生期中考試的物理成績（百分制），從，兩個校區(qū)各隨機抽取了100名學生的物理成績，將收集到的數(shù)據(jù)按照，，，，分組，繪制成成績頻率分布直方圖如圖：
（1）從校區(qū)全體高一學生中隨機抽取一名，估計這名學生的成績不低于60分的概率；
（2）如果把頻率視為概率，從校區(qū)全體高一學生中隨機選取一名，從校區(qū)全體高一學生中隨機選取兩名，求這三名學生至少有一名學生的成績不低于80分的概率；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖，用樣本估計總體的方法，試比較，兩個校區(qū)的物理成績，寫出兩條統(tǒng)計結(jié)論，并說明理由．
類型十二：估計總體的方差，標準差
典型例題
例題1．（2023秋·江西新余·高三統(tǒng)考期末）某校為了解學生每個月在圖書館借閱書籍的數(shù)量，圖書管理員甲抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；圖書管理員乙也抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為7，方差為16.若將這兩個樣本合在一起組成一個容量為200的新樣本，則新樣本數(shù)據(jù)的（ ）
A．平均數(shù)為6B．平均數(shù)為6.5
C．方差為12.5D．方差為13
例題2．（2023·全國·高三專題練習）某電池廠有，兩條生產(chǎn)線制造同一型號可充電電池.現(xiàn)采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，從某天兩條生產(chǎn)線上的成品中隨機抽取樣本，并測量產(chǎn)品可充電次數(shù)的均值及方差，結(jié)果如下：
則20個產(chǎn)品組成的總樣本的方差為_____.
例題3．（2022春·山東·高一統(tǒng)考階段練習）自疫情爆發(fā)以來，由于黨和國家對抗疫工作的高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國抗疫工作取得階段性成功，國家經(jīng)濟很快得到復(fù)蘇.在餐飲業(yè)恢復(fù)營業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計了近100天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)，將前50天的數(shù)據(jù)進行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖如下.
（1）求，，的值，并估計該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；
（2）已知該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的方差為104，在后50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為51、方差為100，估計這家快餐店這100天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.
同類題型演練
1．（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中學?？茧A段練習）中央電視臺的國學知識競賽節(jié)目《中國詩詞大會》火爆熒屏，如圖的莖葉圖是兩位選手在個人追逐賽中的比賽得分，則下列說法正確的是（ ）
A．甲的平均分大于乙的平均分B．甲的平均分等于乙的中位數(shù)
C．甲的方差大于乙的方差D．甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)
2．（2023·全國·高二專題練習）某校高一年級的學生有500人，其中男生300人，女生200人．為了解該校高一年級學生的體重情況，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣抽取樣本，計算得女生樣本的平均數(shù)為（單位：），方差為，男生樣本的平均數(shù)為（單位：），方差為．
(1)計算總樣本的平均數(shù)；
(2)計算總樣本的方差；
(3)估計該校高一年級全體學生的平均數(shù)和方差．
3．（2021秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學考試）某學校為了解高三學生的學習成績變化情況，隨機調(diào)查了100名學生，得到這些學生一輪復(fù)習結(jié)束相對于高二期末學習成績增長率的頻數(shù)分布表.
（1）估計這個學校的高三學生中，學習成績增長率不低于的學生比例；
（2）求這個學校的高三學生學習成績增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（精確到）
附：.
.分組


頻數(shù)
7
11
15
40
49
41
20
17
分組
頻數(shù)
頻率
合計
171
170
165
169
167
167
170
161
164
167
171
163
163
169
166
168
168
165
160
168
158
160
163
167
173
168
169
170
160
164
171
169
167
159
151
168
170
174
160
168
176
157
162
166
158
164
180
179
169
169
身高
頻數(shù)
頻率
分組
頻數(shù)
壽命/h
個數(shù)
20
30
80
40
30
分組


頻數(shù)
7
11
15
40
49
41
20
17
組號
分組
頻數(shù)
頻率
1
4
0.04
2
0.08
3
15
4
22
5
6
14
0.14
7
6
8
4
0.04
9
0.02
合計
100
分組
頻數(shù)
頻率
2
0.10
5
4
10
10
0.50
4
0.20
10
合計
20
1.00
50
正確題數(shù)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人數(shù)
1
3
2
5
8
11
18
26
15
7
4
甲
乙
8
9
7
6
5
x
0
8
1
1
y
1
2
9
1
1
6
工人編號 年齡
工人編號 年齡
工人編號 年齡
工人編號 年齡
C.40
D.41
E.33
F.40
G.45
H.42
I.43
L.38
M.39
N.43
O.45
P.39
Q.38
R.36
U.41
V.37
W.34
X.42
Y.37
Z.44
AA.42
AD.43
AE.38
AF.42
AG.53
AH.37
AI.49
AJ.39
甲
乙
1
10
3
3
3
3
6
7
7
9
9
2
2
3
6
6
8
8
8
8
9
瓦數(shù)
94
96
98
100
102
104
106
甲廠個數(shù)
0
3
6
8
2
0
1
乙廠個數(shù)
1
2
7
4
3
2
1
甲
11.2
12.4
11.7
13.5
14.2
13.8
乙
12.1
13.8
12.1
14.1
13.9
10.8
家庭人口數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭數(shù)
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
學生數(shù)
平均支出（元）
支出平方的累加值
方差
女生
4
225
男生
5
304
甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
第1輪
第2輪
第3輪
第4輪
第5輪
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
質(zhì)量指標值
產(chǎn)品
60
100
160
300
200
100
80
質(zhì)量指標值分組
頻數(shù)
項目
抽取成品數(shù)
樣本均值
樣本方差
生產(chǎn)線產(chǎn)品
8
210
4
生產(chǎn)線產(chǎn)品
12
200
4
組別
分組
頻數(shù)
頻率
第1組
4
0.08
第2組
第3組
20
第4組
0.32
第5組
4
0.08
合計
50
1.00
甲
乙
9
5
1
5
4
3
8
2
3
0
4
6
4
2
0
5
7
8
4
2
1
1
2
的分組
學生數(shù)
16
24
30
12
10
8

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