第2講空間直線、平面的平行（練透重點題型）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期重點題型精講精練（人教A版必修第二冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

類型一：利用線面平行的判定定理證明線面平行
類型二：直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用
類型三：由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點的位置
類型四：由線面平行求線段長度
類型五：面面平行的判定定理
類型六：面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用
類型七：線面平行、面面平行的探索性問題
類型八：求異面直線所成角
類型九：由異面直線所成角求參數(shù)
類型十：新定義題
類型一：利用線面平行的判定定理證明線面平行
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形是梯形，，，，，點是棱上一點，且．證明：平面.
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形為矩形，平面，，，，．求證：平面；
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，、分別是和中點，求證：
(1)平面；
(2)平面.
同類題型演練
1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點．證明：EF∥平面AB1D1．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，為的中點．求證：平面
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直四棱柱，底面是平行四邊形，分別是棱的中點，求證：平面
類型二：直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱中，是邊的中點，過作截面交于點．求證：.
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，四邊形為平行四邊形，為的中點，平面平面
(1)證明:平面
(2)證明:
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點，在上任取一點，過和作平面交平面于.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求證：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，為圓錐的頂點，為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，是的中點，四邊形為正方形．設(shè)平面平面，證明：；
2．（2022春·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，E是PD上的點．
(1)若E、F分別是PD和BC中點，求證：平面PAB；
(2)若平面AEC，求證：E是PD中點．
3．（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，，分別是空間四邊形的邊，的中點，，分別是，上的點，且，，，四點共面.
(1)求證：平面；
(2)求證：.
類型三：由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點的位置
典型例題
例題1．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面，點是棱上的動點．
(1)證明：；
(2)設(shè)，求當(dāng)平面時的值．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在的平面垂直于底面．
(1)若為邊的中點，求證：平面PAD；
(2)若為邊的中點，能否在棱上找一點，使得平面？并證明你的結(jié)論．
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點.
(1)證明：平面；
(2)在線段上是否存在點，使得平面？說明理由.
同類題型演練
1．（2022·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？紝W(xué)業(yè)考試）如圖所示，在四棱雉中，，，點M在線段SB上，且平面SAD．
(1)求的值，并說明理由；
(2)若，，求四棱雉的體積．
2．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）幾何體是四棱錐，為正三角，，，為線段的中點.
(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在一點，使得四點共面？若存在，請求出的值；若不存在，并說明理由.
3．（2022春·福建泉州·高一泉州五中?？计谥校┤鐖D在四棱錐中，，M，N分別是AB，CD的中點，．
(1)求證：平面AED；
(2)若點F在棱AD上且滿足，平面CEF，求的值．
類型四：由線面平行求線段長度
典型例題
例題1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點，分別是棱，的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若平面，則線段長度的取值范圍是（）
A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，]
例題2．（2022春·湖北襄陽·高一襄陽五中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，點?分別是棱，的中點，是側(cè)面內(nèi)（不含邊界）一點，若平面，則線段長度的最小值是___________.

例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長為2，點，分別是棱，的中點，則點到平面的距離是________；若動點在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，且平面，則線段的長度范圍是________.
同類題型演練
1．（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在正方體中，為的中點，點在四邊形內(nèi)（包括邊界）運動，若平面，則的最小值為（）
A．1B．C．D．
2．（2022春·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期中）直三棱柱的所有棱長均為3，D為側(cè)棱的中點，M為側(cè)棱上一點，且，N為上一點，且平面，則的長為（）
A．1B．2C．D．
3．（2022春·河北張家口·高一張北縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正四棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為，點P，Q分別在和上，并且，平面，則線段的長為__________．
類型五：面面平行的判定定理
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點，求證：
(1)，，，四點共面；
(2)平面平面．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知是棱長為3的正方體，點在上，點在上，在上，且，是的中點．
(1)求證：四點共面
(2)求證：平面平面．
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱柱的底面為正方形，為的中點，，求證：平面∥平面
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，是所在平面外的一點，、、分別是、、的重心，求證：平面平面.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，分別是和的中點.求證：
(1)平面.
(2)平面平面.
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，過M作于H，求證：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
類型六：面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形為長方形，，，點、分別為、的中點．設(shè)平面平面．
(1)證明：平面；
(2)證明：．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，是的中點．設(shè)平面與平面的交線為，求證：平面
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）.
(1)作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形為菱形，，求證：平面
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面，平面，，求證：
3．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，正方形為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線，分別是的中點，．
(1)證明：平面；
(2)設(shè)平面與圓所在平面的交線為，證明：平面．
類型七：線面平行、面面平行的探索性問題
典型例題
例題1．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點.
(1)證明：平面；
(2)在線段上是否存在一點，使得平面，并給出必要的證明.
例題2．（2022秋·北京順義·高二?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，平面平面，，，，，為中點.
(1)求直線與所成角的余弦值；
(2)點到平面的距離；
(3)線段上是否存在一點，使平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值.
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點，是上一點．是否存在點使得平面，若存在求的長．若不存在，請說明理由；
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖、三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長為2的正三角形，，點在線段上且，點是線段上的動點．當(dāng)為多少時，直線平面？
2．（2022秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，是的中點，是上一點，且.將沿著折起，形成四棱錐，其中點對應(yīng)的點為.
(1)在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，指出的值，并證明；若不存在，說明理由；
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，點M是線段上的一個動點，E，F(xiàn)分別是的中點.
(1)設(shè)G為棱上的一點，問：當(dāng)G在什么位置時，平面平面？
(2)設(shè)三棱錐的體積為，四棱柱的體積為，求.
類型八：求異面直線所成角
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體中，，分別為，的中點，則直線，所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方體中，點在棱上，過點作平面的平行平面，記平面與平面的交線為，則與所成角的大小為（）
A．B．C．D．
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在長方體中，，，，則異面直線和所成角的余弦值是_________.
例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長均相等的四面體中，為棱（不含端點）上的動點，過點的平面與平面平行．若平面與平面，平面的交線分別為，，則，所成角的正弦值的最大值為__________．
同類題型演練
1．（2023秋·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，直線是底面所在平面內(nèi)不過的一條動直線，記直線與直線所成的角為，則的最小值是（）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為（）
A．30°B．90°C．45°D．60°
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，若，則異面直線所成角的大小是（）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，.求
(1)求直線和直線所成的角的大?。?br>(2)求直線與平面所成的角的大小.
類型九：由異面直線所成角求參數(shù)
典型例題
例題1．（2022春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）在直三棱柱中，，，若，分別是，的中點，則與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
例題2．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）空間四邊形，，??分別為??的中點，若異面直線和所成的角為60°，則線段的長為___________.
例題3．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）異面直線、所成角為，直線與、垂直且分別交于、,點、分別在直線、上，若，，，則________．
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，，現(xiàn)將平行四邊形沿對角線折起，當(dāng)異面直線和所成的角為時，的長為___________.
2．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=BD=8，M、N分別為AB、CD的中點，且，則MN等于_____________
3．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）在空間四邊形中，，?分別是對角線?的中點，若異面直線?所成角的大小為，則的長為___________.
類型十：新定義題
1．（2022·高二課時練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”（chu meng）是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如圖，五面體ABCDEF是一個芻甍，其中都是正三角形，，則以下兩個結(jié)論：①；②，說法正確的是（）
A．①和②都不成立B．①成立，但②不成立
C．①不成立，但②成立D．①和②都成立
2．（2022秋·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》卷第五《商功》中描述幾何體“陽馬”為底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐，在直角梯形中，，，過點A作交SC于點D，以AD為折痕把折起，當(dāng)幾何體為陽馬時，下列四個命題：
①；
②平面；
③SA與平面所成角的大小等于；
④AB與SC所成的角等于．
其中正確的是（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（圖1）廡殿頂是中國古代建筑一種官式建筑，而且等級是最高的，如故宮的英華殿．它屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一條正脊，兩山屋面全等與前后屋面相交成四條垂脊．由于屋頂四面斜坡，也稱“四阿頂”；（圖2）是廡殿頂?shù)捻斏w幾何模型圖，底面是矩形，若四個側(cè)面與底面所成的角均相等，已知，則_______________
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）自古以來，斗笠是一個防曬遮雨的用具，是家喻戶曉的生活必需品之一，主要用竹篾和一種叫做棕櫚葉染白后編織而成，已列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測量如圖中一頂斗笠，得到圖中圓錐模型，經(jīng)測量底面圓的直徑，母線，若點在上，且，為的中點．證明：平面；

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