類型二：相互獨立事件與互斥（對立）事件
類型三：獨立事件的乘法公式
類型四：獨立事件的實際應用
類型一：獨立事件的判定
典型例題
例題1．（2023春·山東濟南·高一統(tǒng)考期末）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“出現(xiàn)的點數(shù)不超過3”，事件“出現(xiàn)的點數(shù)是3或6”．則事件與的關系為（ ）
A．事件A與B互斥B．事件A與B對立C．事件A與B獨立D．事件A包含于B
【答案】C
【詳解】由題意可知：，因為，
所以事件事件A與B不可能是互斥和對立，
因為，，
所以有，因此事件A與B獨立，
故選：C
例題2．（2023·全國·高三專題練習）袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，設事件=“第一次摸到白球”，事件=“第二次摸到白球”，事件=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（ ）
A．與是互斥事件B．與不是相互獨立事件
C．與是對立事件D．與是相互獨立事件
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意可知，事件和事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯；
不放回摸球，第一次摸球?qū)Φ诙蚊蛴杏绊?，所以事件和事件不相互獨立，故B正確；
事件的對立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯；
事件與事件為對立事件，故D錯.
故選：B.
例題3．（多選）（2023春·甘肅白銀·高一統(tǒng)考期末）如圖，一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面分別標有數(shù)字到．任意拋擲這個八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為．事件表示“數(shù)字為質(zhì)數(shù)”，事件表示“數(shù)字為偶數(shù)”，事件表示“數(shù)字大于”，事件表示“數(shù)字為、、、中的個”，則（ ）
A．與相互獨立B．與相互獨立
C．與相互獨立D．與相互獨立
【答案】BCD
【詳解】因為，
事件數(shù)字為，，A錯；
事件數(shù)字為或，，B對；
事件數(shù)字為或，，C對；
事件數(shù)字為或，，D對.
故選：BCD.
例題4．（2023·高一課時練習）連續(xù)投擲一枚均勻硬幣兩次，定義三事件如下：事件：第一次出現(xiàn)正面，事件：第二次出現(xiàn)正面，事件：至少出現(xiàn)一次正面．判斷與及與是否相互獨立．
【答案】A，B相互獨立；A，C不相互獨立．
【詳解】連續(xù)投擲一枚均勻硬幣兩次，基本事件有：正正、正反、反正、反反，共種，
所以，.
所以，是相互獨立事件；
，不是相互獨立事件.
同類題型演練
1．（2023·高一課時練習）袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，則與是（ ）
A．相互獨立事件B．不相互獨立事件
C．互斥事件D．對立事件
【答案】A
【詳解】由題意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影響,故事件與是相互獨立事件，
由于與可能同時發(fā)生，故不是互斥事件也不是對立事件.
故選：A.
2．（2023春·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）一個袋子中有標號分別為，，，的個小球，除標號外沒有其它差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個小球，記事件“第一次摸出小球的標號小于”，事件“第二次摸出小球的標號小于”，事件“摸出的兩個小球的標號之和為”，事件“摸出的兩個小球的標號之積小于”，則（ ）
A．與相互獨立B．與相互獨立
C．與相互獨立D．與相互獨立
【答案】B
【詳解】從4個小球中采用不放回方式任意摸球兩次，所有基本情況有：
，共12種；
由題意可知，，，，，
，A選項錯誤；
，B選項正確；
，C選項錯誤；
，D選項錯誤；
故選：B.
3．（2023·全國·高三專題練習）盒中裝有大小相同的5個小球，其中黑球3個，白球2個，假設每次隨機在5個球中取一個，取球后放回搖勻，則下列說法正確的是（ ）
A．“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”互斥
B．“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”獨立
C．“前三次都取到黑球”和“前三次都取到白球”對立
D．若連續(xù)三次都取到黑球，則第四次取到白球的概率會大于
【答案】B
【詳解】對于A，“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”是兩次不同的試驗，所以兩個事件不是互斥事件，所以A錯誤，
對于B，由于每次取球后放回搖勻，所以“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”互不影響，所以這兩個事件是獨立的，所以B正確，
對于C，“前三次都取到黑球”與“前三次最多有兩次取到黑球”是對立事件，所以C錯誤，
對于D，因為每次取球后放回搖勻，所以每一次取到白球的概率都為，所以D錯誤，
故選：B
4．（2023·高一課時練習）有兩個設計團隊，一個比較穩(wěn)重，記作，另一個具有創(chuàng)新性，記作．要求他們分別在一個月內(nèi)做一個設計，從過去的經(jīng)驗知道：
的成功概率為；的成功概率為；兩個團隊中至少有一個成功的概率為．
問：從過去的經(jīng)驗推斷的成功及的成功是否相互獨立，并說明理由．
【答案】的成功與的成功不相互獨立，理由見解析
【詳解】的成功與的成功不相互獨立．理由：
，，，，
從而可得的成功與的成功不相互獨立.
類型二：相互獨立事件與互斥（對立）事件
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）擲一枚骰子，記事件表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件表示事件“出現(xiàn)4點或5點”，事件表示事件“點數(shù)不超過3”，事件表示事件“點數(shù)大于4”，有下列四個結(jié)論：①事件與是獨立事件；②事件與是互斥事件；③事件與是對立事件；④.其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】A
【詳解】擲一枚骰子，記事件表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件表示事件“出現(xiàn)4點或5點”，
事件表示事件“點數(shù)不超過3”，事件表示事件“點數(shù)大于4”，
對于①， ， ，，
，事件與是獨立事件，故①正確；
對于②，事件與事件不能同時發(fā)生，事件與事件是互斥事件，故②正確；
對于③，事件與事件不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥但不對立事件，故③錯誤；
對于④，，故④錯誤．
故選：A.
例題2．（多選）（2022·湖北荊州·高二統(tǒng)考期末）已知事件，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．如果與互斥，那么
B．如果與相互獨立，那么
C．如果，那么
D．如果與相互獨立，那么
【答案】AB
【詳解】A選項：如果與互斥，那么，，故A選項正確；
B選項：如果與相互獨立，那么，
，故B正確；
C選項：如果，則，，故C錯誤；
D選項：如果與相互獨立，. ，，故D錯誤
故選：AB
例題3．（多選）（2023·河南·高一武陟縣第一中學校聯(lián)考階段練習）甲?乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（ ）
A．事件“甲投得5點”與事件“甲投得4點”是互斥事件
B．事件“甲投得6點”與事件“乙投得5點”是相互獨立事件
C．事件“甲?乙都投得6點”與事件“甲?乙不全投得6點”是對立事件
D．事件“至少有1人投得6點”與事件“甲投得6點且乙沒投得6點”是相互獨立事件
【答案】ABC
【詳解】對于A，事件“甲投得5點”與事件“甲投得4點”不可能同時發(fā)生，二者為互斥事件，A正確；
對于B, 事件“甲投得6點”發(fā)生與否對事件“乙投得5點”沒有影響，二者是相互獨立事件，B正確；
對于C，事件“甲?乙都投得6點”的反面為“至少有1人沒有投得6點”，也即“甲?乙不全投得6點”，
故事件“甲?乙都投得6點”與事件“甲?乙不全投得6點”是對立事件，C正確；
對于D，事件“至少有1人投得6點”包含“甲投得6點且乙沒投得6點”的情況，
故事件“至少有1人投得6點”與事件“甲投得6點且乙沒投得6點”不是相互獨立事件，D錯誤，
故選：
例題4．（多選）（2022秋·浙江金華·高二校考開學考試）一個質(zhì)地均勻的正四面體，四個面分別標有數(shù)字1、2、3、4，拋擲這個正四面體一次，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字得到樣本空間，設事件，事件，事件，則（ ）
A．與不是互斥事件B．與是對立事件
C．與是獨立事件D．與是獨立事件
【答案】AB
【詳解】A：因為，所以與不是互斥事件，正確；
B：由，即與是互斥，又，即與是對立事件，正確；
C、D：拋擲這個正四面體一次，若與地面接觸面的數(shù)字為2，即發(fā)生，則一定不會發(fā)生，故與不是獨立事件，同理與不是獨立事件，錯誤.
故選：AB
例題5．（2022·全國·高一假期作業(yè)）一個質(zhì)地均勻的正四面體，其四個面涂有不同的顏色，拋擲這個正四面體一次，觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅，黃，藍，綠}，設事件{紅，黃}，事件{紅，藍}，事件{黃，綠}，則下列判斷：①與是互斥事件；②與是獨立事件；③與是對立事件；④與是獨立事件．其中正確判斷的序號是______（請寫出所有正確判斷的序號）．
【答案】②③
【詳解】{紅}，則E與F不是互斥事件；且，則F與G是對立事件；，則E與F是獨立事件；，，則F與G不是獨立事件．
故答案為：②③
同類題型演練
1．（2022浙江紹興·高二?？紝W業(yè)考試）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（ ）
A．與互為對立事件B．與互斥
C．與相等D．與互為獨立事件
【答案】D
【詳解】因為拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含：
第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上；第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上；
第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上；第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，共4種情況.
其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，
所以與不互斥，也不對立，也不相等，且發(fā)生互不影響，故D正確.
所以ABC錯誤，D正確，
故選：D
2．（多選）（2022·湖南常德·高一統(tǒng)考期末）下列四個命題中錯誤的是（ ）
A．若事件A，B相互獨立，則滿足
B．若事件A，B，C兩兩獨立，則
C．若事件A，B，C彼此互斥，則
D．若事件A，B滿足，則A，B是對立事件
【答案】BCD
【詳解】若事件A，B相互獨立，則滿足，A說法正確；
舉例說明：投擲兩個骰子，記事件A：第一個骰子的點數(shù)為奇數(shù)，
事件B：第二個骰子點數(shù)為奇數(shù)，
事件C：兩個骰子的點數(shù)之和為奇數(shù)，
于是有，，
，可以看出事件A，B，C兩兩獨立，但A，B，C不互相獨立，所以，B說法錯誤；
舉例說明：投擲一個骰子三次，記事件A：第一次骰子的點數(shù)為1，
事件B：第二次骰子點數(shù)為2，
事件C：第三次骰子點數(shù)為3，
則
事件A，B，C被此互斥，則，C說法錯誤；
舉例說明：記事件A：投擲一個骰子，骰子的點數(shù)為奇數(shù)，
事件B：投擲一枚硬幣，正面朝上，
則，滿足，但A，B不是對立事件，
D說法錯誤.
故選：BCD
3．（多選）（2023·全國·高三專題練習）在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件B為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”;事件C為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件B與事件C是互斥事件B．事件A與事件B是相互獨立事件
C．事件B與事件C是相互獨立事件D．
【答案】BCD
【詳解】解：對于A，事件與事件是相互獨立事件，但不是對立事件，故A錯誤；
對于B，事件A與事件B，，，，事件A與事件B是相互獨立事件，故B正確；
對于C，事件B與事件，，，，事件B與事件C是相互獨立事件，故C正確；
對于D，事件表示第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，故D正確．
故選：BCD.
4．（多選）（2022·浙江臺州·高二校聯(lián)考期末）已知甲罐中有五個相同的小球，標號為1，2，3，4，5，乙罐中有四個相同的小球，標號為1，4，5，6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件“抽取的兩個小球標號之和大于6”，事件“抽取的兩個小球標號之積小于6”，則（ ）
A．事件與事件是互斥事件B．事件與事件不是對立事件
C．事件發(fā)生的概率為D．事件與事件是相互獨立事件
【答案】ABC
【詳解】甲罐中小球編號在前，乙罐中小球編號在后，表示一個基本事件，
事件含有的基本事件有：，共12個，事件含有的基本事件有：，共7個，兩者不可能同時發(fā)生，它們互斥，A正確；
基本事件發(fā)生時，事件均不發(fā)生，不對立，B正確；
事件中含有19個基本事件，由以上分析知共有基本事件20個，因此，C正確；
，，，不相互獨立，D錯．
故選：ABC．
5．（多選）（2023·全國·高三專題練習）擲一枚骰子，記事件A表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B表示事件“出現(xiàn)4點或5點”，事件C表示事件“點數(shù)不超過3”，事件D表示事件“點數(shù)大于4”，則（ ）
A．事件A與B是獨立事件B．事件B與C是互斥事件
C．事件C與D是對立事件D．
【答案】AB
【詳解】由題意知：，，，
∴事件與是獨立事件，A正確；
∵事件與不能同時發(fā)生，∴與是互斥事件，B正確；
點數(shù)為4時，既不屬于事件，也不屬于事件，∴事件與不是對立事件，C錯誤；
∵事件是“點數(shù)為5點”，∴，D錯誤.
故選：AB.
類型三：獨立事件的乘法公式
典型例題
例題1．（2023秋·山東濟寧·高二統(tǒng)考期末）假設，且與相互獨立，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由與相互獨立，則.
故選︰B．
例題2．（多選）（2023·全國·高三專題練習）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．個球都是紅球的概率為B．個球中恰有個紅球的概率為
C．至少有個紅球的概率為D．個球不都是紅球的概率為
【答案】ABC
【詳解】記事件為從甲袋中摸出一個紅球，事件為從乙袋中摸出一個紅球，則
，且事件相互獨立，
對于A，個球都是紅球的概率為，所以A正確，
對于B，個球中恰有個紅球的概率為，所以B正確，
對于C，至少有個紅球的概率為為，所以C正確，
對于D，個球不都是紅球的概率為，所以D錯誤，
故選：ABC
例題3．（2023秋·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）每年的11月9日是我國的全國消防日.119為我國規(guī)定的統(tǒng)一火災報警電話，但119臺不僅僅是一部電話，也是一套先進的通訊系統(tǒng).它可以同中國國土上任何一個地方互通重大災害情報，還可以通過衛(wèi)星調(diào)集防災救援力量，向消防最高指揮提供火情信息.佛山某中學為了加強學生的消防安全意識，防范安全風險，特在11月9日組織消防安全系列活動.甲、乙兩人組隊參加消防安全知識競答活動，每輪競答活動由甲、乙各答一題.在每輪競答中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為，且甲、乙兩人在兩輪競答活動中答對3題的概率為.
(1)求的值；
(2)求甲、乙兩人在三輪競答活動中答對4題的概率.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設事件“甲第一輪猜對” ，事件“乙第一輪猜對” ，事件C＝“甲第二輪猜對” ，事件“乙第二輪猜對 ，
甲、乙兩人在兩輪競答活動中答對3題的概率為
解得或（舍去）
；
（2）三輪競答活動中甲乙一共答6題，甲、乙兩人在三輪競答活動中答對4題，即總共有2題沒有答對，
可能甲有兩題沒有答對，可能乙有兩題沒有答對，可能甲乙各有一題沒有答對.
甲、乙兩人在三輪競答活動中答對4題的概率
例題4．（2023·全國·高二專題練習）已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：
(1)甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；
(2)甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；
(3)甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．
【答案】(1)0.21；
(2)0.44；
(3)0.94.
【詳解】（1）設事件：甲投籃命中;
事件：乙投籃命中;
事件：丙投籃命中.
甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率
.
所以甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率為0.21.
（2）設事件:恰有兩人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投籃一次,恰有兩人命中的概率為0.44.
（3）設事件:至少有一人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投籃一次,至少有一人命中的概率為0.94.
同類題型演練
1．（2023秋·吉林長春·高三長春市第五中學校考期末）甲?乙兩盒中皆裝有若干個不同色的小球，從甲盒中摸出一個紅球的概率是，從乙盒中摸出一個紅球的概率是，現(xiàn)小明從兩盒各摸出一個球，每摸出一個紅球得3分，摸出其他顏色小球得0分，下列說法中正確的是（ ）
A．小明得6分的概率為
B．小明得分低于6分的概率為
C．小明得分不少于3分的概率為
D．小明恰好得3分的概率為
【答案】B
【詳解】設小明從甲盒中摸出一個紅球為事件，從乙盒中摸出一個紅球為事件，
由題意得：，，則，.
對于A選項，小明得6分的概率，所以A選項錯誤；
對于B選項，小明得分低于6分的概率，所以B選項正確；
對于C選項，小明得分不少于3分的概率，所以C選項錯誤；
對于D選項，小明恰好得3分的概率，所以D選項錯誤；
故選：B.
2．（2023秋·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）為弘揚憲法精神，某校舉行憲法知識競賽.在初賽中，已知甲同學晉級的概率為 ，乙同學晉級的概率為，甲、乙兩人是否晉級互不影響.
(1)求甲、乙兩人同時晉級的概率；
(2)求甲、乙兩人中至少有一人晉級的概率.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設“甲晉級”為事件，“乙晉級”為事件，
設“甲、乙兩人同時晉級”為事件，
則 ；
（2）設“甲、乙兩人中至少有一人晉級”為事件，
由題事件，相互獨立，則，也相互獨立，
所以 ，
則 .
3．（2023秋·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）高考英語考試分為兩部分，一部分為聽說考試，滿分50分，一部分為英語筆試，滿分100分.英語聽說考試共進行兩次，若兩次都參加，則取兩次考試的最高成績作為聽說考試的最終得分，如果第一次考試取得滿分，就不再參加第二次考試.為備考英語聽說考試，李明每周都進行英語聽說模擬考試訓練，下表是他在第一次聽說考試前的20次英語聽說模擬考試成績.
假設：①模擬考試和高考難度相當；②高考的兩次聽說考試難度相當；③若李明在第一次考試未取得滿分后能持續(xù)保持聽說訓練，到第二次考試時，聽說考試取得滿分的概率可以達到.
(1)設事件為“李明第一次英語聽說考試取得滿分”，用頻率估計事件的概率；
(2)基于題干中假設，估計李明英語高考聽說成績?yōu)闈M分的概率的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）依題意，李明在20次英語聽說模擬考試中有8次取得滿分，
取得滿分的頻率為，
所以用頻率估計事件的概率為.
（2）設事件為“李明第二次英語聽說考試取得滿分”，
事件為“李明高考英語聽說考試取得滿分”.
依題意，，
所以，
所以如果李明在第一次未取得滿分時，堅持訓練參加第二次考試，
那么他英語高考聽說考試最終成績?yōu)闈M分的概率的最大值可以達到.
4．（2023秋·北京東城·高二統(tǒng)考期末）某超市有A，B，C三個收銀臺，顧客甲、乙兩人結(jié)賬時，選擇不同收銀臺的概率如下表所示，且兩人選擇哪個收銀臺相互獨立.
(1)求a，b的值；
(2)求甲、乙兩人在結(jié)賬時都選擇C收銀臺的概率；
(3)求甲、乙兩人在結(jié)賬時至少一人選擇C收銀臺的概率.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【詳解】（1）由表可知,甲選擇A收銀臺的概率為,
乙選擇B收銀臺的概率為
（2）設事件為“甲選擇C收銀臺”,事件為“乙選擇收銀臺”,事件為“甲,乙兩人在結(jié)賬時都選擇C收銀臺”.
根據(jù)題意,,事件相互獨立.
所以.
（3）設事件為“甲，乙兩人在結(jié)賬時至少一人選擇收銀臺”,
.
類型四：獨立事件的實際應用
典型例題
例題1．（2023秋·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）某社區(qū)舉行憲法宣傳答題活動，該活動共設置三關，參加活動的選手從第一關開始依次闖關，若闖關失敗或闖完三關，則闖關結(jié)束，規(guī)定每位選手只能參加一次活動．已知每位選手闖第一關成功的概率為，闖第二關成功的概率為，闖第三關成功的概率為．若闖關結(jié)束時，恰好通過兩關可獲得獎金300元，三關全部通過可獲得獎金800元．假設選手是否通過每一關相互獨立．
(1)求參加活動的選手沒有獲得獎金的概率；
(2)現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動，求兩人最后所得獎金總和為1100元的概率．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：設選手闖第一關成功為事件，闖第二關成功為事件，闖第三關成功為事件，
所以，，
設參加活動的選手沒有獲得獎金為事件，
所以.
（2）解：設選手闖關獲得獎金300元為事件，選手闖關獲得獎金800元為事件，
所以，，，
設兩人最后所得獎金總和為1100元為事件，
所以，甲、乙兩位選手有一人獲得一等獎，一人獲得二等獎，
所以
例題2．（2023秋·北京平谷·高二統(tǒng)考期末）某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．
方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；
方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過．
假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，，，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．求：
（1）該應聘者用方案一考試通過的概率；
（2）該應聘者用方案二考試通過的概率．
【答案】（1）;（2）;
【詳解】（1）記該應聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為，，，
則，，，
應聘者用方案一考試通過的概率：
；
（2）應聘者用方案二選擇任意兩科的概率為，
考試通過的概率：
.
例題3．（2022秋·河北唐山·高二校考階段練習）某場知識競賽比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是，若各家庭回答是否正確互不影響.
(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；
(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.
【答案】(1),；
(2)
【詳解】（1）設甲、乙、丙家庭回答正確分別為事件，
根據(jù)題意，則有，則，
又，所以，即，
又，所以.
所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為和.
（2）設甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題為事件，
則有
所以甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率為.
例題4．（2022春·山東·高一山東師范大學附中?？计谥校┠嘲嗉夡w育課進行一次籃球定點投籃測試，規(guī)定每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互獨立．在處每投進一球得3分，在處每投進一球得2分，否則得0分；將學生得分逐次累加并用表示，如果的值高于3分就判定為通過測試，立即停止投籃，否則應繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．現(xiàn)有兩種投籃方案：方案1是先在處投一球，以后都在處投；方案2是都在處投籃．已知甲同學在處投籃的命中率為，在處投籃的命中率為．
(1)若甲同學選擇方案2，求他測試結(jié)束后所得總分為0分的概率；
(2)若甲同學選擇方案1，求他測試結(jié)束后所得總分的所有可能取值以及相應的概率；
(3)你認為甲同學選擇哪種方案通過測試的可能性更大？請說明理由．
【答案】(1)
(2)X的取值為0，2，3，4，5，
(3)甲同學選擇方案2通過測試的可能性更大，理由見解析
(1)
設甲同學在B處第i次投中為事件，，
在方案2中，
(2)
設甲同學在A處投中為事件A，則，
在方案1中，X的取值為0，2，3，4，5
則，
，
，
，
(3)
設甲同學選擇方案1通過測試的概率為，選擇方案2通過測試的概率為，則
因為，
所以甲同學選擇方案2通過測試的可能性更大．
同類題型演練
1．（2023秋·北京門頭溝·高一?？计谀┮阎滓覂扇说耐痘@命中率分別為，如果這兩人每人投籃一次，求：
（1）兩人都命中的概率；
（2）兩人中恰有一人命中的概率.
【答案】（1） 0.56；（2）0.38.
【詳解】記事件A，B分別為“甲投籃命中"，“乙投籃命中”，則.
（1）“兩人都命中”為事件AB，由于A，B相互獨立，所以，即兩人都命中的概率為0.56.
（2）由于互斥且A，B相互獨立，
所以恰有1人命中的概率為.
即恰有一人命中的概率為0.38.
2．（2022秋·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）為普及抗疫知識、弘揚抗疫精神，某學校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為 ，在第二輪比賽中， 甲、乙勝出的概率分別為. 甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.
(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？
(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.
【答案】(1)甲
(2)
【詳解】（1）設事件表示“甲在第一輪比賽中勝出”,事件表示“甲在第二輪比賽中勝出”,
事件表示“乙在第一輪比賽中勝出”,事件表示“乙在第二輪比賽中勝出”,則表示“甲贏得比賽”,
，
表示“乙贏得比賽“,
,
派甲參賽贏得比賽的概率更大.
（2）設表示“甲贏得比賽”,表示“乙贏得比賽”,
由(1)知
,
表示“兩人中至少有一個贏得比賽”,
所以兩人至少一人贏得比賽的概率為.
3．（2022秋·浙江·高二於潛中學校聯(lián)考期中）某工廠有，，三條生產(chǎn)線各自獨立地生產(chǎn)同一種汽車配件，已知生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品且生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品的概率為，生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是非合格品且生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品的概率為，生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品且生產(chǎn)線生產(chǎn)的汽車配件是合格品的概率為，記事件，，分別為，，三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的汽車配件是合格品．
(1)求事件，，的概率；
(2)隨機從，，三條生產(chǎn)線上各取1個汽車配件進行檢驗，求恰有2個合格品的概率．
【答案】(1)，，
(2)
【詳解】（1）因為事件，，分別為，，三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的汽車配件是合格品，則事件，，分別為，，三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的汽車配件是非合格品，且，，相互獨立，，，也相互獨立．
由得
解得，，，
（2）由（1）知，，，
記事件為抽取的三個汽車配件中合格品為2個，則
4．（2022秋·河北石家莊·高二?？奸_學考試）1.第32屆夏季奧林匹克運動會于2021年7月23日至8月8日在日本東京舉辦，某國男子乒乓球隊為備戰(zhàn)本屆奧運會，在某訓練基地進行封閉式訓練，甲、乙兩位隊員進行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．
(1)求該局打4個球甲贏的概率；
(2)求該局打5個球結(jié)束的概率．
【答案】(1)
(2)
（1）
設甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，該局打4個球甲贏為事件C，
由題知，，，∴，
∴，
∴該局打4個球甲贏的概率為．
（2）
設該局打5個球結(jié)束時甲贏為事件D，乙贏為事件E，打5個球結(jié)束為事件F，易知D，E為互斥事件，
，，，
∴
，
，
∴，
∴該局打5個球結(jié)束的概率為．
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收銀臺
顧客
A收銀臺
B收銀臺
C收銀臺
甲
a
0.2
0.4
乙
0.3
b
0.3

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