類型一：隨機(jī)事件的辨析
類型二：事件的包含關(guān)系
類型三：事件的運(yùn)算
類型四：概率的基本性質(zhì)
類型五：互斥事件，對(duì)立事件
類型六：根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件求概率
類型七：列出事件空間
類型八：根據(jù)古典概型求概率
類型一：隨機(jī)事件的辨析
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列事件：（1）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃沸騰；（2）平面三角形的內(nèi)角和是180°；（3）騎車到十字路口遇到紅燈；（4）某人購(gòu)買福利彩票5注，均未中獎(jiǎng)；（5）沒(méi)有水分，種子發(fā)芽了．其中隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以下現(xiàn)象中不是隨機(jī)現(xiàn)象的是（ ）．
A．在相同的條件下投擲一枚均勻的硬幣兩次，正反兩面都出現(xiàn)
B．明天下雨
C．連續(xù)兩次拋擲同一骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)
D．平面四邊形的內(nèi)角和是360°
例題3．（2022秋·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在100件產(chǎn)品中，有95件一級(jí)品，5件二級(jí)品，給出下列事件：
①在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是一級(jí)品；
②在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是二級(jí)品；
③在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，不全是一級(jí)品；
④在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，至少一件是一級(jí)品，
其中__________是隨機(jī)事件.（如果沒(méi)有，請(qǐng)?zhí)睢盁o(wú)”；如果有，請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）
同類題型演練
1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（ ）
A．事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件
B．事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件
D．事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（ ）
A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會(huì)沸騰B．走到十字路口，遇到紅燈
C．長(zhǎng)和寬分別為的矩形，其面積為D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根
3．（2022秋·寧夏銀川·高二銀川一中校考期中）下面四個(gè)選項(xiàng)中，是隨機(jī)現(xiàn)象的是（ ）
A．守株待兔B．水中撈月C．流水不腐D．戶樞不蠹
類型二：事件的包含關(guān)系
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒(méi)有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2022秋·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考期末）已知事件,?滿足，，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．事件發(fā)生一定導(dǎo)致事件發(fā)生B．事件發(fā)生一定導(dǎo)致事件發(fā)生
C．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生D．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生
同類題型演練
1．（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶二中?？茧A段練習(xí)）拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件，則（ ）
A．
B．
C．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3
D．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3
2．（多選）（2022秋·貴州六盤水·高二?？茧A段練習(xí)）(多選題)拋擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，事件B＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)}，則下列成立的是（ ）
A．A?CB．A∩B＝?
C．A∪B＝CD．B∩C＝?
3．（2022秋·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習(xí)），，且，則______.
類型三：事件的運(yùn)算
典型例題
例題1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在試驗(yàn)“從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和”中，事件表示“這2個(gè)數(shù)的和大于4”，事件表示“這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”，則和中包含的樣本點(diǎn)數(shù)分別為（ ）
A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1
例題2．（2022春·北京通州·高一統(tǒng)考期末）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)不大于3”，“點(diǎn)數(shù)大于3”，“點(diǎn)數(shù)大于5”；“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；“點(diǎn)數(shù)為，其中.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．與互斥D．與互為對(duì)立
例題3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1}，{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3或4}，{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．
(1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系；
(2)求，，，，．
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒(méi)有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多選）（2022秋·山東淄博·高二?？计谀ǘ噙x題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（ ）
A．A?DB．B∩D＝
C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
3．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）擲一枚骰子，下列事件：A=“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，C=“點(diǎn)數(shù)小于3”，D=“點(diǎn)數(shù)大于2”，E=“點(diǎn)數(shù)是3倍數(shù)”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）A∪B，B+C；
（3）記為事件H的對(duì)立事件，求.
類型四：概率的基本性質(zhì)
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
例題2．（2022秋·湖北咸寧·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)、是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，則下列論述正確的是（ ）
A．事件，則
B．若和互斥，則和一定相互獨(dú)立
C．若和相互獨(dú)立，則和一定不互斥
D．
例題3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）某班要選一名學(xué)生做代表，每個(gè)學(xué)生當(dāng)選是等可能的，若“選出代表是男生”的概率是“選出代表是女生”的概率的，則這個(gè)班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是_____．
同類題型演練
1．（2022春·江蘇南京·高二南京市人民中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)于任意事件A和B，都有
B．若A，B為互斥事件，則
C．在一次試驗(yàn)中，其基本事件的發(fā)生一定是等可能的
D．在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）事件A,B的概率分別為,,且,則
A．B．C．D．無(wú)法判斷
類型五：互斥事件，對(duì)立事件
典型例題
例題1．（2022春·天津西青·高三天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)，下列事件中是互斥事件但不是對(duì)立事件的是（ ）
A．至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)B．至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)
C．至少有一個(gè)奇數(shù)和至少一個(gè)偶數(shù)D．恰有一個(gè)偶數(shù)和沒(méi)有偶數(shù)
例題2．（2022·高一單元測(cè)試）12件同類產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，與“抽得1件次品2件正品”互斥而不對(duì)立的事件是（ ）
A．抽得3件正品B．抽得至少有1件正品
C．抽得至少有1件次品D．抽得3件正品或2件次品1件正品
例題3．（2022春·甘肅甘南·高一?？计谀W(xué)校將5個(gè)不同顏色的獎(jiǎng)牌分給5個(gè)班，每班分得1個(gè)，則事件“1班分得黃色的獎(jiǎng)牌”與“2班分得黃色的獎(jiǎng)牌”是
A．對(duì)立事件B．不可能事件C．互斥但不對(duì)立事件D．不是互斥事件
同類題型演練
1．（2022春·河南安陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）從裝有完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的盒子中任取2個(gè)小球，則互為對(duì)立事件的是
A．“至少一個(gè)紅球”與“至少一個(gè)黃球”B．“至多一個(gè)紅球”與“都是紅球”
C．“都是紅球”與“都是黃球”D．“至少一個(gè)紅球”與“至多一個(gè)黃球”
2．（2022·高一單元測(cè)試）將一個(gè)骰子拋擲一次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則（ ）
A．A與B是對(duì)立事件B．A與B是互斥而非對(duì)立事件
C．B與C是互斥而非對(duì)立事件D．B與C是對(duì)立事件
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如果事件A，B互斥，記，分別為事件A，B的對(duì)立事件，那么（ ）.
A． 是必然事件B．是必然事件
C．與一定互斥D．與一定不互斥
類型六：根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件求概率
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，兩人下成和棋的概率為50%，那么乙不輸?shù)母怕适牵? ）
A．20%B．70%C．80%D．30%
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)布袋中，有大小、質(zhì)地相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)是紅球，2個(gè)是白球，若從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，則所抽取的球中至少有一個(gè)紅球的概率是______.
例題3．（2022春·河南周口·高一扶溝縣第二高中?？茧A段練習(xí)）為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開(kāi)展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，則：
(1)恰有1罐中獎(jiǎng)的概率為多少？
(2)能中獎(jiǎng)的概率為多少？
例題4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）盒子里放有外形相同且編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球，其中1號(hào)與2號(hào)是黑球，3號(hào)、4號(hào)與5號(hào)是紅球，從中有放回地每次取出1個(gè)球，共取兩次.
（1）求取到的2個(gè)球中恰好有1個(gè)是黑球的概率；
（2）求取到的2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的概率.
同類題型演練
1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知事件，互斥，且事件發(fā)生的概率，事件發(fā)生的概率，則事件，都不發(fā)生的概率是___________.
2．（2022·高一單元測(cè)試）某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1；響第2聲時(shí)被接的概率是0.2；響第3聲時(shí)被接的概率是0.3；響第4聲時(shí)被接的概率是0.35.
（1）打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？
（2）打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，靶子由一個(gè)中心圓面I和兩個(gè)同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成，射手命中I、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35，0.30，0.25，則射手命中圓環(huán)Ⅱ或Ⅲ的概率為_(kāi)_______，不命中靶的概率是________．
類型七：列出事件空間
典型例題
例題1．（2023秋·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）現(xiàn)有如表所示的五項(xiàng)運(yùn)動(dòng)供選擇，記試驗(yàn)“某人運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)大于或等于60min的運(yùn)動(dòng)組合方式”，則該試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．7B．6C．10D．23
例題2．（2022春·上海浦東新·高二校考期末）為了豐富高一學(xué)生的課外生活，某校高一年級(jí)要組建數(shù)學(xué)?計(jì)算機(jī)?辯論三個(gè)興趣小組，小明要隨機(jī)選報(bào)其中的2個(gè)，不考慮選報(bào)的先后順序，則該試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.
例題3．（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶二中?？茧A段練習(xí)）袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號(hào)為的2個(gè)黑球和編號(hào)為的3個(gè)紅球，從中任意摸出2個(gè)球．
(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間；
(2)用集合表示事件：恰好摸出1個(gè)黑球和1個(gè)紅球，事件：至少摸出1個(gè)黑球．
例題4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）同時(shí)擲紅、藍(lán)兩顆骰子，用表示結(jié)果，其中表示紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).寫出：
(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；
(2)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)；
(3)指出{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}所表示的事件；
(4)寫出“點(diǎn)數(shù)之和大于8”這一事件的集合表示.
同類題型演練
1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）從裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)球的袋子中任取兩球，觀察取出兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)和，則此隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間是______.
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出2個(gè)球.
(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；
(2)寫出“2個(gè)球都是白球”這一事件所對(duì)應(yīng)的子集.
3．（2022秋·北京順義·高二楊鎮(zhèn)第一中學(xué)?？计谥校┰谝粋€(gè)盒子中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4，先從盒子中隨機(jī)取出一個(gè)球，該球的編號(hào)記為m，將球放回盆子中，然后再?gòu)暮凶又须S機(jī)取出一個(gè)球，該球的編號(hào)記為n．
(1)列出試驗(yàn)的樣本空間；
類型八：根據(jù)古典概型求概率
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某商場(chǎng)舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中放有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的五個(gè)小球.小球除編號(hào)不同外，其余均相同.活動(dòng)規(guī)則如下：從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一球，若抽到的小球編號(hào)為3，則獲得獎(jiǎng)金100元；若抽到的小球編號(hào)為偶數(shù)，則獲得獎(jiǎng)金50元；若抽到其余編號(hào)的小球，則不中獎(jiǎng).現(xiàn)某顧客依次有放回地抽獎(jiǎng)兩次，則該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為100元的概率為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某人計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家和3個(gè)歐洲國(guó)家中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游．若他從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，則這2個(gè)國(guó)家包括，但不包括，的概率為_(kāi)______．
例題3．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：、、…、，并整理得到如下的頻率分布直方圖．
(1)從該網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中隨機(jī)抽取1部，估計(jì)評(píng)分不小于90分的概率；
(2)用分層抽樣的方式從評(píng)分不小于90分的影視作品中隨機(jī)抽取5部作為樣本，設(shè)為評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量，求的值；
(3)從（2）得到的樣本中隨機(jī)抽取2部影視作品提供給學(xué)生寒假觀看，求兩部影視作品的評(píng)分都在區(qū)間的概率．
例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某新能源汽車制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購(gòu)買其生產(chǎn)的新能源汽車，約定從今年元月開(kāi)始，凡購(gòu)買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購(gòu)車補(bǔ)貼．某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)已購(gòu)買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)估計(jì)已購(gòu)買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)；（精確到0.01）
(3)現(xiàn)在要從購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在間用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求抽到2人中購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率．
例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年7月1日是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對(duì)黨章黨史的認(rèn)知程度，針對(duì)黨支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25），第二組：[25，30），第三組：[30，35），第四組：[35，40），第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人的第80百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．
①若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這人中35～45歲所有人的年齡的方差．
同類題型演練
1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）杜甫的“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨(dú)，揭示了戰(zhàn)爭(zhēng)給人民帶來(lái)的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》，“三別”是指《新婚別》《無(wú)家別》《垂老別》．語(yǔ)文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中選一篇推薦給同學(xué)們課外閱讀，那么語(yǔ)文老師選的三篇中含《新安吏》和《無(wú)家別》的概率是________．
2．（2023秋·北京順義·高二統(tǒng)考期末）從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．
(1)求頻數(shù)分布表中c的值及頻率分布直方圖中a，b的值；
(2)從一周閱讀時(shí)間不低于14小時(shí)的學(xué)生中抽出2人做訪談，求2人恰好在同一個(gè)數(shù)據(jù)分組的概率．
3．（2023秋·四川廣安·高二廣安二中?？茧A段練習(xí)）垃圾分類是改善環(huán)境，節(jié)約資源的新舉措. 住建部于6月28日擬定了包括我市在內(nèi)的46個(gè)重點(diǎn)試點(diǎn)城市，要求這些城市在2020年底基本建成垃圾分類處理系統(tǒng)，為此，我市某中學(xué)對(duì)學(xué)生開(kāi)展了“垃圾分類”有關(guān)知識(shí)的講座并進(jìn)行測(cè)試，將所得測(cè)試成績(jī)整理后，繪制出頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求頻率分布直方圖中 的值，并估計(jì)測(cè)試的平均成績(jī);
(2)學(xué)校要求對(duì)不及格 (60 分以下)的同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)考，現(xiàn)按分層抽樣的方法在 的同學(xué)抽取 5 名，再?gòu)倪@ 5 名同學(xué)中抽取 2 人，求這 2 人中至少有一人需要補(bǔ)考的概率.
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)神舟十三號(hào)載人飛船返回艙于2022年4月16日在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，這標(biāo)志著此次載人飛行任務(wù)取得圓滿成功.三位航天員在為期半年的任務(wù)期間，進(jìn)行了兩次太空行走，完成了20多項(xiàng)不同的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，并開(kāi)展了兩次“天宮課堂”，在空間站進(jìn)行太空授課.神舟十三號(hào)的成功引起了廣大中學(xué)生對(duì)于航天夢(mèng)的極大興趣，某校從甲、乙兩個(gè)班級(jí)所有學(xué)生中分別隨機(jī)抽取8名，對(duì)他們的航天知識(shí)進(jìn)行評(píng)分調(diào)查（滿分100分），被抽取的學(xué)生的評(píng)分結(jié)果如圖莖葉圖所示，計(jì)算得甲、乙兩個(gè)班級(jí)被抽取的8名學(xué)生得分的平均數(shù)都是84.
(1)分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)班級(jí)被抽取的8名學(xué)生得分的方差，并據(jù)此估計(jì)兩個(gè)班級(jí)學(xué)生航天知識(shí)的整體水平的差異；
(2)若從得分不低于85分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參觀市教育局舉辦的航天攝影展，求這兩名學(xué)生均來(lái)自乙班級(jí)的概率.
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市在疫情期間，便民社區(qū)成立了由網(wǎng)格員?醫(yī)療人員?志愿者組成的采樣組，并上門進(jìn)行，核酸檢測(cè)，某網(wǎng)格員對(duì)該社區(qū)需要上門核酸檢測(cè)服務(wù)的老年人的年齡（單位：歲）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左開(kāi)右閉區(qū)間），得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求m的值，并估計(jì)需要上門核酸檢測(cè)服務(wù)的老年人的年齡的平均數(shù)；（精確到1，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）
(2)在年齡處于的老人中，用分層隨機(jī)抽樣的方法選取9人，再?gòu)?人中隨機(jī)選取2人，求2人中恰有1人年齡超過(guò)需要上門核酸檢測(cè)服務(wù)的老年人的平均年齡的概率.運(yùn)動(dòng)
運(yùn)動(dòng)
運(yùn)動(dòng)
運(yùn)動(dòng)
運(yùn)動(dòng)
7：00~8：00
8：00~9：00
9：00~10：00
10：00~11：00
11：00~12：00
30 min
20 min
40 min
30 min
30 min
組號(hào)
分組
頻數(shù)
1
c
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合計(jì)
100

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