高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（提高篇）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期常考考點精講精練（人教A版必修第二冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（5分）（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四邊形ABCD，下列說法正確的是（）
A．若AB=DC，則四邊形ABCD為平行四邊形
B．若|AC|=|BD|，則四邊形ABCD為矩形
C．若AD∥BC，且|AC|=|BD|，則四邊形ABCD為矩形
D．若|AB|=|CD|，且AD∥BC，則四邊形ABCD為梯形
【解題思路】根據(jù)向量共線和模長相等的幾何與意義結(jié)合平行四邊形、矩形、梯形的定義逐項判斷即可.
【解答過程】A選項，若AB=DC，則AB=DC且AB∥DC，則四邊形ABCD為平行四邊形，正確；
B選項，如圖

|AC|=|BD|=2，但是四邊形ABCD不是矩形，錯誤；
C選項，若AD∥BC，且|AC|=|BD|，則四邊形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯誤．
D選項，若|AB|=|CD|，且AD∥BC，則四邊形ABCD可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤.
故選：A.
2．（5分）（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知z1=2?2i，|z2?i|=1，則z2?z1的最大值為（）
A．23B．22C．5+1D．13+1
【解題思路】設(shè)z2=x+yi x,y∈R，利用|z2?i|=1得出x2+y?12=1，表示以0,1為圓心，半徑為1的圓，z2?z1=x?2+y+2i=x?22+y+22，表示x,y與2,?2之間的距離，求z2?z1的最大值，即求2,?2與x2+y?12=1圓上任意一點的距離最大值.
【解答過程】設(shè)z2=x+yi x,y∈R，
則|z2?i|=x+y?1i=x2+y?12=1，
所以x2+y?12=1，
表示以0,1為圓心，半徑為1的圓，
則z2?z1=x?2+y+2i=x?22+y+22，
表示x,y與2,?2之間的距離，
即2,?2與x2+y?12=1圓上任意一點的距離，
因22+?2?12>1，
所以2,?2在x2+y?12=1圓外，
所以z2?z1max=2?02+?2?12+1=13+1.
故選：D.
3．（5分）（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知z是復(fù)數(shù)，z是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）
A．z2=z2B．若z=1，則z?1?i的最大值為2+1
C．若z=1?2i2，則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第一象限D(zhuǎn)．若1?3i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個根，則q=?8
【解題思路】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式計算判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；求出復(fù)數(shù)z判斷C；利用復(fù)數(shù)相等求出q判斷D.
【解答過程】對于A，設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則|z|2=a2+b2,z2=a+bi2=a2?b2+2abi，z2≠z2，A錯誤；
對于B，由z=1知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點在以原點為圓心的單位圓上，
z?1?i可看作該單位圓上的點到點1,1的距離，因為圓心到1,1的距離為2，
則該單位圓上的點到點1,1的距離最大值為2+1，B正確；
對于C，z=1?2i2=?3?4i,z=?3+4i，則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第二象限，C錯誤；
對于D，依題意，(1?3i)2+p(1?3i)+q=0，整理得(p+q?8)+(?3p?6)i=0，
而p,q∈R，因此p+q?8=0?3p?6=0，解得p=?2,q=10，D錯誤．
故選：B.
4．（5分）（2023下·北京·高一北京一七一中?？计谥校┤粝蛄縜,b,c滿足：a≠b,c=1，且a?c?b?c=0，則|a+b|+|a?b|的最小值為（）
A．52B．2C．1D．12
【解題思路】由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合圖形以及平面向量的線性運算求解即可.
【解答過程】設(shè)a=OA，b=OB，c=OC，M為A，B的中點，
則a?b=BA，a?c=CA，b?c=CB，a+b=2OM，
因為c=1，a?c?b?c=0，所以O(shè)C=1，CA⊥CB，
則|a+b|+|a?b|=2OM+BA，
因為△ABC是直角三角形，所以BA=2CM，（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）
所以|a+b|+|a?b|=2OM+2CM=2(OM+CM)，
因為OM+CM≥OC=1，當(dāng)且僅當(dāng)M在以C為圓心，1為半徑的圓上或圓內(nèi)，且M在線段CO上時取等號，如下圖示，
所以|a+b|+|a?b|=2(OM+CM)≥2，
所以|a+b|+|a?b|的最小值為2.
故選：B.
5．（5分）（2023下·高一單元測試）歐拉公式exi=csx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，x∈R）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，則（）
A．eπi=0B．eπi2為實數(shù)
C．exi3+i=12D．復(fù)數(shù)e2i對應(yīng)的點位于第三象限
【解題思路】根據(jù)所給定義及特殊角的三角函數(shù)值判斷A、B，根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計算判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D.
【解答過程】解：對于A：eπi=csπ+isinπ=?1，故A錯誤；
對于B：eπi2=csπ2+isinπ2=i，所以eπi2為純虛數(shù)，故B錯誤；
對于C：exi3+i=exi3+i=csx+isinx3+i=cs2x+sin2x32+12=12，故C正確；
對于D：e2i=cs2+isin2，則復(fù)數(shù)e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為cs2,sin2，
因為π2

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