一、矩形的定義
有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
要點(diǎn)：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.
二、矩形的性質(zhì)
矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：
1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
2.矩形的對(duì)角線相等；
3.矩形的四個(gè)角都是直角；
4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.
要點(diǎn)：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.
（2）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.
（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.
題型1：矩形性質(zhì)的判定
一、單選題
1．關(guān)于矩形的性質(zhì)、下面說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．矩形的四個(gè)角都是直角B．矩形的兩組對(duì)邊分別相等
C．矩形的兩組對(duì)邊分別平行D．矩形的對(duì)角線互相垂直平分且相等
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A、矩形的四個(gè)角都是直角，說法正確，不符合題意；
B、矩形的兩組對(duì)邊分別相等，說法正確，不符合題意；
C、矩形的兩組對(duì)邊分別平行，說法正確，不符合題意；
D、矩形的對(duì)角線互相平分且相等但不一定垂直，說法錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
2．下列性質(zhì)中，矩形具有但平行四邊形不一定具有的是（ ）
A．對(duì)邊平行且相等B．對(duì)角線相等
C．對(duì)角相等D．對(duì)角線互相平分
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形和矩形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A、對(duì)邊平行且相等，矩形和平行四邊形都具有，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、對(duì)角線相等，矩形具有而平行四邊形不具有，故該選項(xiàng)符合題意；
C、對(duì)角相等，矩形和平行四邊形都具有，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、對(duì)角線互相平分，矩形和平行四邊形都具有，故該選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形和平行四邊形的性質(zhì)定理．
3．已知矩形的兩條對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)解答即可．
【解析】解：如圖所示，
在矩形中，，，，
故B、C、D選項(xiàng)結(jié)論正確，
當(dāng)四邊形為菱形或正方形時(shí)，成立，
故結(jié)論不一定正確的是A選項(xiàng)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，矩形的對(duì)邊互相平行且相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角，對(duì)角線互相平分且相等．
題型2：利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)
4．矩形中，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】直接利用矩形的對(duì)角線相等的性質(zhì)即可求解．
【解析】解：因?yàn)榫匦沃?，，?br>∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是牢記“矩形的對(duì)角線相等”．
5．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可知AC=BD且AO=CO，根據(jù)AO=3，求出AC，進(jìn)一步求BD即可．
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC，
∵AO=3cm，
∴AC=2AO=6cm，
∴BD=6cm．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角； ③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等．
6．矩形的一條邊長(zhǎng)是a，兩條對(duì)角線的夾角為，則矩形的另外一條邊長(zhǎng)等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由矩形的性質(zhì)得出OA=OB，再證明△AOB是等邊三角形，得出OA=AB=a,再由勾股定理求出BC的長(zhǎng)即可．
【解析】如圖所示，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°，,,AC=BD,
∴OA=OB,
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=AB=a，
∴AC=2OA=2a，
∴，
即另一個(gè)邊長(zhǎng)為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，若BE＝EO，則AD的長(zhǎng)是（ ）
A．3B．C．3D．
【答案】B
【分析】由矩形的性質(zhì)得OA＝OB，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得AB＝AO，則OA＝AB＝OB＝1，得BD＝2，然后由勾股定理即可求解．
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，求出BD＝2是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作的垂線分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】利用矩形的性質(zhì)證明，進(jìn)而得到，根據(jù)題干信息求出OE長(zhǎng)度便可求出EF的長(zhǎng)．
【解析】解：
四邊形ABCD是矩形
，
,
（設(shè)0E=x,則DE=2x，根據(jù)勾股定理解OE）
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知相關(guān)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
9．如圖，在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，且，則的長(zhǎng)度是（ ）
A．B．2C．8D．
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)和，得出，，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．
【解析】解：∵矩形，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，且，連接，則的最小值為（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】D
【分析】連接，則的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，在的延長(zhǎng)線上截取，連接，則，再根據(jù)勾股定理求解即可．
【解析】解：如圖，連接，
在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
則，則的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，
在的延長(zhǎng)線上截取，連接，
則，
∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴，
連接，則，
∴，
∴的最小值為26，
即的最小值為26，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．設(shè)是線段的中點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，線段長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由四邊形為矩形以及得，連接，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，作的垂直平分線與交于，再由是線段的中點(diǎn)得到當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的最小，用勾股定理求出即可．
【解析】解：∵四邊形為矩形，，，
∴，，
∵，
∴，
連接，如圖所示：
∴，即，
∴，
連接，如圖所示：
∵是線段的中點(diǎn)，，
∴，
∴在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)點(diǎn)與直線上動(dòng)點(diǎn)距離的最小值為垂線段，如圖所示，作的垂直平分線與交于，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的最小，連接，此時(shí)，
∵，
∴為等邊三角形，，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理得，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，勾股定理，要用的輔助線較多，關(guān)鍵在確定所在的軌跡以及最小值的位置．
題型3：利用矩形的性質(zhì)求角度
12．如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，已知，則的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解．
【解析】解：∵矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，交BD于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【答案】B
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OD，從而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．
【解析】解：在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，
∴∠ADO=55°，
∵，即∠AED=90°，
∴∠DAE=35°．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的對(duì)角線相等且互相平分是解題的關(guān)鍵．
14．將長(zhǎng)方形紙片按如圖折疊，若，則度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及含30的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【解析】∵折疊
∴，AB=AB’
∵CD∥AB
∴
∴
∴AE=EC，
∴DE=EB’
∵=3DE=DE+EC= DE+AE
∴AE=2DE
∵
∴=
故選C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的性質(zhì)、折疊的特點(diǎn)及含30的直角三角形的性質(zhì)．
15．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O．若∠BAO=55°，則∠AOD等于( )
A．110°B．115°C．120°D．125°
【答案】A
【分析】由矩形的對(duì)角線互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性質(zhì)得到∠AOD等于∠BAO和∠ABO之和即可求解.
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OB，
∠BAO=∠ABO=55°，
∠AOD=∠BAO+∠ABO =55°+55°=110°.
故答案為A
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)，熟練利用外角的性質(zhì)求角度是解題的關(guān)鍵.
16．若矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角是，則兩條對(duì)角線相交所成的銳角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等求出另一條對(duì)角線與一邊的夾角，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解析】解：矩形一條對(duì)角線與一邊的夾角是40°，
另一條對(duì)角線與一邊的夾角也是40°，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，兩條對(duì)角線所成銳角的度數(shù)為．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是注意三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)．
17．如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，則∠BDE的度數(shù)為（ ）
A．36°B．30°C．27°D．18°
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件可得以及的度數(shù)，然后求出各角的度數(shù)便可求出．
【解析】解：在矩形ABCD中，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，理解題意，綜合運(yùn)用各個(gè)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
18．如圖，在矩形中，、交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由矩形的性質(zhì)得出，得出，由直角三角形的性質(zhì)求出即可．
【解析】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在矩形中，，在上取一點(diǎn)E，使，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．不能確定
【答案】B
【分析】如圖所示，取AE中點(diǎn)O，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明，則是等邊三角形，得到，從而求出，，再根據(jù)平角的定義即可得到答案．
【解析】解：如圖所示，取中點(diǎn)O，連接，
∵四邊形是矩形，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，三角形內(nèi)角和定理，正確作出輔助線構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C分別在直線a，b上，且，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先過點(diǎn)D作，由，可求得∠3的度數(shù)，易得，繼而求得答案．
【解析】解：過點(diǎn)D作，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．
21．如圖，矩形的對(duì)角線相較于點(diǎn)O，的平分線交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線得出∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，利用等邊三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合圖中各角之間的關(guān)系即可得出結(jié)果．
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴ADBC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等邊三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠CBD=90°-60°=30°，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的計(jì)算，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．
22．如圖，延長(zhǎng)矩形的邊至點(diǎn)E，使，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連接，由矩形性質(zhì)可得、，知，而，可得度數(shù)．
【解析】解：連接，
四邊形是矩形，
，，且，
，
又，
，
，
，
，即．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形對(duì)角線相等且互相平分、對(duì)邊平行．
題型4：利用矩形的性質(zhì)求面積
23．矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為10，兩鄰邊之比為，則矩形的面積為（ ）
A．48B．24C．50D．以上答案都不對(duì)
【答案】A
【分析】設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為，可得，繼而求得矩形的兩鄰邊長(zhǎng)，則可求得答案．
【解析】解：∵矩形的兩鄰邊之比為，
∴設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為，
∵對(duì)角線長(zhǎng)為10，
∴，
解得，
∴矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為：6，8；
∴矩形的面積為：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，以及勾股定理．熟練掌握矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
24．矩形的邊長(zhǎng)是4cm，一條對(duì)角線的長(zhǎng)是cm，則矩形的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理求出矩形的另一條邊的長(zhǎng)度，即可求出矩形的面積．
【解析】解：由題意及勾股定理得矩形另一條邊為
∴矩形的面積．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握勾股定理．
25．如圖，矩形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交和于點(diǎn)、，，，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明≌，得、的面積相等，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為的面積．
【解析】解：四邊形是矩形，
，；AB=CD=4，
在和中，
，
≌，
，
；
，故．
故選： B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形全等，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為矩形面積的一半，是解決問題的關(guān)鍵．
26．如圖，四邊形和四邊形是兩個(gè)矩形，點(diǎn)在邊上，若，，則矩形的面積為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理可求出BC的長(zhǎng)度，再求解∠ACB的度數(shù)，進(jìn)而求出CF的長(zhǎng)度，最后用矩形面積公式求解即可．
【解析】∵四邊形和四邊形是兩個(gè)矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，
連接BD交AC于點(diǎn)O，
∵四邊形是矩形，
∴BD=AC=2，
∴CO=DO==1，
∵CD=1，
∴△CDO為等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴∠CBF=∠ACB=30°，
∴CF=BC=，
∴矩形的面積=AC×CF=2×=；
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，含有30°角的直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
27．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)在AD上，且EB平分，若AB＝3，AE＝1，則的面積為______．
【答案】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線定義可得CE=BC，然后根據(jù)勾股定理可得BC，進(jìn)而可以解決問題．
【解析】解：在矩形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC，CD=AB=3，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEB=∠CEB，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CE=BC，
∵CD=AB=3，AE=1，
∴DE=AD-AE=BC-1，
在Rt△CED中，根據(jù)勾股定理得：
，
即，解得BC=5，
∴的面積為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)解答．
28．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P為邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE＋PF＝________．
【答案】2.4
【分析】首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，可求得OA=OB=，S△AOB=S矩形ABCD=3，然后由S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，即可求得答案．
【解析】解：連接OP，
∵矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，
∴S矩形ABCD=AB?BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，
∴S△AOB=S矩形ABCD=3，OA=OB=，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP
=OA?PE+OB?PF
=OA（PE+PF）
=××（PE+PF）=3，
∴PE+PF==2.4．
故答案為：2.4．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
29．如圖，矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，，，，則矩形的面積為______．
【答案】48
【分析】先證明 從而可得答案．
【解析】解： 矩形，，

，，，，

故答案為：48
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，掌握“矩形的對(duì)角線相等且互相平分”是解本題的關(guān)鍵．
題型5：矩形的性質(zhì)與平面坐標(biāo)系
30．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，平行于軸，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)：對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角；可知：CB=AD=5，以及平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)變化即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【解析】∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形
∴CB=AD=3
∴點(diǎn)B（-1-3，-1）即B（-4，-1）
∵AB=5
∴點(diǎn)A（-4，-1+5），即A（-4，4）
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的變化規(guī)律，熟練的掌握長(zhǎng)方形對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
31．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），則對(duì)角線AC的長(zhǎng)等于____．
【答案】5
【分析】連接OB，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，即為AC的長(zhǎng)．
【解析】如圖，連接OB，
∵B的坐標(biāo)為（4，3），
∴
∵四邊形OABC是矩形
∴AC=OB=5
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】此題主要考查求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是熟知矩形對(duì)角線相等．
32．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)長(zhǎng)方形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．
【答案】
【分析】由矩形的對(duì)邊平行即可求得第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；
【解析】點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相等，
點(diǎn)和的縱坐標(biāo)相等，
要使這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成矩形，則第四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與相等，縱坐標(biāo)與相等，
∴第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
故答案是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．
33．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形中，，，將沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在處，與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【分析】設(shè)，則，由題意可以求證，從而得到，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【解析】解：由題意可知：，，
設(shè)，則，
又∵
∴
∴
在中，，即
解得：
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
故答案為
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理以及平面直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型6：根據(jù)矩形的性質(zhì)證明
34．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在上，，求證：．
【答案】見解析
【分析】由矩形的性質(zhì)得出，再根據(jù)，，由證明，得出， 即可得出．
【解析】證明：∵四邊形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
35．如圖，已知矩形中，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，，且．
（1）求證：；
（2）若，求：的值．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，由垂直的定義得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由已知條件得到，由，即可得到：的值．
【解析】（1）∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．下列命題是假命題的是（ ）
A．矩形的對(duì)角線相等
B．矩形的對(duì)邊相等
C．矩形的對(duì)角線互相平分
D．矩形的對(duì)角線互相垂直
【答案】D
【解析】略
2．如圖，在矩形中，兩條對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】D
【分析】利用矩形的性質(zhì)可知對(duì)角線互相平分且，再利用勾股定理求解即可．
【解析】解：在矩形中，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)及勾股定理求直角邊是解決本題的關(guān)鍵．
3．如果矩形的一邊與對(duì)角線的夾角為，則兩條對(duì)角線相交所成的銳角的度數(shù)為（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【答案】C
【分析】先畫出簡(jiǎn)單的圖形，因?yàn)榫匦蝺蓪?duì)角線相等且互相平分，又有一角的度數(shù)，可由三角形內(nèi)角和求解角的度數(shù)．
【解析】解：如圖，
∵矩形兩對(duì)角線相等且互相平分，一邊與對(duì)角線的夾角為50°，即∠OAB = 50°，OB=OA，
∴另一角∠OBA =∠OAB = 50°，
由三角形內(nèi)角和可得兩條對(duì)角線相交所成的銳角的度數(shù)即∠AOB= 180°- 50° - 50°= 80°．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理．
4．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，若平分，則的長(zhǎng)為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用角平分線和平行線內(nèi)錯(cuò)角相等，可證明，則ED=AD，則可用勾股定理求出ED．
【解析】解：∵四邊形是矩形，
∴，AB=CE=3
∴
∵平分
∴
∴
∴ED=AD=8
∴
故選： C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行角度代換是解題關(guān)鍵．
5．如圖，在矩形中，，E是的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，可證得，從而得到，進(jìn)而得到，再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【解析】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)，倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，點(diǎn)M、N分別是矩形ABCD的邊BC和對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM、MN，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)最值問題求解步驟，①分析所求線段端點(diǎn)（定、動(dòng)）；②動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線；③模型方法（類比將軍飲馬模型，作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡的對(duì)稱點(diǎn)）；④確定最值對(duì)應(yīng)的定線段；⑤求定線段長(zhǎng)，按步驟進(jìn)行即可求解．
【解析】解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過作，
，即當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，的最小值為，
在中，，連接，如上圖所示，，則，
在矩形ABCD中，，，則，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值問題的求解步驟，根據(jù)題意按步驟逐步分析是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．如圖，已知矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，那么______．
【答案】2
【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等，求解即可．
【解析】解：在矩形中，
∵對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，
∴，
∴ ．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)．
8．一個(gè)矩形的兩條鄰邊分別為6，8，面積S=______．
【答案】48
【分析】根據(jù)矩形的面積公式解答即可．
【解析】解：矩形的兩條鄰邊分別為6，8，
面積，
故答案為：48．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)矩形的面積等于長(zhǎng)寬解答．
9．矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，，則______．
【答案】##80度
【分析】由矩形的性質(zhì)可知OA=OD，即得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出答案．
【解析】∵四邊形ABC D是矩形，
∴OA=OD，
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵．
10．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，則CE的長(zhǎng)為________．
【答案】
【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．
所以△AOE≌△COE．
設(shè)CE為x．
則DE=AD-x，CD=AB=2．
根據(jù)勾股定理可得x2=（3-x）2+22
解得CE=13/6．
11．如圖，過矩形的對(duì)角線上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關(guān)系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”）
【答案】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)對(duì)角線把矩形面積一分為二即可解得．
【解析】解：∵四邊形是矩形，
又∵對(duì)角線上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線與，
∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，
∴的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積，
∴的面積的面積的面積的面積的面積的面積，
∴．
故答案為．
【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉矩形的對(duì)角線平分矩形的面積．
12．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DC上一點(diǎn)．，，若，矩形ABCD的周長(zhǎng)為26，則矩形ABCD的面積為________．
【答案】
【分析】由矩形的性質(zhì)可得∠B=∠C=90°，又，則根據(jù)等量代換即可得∠EAB=∠FEC，利用AAS求得，可得AB=EC，結(jié)合矩形的周長(zhǎng)則可求得AB，BC進(jìn)而可求得答案．
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
又∵，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAB=∠FEC，
在△AEB和△EFC中，
，
∴，
∴AB=EC，
又∵矩形ABCD的周長(zhǎng)為26，BE=3
∴，
，
，
∴矩形ABCD的面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與矩形的邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知，則五邊形的面積是 ___________ ．
【答案】##
【分析】根據(jù)直線解析式分別求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式求解即可．
【解析】解：∵當(dāng)時(shí)，，解得，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是，即，
∵，
∴，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是，
∴，即，
∴五邊形的面積，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)也考查了矩形的性質(zhì)．
14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，M為對(duì)角線BD所在直線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面上一點(diǎn)．若四邊形MCND為平行四邊形，MN＝，則BM的值為 _____．
【答案】6或1
【分析】分兩種情況：①如圖1，M在對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)四邊形MCND對(duì)角線MN和DC交于O，過O作OG⊥BD于G；②如圖2，M在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，過O作OG⊥BD于G；設(shè)BM＝x，表示MG的長(zhǎng)，先根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得OG和DG的長(zhǎng)，在直角三角形OGM中列方程可得結(jié)論．
【解析】解：分兩種情況：
①如圖1，M在對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)四邊形MCND對(duì)角線MN和DC交于O，過O作OG⊥BD于G，
∵四邊形MCND為平行四邊形，
∴ODDCAB＝1，OMMN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝2，AD＝2，
∴BD4，
∴ABBD，
∴∠ADB＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝60°，
Rt△ODG中，∠DOG＝30°，
∴DG，OG，
設(shè)BM＝x，則MG＝4﹣xx，
△OMG中，MG2+OG2＝OM2，
∴，
解得：x＝6（舍）或1；
②如圖2，M在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，過O作OG⊥BD于G，
同理得：DG，OG，OM，
設(shè)BM＝x，則MG＝x﹣4x，
在△OMG中，MG2+OG2＝OM2，
∴，解得：x＝6或1（舍）；
綜上所述，BM的長(zhǎng)為6或1，
故答案為：6或1．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)列方程是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題
15．如圖，在矩形中，是邊上的兩點(diǎn)，且．求證：．
【答案】見解析.
【分析】先證明△ABF≌△DCE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．
【解析】四邊形是矩形，
∴，．
∵，∴．
在和中，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，簡(jiǎn)單的線段相等，可以通過全等三角形來(lái)證明，要判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．
16．已知：如圖，過矩形的頂點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)平行四邊形的判定證明四邊形是平行四邊形，得出，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得證．
【解析】證明：∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．
17．已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)．
求證：AE＝BE．
【答案】見解析.
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證明△ADE≌△BCE，即可求解.
【解析】證明：∵矩形ABCD
∴∠D＝∠C
AD＝BC
∵E是CD的中點(diǎn)
∴CE＝DE
在△ADE和△BCE中，AD＝BC，∠D＝∠C，CE＝DE
∴△ADE≌△BCE
∴AE＝BE
【點(diǎn)睛】此題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定.
18．已知：如圖，四邊形是矩形，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O．
求證：
（1）；
（2）．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)題意證明即可證明．
【解析】證明：（1）∵四邊形是矩形，
∴（矩形的對(duì)角相等），
（矩形的對(duì)邊平行）．
∴．
又∵，
∴．
∴；
（2）∵四邊形是矩形，
∴（矩形的對(duì)邊相等）．
在和中，
∵，，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的證明方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和三角形全等的證明方法．
19．已知：如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．
(1)判斷的形狀．
(2)求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．
【答案】(1)等邊三角形
(2)
【分析】（1）先根據(jù)矩形和平行四邊形的性質(zhì)證明，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出答案；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求解即可．
【解析】（1）解：是等邊三角形．
理由：在矩形中，（矩形的對(duì)角線相等）．
∵（平行四邊形的對(duì)角線互相平分），
∴．
∵，
∴，
∴是等邊三角形．
（2）解：∵，
∴，
即矩形對(duì)角線的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，證明三角形是等邊三角形和運(yùn)用矩形的性質(zhì)求對(duì)角線長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF，連接BD、EF．
(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；
(2)若EF⊥BD，求AE的長(zhǎng)度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可完成證明；
（2）結(jié)合（1）證明四邊形BFDE是菱形，可得DE=BE，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，ADBC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DEBF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形BFDE是平行四邊形，EF⊥BD，
∴四邊形BFDE是菱形，
∴DE=BE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE，AB=2，
根據(jù)勾股定理得：BE2=AE2+AB2，
∴（4-AE）2=AE2+22，
解得AE=．
【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理解答．
21．如圖所示，在矩形中，平分.
（1）求的度數(shù)；
（2）求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可知∠AEB=∠EAD=45°，則∠ACE=∠AEB-∠EAC=30°；
（2）通過∠ACE=30°，∠BAO=60°證得△AOB為等邊三角形，結(jié)合AB=BE可得BO=BE．
【解析】（1）在矩形中，平分，
.
，
.
，
.
（2），
在中，.
，
是等邊三角形，
.
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是要知道：矩形的兩條對(duì)角線互相平分且相等．
22．在矩形中,點(diǎn)在上,,⊥，垂足為.
（1）求證.
（2）若,且,求.
【答案】（1）證明見解析；（2）8
【分析】（1）利用“AAS”證△ADF≌△EAB即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，據(jù)此知AD=2DF，根據(jù)DF=AB可得答案．
【解析】（1）證明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°，
∴∠DFA=∠B，
又∵AD=EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF=AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠FDC=∠DAF=30°，
∴AD=2DF，
∵DF=AB，
∴AD=2AB=8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．
23．如圖，四邊形ABCD是矩形，E為AD上一點(diǎn)，且∠CBD＝∠EBD，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PN⊥BE于點(diǎn)N，PM⊥AD于點(diǎn)M．
（1）求證：BE＝DE；
（2）試判斷AB和PM，PN的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）PM+PN＝AB；理由見解析.
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠ADB＝∠CBD，由已知條件∠CBD＝∠EBD，證出∠ADB＝∠EBD，即可得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)MP交BC于Q，先由角的平分線性質(zhì)得出PQ＝PN，再由AB＝MQ，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠EBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴BE＝DE；
（2）解：PM+PN＝AB；理由如下：
延長(zhǎng)MP交BC于Q，如圖所示：
∵AD∥BC，PM⊥AD，
∴PQ⊥BC，
∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE，
∴PQ＝PN，
∴AB＝MQ＝PM+PQ＝PM+PN．
故答案為（1）見解析；（2）PM+PN＝AB；理由見解析.
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．
24．如圖所示，四邊形ABCD是矩形，已知PB=PC.
(1)若P是矩形外一點(diǎn)，求證：PA=PD；
(2)若P是矩形邊AD(或BC)上的一點(diǎn)，則PA PD；
(3)若點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，上述結(jié)論是否仍然成立？
【答案】（1）詳見解析；（2）=；（3）成立，理由詳見解析.
【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，可得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又由PB=PC可得∠PBC=∠PCB，求出∠PBA=∠PCD，進(jìn)而利用SAS證明△APB≌△DPC即可得到PA=PD；
（2）當(dāng)P是矩形邊AD(或BC)上的一點(diǎn)，通過HL可證Rt△APB≌Rt△DPC，得到PA=PD；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，同（1）可證△APB≌△DPC，得到PA=PD.
【解析】(1)證明：如圖①，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠PBA=∠PCD.
在△APB和△DPC中，，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD；
(2) 如圖②，當(dāng)P是矩形邊AD上的一點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，PB=PC，
∴Rt△APB≌Rt△DPC（HL），
∴PA=PD，
當(dāng)P是矩形邊BC上的一點(diǎn)，同理可得：PA=PD，
∴若P是矩形邊AD(或BC)上的一點(diǎn)，則PA=PD；
(3)成立．
理由如下：
如圖③，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠PBA=∠PCD.
在△APB和△DPC中，，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD.
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，難度適中，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到判定全等的條件是解決問題的關(guān)鍵．

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22.3 特殊的平行四邊形

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