一、菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
要點(diǎn)：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.
二、菱形的性質(zhì)
菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：
1.菱形的四條邊都相等；
2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.
要點(diǎn)：
菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.
（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.
（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.
三、菱形的判定
菱形的判定方法有三種：
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
3.四條邊相等的四邊形是菱形.
要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.
題型1：菱形的性質(zhì)
1．菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ）
A．兩組對(duì)邊分別相等B．兩組對(duì)邊分別平行
C．對(duì)角線互相平分D．對(duì)角線互相垂直
2．菱形具有而矩形也具有的性質(zhì)是（ ）
A．對(duì)角線相等B．對(duì)角線互相垂直
C．對(duì)角線互相平分D．鄰邊相等
題型2：利用菱形的性質(zhì)求長(zhǎng)度
3．菱形的周長(zhǎng)為，兩個(gè)相鄰的內(nèi)角度數(shù)之比為，則較短的對(duì)角線長(zhǎng)度是（ ）
A．B．C．D．
4．菱形相鄰兩角的比為，那么菱形的對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比為（ ）
A．B．C．D．
型3：添加一個(gè)條件判定菱形
5．如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，若添加一個(gè)條件，使得一定為菱形，該條件是（ ）
A．B．C．D．
題型4：利用菱形的性質(zhì)求角度
6．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，，連接EC． 若，則∠BCE的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在菱形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥BC，連接AC，則∠BAD等于（ ）
A．60°B．100°C．110°D．120°
8．如圖，四邊形ABCD是菱形，延長(zhǎng)BC到E，使BD=BE，連結(jié)DE，若∠ABC=80°，則∠E的度數(shù)是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．80°
題型5：利用菱形的性質(zhì)求面積
10．已知在菱形中，，，則菱形的面積為（ ）
A．160B．80C．40D．96
11．如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．若陰影部分的面積為5，則菱形的面積為（ ）
A．10B．15
C．20D．25
12．如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，若，，則菱形的面積為（ ）
A．B．12C．18D．24
13．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BEAC，AEBD，OE與AB交于點(diǎn)F．若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面積為( )
A．20B．22C．24D．40
題型6：利用菱形的性質(zhì)與判定求解
14．如圖，在菱形中，相交于，，是線段上一點(diǎn)，則的度數(shù)可能是（ ）
A．B．C．D．
15．如圖，在平行四邊形 中， 的平分線交 于點(diǎn) ， 的平分線交 于點(diǎn) ，連接 ，若 ，，則 的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
16．如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，在其中一張紙條轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A． B．四邊形面積不變
C． D．四邊形周長(zhǎng)不變
17．如圖，將矩形紙片分別沿、折疊，若、兩點(diǎn)恰好都落在對(duì)角線的交點(diǎn)上，下列說法：①四邊形為菱形，②，③若，則四邊形的面積為，④，其中正確的說法有（ ）個(gè)．
A．4B．3C．2D．1
題型7：菱形的性質(zhì)與判定解答題
18．如圖，在中，，為的中點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，連結(jié)，．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，則四邊形的面積是________．
19．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，．
(1)判斷四邊形的形狀，并進(jìn)行證明；
(2)若，，求四邊形的面積．
21．如圖，的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)作的垂線，與，分別相文于點(diǎn)，，連接，．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，的面積是2，求的面積．
22．如圖，在平行四邊形中，E為對(duì)角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作，，連接，，，線段交于點(diǎn)H．
(1)若，求證：四邊形為菱形；
(2)在（1）問的基礎(chǔ)上，若，，求四邊形的面積．
一、單選題
1．下列各項(xiàng)中，菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ）
A．對(duì)角相等B．對(duì)邊相等C．鄰邊相等D．對(duì)角線相等
2．在菱形中，，，則菱形的周長(zhǎng)為（ ）
A．48B．30C．20D．10
3．若菱形的周長(zhǎng)為8，高為1，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（ ）
A．3∶1B．4∶1C．5∶1D．6∶1
4．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，則∠ACD的大小為（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
5．如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
6．下列四邊形中不一定為菱形的是（ ）
A．對(duì)角線相等的平行四邊形B．對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形
C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形D．用兩個(gè)全等的等邊三角形拼成的四邊形
7．如圖，菱形中，，，于點(diǎn)，則（ ）
A．24B．10C．D．
8．菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，給出下列結(jié)論：①，②，③，其中正確的有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
9．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知AO=2，OB=，則菱形ABCD的面積是（ ）
A．B．C．4D．9
10．菱形中，．點(diǎn)、分別在邊、上，且．若，則的面積為（ ）．
A．B．C．D．
11．如圖，矩形 ABCD 的對(duì)角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,則四邊形 OCED 的面積為（ ）
A．2B．4C．4D．8
12．如圖，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足為G，EG與CD相交于點(diǎn)K，GD的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)H，連接DE，則下列結(jié)論：①BG=AB+HF；②DG=DE；③∠DHE=∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題
13．矩形和菱形都是常見的幾何圖形，請(qǐng)根據(jù)它們的性質(zhì)，寫出矩形和菱形的兩個(gè)不同點(diǎn)：①_________﹔②________．
14．如圖，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是_____．
15．已知一個(gè)菱形的周長(zhǎng)為，有一個(gè)內(nèi)角為，則較長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_________．
16．如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，垂足為E點(diǎn)，若，則________．
17．如圖，在菱形ABCD中，AB∥y軸，且B（-3，1），C（1，4），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________．

18．如圖，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，且互相垂直平分，若，若上有一點(diǎn)，使，那么_______．
19．如圖，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OC上一點(diǎn)，連接ED，若，則DE的長(zhǎng)為______．
20．如圖，菱形ABCD中，，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連結(jié)BE，分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG，則下列結(jié)論：①；②；③由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；④．其中正確的結(jié)論是______（請(qǐng)?zhí)顚懻_的序號(hào)）
三、解答題
21．已知?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OA，OB，AB的長(zhǎng)分別為3，4，5，求其他各邊以及兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度．
22．已知：如圖，在菱形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O．
求證：（1）；
（2）．
23．如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若求證：四邊形是菱形．
24．如圖，線段，D是線段AC上一點(diǎn)，連接DE交AB于點(diǎn)F，若AF＝BF，求證：
(1)DF=EF；
(2)連接AE，BD，若△ABC是等邊三角形∠E=30°， 求證：四邊形ADBE是菱形．
25．如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．
(1)求證：；
(2)若，求菱形的周長(zhǎng)．
26．如圖，在四邊形ABCD中，，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分，過點(diǎn)C作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．
(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)若，，求OE的長(zhǎng)．
27．已知在菱形ABCD中，點(diǎn)P在CD上，連接AP．
(1)在BC上取點(diǎn)Q，使得∠PAQ＝∠B，
①如圖1，當(dāng)AP⊥CD于點(diǎn)P時(shí)，求證：AP=AQ ．
②如圖2，當(dāng)AP與CD不垂直時(shí)，判斷①中的結(jié)論（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，則需說明理由．
(2)如圖3，在CD的延長(zhǎng)線取點(diǎn)N，連接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此時(shí)線段DN的長(zhǎng)．

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22.3 特殊的平行四邊形

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