1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關系.2.探索并證明菱形的性質定理.（重點）3.應用菱形的性質定理解決相關計算或證明問題.（難點）
當把衣帽架拉動時，從它的形狀變化，你能看出什么？
前面我們學習了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個角是直角時,就成為了矩形.
猜想: 如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等,這個特殊的平行四邊形叫什么呢?
平行四邊形不一定是菱形.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
∴四邊形ABCD是菱形
如何利用折紙、裁剪的方法，既快又準確的剪出一個菱形的紙片？
在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中的圖形(如圖），并回答以下問題:
問題1 菱形是軸對稱圖形嗎?如果是,指出它的對稱軸. 是，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸.問題2 根據上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數量上 有什么關系?菱形的兩對角線有什么關系?
猜想1 菱形的四條邊都相等.
猜想2 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對 角線平分一組對角.
已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點O. 求證:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四邊形的對邊相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴OB = OD （平行四邊形的對角線互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可證∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
∵四邊形ABCD是菱形∴ 　　　　　　　　　
1、菱形的四條邊相等．
AB=BC=CD=AD
2、菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。
∵四邊形ABCD是菱形∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AC平分∠DAB和∠DCB，
BD平分∠ADC和∠ABC。
菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質.
對稱性：是軸對稱圖形.邊：四條邊都相等.對角線：互相垂直，且每條對角線平分一組對角.
角：對角相等.邊：對邊平行且相等.對角線：相互平分.
例1 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周長．
解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周長＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)．
例2 如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點E，CF⊥AD于點F，求證：AE＝AF.
證明：連接AC. ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
例3 如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.
證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，?∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，∴AO＝BE .
例4 如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O,試用對角線表示出菱形ABCD的面積.
解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
菱形的面積 = 底×高 = 對角線乘積的一半
例5 如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積（結果分別精確到0.01m和0.1m2 ）.
解：∵花壇ABCD是菱形，
如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數比為1：2，周長是8cm．求：（1）兩條對角線的長度； （2）菱形的面積．
解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC與∠BAD的度數比為1：2，∴∠ABC= ×180°=60°，∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等邊三角形.∵菱形ABCD的周長是8cm．∴AB=2cm，
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， ∴BD=2OB= cm；（2）S菱形ABCD= AC?BD = ×2× = （cm2）．
菱形中的相關計算通常轉化為直角三角形或等腰三角形，當菱形中有一個角是60°時，菱形被分為以60°為頂角的兩個等邊三角形.
1.周長=邊長的四倍2.面積=底×高=兩條對角線乘積的一半
1.兩組對邊平行且相等；2.四條邊相等
兩組對角分別相等，鄰角互補鄰角互補
1.兩條對角線互相垂直平分；2.每一條對角線平分一組對角
　1.經歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判 定定理．（重點） 2.會用這些菱形的判定方法進行有關的證明和計算. （難點）
1.菱形的定義是什么？
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2.你能說出菱形的性質有哪些嗎？
菱形的兩組對邊平行
菱形的兩組對角分別相等
菱形的兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。
怎樣判定一個四邊形是否為菱形？
根據菱形的定義去判定.
有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
猜想1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
猜想2：四邊相等的四邊形是菱形.
除了根據定義判定，還有其它判定菱形的方法嗎？
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AO=OC ∵AC ⊥ BD ∴∠AOB=∠COB=90° 又∵BO是公共邊 ∴△AOB≌△COB ∴AB=BC
對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.
猜想2：四邊都相等的四邊形是菱形.
四邊都相等的四邊形是菱形.
證明：在四邊形ABCD中 ∵AB=CD，BC=AD ∴四邊形ABCD是平行四邊形 ∵AB=BC ∴平行四邊形ABCD是菱形
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
有四條邊相等的四邊形是菱形。
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ OA=4,OB=3,AB=5，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四邊形ABCD是菱形.
∵ AC＝8，BD＝6
例2 如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．
證明: ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC ∴ 四邊形AFCE是菱形.
證明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四邊形ABCD是菱形.
例3 如圖,在△ABC中, AD是角平分線,點E、F分別在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求證：四邊形CDEF是菱形.
例4 如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對應點分別是D，E，F，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形．
證明：由平移變換的性質得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四邊形ACFD是菱形．
四邊形的條件中存在多個關于邊的等量關系時，運用四條邊都相等來判定一個四邊形是菱形比較方便．
證明：連接AC、BD.
∵四邊形ABCD是矩形，
∵點E、F、G、H為各邊中點，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形.
例5 如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.
【變式題】 如圖，順次連接對角線相等的四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？
解：四邊形EFGH是菱形.
順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，得到四邊形是菱形.
理由如下：連接AC、BD
拓展1 如圖，順次連接平行四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
拓展2 如圖，若四邊形ABCD是菱形，順次連接菱形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？
四邊形EFGH是矩形.
例6 如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；
(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為 ，∴菱形的面積為 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．
判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以先嘗試證出這個四邊形是平行四邊形．
1、□ABCD的對角線AC與BD相交于點O， （1）若AB=AD，則□ABCD是 形； （2）若AC=BD，則□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，則□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，則□ABCD是 形。
2.判斷下列說法是否正確(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的 四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組 對角的四邊形是菱形．
3.一邊長為5cm平行四邊形的兩條對角線的長分別為 24cm和26cm，那么平行四邊形的面積是 .
4.如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（　　） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
解析：∵將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC∥DE，AC=DE，∴四邊形ABED為平行四邊形.當AC=BC時，平行四邊形ACED是菱形．故選B．
5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，求平行四邊形ABCD的周長.
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四邊形ABCD為菱形，∴四邊形ABCD的周長=4×3=12．
6.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，BE∥AC,AE ∥BD.求證：四邊形OAEB是菱形.
證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OAEB是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴四邊形OCED是菱形．

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22.3 特殊的平行四邊形

版本： 滬教版 (五四制)

年級： 八年級下冊

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