一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知（，），下列變形正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握比例的性質(zhì)．
【詳解】解：解：∵（，），
∴，，，，
故選：D．
2. 如圖所示的幾何體是由5個完全相同的小正方塊體搭成的，它的左視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查三視圖，從左面看，有2列，第1列有2個小正方形，第2列有1個小正方形，即可得出結果．
【詳解】解：左視圖為：
故選：C．
3. 如圖，在中，，，則下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形，先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)正弦、正切、余弦的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，，，．
故選：D．
4. 如圖，在菱形中，，則的長為（ ）


A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接與交于O．先證明是等邊三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的長度，即可求得的長度．
【詳解】解：連接與交于O．

∵四邊形是菱形，
∴，，，，
∵，且，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角所對直角邊等于斜邊的一半，關鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．
5. 關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個不相等的實數(shù)根B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 只有一個實數(shù)根D. 沒有實數(shù)根
【答案】A
【解析】
【分析】對于，當, 方程有兩個不相等的實根，當, 方程有兩個相等的實根，, 方程沒有實根，根據(jù)原理作答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．
6. 一個不透明的袋子中裝有2個紅球、3個黃球，每個球除顏色外都相同．曉君同學從袋中任意摸出1個球（不放回）后，曉靜同學再從袋中任意摸出1個球．兩人都摸到紅球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩人都摸到紅球的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有20種等可能的情況數(shù)，其中兩人都摸到紅球的有2種，
則兩人都摸到紅球的概率是．
故選：A．
【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
7. 二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限的交點坐標為（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題，聯(lián)立解析式進行求解即可．
【詳解】解：聯(lián)立，得：或；
∴在第一象限的交點坐標為；
故選A．
8. 如圖，在函數(shù)的圖像上任取一點A，過點A作y軸的垂線交函數(shù)的圖像于點B，連接OA，OB，則的面積是（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】作AD⊥x軸，BC⊥x軸，由即可求解；
【詳解】解：如圖，作AD⊥x軸，BC⊥x軸，
∵，
∴
∵
∴
故選：B．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應用，掌握反比例函數(shù)相關知識，結合圖像進行求解是解題的關鍵．
9. 如圖，四邊形四邊形，則下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，正確得出對應角相等是解題關鍵．直接利用相似多邊形的性質(zhì)得出對應角相等進而得出答案．
【詳解】解：∵四邊形四邊形，
∴，，，，
∴．
故選：D．
10. 如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角頂點P在正方形ABCD的對角線BD上，點M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點O，且點O為MN的中點，則的度數(shù)為（ ）
A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB度數(shù)，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵點O為MN的中點
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關鍵是熟練運用相關性質(zhì)，根據(jù)角的關系進行計算．
第二部分 非選擇題（共90分）
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 點（2，5）在反比例函數(shù)的圖象上，那么k＝_____．
【答案】10
【解析】
【分析】直接把點（2，5）代入反比例函數(shù)求出k的值即可．
【詳解】∵點（2，5）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴5＝，
解得k＝10．
故答案為：10．
【點睛】此題考查求反比例函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.
12. 如圖，在中，，則的長為___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解答的關鍵，注意線段要對應．根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．
【詳解】∵，
∴，即，
∴．
故答案為：4．
13. 二次函數(shù)的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)解析式求出對稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)解析式質(zhì)，得，當時，函數(shù)有最小值，即可．
【詳解】∵二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，且，
∴當時，函數(shù)有最小值，即，
故答案為：．
14. 如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果點，分別從點，同時出發(fā)，那么出發(fā)后_____秒時，線段的長度等于．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，勾股定理，設出發(fā)后秒時，線段的長度等于，可列出方程，解方程即可求解，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵．
【詳解】解：設出發(fā)后秒時，線段的長度等于，依題意得，
，
整理得，，
解得（不符合題意，舍去），，
∴出發(fā)后秒時，線段的長度等于，
故答案為：．
15. 如圖，在矩形中，，，點是邊上的一個動點，連接并延長至點，且，以，為邊作平行四邊形，連接，則的最小值為_____．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，作交的延長線于點， 交的延長線于點，證明四邊形是矩形，再證明，得到，求出，作交的延長線于點，于點，證明，得到，求出，由垂線段最短得到，
即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：作交的延長線于點， 交的延長線于點，
∵四邊形是矩形，，
∴，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作交的延長線于點，于點，
則 ，
∴，
∴，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
的最小值為，
故答案為：．
三、解答題（本題共8小題，共75分．解答題應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）
16. （1）計算：；
（2）把方程，化成一般形式．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和一元二次方程的概念，屬于基本題型，熟練掌握以上基本知識是解題關鍵．
（1）把特殊角的三角函數(shù)值代入后計算即可；
（2）通過去括號，移項、合并同類項將已知方程轉(zhuǎn)化為一般式方程即可．
【詳解】解：（1）
；
（2），
∴，
∴．
17. 《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，它奠定了中國古代數(shù)學的基本框架，以計算為中心，密切聯(lián)系實際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題為目的．書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，求它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長
【答案】
【解析】
【分析】設DE=CF=x，則AD=5-x，由正方形的性質(zhì)可得DE//BC，則△ADE∽△ACB，最后根據(jù)比例列方程解答即可．
【詳解】解：設DE=CF=x，則AD=5-x
四邊形CDEF是正方形，
∴DE//CF.
∴∠ ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB
∴ 即 ，解得x=．
故答案為．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意設出未知數(shù)并構建方程是解答本題的關鍵．
18. 在測量時，為了確定被測對象的最佳值，經(jīng)常要對同一對象測量若干次，然后選取與各測量數(shù)據(jù)的差的平方和為最小的數(shù)作為最佳近似值．例如，在測量了5個大麥穗長之后，得到的數(shù)據(jù)（單位：）是：6.5，5.9，6.0，6.7，4.5，那么這些大麥穗的最佳近似長度可以取使函數(shù)為最小值的x值．整理上式，并求出大麥穗長的最佳近似長度．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意整理函數(shù)關系式，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可．
詳解】
時，取得最小值
大麥穗長的最佳近似長度為
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，準確的計算是解題的關鍵．
19. 沈陽是國家歷史文化名城，清朝發(fā)祥地，素有“一朝發(fā)祥地，兩代帝王都”之稱．新中國成立后，沈陽成為中國重要的以裝備制造業(yè)為主的重工業(yè)基地，被譽為“共和國裝備部”，有“共和國長子”和“東方魯爾”的美譽．某市陽光旅行社專門定制了一條來我市的旅游線路，收費標準為：如果人數(shù)不超過人，人均旅游費用為元；如果人數(shù)超過人，每增加人，人均旅游費用降低元．但人均旅游費用不得低于元．如果該旅行社組織的一個來我市的旅行團共收取了元的費用，求這個旅行團的人數(shù)．
【答案】這個旅行團的人數(shù)為人．
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的知識，解題的關鍵是設這個旅行團的人數(shù)為人，根據(jù)題意，列出方程，則，解出方程，即可．
【詳解】設這個旅行團的人數(shù)為人，
∴，
整理得：，
解得：，；
當時，人均旅行費用為：，
∴舍去，
∴，
答：這個旅行團的人數(shù)為人．
20. 如圖，在中，點D是邊上一點，按以下步驟作圖：
①以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交于點M，N；
②以點D為圓心，以長為半徑作弧，交于點；
③以點為圓心，以長為半徑作弧，在內(nèi)部交前面弧于點；
④過點作射線交于點E．若，，求四邊形的面積．

【答案】四邊形的面積
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖——平行線，根據(jù)平行線的作法得，進而可得，再根據(jù)面積比等于相似比的平方即可求解，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
由作圖知：，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
21. 隨著技術進步和成果轉(zhuǎn)化，在我國無人機的用武之地越來越多，農(nóng)林植保、應急救援、文物保護、電力巡檢……，加速賦能千行百業(yè)．如圖，某農(nóng)業(yè)示范基地用無人機對一塊試驗田進行監(jiān)測作業(yè)時，無人機在點A處，無人機距地面高度為120米，此時測得試驗田一側(cè)邊界點C處俯角為，無人機垂直下降40米至點B處，又測得試驗田另一側(cè)邊界點D處俯角為，且點C，O，D在同一條直線上，求點C與點D的距離．（參考數(shù)據(jù)：，結果保留整數(shù)）
【答案】點C與點D的距離約為
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，在中，求出的長，在中求出的長，利用求出的長即可．掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意，得：，，
在中：，
∴，
在中，，
∴，
∴；
答：點C與點D的距離約為．
22. 如圖，在平面直角坐標系中，等腰的斜邊在x軸上，直線經(jīng)過點A，交y軸于點C，反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點A，連接．

【基礎應用】
（1）求k的值；
（2）求直線的函數(shù)表達式；
【拓展應用】
（3）若點P為x軸正半軸上一個動點，在點A的右側(cè)的的圖象上是否存在一點M，使得是以點A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）過點作軸，易得，設，代入一次函數(shù)解析式，求出點坐標，待定系數(shù)法求值即可；
（2）先求出點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；
（3）過點作軸，交雙曲線于點，連接，過點作，交軸于點，證明，得到，進一步求出點的坐標即可．
【詳解】（1）解：過點作軸，

∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，
設，
∵點在直線上，
∴，
∴，
∴，
∵在雙曲線上，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，當時，，
∴，
設直線的解析式為，
把，代入，得：，
∴直線解析式為：；
（3）存在，過點作軸，交雙曲線于點，連接，過點作，交軸于點，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，
∵，
∴點的橫坐標為，
∵點在雙曲線上，，
∴．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合應用，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．掌握相關性質(zhì)，利用數(shù)形結合的思想，進行求解，是解題的關鍵．
23. 四邊形中，，，連接，，點P是折線上的一個動點，點M在邊上，且，連接，點A關于直線的對稱點是點，連接．
【特例探究一】
（1）如圖1，當時，求的值；
【特例探究二】
（2）當時，求的長；
【特例探究三】
（3）當點P到的距離為1時，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】（1）延長交于點，勾股定理求出的長，翻折，平行線的性質(zhì)，得到，，進而推出，得到，求解即可．
（2）當時，，則；設交與點N，先由求得，由線段差可得；再由求得即可解答；
（3）分P點在上和上兩種情況；當P點在上時，過點作于點，在和中，利用的正弦值求得，再在中求即可；當P點在上時，過點P作交的延長線于點Q，延長交的延長線于點H，先由求得和，再由求得，在求得即可；
【詳解】解：（1）延長交于點，
∵，，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如下圖所示，當時，設交與點N，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
（3）如下圖所示，當P點在上時，過點作于點，則，，

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如下圖所示，當P在上時，則，過點P作交AB的延長線于點Q，延長MP交AB的延長線于點H，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
解得：，
∴，
綜上所述，值為或．
【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識；綜合性較強，難度大，根據(jù)題意畫出相應圖形，并結合相似三角形的性質(zhì)來求線段長是解題關鍵．

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