1. 如圖所示，從上面看該幾何體形狀圖為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯視圖是從物體上面所看到的圖形，可根據(jù)物體的特點(diǎn)作答；
【詳解】解：這是一個(gè)中間部分掏空的長(zhǎng)方體，根據(jù)俯視圖是從物體上面所看到的圖形，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖，根據(jù)物體的特征回答是解題的關(guān)鍵．
2. 如果，那么的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求出b=4a，把b=4a代入，即可求出答案．
【詳解】解：∵，
∴b=4a，
∴= ，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算和比例的性質(zhì)，能根據(jù)比例的性質(zhì)求出b=4a是解此題的關(guān)鍵．
3. 關(guān)于一元二次方程根的情況，下列說法正確的是
A. 有一個(gè)實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D. 沒有實(shí)數(shù)根
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)根的判別式進(jìn)行求解即可得答案.
【詳解】，，，
，
一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵.
一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
4. 不透明袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外無其他差別，隨機(jī)摸出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)，兩次都摸到紅球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列表法或樹狀圖法可以列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后看符合條件的占總數(shù)的幾分之幾即可．
【詳解】解：兩次摸球的所有的可能性樹狀圖如下：
第一次 第二次
開始
∴兩次都是紅球．
故選D．
【點(diǎn)睛】考查用樹狀圖或列表法，求等可能事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，然后用分?jǐn)?shù)表示，同時(shí)注意“放回”與“不放回”的區(qū)別．
5. 在下列光源的光線照射下，所形成的投影不能稱為中心投影的是（ ）
A. 探照燈B. 臺(tái)燈C. 路燈D. 太陽
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了中興投影，解題的關(guān)鍵是掌握中心投影是指把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影，據(jù)此逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：在探照燈，臺(tái)燈，路燈的光線照射下，所形成的投影是中心投影，故A、B、C不符合題意；
在太陽光線照射下，所形成的投影是平行投影，故D符合題意；
故選：D．
6. 在中，，，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了求正切值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和正切的定義，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)即可解答．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
故選：D．
7. 關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 圖像分布在第二、四象限內(nèi)B. 圖像經(jīng)過
C. y隨x的增大而減小D. x0，
∵拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，
，
∴b＜0，
∴ab＜0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，
對(duì)于一次函數(shù)y＝cx+，c＜0，，故此函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限；
對(duì)于反比例函數(shù)y＝，ab＜0，圖象分布在第二、四象限．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及反比例函數(shù)的圖象，觀察二次函數(shù)圖象找出各系數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11. 方程的實(shí)數(shù)解是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
，
∴．
12. 二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)式的應(yīng)用．直接解答即可．
【詳解】解：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：．
故答案為：．
13. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（﹣1，3），B（﹣6，3），以原點(diǎn)O為位似中心，在同一象限內(nèi)把線段AB縮短為原來的，得到線段CD，其中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 _______．
【答案】
【解析】
【分析】由位似圖形的性質(zhì)可得：這一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之比為3，從而把的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都乘以 即可得到答案.
【詳解】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，
把線段AB縮短為CD，AB，CD在同一象限，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，3），
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為即
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．
14. 如圖，在菱形中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作孤，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)B，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線分別交，，于點(diǎn)H，G，F(xiàn)，連接，，則______．

【答案】##110度
【解析】
【分析】由題意知，是線段的垂直平分線，，則，即，由菱形中，，可得，，則，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，是線段的垂直平分線，，
∴，即，
∵在菱形中，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
15. 已知正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE＝3，EC＝1，如圖所示，把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F、C兩點(diǎn)的距離為_____．
【答案】1或7．
【解析】
【分析】首先在直角△ADE中利用勾股定理求得AE的長(zhǎng)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：如圖，①當(dāng)線段AE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BC上的F1點(diǎn)時(shí)，在直角△ABF1中利用勾股定理求得BF1的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得F1C；②同理可以求得旋轉(zhuǎn)到F2時(shí)，F(xiàn)2C的長(zhǎng)．
【詳解】解：CD＝DE+EC＝3+1＝4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4．
在直角△ADE中，根據(jù)勾股定理得：AE＝＝＝5．
如圖，①當(dāng)線段AE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BC上的F1點(diǎn)時(shí)，AF1＝AE＝5，
在直角△ABF1中，BF1＝＝＝3．
∴F1C＝BC﹣BF1＝4﹣3＝1；
②當(dāng)線段AE順時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到BC上的F2點(diǎn)時(shí)，同理可得BF2＝3，則F2C＝3+4＝7．
故答案為：1或7．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，屬于?？碱}型，正確分類、熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
16. 計(jì)算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，（1）利用有理數(shù)的運(yùn)算法則即可得到答案；（2）利用特殊角三角函數(shù)值代入即可得到答案．
【小問1詳解】
解：．
【小問2詳解】
解：．
17. 如圖所示的幾何體是由幾個(gè)相同的小正方形排成兩行組成的．
（1）填空：這個(gè)幾何體由_______個(gè)小正方體組成．
（2）畫出該幾何體的三個(gè)視圖．
【答案】(1)8；(2)三視圖見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖示可知這個(gè)幾何體由8小正方體組成；
（2）主視圖有4列，每列小正方形數(shù)目分別為1，3，2，1；左視圖有2列，每列小正方形數(shù)目分別為3，1；俯視圖有4列，每行小正方形數(shù)目分別為1，2，1，1．
【詳解】（1）這個(gè)幾何體由8小正方體組成；
（2）該幾何體的三個(gè)視圖如圖所示：
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)物體的三視圖．在畫圖時(shí)一定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實(shí)線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．本題畫幾何體的三視圖時(shí)應(yīng)注意小正方形的數(shù)目及位置．
18. “垃圾分類”進(jìn)校園，某中學(xué)要求將垃圾四類分別裝袋投放，其中類指有害垃圾，類指廚余垃圾，類指可回收垃圾，類指其他垃圾．小明和小亮各有一袋垃圾，需投放如圖所示的垃圾桶．
（1）小明正確投放垃圾的概率是______；
（2）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求小明與小亮投放的垃圾是同一類的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根據(jù)概率計(jì)算公式計(jì)算即可求解；
（）畫樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，確定符合條件的結(jié)果，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可求解；
本題考查了用列表或畫樹狀圖的方法求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：由題意得，小明投放垃圾有種可能的結(jié)果，正確投放垃圾的結(jié)果只有種，
∴小明正確投放垃圾的概率是，
故答案為：；
【小問2詳解】
畫樹狀圖如圖所示：

由圖可知，共有種等可能結(jié)果，其中，小明投放的垃圾與小亮投放的垃圾是同一類的結(jié)果有種，
∴．
19. 如圖，借助一面墻（最長(zhǎng)可利用）圍成一個(gè)矩形花園，在墻上要預(yù)留寬的入口（如圖中所示），入口不用砌墻，假設(shè)有砌長(zhǎng)墻的材料且恰好用完，設(shè)的長(zhǎng)為．
（1）填空：砌段墻時(shí)，需______長(zhǎng)的砌墻材料（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)矩形花園的面積為時(shí)，墻的長(zhǎng)為多少米？
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意：砌段墻用料為米．
（2）設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為米，則其段墻用料為米，依題意列方程求解即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意：的長(zhǎng)為，因?yàn)槿肟诓挥闷鰤?，所以砌段墻用料為米?br>∴段墻用料為
故答案為：．
【小問2詳解】
由題意：，
，
，，
∵墻最長(zhǎng)可利用，
∴，
答：面積為時(shí)，墻的長(zhǎng)為米．
20. 如圖，反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于，B兩點(diǎn)．
（1）______，______，點(diǎn)B坐標(biāo)為______；
（2）直接寫出不等式的解集______；
（3）已知軸，以，為邊作菱形．求菱形的面積．
【答案】（1），，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得k值，再根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)求得點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象，求得正比例函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象上方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍即可；
（3）先利用兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式求得，再根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，結(jié)合菱形性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
解：由題意，將代入中，得，
解得，
∴，
將代入中，得，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，
故答案為：，，；
【小問2詳解】
解：由圖象可知，不等式的解集為或，
故答案為：或；
【小問3詳解】
解：∵，，
∴,
∵軸，
∴菱形的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式等知識(shí)，熟練掌握反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解是解答的關(guān)鍵．
21. 眼睛是人類感官中最重要器官之一，每年的6月6日定為全國(guó)愛眼日，小林想要探究自己按照標(biāo)準(zhǔn)護(hù)眼姿勢(shì)讀書時(shí)書籍應(yīng)離身體多遠(yuǎn)，畫出如圖的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A為眼睛的位置，A到書籍的距離為40cm，與水平方向夾角為，小林在書桌上方的身長(zhǎng)為52cm，且垂直于水平方向，請(qǐng)你求出小林與書籍底端的水平距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】小林與書籍底端的水平距離為
【解析】
【分析】如圖，過點(diǎn)D作于M，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則四邊形是矩形，，，由，，可得，在中，，，則，，，在中，，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于M，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：小林與書籍底端的水平距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
22. 【問題探究】
（1）如圖1，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，在線段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接，．
①求證：；
②將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處，當(dāng)點(diǎn)P在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由：
③在探究與的數(shù)量關(guān)系時(shí)，小穎作了如圖2的輔助線：作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，作交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，請(qǐng)你直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．
【遷移探究】
（2）如圖3，將（1）中正方形換成菱形，且，其他條件不變，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）①證明見解析；②；理由見解析；③（2）；理由見解析
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明，即可得出結(jié)論；②作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N， 推出，進(jìn)而求證，得出，即可得出結(jié)論；③作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，作交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，通過證明，四邊形是矩形，得出，，再根據(jù)，得出，最后根據(jù)，即可得出．
（2）先證明，作交AB于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，則四邊形是平行四邊形，，推出是等邊三角形，同理與都是等邊三角形，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②的大小是不發(fā)生變化，；
理由：作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，如圖，
∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
③；
作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，作交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）；
理由：∵四邊形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
由旋轉(zhuǎn)知：，
∴，
作交AB于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，如圖
則四邊形是平行四邊形，，
∵四邊形是菱形，
∴，
又∵
∴是等邊三角形，
同理與都是等邊三角形，
∴，
作于點(diǎn)M，
則，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形是性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)，正確畫出輔助線是解題的關(guān)鍵．
23. 【發(fā)現(xiàn)問題】“速疊杯”是深受學(xué)生喜愛的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，杯子的疊放方式如圖1所示：每層都是杯口朝下排成一行，自下向上逐層遞減一個(gè)杯子，直至頂層只有一個(gè)杯子，小麗發(fā)現(xiàn)疊放所需杯子的總數(shù)y隨著第一層（最底層）杯子的個(gè)數(shù)x的變化而變化．
【提出問題】疊放所需杯子的總數(shù)y與第一層杯子的個(gè)數(shù)x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
【分析問題】小麗結(jié)合實(shí)際操作和計(jì)算得到下表所示的數(shù)據(jù)：然后在平面直角坐標(biāo)系中，描出上面表格中各對(duì)數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到圖2，小麗根據(jù)圖2中點(diǎn)的分布情況，猜想其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分．為了驗(yàn)證自己的猜想，小麗從“形”的角度出發(fā)，將要計(jì)算總數(shù)的杯子用黑色圓表示(如圖3)，再借助“補(bǔ)”的思想，補(bǔ)充相同數(shù)量的白色圓，使每層圓的數(shù)量相同，進(jìn)而求出y與x的關(guān)系式．
【解決問題】
（1）直接寫出y與x的關(guān)系式：
（2）現(xiàn)有36個(gè)杯子，按【發(fā)現(xiàn)問題】中的方式疊放，求第一層杯子的個(gè)數(shù)：
（3）如圖4所示，O處為點(diǎn)光源，分別為杯子上、下底面圓的半徑，．將這樣足夠數(shù)量的杯子按【發(fā)現(xiàn)問題】中的方式疊放，但受桌面長(zhǎng)度限制，第一層擺放杯子的總長(zhǎng)度不超過．求：
①杯子最多能疊放多少層和此時(shí)杯子的總數(shù)：
②此時(shí)疊放達(dá)到的最大高度．
【答案】（1）
（2）第一層杯子的個(gè)數(shù)是個(gè)
（3）①杯子的層數(shù)是層，杯子的總數(shù)為個(gè)；②杯子疊放達(dá)到的最大高度是
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理：
（1）根據(jù)題意，將要計(jì)算總數(shù)的杯子用黑色圓表示（如圖3），再借助“補(bǔ)”的思想，補(bǔ)充相同數(shù)量的白色圓，使每層圓的數(shù)量相同，進(jìn)而求出與的關(guān)系式；
（2）將代入（1）中的解析，即可求解；
（3）①根據(jù)題意列出不等式求得第一層擺放杯子個(gè)，進(jìn)而求得總數(shù)，②先利用勾股定理求出，再根據(jù)得出，利用相似三角形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．
【小問1詳解】
解：由題意得 ；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
即．
解得，（舍去）．
答：第一層杯子的個(gè)數(shù)是個(gè)．
【小問3詳解】
解：①∵第一層杯子的個(gè)數(shù)個(gè)，且第一層擺放杯子的總長(zhǎng)度不超過cm，
∴，
解得，
∴的最大值為，
∴第一層擺放杯子的個(gè)數(shù)是，杯子的層數(shù)也是，
∴杯子的總數(shù)為個(gè)；
②在圖4中中，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴層杯子的高度是，
答：杯子疊放達(dá)到的最大高度是．第一層杯子的個(gè)數(shù)x
1
2
3
4
5
…
杯子的總數(shù)y
1
3
6
10
15
…

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