一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 下圖是由6個完全相同的小正方體搭成的幾何體，這個幾何體的俯視圖是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得：從上往下看，得到一共3列，從左往右依次有1，1，2塊，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：從上往下看，得到一共3列，從左往右依次有1，1，2塊，
∴這個幾何體的俯視圖是
．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，熟練掌握俯視圖就是從上往下看得到的圖形是解題的關(guān)鍵．
2. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則k的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，可得，再解不等式即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，
∴，
∴，
解得：；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，熟記根的判別式是解本題的關(guān)鍵．
3. 用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程兩邊加上1，利用完全平方公式化簡得到結(jié)果，即可作出判斷．
【詳解】解：用配方法解方程，
變形得：，
即
故選：D
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程——配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
4. 國旗上大、小五角星的邊長比是5：3，若大五角星的面積為50，則小五角星的面積為（ ）
A. 9B. 18C. 25D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)小五角星的面積為x，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方列式計算即可．
【詳解】解：設(shè)小五角星的面積為x，
∵國旗上大、小五角星相似，
∴=，
解得，x=18，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，線段AB兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，4)，B(6，2)，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則端點(diǎn)C和D的坐標(biāo)分別為( )
A. (2，2)，(3，2)B. (2，4)，(3，1)
C. (2，2)，(3，1)D. (3，1)，(2，2)
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)乘以得出即可．
【詳解】解：∵線段AB兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，4），B（6，2），
以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，
∴端點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，2），（3，1）．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的解題關(guān)鍵．
6. 下列現(xiàn)象中，屬于中心投影的是（ ）
A. 白天旗桿的影子B. 陽光下廣告牌的影子
C. 燈光下演員的影子D. 中午小明跑步的影子
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行投影和中心投影的定義對各選項進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A．白天旗桿的影子為平行投影，所以A選項不合題意；
B．陽光下廣告牌的影子為平行投影，所以B選項不合題意；
C．燈光下演員的影子為中心投影，所以C選項符合題意；
D．中午小明跑步的影子為平行投影，所以D選項不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影：由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．如物體在燈光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行投影．
7. 某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（ ）
A. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃
C. 暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球
D. 擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是6
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到實驗的概率在0.17左右，再分別計算出四個選項中的概率，然后進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率是，不符合題意；
B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是，不符合題意；
C．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率是，不符合題意；
D．?dāng)S一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是6的概率是，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．當(dāng)實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．
8. 將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度所得的圖象解析式為
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】∵二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度，
∴其頂點(diǎn)（0，0）也向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到新函數(shù)的頂點(diǎn)（1，3）．
∴根據(jù)平移的性質(zhì)，所得圖象的函數(shù)解析式是：．
故選A．
9. 下列命題正確的是（ ）
A. 一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形
B. 對角線相等的四邊形一定是矩形
C. 兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形
D. 兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)選項命題看是否能找一個反例出來，若有反例則是假命題；
【詳解】解：A選項：一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，例如等腰梯形，一組對邊平行，另一組對邊相等，不是平行四邊形，故本選項為假命題．
B選項：對角線相等的四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形對角線相等，但不是矩形，故本選項為假命題．
C選項：兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，如圖所示：AC⊥BD，但四邊形ABCD不是菱形，本選項為假命題．
D選項：兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形．
已知：四邊形ABCD，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
求證：四邊形ABCD為正方形，
證明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形為平行四邊形，又AC＝BD，
∴四邊形ABCD為矩形，
∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為正方形，則本選項為真命題．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定；判斷一個命題為假命題，只需找出一個反例即可；判斷一個命題為真命題，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明；掌握正方形的特征是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，對稱軸是直線．下列判斷正確的是（ ）

A. B.
C. D. 若點(diǎn)是圖象上的任意一點(diǎn)，則
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)開口方向和與y軸交于正半軸得到，根據(jù)對稱軸得到，由此可判定A、B；根據(jù)對稱性求出二次函數(shù)與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到二次函數(shù)與x軸有兩個不相同的交點(diǎn)，即可判定C；根據(jù)開口向下的二次函數(shù)在對稱軸軸取得最大值，得到，即可判斷D．
【詳解】解：∵二次函數(shù)開口向下，與y軸交于正半軸，
∴，
∵二次函數(shù)對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，，故A、B說法錯誤，不符合題意；
∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，對稱軸為直線，
∴二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
∴二次函數(shù)與x軸有兩個不相同的交點(diǎn)，
∴，故C說法錯誤，不符合題意；
∵二次函數(shù)開口向下，對稱軸為直線，
∴當(dāng)時，y有最大值，
∴點(diǎn)是圖象上的任意一點(diǎn)，則，即，故D說法正確，符合題意；
故選D．
第二部分 非選擇題（共90分）
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 若≠0，則=_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】根據(jù) 得到a=b，然后代入代數(shù)式約分化簡即可．
【詳解】：∵ ，
∴a=，
∴=1，故答案為1．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠用一個字母表示出另一個字母．
12. 如圖，在小孔成像問題中，小孔 O到物體AB的距離是60 cm，小孔O到像CD的距離是30 cm，若物體AB的長為16 cm，則像 CD的長是 _____cm.

【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解題.
【詳解】解：由小孔成像的特征可知,△OAB∽△OCD,
由相似三角形的性質(zhì)可知：對應(yīng)高比=相似比=對應(yīng)邊的比,
∴30:60=CD：16,
解得：CD=8cm.
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),屬于簡單題,熟悉性質(zhì)內(nèi)容是解題關(guān)鍵.
13. 如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個，能夠讓燈泡發(fā)亮的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了列舉法求概率，本題隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個，有3種方法，其中有兩種能夠讓燈泡發(fā)光，故其概率為．
【詳解】解：隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個，可以閉合、；、 ；、三種情況，其中閉合、 或，時，燈泡可以發(fā)光，
∴．
故答案為：．
14. 如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸，，在軸上，，則平行四邊形的面積是_______

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義就是曲線上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，它們與軸、軸所圍成的矩形面積為常數(shù)是解題的關(guān)鍵．由于點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，可以直接得到點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可以計算出平行四邊形的面積．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
點(diǎn)坐標(biāo)為，且點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
故答案為．
15. 如圖，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，，則的長為______．
【答案】3
【解析】
【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．延長至點(diǎn)G，使，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)P，可得是等邊三角形，從而得到，再證明，可得，可證明，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長至點(diǎn)G，使，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)P，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
和中，
∵，，，
∴，
∴．
故答案為：3
三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程）
16. （1）計算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計算．將特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)行計算即可；
（2）本題考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）原式；
（2）
∴，
∴，
∴或，
∴．
17. 2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，優(yōu)化了課程設(shè)置，將勞動從綜合實踐活動課程中獨(dú)立出來．某校以中國傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)為契機(jī)，組織全體學(xué)生參加包粽子勞動體驗活動，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，對他們每個人平均包一個粽子的時長進(jìn)行統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表．
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為_________，表中的值為_________；
（2）該校共有500名學(xué)生，請你估計等級為學(xué)生人數(shù)；
（3）本次調(diào)查中，等級為的4人中有兩名男生和兩名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行活動感想交流，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）50，
（2）200 （3）
【解析】
【分析】（1）利用概率計算公式先求出總?cè)藬?shù)，再求出等級為A的學(xué)生人數(shù)；
（2）利用概率計算公式先求出等級為B的學(xué)生所占的百分比，再求出等級為B的學(xué)生人數(shù)；
（3）記兩名男生為a，b，記兩名女生為c，d，通過列出表格列出所有可能的結(jié)果，用恰有一男一女的結(jié)果數(shù)除以總的結(jié)果數(shù)，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【小問1詳解】
解：∵D組人數(shù)8人，所占百分比為16%，
∴總?cè)藬?shù)為人，
∴．
【小問2詳解】
解：等級為B的學(xué)生所占的百分比為，
∴等級為B的學(xué)生人數(shù)為人．
【小問3詳解】
解：記兩名男生為a，b，記兩名女生為c，d，列出表格如下：
∴一共有12種情況，其中恰有一男一女的有8種，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法，概率計算公式的熟練應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)（m為常數(shù)，且）的圖象交于點(diǎn)，．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)帶入即可求解．
（2）將點(diǎn)代入可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，令，得可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，
∴將A 坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式 中，得，
∴反比例函數(shù)解析式為．
【小問2詳解】
將代入，得，
∴，
設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)C，如圖：
∵，
∴令，得，
∴點(diǎn)C 坐標(biāo)，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及求函數(shù)值，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
19. 為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識，歡歡想在書房里掛一張測試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有.在一次課題學(xué)習(xí)課上，歡歡向全班同學(xué)征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計方案新穎，構(gòu)思巧妙．
（1）甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應(yīng)“”的高是多少？
（2）乙生的方案中如果視力表的全長為，請計算出鏡長至少為多少米．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)兩組對角相等證明，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解；
（2）作于點(diǎn)D，延長線交于點(diǎn)E，先證，再根據(jù)相似三角形的相似比等于高的比列式求解．
【小問1詳解】
解：由題意知，，
，
又，
，
，
由題意知，，，，
，
解得，
即小視力表中相應(yīng)“”的高是
【小問2詳解】
解：如圖，如圖，作于點(diǎn)D，延長線交于點(diǎn)E，
由題意知，，
，，
，
，
，，
，
，
由題意知，，，
，
，
，
鏡長至少為．
20. 為倡導(dǎo)健康出行，某市道路運(yùn)輸管理局向市民提供一種公共自行車作為代步工具，如圖（1）所示是一輛自行車的實物圖．車架檔與的長分別為，，且它們互相垂直，，，如圖（2）．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，）

（1）求車架檔的長；
（2）求車鏈橫檔的長．
【答案】（1）
（2）的長約為
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理解題即可；
（2）先過點(diǎn)B作, 得出求出設(shè), 則，
，,, 根據(jù) , 求出的值, 從而得出的長, 最后根據(jù)勾股定理即可求出的長.
【小問1詳解】
解：，且，
∴；
【小問2詳解】
過點(diǎn)作, 垂足為, 則
∵,，
，

∵,
∴,
，
設(shè), 則，
,
則 ，
解得：
，
，
答: 車鏈橫檔長約為.
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，用到的知識點(diǎn)是勾股定理、平行線的性質(zhì).
21. 問題情境
小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：
模型建立
（1）請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)在草稿紙上按照一定順序重新整理，分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，請求出日銷售量y（盆）與售價x（元/盆）間的關(guān)系；
模型應(yīng)用
（2）根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，當(dāng)售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤，最大利潤是多少元．
【答案】（1）；（2）售價定為30元時，每天能夠獲得最大利潤，為450元
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用．
（1）將售價按照從小到大的順序進(jìn)行排列后，得到日銷售量y（盆）與售價x（元/盆）間的關(guān)系為一次函數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)每天的利潤為，列出二次函數(shù)表示式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
讀懂題意，正確的列出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（1）按照售價從低到高排列列出表格如下：
由表格可知，售價每漲價2元，日銷售量少賣4盆；
∴日銷售量y（盆）與售價x（元/盆）是一次函數(shù)的關(guān)系，設(shè)，由表格可知：點(diǎn)，在函數(shù)圖象上，
∴，解得：，
∴；
（2）設(shè)每天的利潤為，由題意，得：
，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，有最大值為元．
答：售價定為元時，每天能夠獲得最大利潤．
22. 籃球是大家平時接觸非常多的運(yùn)動之一，投籃或傳球時，球出手后籃球飛行的軌跡可以近似看作一條拋物線的一部分．

（1）如圖1，建立平面直角坐標(biāo)系，從出手到球進(jìn)籃筐的過程中，籃球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．
①某球員一次投籃時，記錄了籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：
請你根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，求出滿足條件的函數(shù)表達(dá)式（寫成的形式）；
②小孟同學(xué)想要研究自己的投籃情況，通過記錄已經(jīng)求得某一次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系式：，則小孟同學(xué)這次投籃的出手點(diǎn)高度是多少米；
（2）小孟同學(xué)在此基礎(chǔ)上想要研究自己的傳球情況，如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，若小孟同學(xué)在三分線外，想要將球傳給籃下的隊友小林，小孟與小林的水平距離是7m，小孟的傳球路線為拋物線，此時小林的接球點(diǎn)在x軸上方2m的高度上，且小林可以向前或向后在0.5m的范圍內(nèi)移動接球，要想讓小林能成功接到球，求符合條件的b的整數(shù)值．
【答案】（1）①； ②2.1
（2）1
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用．
（1）①根據(jù)表格和拋物線的對稱性找到頂點(diǎn)坐標(biāo)，再把，代入求解即可；②求出時的函數(shù)值，即可；
（2）將代入解析式，求出的值，根據(jù)題意，列出一元一次不等式組，求出的整數(shù)解即可．
讀懂題意，正確的列出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：①由表格可知，和時的函數(shù)值相同，
∴拋物線的對稱軸為：，
由表格可知，當(dāng)時，，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
∴設(shè)函數(shù)解析式為：，
把，代入解析式，得：，解得：，
∴；
②∵，
∴當(dāng)時，；
∴小孟同學(xué)這次投籃的出手點(diǎn)高度是米；
【小問2詳解】
解：∵，
當(dāng)時，，
解得：，
由題意，得：，解得：；
∴的整數(shù)解為1．
23. [問題情境]
如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)B落在射線上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊分別交于點(diǎn)．
【特例感知】
（1）如圖2，連接，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
【問題解決】
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，連接，設(shè)與分別交于點(diǎn)，當(dāng)時，求證：；
【深入探究】
（3）將（2）中的點(diǎn)改為“在射線上時”，（2）中其它條件不變的情形下，若，時，請直接寫出的長．

【答案】（1）菱形，理由見解析（2）見解析（3）或
【解析】
【分析】（1）由折疊可得：，，再證得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）矩形的性質(zhì)，以及，得到，進(jìn)而推出為等邊三角形，，得到，折疊的性質(zhì)，推出，進(jìn)而得到，即可得證；
（3）分點(diǎn)在線段上和線段的延長線上，兩種情況進(jìn)行討論求解．
【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，四邊形是菱形．
理由：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，

由折疊得：，，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
四邊形是菱形．
（2）∵四邊形矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，過點(diǎn)作與點(diǎn)，

由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
，
四邊形是矩形，
，，，
，，
設(shè)交與點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
過點(diǎn)作，
∴；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖：

同法可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上：的值為或．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，涉及知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大．等級
時長：（單位：分鐘）
人數(shù)
所占百分比
4
20
甲
乙
圖例
方案
如圖①是測試距離為的大視力表，可以用硬紙板制作一個測試距離為3m的小視力表②.通過測量大視力表中“”的高度（的長），即可求出小視力表中相應(yīng)的“”的高度（的長）
使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題.如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表（）與平面鏡（），由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調(diào)整人的位置，使得視力表的上、下邊沿，發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼處，通過測量視力表的全長（）就可以計算出鏡長
A
B
C
D
E
售價x（元/盆）
20
30
18
22
26
日銷售量y（盆）
50
30
54
46
38
售價（元/盆）
18
20
22
26
30
日銷售量（盆）
54
50
46
38
30
水平距離
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
豎直高度
2
2.72
3.28
3.68
3.92
4
3.92
3.68
…

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