1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
B．方程是一元二次方程，故本選項符合題意；
C．方程化簡后為，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，只有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．
2. 若，則下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用比例的基本性質(zhì)，把每一個選項中的比例式化成等積式即可解答．
【詳解】解：A．因為，所以，故A符合題意；
B．因為，所以，故B不符合題意；
C．因，所以，故C不符合題意；
D．因為，所以，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3. 有兩張卡片正反面上分別寫有一個數(shù)字：，5，兩張卡片除數(shù)字外無其它差別，把它們背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張卡片，記錄下卡片上的數(shù)字，然后把卡片放回并洗勻，再隨機抽取另一張，記錄下卡片上的數(shù)字，則兩次抽取的卡片上的數(shù)字都是﹣2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好都是的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有4種等可能結(jié)果，其中兩次抽取的卡片上的數(shù)字都是的有1種結(jié)果．
∴兩次抽取的卡片上的數(shù)字都是的概率為．
故選：A．
【點睛】本題考查了概率的求法，關(guān)鍵在于利用樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．
4. 若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則c的值為（ ）
A. ﹣3B. 0C. 3D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先移項把方程化為再配方可得結(jié)合已知條件構(gòu)建關(guān)于c的一元一次方程，從而可得答案．
【詳解】解：x2+6x+c＝0，
移項得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故選C
【點睛】本題考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵．
5. 如圖，在菱形中，對角線，則的面積為（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】菱形的對角線互相垂直平分，故的面積為對角線的一半的乘積的．
【詳解】是菱形
的面積
故選B．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及三角形面積，理解是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
6. 四邊形的邊長分別為2，4，6，5，四邊形和四邊形相似，且四邊形最短邊的長為6，則它的最長邊長為（ ）
A. 12B. 15C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)得出相似比，進而求出即可．
【詳解】解：∵四邊形和四邊形相似，四邊形的最長邊和最短邊的長分別是6和2，
四邊形的最短邊的長是6，
∴兩多邊形的相似比為： ，
那么四邊形中最長的邊長是：．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，得出相似比是解題關(guān)鍵．
7. 方程的根的情況是（ ）
A. 只有一個實數(shù)根B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 有兩個不相等的實數(shù)根D. 無實數(shù)根
【答案】D
【解析】
【分析】判斷方程的根的情況，只要看根的判別式的值的符號就可以了．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴方程無實數(shù)根，
故選：D．
【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：（1）?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）?方程沒有實數(shù)根．
8. 在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，正方形的頂點C，D在第二象限，若點A的坐標為，點B的坐標為，則點C的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作軸于點E，則，所以，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明，因為，，所以，，則，于是得到問題的答案．
【詳解】解：作軸于點E，
∵四邊形是正方形，
∴，BC＝AB，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】此題重點考查圖形與坐標、正方形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在中，點D，E分別在邊，上，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通過證明，由相似三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，只有D選項不正確
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
10. 某批發(fā)商在外地購買了同一型號的a把椅子，需要托運回本市，這批椅子的總價為18300元，每把椅子的運費是5元，如果少買一把椅子，那么剩下的椅子的運費總和恰好等于一把椅子的價錢，則a的值是（ ）
A. 52B. 60C. 61D. 71
【答案】C
【解析】
【分析】一把椅子的價錢為元，剩下椅子的運費元，根據(jù)“剩下的椅子的運費總和恰好等于一把椅子的價錢”即可列出方程，解答即可．
【詳解】解：一把椅子的價錢為元，剩下椅子的運費元，
根據(jù)題意得，
整理得，
解得，（不符合題意，舍去），
∴a的值為61，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系“剩下的椅子的運費總和恰好等于一把椅子的價錢”是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共18分）
11. 一元二次方程的根是__________．
【答案】，##，
【解析】
【分析】首先把移至方程左邊，再把方程左邊的多項式進行因式分解，即可得到答案．
【詳解】解：，
移項得：，
∴，
∴或，
∴，．
故答案為：，．
【點睛】本題考查一元二次方程解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，本題運用的是因式分解法．結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
12. 一個不透明的盒子中裝有黑球和白球共10個，它們除顏色不同外，其余均相同．從盒子中隨機摸出一球記下其顏色，再把它放回盒子中搖勻，重復(fù)上述過程，共試驗400次，其中有240次摸到白球，由此估計盒子中的白球大約有___________個．
【答案】6
【解析】
【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)未知數(shù)列出方程求解．
【詳解】解：共試驗400次，其中有240次摸到白球，
白球所占的比例為，
設(shè)盒子中共有白球個，則，
解得，
故答案為：6．
【點睛】本題考查利用頻率估計概率．大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．關(guān)鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．
13. 一種商品每件售價為150元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，該種商品每件售價為96元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則可列出方程 _____．
【答案】
【解析】
【分析】利用經(jīng)過兩次降價后的價格原價×（1平均每次降價的百分率），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，菱形的對角線與相交于點，點為的中點，連接，，，則_____．
【答案】
【解析】
【詳解】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，則，再利用含角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．
【分析】四邊形是菱形，，
，，，，,
，
，
，
為的中點，，
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，某項目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿的高度，把標桿直立在同一水平地面上，同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是，，點，，，在同一直線上，，，，則_____m．
【答案】6.85
【解析】
【詳解】根據(jù)平行投影得，可得，證明，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【分析】解：同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是，，
，
，
，，
，
，
，即，
解得．
故答案為：6.85．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．證明是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在平行四邊形中，，，，點M在直線上，點N在邊上，連接，將沿直線翻折，點D的對應(yīng)點E恰好在邊上，當(dāng)最大時，_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)點N在邊上，當(dāng)最大時，最小，由翻折可得，時，最小，作于點F，證明四邊形是正方形，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：點N在邊上，當(dāng)最大時，最小，
由翻折可知：，
時，最小，
如圖，作于點F，
在平行四邊形中，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了翻折變換，含30度角的直角三角形，正方形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．
三、（17題6分，18題、19題各8分，共22分）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：，
，
∴或，
∴，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．
18. 如圖，點，分別在正方形邊，上，且，求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明即可．
【詳解】證明：四邊形是正方形，
，，
在與中，
，
，
．
【點睛】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
19. 九年一班決定從班級演講比賽中表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機選取兩名同學(xué)參加學(xué)校的演講比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率．
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好同時選中甲、乙兩位同學(xué)的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【詳解】畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，
∴恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的概率為：．
【點睛】本題主要考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握列表法或畫樹狀圖法求概率，概率的計算公式．
四、（20、21題各8分，共16分）
20. 如圖，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD，求證：△ABC∽△DEC．
【答案】見解析
【解析】
【分析】根據(jù)∠BCE=∠ACD，得到∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，得到∠ACB=∠DCE，結(jié)合∠A=∠D，推出△ABC∽△DEC．
【詳解】∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEC．
【點睛】本題主要考查了判定兩三角形相似，熟練掌握兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，是解決本題的關(guān)鍵．
21. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）當(dāng)是方程的一個根時，求的值；
（2）方程有兩個不相等的實數(shù)根時，求的取值范圍．
【答案】（1）的值為
（2）且
【解析】
【分析】（1）把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可；
（2）根據(jù)根判別式的意義得到，然后解不等式即可．
【小問1詳解】
解：把代入一元二次方程得，
解得，
即的值為；
【小問2詳解】
根據(jù)題意得且，
解得且，
即的取值范圍為且．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
五、（本題10分）
22. 如圖，已知．
①以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點，交于點；
②分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點；
③作射線交BC于點D；
④分別以點A，D為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于G，H兩點；
⑤作直線，分別交，于點，．依據(jù)以上作圖，若，，．
（1）求的長；
（2） ．
【答案】（1）CD＝
（2）
【解析】
【分析】（1）利用作法得平分，垂直平分，所以，，，再證明四邊形為菱形得到，然后利用平行線分線段成比例定理計算的長．
（2）根據(jù)，得，所以，同理：，設(shè)，則，，菱形的面積為，，即可求出答案．
【小問1詳解】
解：由作法得平分，垂直平分，
，，，
，
，
，
，
同理可得，
四邊形為平行四邊形，
而，
四邊形為菱形，
，
，
，
即，
．
【小問2詳解】
解：連接，，如圖，
由（1）知，
，
，
同理：，
設(shè)，則，，
菱形的面積為，
，
．
【點睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)．
六、解答題（共1小題，滿分12分）
23. 如圖，在平面直角坐標系中，直線與y軸交于點A，與x軸交于點B，點C的坐標為，動點D從點B出發(fā)以每秒3個單位長度的速度向點O運動，同時點E從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點A運動，運動時間為t（秒），當(dāng)時，作DF⊥x軸交直線于點F，連接．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）求證：四邊形是矩形；
（3）當(dāng)與相似時，請直接寫出t的值．
【答案】（1），
（2）見解析 （3）t的值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線與坐標軸上點的特點求解即可；
（2）根據(jù)題意分別求出D、E、F點坐標，再由，且即可證明；
（3）先求，，可得，再分兩種情況討論當(dāng)時，，，求得；當(dāng)時，，，此時t無解．
【小問1詳解】
（1）解：令，則，
∴，
令，則，
∴；
【小問2詳解】
證明：∵，，
∴，，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形；
【小問3詳解】
解：∵，，，，，，
∴，，，，
∵，，
∴，
當(dāng)時，，
∴，即，
解得；
當(dāng)時，，
∴，即，
此時t無解；
綜上所述：t的值為．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
24. 國慶節(jié)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A，B兩款保溫杯，進貨價和銷售價如表：（注：利潤＝銷售價﹣進貨價）
（1）網(wǎng)店第一次用1540元購進A，B兩款保溫杯共50個，求兩款保溫杯分別購進的個數(shù)；
（2）第一次購進的保溫杯售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A，B兩款保溫杯共110個（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于3360元，則全部售完購進的保溫杯，該網(wǎng)店可獲得的最大利潤是 元；
（3）國慶節(jié)過后，網(wǎng)店打算把B款保溫杯降價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4個，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2個，那么將銷售價定為每件多少元時，才能使B款保溫杯平均每天銷售利潤為96元？
【答案】（1）購進A款保溫杯20個，B款保溫杯30個
（2）1440 （3）將銷售價定為每件34元或36元時，才能使B款保溫杯平均每天銷售利潤為96元
【解析】
【分析】（1）設(shè)購進款保溫杯個，款保溫杯個，由題意：網(wǎng)店第一次用1540元購進，兩款保溫杯共50個，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)購進個款保溫杯，則購進個款保溫杯，由題意：進貨總價不高于3360元，列出一元一次不等式，解得．設(shè)再次購進的、兩款保溫杯全部售出后獲得的總利潤為元，則，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)款保溫杯的售價定為元，則每個的銷售利潤為元，平均每天可售出個，使款保溫杯平均每天銷售利潤為96元，列出一元二次方程，解方程即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)購進款保溫杯個，款保溫杯個，
依題意得：，
解得：，
答：購進款保溫杯20個，款保溫杯30個．
【小問2詳解】
解：設(shè)購進個款保溫杯，則購進個款保溫杯，
依題意得：，
解得：．
設(shè)再次購進的、兩款保溫杯全部售出后獲得的總利潤為元，則．
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時，取得最大值，最大值，此時．
即網(wǎng)店可獲得的最大利潤是1440元．
【小問3詳解】
解：設(shè)款保溫杯的售價定為元，則每個的銷售利潤為元，平均每天可售出個，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
答：將銷售價定為每件34元或36元時，才能使款保溫杯平均每天銷售利潤為96元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
25. 如圖，在矩形中，，，點和點分別從點和點同時出發(fā)，點沿折線按點方向向終點運動，點沿線段按方向向終點運動，點和點的運動速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為（秒）．
（1）當(dāng)點F運動到的中點時，求的長；
（2）當(dāng)?shù)拿娣e是矩形面積的時，請直接寫出t的值；
（3）若點不與點和點重合，在點和點的運動過程中，矩形的邊上有一點，且點，，，構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出線段的長．
【答案】（1）0.5 （2）t的值為或
（3）線段GE的長為或
【解析】
【分析】（1）由題意求得的長，則兩點的運動時間可求，再利用點和點的運動速度都是每秒1個單位長度求出，則；
（2）利用分類討論的方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)點在上時，過點作于點，②當(dāng)點在上時，過點作于點，利用平行線分線段成比例定理分別求得對應(yīng)三角形的高，利用的面積是矩形面積的列出方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）利用分類討論的思想方法，分四種情況討論解答：①當(dāng)點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，②當(dāng)點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，③當(dāng)點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，④當(dāng)點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，分別利用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理求得相應(yīng)值，在求出線段，的長，利用勾股定理求得的長．
【小問1詳解】
解：矩形中，，，
．
點是的中點，
．
的運動速度是每秒1個單位長度，
當(dāng)點運動到的中點時秒，
點的運動速度是每秒1個單位長度，
，
；
【小問2詳解】
①當(dāng)點在上時，
過點作于點，如圖，
由題意得：，則，，
，，
，
，
，
，
的面積
，
，
，
．
②當(dāng)點在上時，
過點作于點，如圖，
由題意得：，則，，
，
，，
，
，
，
．
的面積，
，
解得：或（不合題意，舍去），
．
綜上，當(dāng)?shù)拿娣e是矩形面積的時，的值為或；
【小問3詳解】
①當(dāng)點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，如圖，
此時，，，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
．
，
，
，
．
．
．
；
②當(dāng)點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，如圖，
此時，，，
，，
四邊形為平行四邊形，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
此時，點與點重合，不合題意，舍去；
③當(dāng)點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，如圖，
此時，，，
，，，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
；
④當(dāng)點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，如圖，
此時，，，
，，，
四邊形為平行四邊形，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
（不合題意，舍去），
綜上，點，，，構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，線段的長為或．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，三角形的面積，利用分類討論的思想方法解得是解題的關(guān)鍵．類別
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