一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知y是x的反比例函數(shù)，下表給出了x與y的一些值，則表中“▲”處的數(shù)為（ ）
A. B. C. 1.5D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的點(diǎn)的特征，先待定系數(shù)法求出值，再把代入計(jì)算，即可作答．
【詳解】解：∵y是x的反比例函數(shù)
∴設(shè)
則代入
得
故
把代入，
得
故選：A
2. 如圖，一個(gè)幾何體水平放置，它的俯視圖是（ ）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查幾何體的三視圖，根據(jù)幾何體的俯視圖是從物體的上面看到的視圖進(jìn)行判斷即可，熟練掌握幾何體的三視圖的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：從上面看，看到的是一個(gè)正方形，內(nèi)部有兩條虛線，
即，
故選：．
3. 大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)，并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”．如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：依題意，，根據(jù)物距為，像距為，得，即可作答．
【詳解】解：如圖：
依題意，
∵物距為，像距為
∴
∵蠟燭火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故選：A
4. 將方程配方成的形式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了配方法的基本步驟，熟練掌握配方的基本步驟是解題的關(guān)鍵．
【詳解】，
∴變形為，
即，
故選C．
5. 如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)于點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 1B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形兩個(gè)銳角互余、勾股定理：先由對(duì)角線相等，結(jié)合等邊對(duì)等角，得 ，結(jié)合直角三角形兩個(gè)銳角互余，得，故，根據(jù)勾股定理列式，計(jì)算即可作答．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴
∵，
∴
∴
即
解得
故選：B
6. 為了調(diào)動(dòng)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，班內(nèi)組織開展了數(shù)學(xué)素養(yǎng)大賽，老師將三道題的題號(hào)1，2，3，分別寫在完全相同的3張卡片的正面，將卡片背面朝上洗勻．小李先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的數(shù)字后不放回，再?gòu)氖Ｓ嗟目ㄆ须S機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的數(shù)字，則兩張卡片上的數(shù)字是“1”和“3”的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查用列表法或樹狀圖法求概率，通過列表或畫樹狀圖列出所有等可能的情況，再?gòu)闹姓页龇蠗l件的情況，利用概率公式計(jì)算即可．注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有6種等可能的情況，其中兩張卡片上的數(shù)字是“1”和“3”的情況有2種，
，
即兩張卡片上的數(shù)字是“1”和“3”的概率為，
故選B．
7. 關(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 點(diǎn)在它的圖象上B. 它的圖象在第二、四象限
C. 當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．對(duì)于反比例函數(shù)，可得，時(shí)，，圖象在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：對(duì)于反比例函數(shù)，
A、當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在它的圖象上，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、，則它的圖象在第二、四象限，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；
故選：D．
8. 2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國(guó)家曾發(fā)行過紫禁城元素郵品．圖1所示的為摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖2），我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是）
圖1 圖2
A. 四邊形與四邊形的相似比為
B. 四邊形與四邊形的相似比為
C. 四邊形與四邊形的周長(zhǎng)比為
D. 四邊形與四邊形的面積比為
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了位似變換，如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．兩個(gè)位似圖形必須是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或共線，先利用位似的性質(zhì)得到然后根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，
∴,
∴，
∴四邊形與四邊形的相似比為，周長(zhǎng)的比為，面積比為．
故選∶B．
9. 拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移過程正確的是（ ）
A. 先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
B. 先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
C. 先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
D. 先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了拋物線的平移，熟練掌握左加右減，上加下減的平移原則是解題的關(guān)鍵.
【詳解】根據(jù)題意，得. 向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到，
故選C.
10. 如果一個(gè)等腰三角形的頂角為，那么可求其底邊與腰之比等于，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，在中，，，看作第一個(gè)黃金三角形；作的平分線，交于點(diǎn)D，看作第二個(gè)黃金三角形；作的平分線，交于點(diǎn)E，看作第三個(gè)黃金三角形……以此類推，第2024個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了黃金三角形，規(guī)律型等知識(shí)；
由黃金三角形的定義得，同理求出，，可得第1個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)為，第2個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是，第3個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是，第4個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是，得出規(guī)律第n個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是，即可得出答案．
【詳解】解：∵是第1個(gè)黃金三角形，第1個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)為，
∴，
，
∵是第2個(gè)黃金三角形，
∴，第2個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是，
，
∵是第3個(gè)黃金三角形，
∴，第3個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是，
，
∴第4個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是，
…
第n個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是，
第2024個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是，
故選：A．
第二部分 非選擇題（共90分）
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 已知，若，則______．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查等比性質(zhì)的應(yīng)用，若，，則，由此可解．
【詳解】解：，
，，
，
故答案為：5．
12. 2023年9月29日開通沈陽(yáng)地鐵四號(hào)線，如圖是某站地鐵扶梯的示意圖，扶梯的坡度（i為鉛直高度與水平寬度的比）．小明乘扶梯從扶梯底端A以米/秒的速度用時(shí)39秒到達(dá)扶梯頂端B，則小明上升的鉛直高度為______米．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查坡度和勾股定理，由可得，設(shè)，，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)長(zhǎng)度求出k值，即可求解．
【詳解】解：由題意知（米），
扶梯的坡度，
，
設(shè)，，
則，
，
（米），
故答案為：．
13. 如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，，，則的長(zhǎng)為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，由四邊形是菱形，則有，，再根據(jù)等邊三角形和中位線性質(zhì)定理即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，為的中點(diǎn)，
∴是等邊三角形，，
∴，
故答案為：．
14. 如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，，垂足為點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則的面積為______．
【答案】2.5
【解析】
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形、反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)則，，從而得出，，最后根據(jù)三角形面積計(jì)算即可，用字母表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
設(shè)，
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，，垂足為點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
，，
，，
，
故答案為：．
15. 如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線過點(diǎn)A，點(diǎn)B，且與x軸的正半軸交于點(diǎn)．有以下結(jié)論：①拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；②拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；③動(dòng)點(diǎn)D在線段上（點(diǎn)D與點(diǎn)O，點(diǎn)A不重合），動(dòng)點(diǎn)E在線段上，且，以DE為邊作正方形，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在拋物線上，點(diǎn)G恰好落在y軸上時(shí)，則；④點(diǎn)H是第三象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為．其中正確的結(jié)論有______（只填寫序號(hào)）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷①②，構(gòu)造正方形，利用三角形全等，構(gòu)造二次函數(shù)求面積的最值解答即可．
【詳解】解：直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)拋物線表達(dá)式為，
把，，代入：
，
解得：，
，
故①正確；
，
拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
故②正確；
如圖，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)P，交于點(diǎn)N，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
同理可證，，，
∴，
∴四邊形是菱形，
∵，
∴四邊形是正方形，
設(shè)，
∴，
∵點(diǎn)F在第三象限，
∴，
∵點(diǎn)F在上，
∴，
整理得，
解得，
故，
∴，或（舍去），
∴，
故③錯(cuò)誤；
過點(diǎn)作軸的平行線，交于，設(shè)，則，則，
∴
，由此可得，
當(dāng)，最大為1，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
故④正確；
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)，正方形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，最值是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過程）
16. （1）計(jì)算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、因式分解法解一元二次方程，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
（1）先代入特殊角的三角函數(shù)值，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：（1）
；
（2），
，
或，
，．
17. 某書店在2023年國(guó)慶節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，某課外閱讀書標(biāo)價(jià)為每本20元．該書店舉行了國(guó)慶大回饋活動(dòng)，課外閱讀書連續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)的百分率相同，最后以每本元的價(jià)格售出，求課外閱讀書每次降價(jià)的百分率．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)課外閱讀書每次降價(jià)的百分率為x，利用經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格=原價(jià)每次降價(jià)的百分率，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；
【詳解】解：設(shè)課外閱讀書每次降價(jià)的百分率為x，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：課外閱讀書每次降價(jià)的百分率為．
18. 如圖，在中，小明同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖：
①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交邊于點(diǎn)M，交邊于點(diǎn)N；
②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)P；
③作射線交邊于點(diǎn)E；
④分別以點(diǎn)A，E為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑在兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)G，H；
⑤作直線，分別交，于點(diǎn)D，F(xiàn)；
⑥連接，．
求證：四邊形為菱形．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】先證明，，，再證明，可得，則有，從而可得結(jié)論．
【詳解】證明：記，的交點(diǎn)為，
由作圖可得：是的垂直平分線，
∴，，，
∴，
由作圖可得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的定義和垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定．
19. 在北京舉行的第屆冬奧會(huì)開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷亮相，從“雨水”開始，一路倒數(shù)，最終行至“立春”，將中國(guó)人獨(dú)有的浪漫傳達(dá)給了全世界．老師為了讓學(xué)生深入了解二十四節(jié)氣，將每個(gè)節(jié)氣的名稱寫在完全相同且不透明的小卡片上，洗勻后將卡片倒扣在桌面上，邀請(qǐng)同學(xué)上講臺(tái)隨機(jī)抽取一張卡片，并向大家介紹卡片上對(duì)應(yīng)節(jié)氣的含義．
（1）下列四種說(shuō)法，正確說(shuō)法的序號(hào)是______．
若隨機(jī)抽取一張卡片，則上面寫有“立冬”的概率為；
隨機(jī)抽取一張卡片，則上面寫有“立冬”是必然事件；
隨機(jī)抽取一張卡片，則上面寫有“立冬”是隨機(jī)事件；
隨機(jī)抽取一張卡片，則上面寫有“立冬”是不可能事件．
（2）老師選出寫有“立春、立夏、立秋”（分別用，，依次表示這三種節(jié)氣）的三張卡片洗勻后倒扣在桌面上，請(qǐng)小明同學(xué)從中抽取一張卡片記下節(jié)氣名稱，然后放回洗勻再隨機(jī)抽取一張卡片記下節(jié)氣名稱．請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次抽到的卡片上寫有相同節(jié)氣名稱的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）直接利用概率公式計(jì)算和必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念進(jìn)行判斷即可；
（）畫出樹狀圖表示出所有等可能的結(jié)果，再找出符合題意的結(jié)果，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
本題考查簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，畫樹狀圖或列表法求概率．掌握概率公式和正確地列出表格或畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．
【小問1詳解】
∵共有24張卡片，且抽取每張卡片的可能性相同，
∴若隨機(jī)抽取一張卡片，則上面寫有“立夏”的概率為，故正確；
隨機(jī)抽取一張卡片，則上面寫有“立冬”是隨機(jī)事件，故說(shuō)法正確，錯(cuò)誤，
故選：；
【小問2詳解】
由“立春、立夏、立秋”的三張卡片分別記為、、，
畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知：共有種等可能的結(jié)果，其中兩次抽到的卡片上寫有相同節(jié)氣名稱的結(jié)果有種，
∴兩次抽到的卡片上寫有相同節(jié)氣名稱的概率為．
20. 【問題引入】
（1）如圖1，若，點(diǎn)E為平分線上一點(diǎn)，，的兩邊分別與射線交于C，D兩點(diǎn)，若，求的度數(shù)．

【嘗試探究】
（2）如圖2，點(diǎn)F是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線分別交x軸和y軸于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)G為平分線上一點(diǎn)，若，當(dāng)點(diǎn)G在第一象限時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)：
（1）根據(jù)推出，結(jié)合，可證，推出，通過等量代換即可求解；
（2）連接，，作軸于點(diǎn)P，先證，推出，設(shè)，則，，再用含a的式子表示出，，代入求出，結(jié)合點(diǎn)G為平分線上一點(diǎn)，即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
詳解】解：（1），平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如圖，連接，，作軸于點(diǎn)P，

，
，
，，
，
，
設(shè)，則，，
此時(shí)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)F是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)G為平分線上一點(diǎn)，
的解析式為，
，
，
，
，（舍），
點(diǎn)G在直線上，
，
點(diǎn)G坐標(biāo)為．
21. 根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
【答案】（）米；（）米．
【解析】
【分析】（）過作于點(diǎn)，證明四邊形是矩形，則有米，點(diǎn)太陽(yáng)高度角為，則米；
（）過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，證明，則，從而，則有米；
此題考查了真實(shí)情景下的三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（）過作于點(diǎn)，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴米，
∵小明打算在這天點(diǎn)露營(yíng)休息，
∴太陽(yáng)高度角為，
∴，
則（米）；
（）過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，
∵米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
∴，
∴，
同（）理得四邊形是矩形，
∴，米，
∴，
∴米．
22. 某商店銷售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量y是銷售單價(jià)x的函數(shù)，其銷售單價(jià)x，周銷售量y，周銷售利潤(rùn)w的三組對(duì)應(yīng)值如下表：
（1）請(qǐng)你用所學(xué)過的函數(shù)知識(shí)確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①請(qǐng)求出該商品的進(jìn)價(jià)；
②若該公司想每周獲利2000元，并盡可能讓利給顧客，請(qǐng)求出此時(shí)該商品銷售單價(jià)；
（3）為了幫助貧困山區(qū)的小朋友，公司決定每賣出一件商品向希望小學(xué)捐款10元，要使該公司在捐款后該商品每周獲利最大，請(qǐng)求出周利潤(rùn)最大時(shí)，該商品的銷售單價(jià)及此時(shí)每周的最大利潤(rùn)．（注：物價(jià)部門最新規(guī)定該商品每件的售價(jià)不得超過65元）
【答案】（1）
（2）①30元；②50元
（3）65元，1750元
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：
（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①設(shè)該商品進(jìn)價(jià)為a元，從表格中選擇1列數(shù)據(jù)列一元一次方程，即可求解；②設(shè)此時(shí)該商品銷售單價(jià)為m元，則周銷量為件，根據(jù)售價(jià)、進(jìn)價(jià)、銷量、利潤(rùn)之間的關(guān)系列一元二次方程，解方程即可；
（3）列出w關(guān)于x的二次函數(shù)解析式，變形為頂點(diǎn)式，結(jié)合x的取值范圍求出w的最值即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，
將和代入，得，
解得，
y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
解：①由表格知，時(shí)，，，
設(shè)該商品進(jìn)價(jià)為a元，
則，
解得，
即該商品進(jìn)價(jià)為30元；
②設(shè)此時(shí)該商品銷售單價(jià)為m元，
則，
整理得，
解得，，
每件的售價(jià)不得超過65元，
此時(shí)該商品銷售單價(jià)為50元；
【小問3詳解】
解：由題意知，，
，
w關(guān)于x的函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大，
又每件的售價(jià)不得超過65元，
當(dāng)時(shí)，w取最大值，
，
即周利潤(rùn)最大時(shí)，該商品的銷售單價(jià)為65元，每周的最大利潤(rùn)為1750元．
23. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給出如下問題：在中，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)F．
【問題初探】
（1）如圖1，連接、，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求的值．

【問題再探】
王老師為了幫助學(xué)生更好地感悟四邊形之間關(guān)系，將圖1進(jìn)行變換并提出了下面問題，請(qǐng)你解答．
（2）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，連接、，求證：四邊形是矩形．

【解決問題】
（3）如圖3，當(dāng)，，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，時(shí)，若點(diǎn)F落在直線上，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到，再根據(jù)，即可得到答案；
（2）連接，于直線的交點(diǎn)為，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，，由平行的性質(zhì)，易證，，得到，，進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，即可證明結(jié)論；
（3）由特殊角的三角函數(shù)值，求得，，然后分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由平行的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)，易證是的等邊三角形，得到，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)，得出，然后根據(jù)列式，求出的長(zhǎng)，即可得到的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由平行的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)，易證，得到，再分別表示出，，求出的長(zhǎng)，即可得到的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解： 四邊形是正方形，
，，
，
；
（2）證明：如圖，連接，于直線的交點(diǎn)為，
點(diǎn)F是點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
，即，
，
，
，
，，
，，
，，即、互相平分，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形ABCF是矩形；
（3）解：，，，
，，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
點(diǎn)F是點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
，，
是的等邊三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，
，，
，
，
點(diǎn)F是點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
綜上可知，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用分類討論的思想，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)求邊長(zhǎng)．x
2.5
y
1
▲
探究遮陽(yáng)傘下的影子長(zhǎng)度
素材1
圖是某款自動(dòng)旋轉(zhuǎn)遮陽(yáng)傘，傘面完全張開時(shí)張角呈，圖是其側(cè)面示意圖．已知支架長(zhǎng)為米，且垂直于地面，懸托架米，點(diǎn)E固定在傘面上，且傘面直徑米．當(dāng)傘面完全張開時(shí)，點(diǎn)，，始終共線．為實(shí)現(xiàn)遮陽(yáng)效果最佳，傘面裝有接收器可以根據(jù)太陽(yáng)光線的角度變化．自動(dòng)調(diào)整手柄沿著移動(dòng)，以保證太陽(yáng)光線與始終垂直．
素材2
某地區(qū)某天下午不同時(shí)間的太陽(yáng)高度角（太陽(yáng)光線與地面的夾角）參照表：
時(shí)刻
14點(diǎn)
15點(diǎn)
16點(diǎn)
太陽(yáng)高度角（度）
60
45
30
參考數(shù)據(jù)：，.
解決問題
（1）
確定影子長(zhǎng)度
小明打算在這天16點(diǎn)露營(yíng)休息，請(qǐng)幫小明求出此時(shí)影子GH的長(zhǎng)度．
（2）
探究影子長(zhǎng)度
若某一時(shí)刻測(cè)得BD＝1.9米，請(qǐng)求出此時(shí)影子GH的長(zhǎng)度．
銷售單價(jià)x（元）
60
65
70
75
周銷售量y（件）
80
70
60
50
周銷售利潤(rùn)w（元）
2400
2450
2400
2250

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