1. 如圖，在一間黑屋子的地面A處有一盞探照燈，當(dāng)人從燈向墻運(yùn)動時，他在墻上的影子的大小變化情況是（ ）
A. 變大B. 變小C. 不變D. 不能確定
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用探照燈的位置得出人在墻上的影子，進(jìn)而得出答案．
【詳解】如圖所示：
當(dāng)人從燈向墻運(yùn)動時，他在墻上影子的大小變化情況是變?。?br>故選： B .
【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心投影，正確得出人的影子在墻上的變化是解題關(guān)鍵．
2. 如圖，正方形網(wǎng)格圖中的與是位似關(guān)系圖，則位似中心是（ ）
A. 點(diǎn)B. 點(diǎn)C. 點(diǎn)D. 點(diǎn)
【答案】A
【解析】
【分析】連接交于點(diǎn)，即可．
【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，
∴位似中心是點(diǎn)．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3. 一個不透明的口袋中裝有個白球，為了估計白球的個數(shù)，向口袋中加入個紅球，它們除顏色外其它完全相同．通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即為概率值可知摸到紅球的概率為，由此根據(jù)概率計算公式建立方程求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即為概率值是解題的關(guān)鍵．
4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可做出判斷．
【詳解】解：，
移項(xiàng)得：，
配方得：，
整理得：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的配方法，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
5. 2023年連花清瘟膠囊粒經(jīng)過兩次降價，從每盒元下調(diào)至元，設(shè)平均每次降價百分率為，則下面所列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．
根據(jù)藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由43元降為元，可以列出方程，本題得以解決．
【詳解】解：由題意可得，
，
故選：B．
6. 等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關(guān)于的方程的兩個根，則三角形的周長為（ ）
A. 7或8B. 8C. 15D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了根的判別式：當(dāng)?shù)走厼?，利用根的判別式的意義得到，解得；當(dāng)腰為3時，把代入關(guān)于的方程得，解得．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：當(dāng)?shù)走厼?，兩腰為關(guān)于的方程的兩個根，
，
解得，
此時方程為，解得，
三邊分別為：2，2，3，
此時周長為：
當(dāng)腰為3時，把代入關(guān)于的方程得，
解得，
此時方程為，解得，，
三角形三邊分別3、3、1，
此時周長為：
故選：．
7. 如圖，把矩形對折，折痕為，如果矩形和矩形相似，則它們的相似比為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題主要考查了相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等，設(shè)矩形的長，寬，根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，即可求得．
【詳解】解：設(shè)矩形的長，寬，
則，
矩形與矩形相似，
，即，
即．
．
故選：A．
8. 如圖，島P位于島Q的正西方，P、Q兩島間的距離為海里，由島P、Q分別測得船R位于南偏東和南偏西方向上，則船R到島P的距離為（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 80海里
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查方向角、含的直角三角形和等腰直角三角形性質(zhì)，本題通過作于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解得此題．
【詳解】解：作于點(diǎn)，如圖所示．
，
，
，
，
，
，
．
設(shè)，則，，，
，
，
，解得，則．
故選：D．
9. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動，一直到達(dá)點(diǎn)為止;同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊以的速度向點(diǎn)移動． 設(shè)運(yùn)動時間為，當(dāng)時，（ ）

A. B. 或4 C. 或D.
【答案】C
【解析】
【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的運(yùn)用．利用作垂線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．
作，垂足為H，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，用t表示線段長，用勾股定理列方程求解．
【詳解】解：設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時，點(diǎn)P，Q間的距離是,
作，垂足為H，

則，，.
，
可得：，
解得，．
答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過或秒時，點(diǎn)P，Q間的距離是.
故答案為：C.
10. 如圖，菱形中，，邊，E為邊的中點(diǎn)，P為邊上的一點(diǎn)，連接，當(dāng)時，線段的長為（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
如圖，連接，證明是等邊三角形，則，，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵E為邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
二．填空題(每題3分，共15分)
11. 圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，與相交于點(diǎn)O，，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為_____．

【答案】##
【解析】
【分析】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，由，可得出，進(jìn)而得出，解出即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案為：．
12. 如圖，已知是一塊含有角的直角三角板（），點(diǎn)A是函數(shù)的圖象上點(diǎn)，點(diǎn)B是函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則k的值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)k值的幾何意義，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義得出，通過證明，得出，進(jìn)而得出，則，最后根據(jù)函數(shù)的圖象位于第四象限，即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，
∵點(diǎn)A是函數(shù)的圖象上點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
根據(jù)勾股定理可得：，
∵軸，軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，則，
∵函數(shù)的圖象位于第四象限，
∴，
故答案為：．
13. 構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要方法，在計算時，如圖，在中，，，延長，使，連接，使得，所以，類比這種方法，計算______．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，在中，，，作角平分線，作，設(shè)，則，，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，在中，，，作的角平分線，作，
∴，，
∵，
設(shè)，
∴，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，正弦，正切等知識．熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理，正弦，正切是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，已知中，點(diǎn)E在斜邊上，F(xiàn)是邊上一動點(diǎn)，沿所在直線折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，，交于點(diǎn)N，M．當(dāng)與相似時．的長是______．
【答案】3或
【解析】
【分析】當(dāng)與相似時．分①當(dāng)，；②當(dāng)，兩點(diǎn)重合；兩種情況求解即可．
【詳解】解：由勾股定理得，，
由折疊可知，，當(dāng)與相似時．分，兩種情況求解：
①當(dāng)時，即，，
∴，
∴；
②當(dāng)時，即，兩點(diǎn)重合，在的延長線上，
∴，即，
∴，即，
解得，；
綜上所述，的值為3或，
故答案為：3或．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等角對等邊，平行線分線段成比例等知識．熟練掌握折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等角對等邊，平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形是矩形，頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在邊上運(yùn)動，使為等腰三角形，則滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線，勾股定理．分情況討論是解題的關(guān)鍵．
由題意知，分為底，為腰兩種情況求解：設(shè)，則，分①當(dāng)為底，則在的垂直平分線與的交點(diǎn)；②當(dāng)為腰，且時，；當(dāng)為腰，且時，；分別計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】解：由題意知，分為底，為腰兩種情況求解：
設(shè)，則，
①當(dāng)為底，則在的垂直平分線與的交點(diǎn)，
∴；
②當(dāng)為腰，且時，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
當(dāng)為腰，且時，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或或，
故答案為：或或．
三．解答題
16. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>（1）．
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本題考查了公式法、直接開平方法解一元二次方程．熟練掌握公式法、直接開平方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用直接開平方法解一元二次方程即可．
【小問1詳解】
解：，
，
∴，
解得，，；
【小問2詳解】
解：，
∴或，
解得，， ．
17. 共享概念已經(jīng)進(jìn)入人們的生活，某同學(xué)收集了自己感興趣的4個共享領(lǐng)域的圖標(biāo)，共享出行、共享服務(wù)、共享物品、共享知識，制成編號為，，，四張卡片（除字母和內(nèi)容外，其余完全相同）．現(xiàn)將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．從中隨機(jī)抽取兩張卡片，請你用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的概率．

【答案】
【解析】
【分析】畫樹狀圖列出所有結(jié)果數(shù)以及抽到兩張卡片“共享出行”和“共享知識”的結(jié)果數(shù)，然后再利用概率=發(fā)生事件的總數(shù)總事件總數(shù)即可求出答案．
【詳解】解：由題意得，畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12中可能，其中抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”，即和的結(jié)果只有2種．
抽的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的概率是．
【點(diǎn)睛】本題考查了樹狀圖法，熟練掌握樹狀圖法以及概率公式是解題的關(guān)鍵．
18. 圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)A，支架交于點(diǎn)G，支架平行地面，籃筐與支架在同一直線上，米，米．．
（1）求：支架點(diǎn)D到立柱的距離；
（2）某運(yùn)動員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】18.
19. 能，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵
（1）：如圖，延長，交點(diǎn)為，則，根據(jù)，計算求解即可；
（2）由題意知，，，比較與3的大小，然后作答即可．
【小問1詳解】
解：如圖，延長，交點(diǎn)為，

∴，
∵，，
∴，
∴；
∴支架點(diǎn)D到立柱的距離為米；
【小問2詳解】
解：不能，理由如下：
由題意知，（米），
∴（米），
∵，
∴能．
19. 如圖，在中，是邊上一點(diǎn)．

（1）當(dāng)時，
①求證：；
②若，，求的長；
（2）已知，若，求的長．
【答案】（1）①見解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)相似三角形判定方法對應(yīng)角相等證明即可；②利用相似三角形對應(yīng)邊呈比例求解即可；
（2）據(jù)相似三角形判定方法對應(yīng)邊呈比例證明，由，，即可求解．
【小問1詳解】
①證明：∵，，
∴；
②解：∵，
∴，即，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，
∴.
∵，
∴，
∴.，
，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，在四邊形中，，，的平分線交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接、，且．求證：
（1）四邊形是菱形；
（2）．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，則，，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，然后由，證明四邊形是菱形．
（2）由平行的性質(zhì)可得，證明，則，整理可證結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：∵，是的中點(diǎn)．
∴，
∴．
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
【小問2詳解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊對等角，平行線的判定與性質(zhì)，角平分線，菱形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定．相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21. 某楊梅采摘園收費(fèi)信息如下表：
（1）某公司員工（均為成人）在該楊梅采摘園組織團(tuán)建活動，共支付票價元，求這次參加團(tuán)建的共多少人？
（2）某社團(tuán)共人去該采摘園進(jìn)行綜合實(shí)踐活動，購買了張兒童票，其余均為成人票，總費(fèi)用不超過元，求本次活動他們最多共帶出楊梅多少斤？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列等式、不等式．
（1）設(shè)這次參加團(tuán)建的共人，由題意求得，依題意得，，計算求出滿足要求的解即可；
（2）由題意求得，當(dāng)成人人數(shù)大于或等于人時，成人票都是元/人， 由（人），，可得該社團(tuán)購買的成人票為元/人，設(shè)本次活動他們最多共帶出楊梅斤，依題意得，，計算求解，然后作答即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)這次參加團(tuán)建的共人，
由題意知，（元），（元），
∵，
∴，
依題意得，，整理得，，
，
∴或，
解得，或（舍去）
∴這次參加團(tuán)建的共人；
【小問2詳解】
解：∵（人），（人），
∴當(dāng)成人人數(shù)大于或等于人時，成人票都是元/人，
∵（人），，
∴該社團(tuán)購買的成人票為元/人，
設(shè)本次活動他們最多共帶出楊梅斤，
依題意得，，
解得，，
∴本次活動他們最多共帶出楊梅斤．
22. 九年級某數(shù)學(xué)興趣小組研究了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其探究過程如下：
（1）繪制函數(shù)圖象，如圖1．
列表：如表是x與y的幾組對應(yīng)值，其中______；
描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對應(yīng)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)；
連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出了部分圖象．請你把圖象補(bǔ)充完整；
（2）通過觀察圖1，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：
①______；
②______；
（3）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖2，若直線（直線是過點(diǎn)且平行于x軸的一條直線）交函數(shù)的圖象于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則______；
（4）知識遷移：當(dāng)時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C、D，直接寫出______．
【答案】（1）1，圖見解析
（2）①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；②當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減?。?
（3）2 （4）
【解析】
【分析】本題考查反比例的圖象和性質(zhì)．
（1）把代入得，，即可得到m的值，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)補(bǔ)全函數(shù)圖象即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，從對稱性、增減性等方面寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；
（3）當(dāng)時，即，解得，得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，則，即可得到答案；
（4）聯(lián)立求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，求得直線與交于點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)求解即可．
【小問1詳解】
解：把代入得，，
∴，
補(bǔ)全圖象如圖所示：

故答案為：1；
【小問2詳解】
解：由圖象可知：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；
②當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?br>故答案為：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；②當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減??；（答案不唯一）
【小問3詳解】
解：當(dāng)時，即，解得，
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，則，
則；
故答案為：1；
【小問4詳解】
解：當(dāng)時，聯(lián)立得，
整理得，
解得或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
如圖，設(shè)直線與交于點(diǎn)E，
則、，，
∴，
故答案為：．
23. 閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，并解決問題：
如圖①，在等邊中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），N是的外角的平分線上一點(diǎn)，且．求證：．
（1）點(diǎn)撥：如圖②，作，與的延長線相交于點(diǎn)E，得等邊，連接EM．易證：，請完成剩余證明過程：
（2）拓展：如圖③，在正方形中，是邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)，），是正方形的外角的平分線上一點(diǎn)，且，求證：．
（3）思維遷移：結(jié)合上面的思維探究，你對（1）中證明、（2）中證明是否有不同的思路，選（1）、（2）中的一個結(jié)論加以證明．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）選（1），證明見解析
【解析】
【分析】（1）由，可得，，則，，根據(jù)，計算求解即可證明結(jié)論；
（2）如圖③，延長到，使，連接、， 則是等腰直角三角形，由，可證三點(diǎn)共線，證明，則，，，，根據(jù)，計算求解即可證明結(jié)論；
（3）選（1），由等邊三角形的性質(zhì)，外角平分線，可得，，如圖①，延長到，使，連接，證明，則，，，，根據(jù)，計算求解即可證明結(jié)論．
小問1詳解】
證明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
證明：如圖③，延長到，使，連接、，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是正方形的外角的平分線上一點(diǎn)，
∴，
∴三點(diǎn)共線，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：選（1），證明如下：
由等邊三角形的性質(zhì)，外角平分線，可得，，
如圖①，延長到，使，連接，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角是解題的關(guān)鍵．成人票
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