1.(2024·河北邯鄲模擬)如圖1,四邊形ABCD是等腰梯形,E,F分別是AD,BC的中點,AD=2BC=2EF=4.將四邊形ABFE沿著EF折起到四邊形A1B1FE處,連接A1C,A1D,B1C,使得A1C=3,如圖2,G在A1E上,且 .(1)證明:A1C∥平面DFG;(2)求平面DFG與平面A1CD夾角的余弦值.
圖1　　　　　　 圖2
(1)證明 連接CE,交DF于點H,連接GH.易證△CHF∽△EHD,
因為GH?平面DFG,A1C?平面DFG,所以A1C∥平面DFG.
(2)解 由題圖1可知A1E⊥EF,DE⊥EF.因為AD=2BC=2EF=4,E,F分別是AD,BC的中點,所以CF=1,EF=A1E=2,則CE= 因為A1C=3,所以CE2+A1E2=A1C2,所以A1E⊥CE.因為EF,CE?平面CDEF,且EF∩CE=E,所以A1E⊥平面CDEF,所以A1E⊥ED,
又ED⊥EF,故以E為坐標(biāo)原點,分別以直線EF,ED,EA1為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
2.(2024·山東煙臺模擬)如圖,圓柱的軸截面ABCD是邊長為6的正方形,下底面圓的一條弦EF交CD于點G,其中DG=2,DE=DF.(1)證明:平面AEF⊥平面ABCD.(2)判斷上底面圓周上是否存在點P,使得二面角P-EF-A的余弦值為 ?若存在,求AP的長;若不存在,請說明理由.
(1)證明 由題意可知在下底面圓中,CD為直徑.因為DE=DF,所以G為弦EF的中點,且EF⊥CD.因為EF⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.因為EF?平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABCD.
(2)解 設(shè)平面PEF交圓柱上底面于PQ,因為圓柱的上、下底面平行,所以平面PEF與上、下底面的交線平行,即EF∥PQ.設(shè)PQ交AB于點H.則二面角P-EF-A的大小就是二面角H-EF-A的大小.
分別以下底面垂直于DC的直線,直線DC,直線DA為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
3.(2024·山東青島模擬)如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為CD的中點,現(xiàn)將△ADE,△BCE分別沿AE,BE向上翻折,使點D,C分別到達點M,N的位置,且平面AME,平面BNE均與平面ABE垂直(如圖2).(1)證明:M,N,A,B四點共面;(2)求直線AE與平面ABNM所成角的正弦值.
(1)證明 分別取AE,BE的中點F,G,連接MF,NG,FG.因為MA=ME,所以MF⊥AE.因為平面AME⊥平面ABE,平面AME∩平面ABE=AE,MF?平面AME,所以MF⊥平面ABE.同理可得NG⊥平面ABE,所以MF∥NG.在Rt△MAE中,MA=ME=2,
所以四邊形MFGN是平行四邊形,所以MN∥FG.因為F,G分別是AE,BE的中點,所以FG∥AB,所以MN∥AB,所以M,N,A,B四點共面.
(2)解 在題圖1中,∠AED=∠BEC=45°,所以∠AEB=90°,所以AE⊥EB.取AB的中點H,連接FH,則FH∥BE,所以FA⊥FH.由(1)知直線FA,FH,FM兩兩垂直,以F為坐標(biāo)原點,分別以直線FA,FH,FM為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則F(0,0,0),
4.(2024·福建泉州模擬)如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,AB=BC=2B1C1=2,D是AC的中點,E是棱BC上的動點.(1)試確定點E的位置,使AB1∥平面DEC1;(2)已知AB⊥BC1,CC1⊥平面ABC,設(shè)直線BC1與平面DEC1所成的角為θ,試在(1)的條件下,求cs θ的最小值.
解 (1)連接DC1,DE.因為AB=BC=2B1C1=2,D是AC的中點,所以A1C1∥AD,A1C1=AD,所以四邊形ADC1A1為平行四邊形,故AA1∥DC1.因為AA1?平面DEC1,DC1?平面DEC1,所以AA1∥平面DEC1.又AB1∥平面DEC1,且AB1,AA1?平面ABB1A1,AB1∩AA1=A,所以平面ABB1A1∥平面DEC1,又平面ABB1A1∩平面ABC=AB,平面ABC∩平面DEC1=DE,故DE∥AB,因為D是AC的中點,所以E是BC的中點,故點E在邊BC的中點處,AB1∥平面DEC1.
(2)因為CC1⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以CC1⊥AB,又AB⊥BC1,CC1∩BC1=C1,CC1,BC1?平面BCC1B1,故AB⊥平面BCC1B1,由于BC?平面BCC1B1,所以AB⊥BC.由(1)知E是BC的中點,D是AC的中點,所以ED∥AB,進而DE⊥BC.連接B1E,由B1C1∥EC,B1C1=EC,所以四邊形B1C1CE為平行四邊形,故CC1∥B1E,由于CC1⊥平面ABC,因此B1E⊥平面ABC,所以B1E⊥BC,B1E⊥ED,
又ED⊥BC,所以ED,EC,EB1兩兩垂直,以E為坐標(biāo)原點,以直線EC,ED,EB1分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)B1E=a,則E(0,0,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,0,a),B1(0,0,a),

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