1.(2020·天津,5)若棱長(zhǎng)為 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(　　)A.12πB.24πC.36πD.144π
解析 這個(gè)球是正方體的外接球,其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半,即R= =3,所以這個(gè)球的表面積為S=4πR2=4π×32=36π.
2.(2024·貴州凱里一中模擬)已知某封閉的直三棱柱各棱長(zhǎng)均為2,若三棱柱內(nèi)有一個(gè)球,則該球表面積的最大值為(　　)
解析 如圖所示,不妨設(shè)該四棱錐外接球的球心O在線段SE上,球心O在線段SE的延長(zhǎng)線的情況可同理討論.設(shè)球的半徑為R.三棱錐的底面中心為E,連接SE,BO,BE.因?yàn)樵谡睦忮FS-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面
A.77πB.64πC.108πD.72π
5.(2021·天津,6)兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面,頂點(diǎn)均在球面上,若球的體積為 ,兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為(　　)A.3πB.4πC.9πD.12π
解析 如圖所示,設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D,設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1,即AD=3BD.
6.(2024·廣東深圳模擬)已知正三棱錐的外接球半徑R為1,則該正三棱錐的體積的最大值為(　　)
解析 如圖所示,設(shè)該正三棱錐的高為h,底面外接圓的圓心是點(diǎn)O1,半徑為r,底面面積為S,球心是點(diǎn)O.當(dāng)球心O在線段SO1上時(shí),由球的截面圓的性質(zhì),
同理,當(dāng)球心O在線段SO1的延長(zhǎng)線上時(shí),
解析 如圖,取棱AB的中點(diǎn)D,連接CD,PD.則在正三棱錐P-ABC中, AB⊥CD,AB⊥PD.因?yàn)镻D,CD?平面PCD,且PD∩CD=D,所以AB⊥平面PCD,則AB⊥PC,故A正確;作PH⊥平面ABC,垂足為H,
8.將一個(gè)直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐的內(nèi)切球的表面積為　　 　　.?
解析 依題意,作圓錐的軸截面為等腰直角三角形,截得其內(nèi)切球的大圓是此等腰直角三角形的內(nèi)切圓,圓錐的底面半徑為2,則其母線長(zhǎng)為
9.(2024·陜西漢中模擬)在如圖所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是直角三角形,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,則塹堵ABC-A1B1C1的外接球的體積是　　　 　.?
解析 將該直三棱柱補(bǔ)為一個(gè)長(zhǎng)方體,如圖,則該直三棱柱的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,設(shè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)
10.(2024·貴州貴陽(yáng)模擬)SF6(六氟化硫)具有良好的絕緣性,在電子工業(yè)上有著廣泛的應(yīng)用,其分子結(jié)構(gòu)如圖所示,六個(gè)氟原子分別位于正方體六個(gè)面的中心,硫原子位于正方體中心,若正方體的棱長(zhǎng)為a,記以六個(gè)氟原子為頂點(diǎn)的正八面體為T(mén),則T的體積為　　　　,T的內(nèi)切球表面積為　　　　.?
11.(2024·貴州貴陽(yáng)模擬)已知球O的表面積為9π,若球O與正四面體S-ABC的六條棱均相切,則此四面體的體積為(　　)
12.(2024·四川射洪中學(xué)模擬)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有頂點(diǎn)都在球O上,若球O的體積為 ,則該正三棱柱體積的最大值為　　　　.?
解析 設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面的中心分別為O1,O2,連接O1O2,根據(jù)對(duì)稱性可得,線段O1O2的中點(diǎn)O即為正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的
13.(2023·全國(guó)甲,文16)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O為AC1的中點(diǎn),若該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn),則球O的半徑的取值范圍是　　　　　.?
解析 (方法一)第一步,弄清球O與正方體棱有公共點(diǎn),球半徑最小的球?yàn)槔馇星?即與棱相切的球),最大的球?yàn)橥饨忧?第二步,作對(duì)角面ABC1D1截正方體與其棱切球、外接球分別得如下矩形和小、大兩個(gè)圓(如圖).
則在三棱錐A'-BCD中,A'C=DB,A'B=AB=DC,A'D=AD=BC,即此三棱錐的對(duì)棱相等,故此三棱錐的三組對(duì)棱是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線,設(shè)該長(zhǎng)方
設(shè)內(nèi)切球半徑為R2,以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn),把三棱錐分割為以球心為頂點(diǎn),四個(gè)面為底面的四個(gè)小三棱錐,四個(gè)小三棱錐體積之和等于大三棱錐的體
15.(2024·山東煙臺(tái)模擬)如圖所示,在五面體ABCDEF中,底面ABCD為矩形,AB=2AD=2,△ADE和△BCF均為正三角形,EF∥平面ABCD,EF=3,則該五面體的外接球的表面積為(　　)
解析 連接AC,BD交于點(diǎn)M,取EF的中點(diǎn)O,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,且EA=ED=FB=FC,EF∥平面ABCD,EF>AB,所以點(diǎn)O在平面ABCD的射影為點(diǎn)M.連接OM,則OM⊥平面ABCD.取BC的中點(diǎn)G,連接FG,作GH⊥EF,垂足為H,如圖所示.

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