2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題4立體幾何專題突破練16立體幾何中的翻折問題探究性問題課件

這是一份2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題4立體幾何專題突破練16立體幾何中的翻折問題探究性問題課件，共28頁。
1.(15分)(2024安徽池州模擬)如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,△EAB與△FAD是兩個全等的直角三角形,且FA=4,FC與AD交于點G,將Rt△EAB與Rt△FAD分別沿AB,AD翻折,使E,F重合于點P,連接PC,得到四棱錐P-ABCD.(1)證明:BD⊥PC;(2)若M為棱PC的中點,求直線BM與平面PCG所成的角的正弦值.
(1)證明 由題可知PA⊥AD,PA⊥AB,且AB⊥AD.又AB∩AD=A,AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.又BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.連接AC,則AC⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又PC?平面PAC,所以BD⊥PC.
(2)解 以點A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
2.(15分)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,且∠ABC=∠A1AC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求平面DAA1與平面C1CAA1所成角的余弦值.(2)在棱CC1所在直線上是否存在點P,使得BP∥平面DA1C1?若存在,求出點P的位置;若不存在,說明理由.
解 (1)如圖,取AC中點O,連接A1O,A1C,BD.
因為棱柱各棱長均為2,且∠ABC=60°,所以四邊形ABCD是菱形,△ABC是等邊三角形,所以BD過點O,AC=2,AC⊥BD.又因為AA1=2,∠A1AC=60°,所以△A1AC是等邊三角形,所以A1O⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O?平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABCD.又AC,BD?平面ABCD,所以A1O,AC,BD兩兩垂直.
3.(15分)(2024河北張家口模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB= ,AD=2.將△ABD沿對角線BD折起,形成一個四面體A-BCD,此時AC=m.(1)是否存在實數(shù)m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時成立?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.(2)求當(dāng)二面角A-CD-B的正弦值為多少時,四面體A-BCD的體積最大?
解 (1)不存在,理由如下:假設(shè)存在實數(shù)m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時成立.因為AB⊥CD,AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ACD,所以AB⊥平面ACD.因為BC⊥AD,BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ACD,所以BC⊥平面ACD,所以AB∥BC,或AB與BC重合.又AB∩BC=B,矛盾,所以不存在實數(shù)m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時成立.(2)因為△BCD的面積為定值,要使四面體A-BCD的體積最大,所以只需讓平面BCD上的高最大即可,易知此時平面ABD⊥平面BCD.過點A作AO⊥BD于點O,連接OA.因為AO?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD.
以點O為原點,以在平面BCD中過點O且垂直于BD的直線為x軸,分別以O(shè)D,OA所在直線為y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
4.(15分)(2024湖南長沙模擬)如圖,在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,C,D分別為線段BG與AH的中點,現(xiàn)將四邊形CDHG沿直線CD折成一個五面體AED-BFC.(1)在線段BF上是否存在點M,使CM∥平面ADE?若存在,找出點M的位置;若不存在,說明理由.(2)若二面角F-DC-B的大小為60°,求平面ADE與平面DEFC的夾角的余弦值.
解 (1)存在,M為BF的中點,證明如下:
所以CD∥MN,CD=MN,所以四邊形CMND為平行四邊形,所以CM∥DN.又CM?平面AED,DN?平面ADE,所以CM∥平面ADE.
(2)因為FC⊥CD,BC⊥CD,FC∩BC=C,FC,BC?平面FCB,所以CD⊥平面FCB.又CD?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面FCB.因為平面EFCD∩平面ABCD=CD,所以∠FCB為二面角F-DC-B的平面角,所以∠FCB=60°.又FC=CB,所以△FCB為等邊三角形.在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,可得BG=4 ,所以FC=BC=BF=2 .過點F作FO⊥BC交BC于點O,則點O為BC的中點.取AD中點P,連接OP,OF.易知OP∥CD,所以O(shè)P⊥平面FCB.又FO,BC?平面FCB,所以O(shè)P,BC,FO兩兩垂直.
5.(15分)(2024山西運城一模)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC將△ADC折起,使點D到達(dá)點P的位置,點P在平面ABC上的射影H落在AB上.(1)求AH的長度;(2)若M是PC上的一個動點,是否存在點M,使得平面AMB與平面PBC的夾角的余弦值為 ?若存在,求CM的長度;若不存在,說明理由.
解 (1)如圖,作PE⊥AC,交AC于點E,連接EH.因為點P在平面ABC上的射影H落在AB上,所以PH⊥平面ABC.又AC?平面ABC,所以PH⊥AC.又PH∩PE=P,PH,PE?平面PHE,所以AC⊥平面PHE.又EH?平面PHE,所以AC⊥EH,
(2)存在.因為PH⊥平面ABC,AB,BC?平面ABC,所以PH,AB,BC兩兩垂直.以點H為坐標(biāo)原點,以過點H且平行于BC的直線為y軸,分別以HB,PH所在直線為x軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
6.(15分)(2024陜西西安一模)如圖,在三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC是邊長為1的正三角形,BC=2,AB= ,E,F分別為PC,PB的中點,平面AEF與平面ABC的交線為l.
(1)證明:l∥平面PBC;(2)若三棱錐P-ABC的體積為 ,在直線l上是否存在點Q,使得直線PQ與平面AEF所成的角為α,異面直線PQ與EF所成的角為β,且滿足α+β= ?若存在,求出線段AQ的長度;若不存在,請說明理由.
(1)證明 因為E,F分別為PC,PB的中點,所以EF∥BC.又BC?平面ABC,EF?平面ABC,所以EF∥平面ABC.又EF?平面AEF,平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,所以l∥BC.又BC?平面PBC,l?平面PBC,所以l∥平面PBC.
設(shè)點P到平面ABC的距離為h,所以PD⊥平面ABC.取AB的中點M,連接DM,則DM∥BC,所以DM⊥AC.又AC,DM?平面ABC,所以PD,AC,DM兩兩垂直.