1.理解復(fù)數(shù)的概念,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算,了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相加減的幾何意義.
1.復(fù)數(shù)的定義及分類(1)復(fù)數(shù)的定義形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做　　　　　　,實(shí)部是　　,虛部是　　.?(2)復(fù)數(shù)的分類
全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集,記為C,顯然有R∈C
復(fù)數(shù)z=a+bi (a,b∈R)
微點(diǎn)撥1.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是實(shí)數(shù),特別注意復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的虛部是b,而不是bi.2.對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),其實(shí)部a=0是a+bi為純虛數(shù)的必要不充分條件.
微思考“3+2i>1+2i”“2+i0)表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓.
題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.復(fù)數(shù)z=a-bi(a,b∈R)中,虛部為b.(　　)2.復(fù)數(shù)中有復(fù)數(shù)相等的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(　　)3.已知z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(　　)4.復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.(　　)
題組二回源教材5.(人教A版必修第二冊(cè)94頁復(fù)習(xí)參考題7第1(2)題)復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是(　　)A.i+2B.i-2C.-2-iD.2-i
6.(人教A版必修第二冊(cè)7.1.1節(jié)例1改編)若復(fù)數(shù)z=m+1+(m-1)i為純虛數(shù),則m=　　　　.?
7.(人教A版必修第二冊(cè)81頁習(xí)題7.2第7題改編)已知2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+q=0的一個(gè)根,求實(shí)數(shù)p的值.
解析 若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),則m+1=0,且m-1≠0,即m=-1.
解 因?yàn)?i-3是方程的一個(gè)根,所以-2i-3也是這個(gè)方程的一個(gè)根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得 =(2i-3)+(-2i-3),解得p=12.
題組三連線高考8.(2023·新高考Ⅱ,1)在復(fù)平面內(nèi),(1+3i)(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
解析 ∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選A.
9.(2023·全國乙,文1)|2+i2+2i3|=(　　)A.1B.2C.D.5
10.(2023·天津,10)已知i是虛數(shù)單位,化簡 的結(jié)果為　　　　　.?
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
(2)(2023·全國甲,理2)若a∈R,(a+i)(1-ai)=2,則a=(　　)A.-1B.0C.1D.2
解析 由(a+i)(1-ai)=2,可得a+i-a2i+a=2,即2a+(1-a2)i=2,所以 解得a=1.故選C.
(3)(2023·全國甲,文2) =(　　)A.-1B.1C.1-iD.1+i
(4)(2024·云南昆明一中模擬)已知復(fù)數(shù)z= ,則z+z2+z3+…+z2 023=(　　)A.-1B.1C.-iD.i
解析 依題意z= =i,所以z2=-1,z3=-i,z4=1,得z+z2+z3+z4=0,所以z+z2+z3+…+z2 023=505(z+z2+z3+z4)+z+z2+z3=-1.
規(guī)律方法復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
A.-iB.iC.0D.1
(2)(2024·湖南岳陽模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=|3+i|,則復(fù)數(shù)z的虛部是(　　)
(3)(2024·湖北武漢模擬)復(fù)數(shù)z=i(1+bi)+2+3bi(b∈R),若z為純虛數(shù),則z=(　　)A.-iB.7iC.-5iD.5i
解析 由題意得z=i(1+bi)+2+3bi=2-b+(3b+1)i,因?yàn)閦為純虛數(shù),所以解得b=2,所以z=7i.
考點(diǎn)三 復(fù)數(shù)的幾何意義
例3(1)(2021·新高考Ⅱ,1)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
(2)(2024·山東淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)復(fù)平面上表示2-i和3+4i的點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B,則向量 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
解析 復(fù)平面上表示2-i和3+4i的點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B,則A(2,-1),B(3,4),所以 =(1,5),所以向量 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
(3)(2024·江西贛州模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=1(i為虛數(shù)單位),則|z-i|的最大值為(　　)A.1B.2C.3D.4
解析 設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,由題意可得|z+i|=|z-(-i)|=1,表示復(fù)平面中點(diǎn)Z到定點(diǎn)C(0,-1)的距離為1,所以點(diǎn)Z的軌跡為以C(0,-1)為圓心,半徑r=1的圓.因?yàn)閨z-i|表示復(fù)平面中點(diǎn)Z到定點(diǎn)B(0,1)的距離,所以|ZB|≤|BC|+r=2+1=3,即|z-i|的最大值為3.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·廣東深圳紅嶺中學(xué)模擬)已知復(fù)數(shù)z=(1+i)·(m-2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)A.(2,+∞)B.(0,2)C.(-2,2)D.(-∞,-2)
解析 z=(1+i)·(m-2i)=m+2+(m-2)i,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(m+2,m-2),由于點(diǎn)(m+2,m-2)在第一象限,所以 解得m>2.
(2)(2024·湖北武漢模擬)如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別是
例4(多選題)(2024·山東濰坊模擬)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+2=0的兩根為x1,x2,其中x1=1+i,則(　　)A.p=2 B.x2=1-i

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