考情分析:平面向量和復(fù)數(shù)在高考中每年必考,一般情況下各命制一道客觀題,復(fù)數(shù)多為選擇題,且題號(hào)比較靠前,屬于簡(jiǎn)單的保分題,主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、四則運(yùn)算.平面向量的考查則相對(duì)靈活,題型多變,難度不等.主要考點(diǎn)有平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及線性運(yùn)算等.平面向量有時(shí)也作為工具,與平面幾何、解三角形、解析幾何等知識(shí)綜合呈現(xiàn).
復(fù)習(xí)策略:1.復(fù)數(shù)部分:本部分知識(shí)不用研究過難過深,能準(zhǔn)確地進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,并熟練記憶復(fù)數(shù)的模、共軛、實(shí)部、虛部、純虛數(shù)等概念,明確復(fù)數(shù)的幾何意義,還要關(guān)注一元二次方程復(fù)數(shù)根的問題.2.平面向量部分:(1)本部分知識(shí)較為瑣碎,需要通過梳理分類,構(gòu)建完整的知識(shí)體系,記憶相關(guān)的概念、公式和結(jié)論.(2)重視向量“數(shù)”“形”兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn),解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.(3)重視向量的工具作用,復(fù)習(xí)時(shí)要了解并體會(huì)向量與其他知識(shí)交匯命題的特點(diǎn).(4)向量數(shù)量積公式及其變形是本部分知識(shí)的重點(diǎn),要理清各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系.掌握常用的解題技巧與規(guī)律.
1.通過力和力的分析等實(shí)例,了解向量的實(shí)際背景,理解平面向量和相等向量的含義,理解向量的幾何表示.2.通過實(shí)例,掌握向量的加、減運(yùn)算,并理解其幾何意義.3.通過實(shí)例,掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算,并理解其幾何意義,以及兩個(gè)向量共線的含義.4.理解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.
微點(diǎn)撥1.注意0與0的區(qū)別,0是一個(gè)向量,0是一個(gè)實(shí)數(shù),且|0|=0,一個(gè)向量是零向量的充要條件是其模等于0.2.單位向量有無數(shù)個(gè),它們的模相等,都等于1,但方向不一定相同.3.零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量,它們的模是確定的,但是方向不確定,因此在解題時(shí)要注意它們的特殊性.4.任意一組平行向量都可以平移到同一直線上.
微思考向量平行與直線平行有何不同?
提示 向量平行與向量共線是完全相同的一個(gè)概念,指兩個(gè)向量的方向相同或相反,亦即向量所在的直線可以平行,也可以重合;但直線平行不包含直線重合的情況.
微點(diǎn)撥1.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.2.利用三角形法則時(shí),兩向量要首尾相連,利用平行四邊形法則時(shí),兩向量要有相同的起點(diǎn).3.當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí),三角形法則仍然適用,而平行四邊形法則不再適用.
3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得　　　　　　.?
微思考共線向量定理中為什么規(guī)定a≠0?
提示 (1)若將條件a≠0去掉,即當(dāng)a=0時(shí),顯然a與b共線;(2)當(dāng)a=0時(shí),若b≠0,則不存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,但此時(shí)向量a與b共線;(3)當(dāng)a=0時(shí),若b=0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,都有b=λa,與有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ矛盾.因此限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性.
微點(diǎn)撥三點(diǎn)共線的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
A,P,B 三點(diǎn)共線?
題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.|a|與|b|是否相等與a,b的方向無關(guān).(　　)2.若向量a與b同向,且|a|>|b|,則a>b.(　　)3.起點(diǎn)不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量.(　　)
6.(人教A版必修第二冊(cè)6.2.3節(jié)例8改編)已知a,b是兩個(gè)不共線的向量,若向量b-ta與 共線,則實(shí)數(shù)t=　　　　.?
A.-3B.-2C.2D.3
考點(diǎn)一 平面向量的基本概念
例1(1)(多選題)(2024·吉林實(shí)驗(yàn)繁榮學(xué)校模擬)下列命題正確的有(　　)A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B.單位向量都相等C.若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同D.“若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),且 ”?“四邊形ABCD是平行四邊形”
解析 對(duì)于A,方向相同或相反的兩個(gè)非零向量為共線向量,故A正確;對(duì)于B,單位向量的模為1,但是方向不一定相同,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若兩個(gè)向量相等,它們的起點(diǎn)不一定相同,終點(diǎn)也不一定相同,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若A,B,C,D是
(2)設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使 成立的充分條件是(　　)A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|
解析 由 ,知a與b方向相同.A選項(xiàng)中兩向量是相反向量,錯(cuò)誤;B選項(xiàng)中兩向量可能同向,也可能反向,錯(cuò)誤;C選項(xiàng)中兩向量同向,正確;D選項(xiàng)中兩向量可能同向也可能反向,錯(cuò)誤.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]給出下列命題:①若|a|=|b|,則a=b或a=-b;②有向線段 表示相反向量;③兩條有公共終點(diǎn)的有向線段表示的向量是平行向量;④a=b的充要條件是|a|=|b|,且a∥b.其中真命題的序號(hào)是　　　　.?
解析 ①不正確.兩個(gè)向量的模相等,方向可以是任意的;②正確.③不正確.終點(diǎn)相同,起點(diǎn)是任意的,不一定是平行向量;④不正確.當(dāng)a∥b且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b.綜上所述,真命題的序號(hào)是②.
考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算(多考向探究預(yù)測(cè))
考向1向量加、減法的幾何意義
考向2向量的線性運(yùn)算
A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n
考向3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·云南曲靖模擬)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖,則c=(　　)A.2a+bB.2a-bC.-a+2bD.a-2b
解析 如圖,根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何意義,可得c=-a+2b.
2r+3s=(　　)A.1B.2C.3D.4
考點(diǎn)三 共線向量定理及其應(yīng)用
例5設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.
(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.
(2)解 由于a,b不共線,易知向量a+kb為非零向量.∵ka+b與a+kb共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共線的兩個(gè)非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
故當(dāng)m=7時(shí),A,B,D三點(diǎn)共線.
變式探究2(變條件)若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值?
解 由于a,b不共線,易知向量a+kb為非零向量.因?yàn)閗a+b與a+kb反向共線,所以存在實(shí)數(shù)λ(λ

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