【知識要點】
正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內角也都相等的多邊形叫做正多邊形。
正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。
正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。
正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。
正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
【解題思路】
1.正邊形半徑、邊心距和構成直角三角形。
2.已知其中兩個值，第三個值可以借助勾股定理求解。
正多邊形的對稱性：
1）正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。
2）一個正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．對稱中心就是這個正多邊的中心。
【小結】正n變形的內角為，外角為，中心角為 內角和為（ n-2 ）×180°。
【擴展】正多邊形常見邊心距與邊長的比值
第一種 正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，在Rt△BOD中，OD:BD:OB=1:: 2 (圖一)
變式 正三角形內切圓與外切圓半徑比為1:2 （圖二）
第二種 正方形 在⊙O中四邊形是正方形，在Rt△OAE中，OE:AE:OE=1:1: (圖三)
變式 正方形內切圓與外切圓半徑比為1: （圖四）
第三種 正六變形 在⊙O中六邊形是正六邊形，在Rt△OAB，AB:OB:OA=1:: 2 (圖五)

圖一 圖二 圖三 圖四 圖五
設的半徑為，圓心角所對弧長為，
弧長公式： （弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關）
扇形面積公式：
圓錐的側面積公式： (其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑)
母線的概念：連接圓錐頂點和底面圓周任意一點的線段。
圓錐體表面積公式：（為母線）
【備注】1）圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積
2）扇形的弧長為圓錐的底面圓周長2πR
求陰影部分面積的幾種常見方法：1）公式法；2）割補法；3）拼湊法；4）等積變形構造方程法；5）去重法。
考查題型一 與正多邊形中心角有關的計算
典例1．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內接于，點M在上，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
變式1-1．（2021·內蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考中考真題）一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．8B．12C．3D．6
變式1-2．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．C．3D．
變式1-3．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（ ）
A．2mmB．C．D．4mm
變式1-4．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形和正五邊形內接于，且有公共頂點A，則的度數(shù)為______度．
變式1-5．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中國結和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉角 SKIPIF 1 < 0 后能夠與它本身重合，則角可以為__________度．（寫出一個即可）
變式1-6．（2020·黑龍江綏化·中考真題）如圖，正五邊形內接于，點P為上一點（點P與點D，點E不重合），連接、，，垂足為G，等于________度．
變式1-7．（2020·湖南株洲·中考真題）一個蜘蛛網(wǎng)如圖所示，若多邊形ABCDEFGHI為正九邊形，其中心點為點O，點M、N分別在射線OA、OC上，則________度．
考查題型二 正多邊形與圓
典例2．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（ ）
A．3 SKIPIF 1 < 0 B．C．D．3
變式2-1．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標系中，若AB與x軸垂直，頂點A的坐標為（2，-3）．則頂點C的坐標為（ ）
A．B．C． D．
變式2-2．（2022·四川內江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（ ）
A．4，B．3 SKIPIF 1 < 0 ，πC．2 SKIPIF 1 < 0 ，D．3 SKIPIF 1 < 0 ，2π
變式2-3．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣"，即通過圓內接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內接正十二邊形，內接正二十四邊形，……．邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率．設圓的半徑為R，圖1中圓內接正六邊形的周長，則．再利用圓的內接正十二邊形來計算圓周率則圓周率約為（ ）
A．B．C．D．
變式2-4．（2021·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉，每次旋轉60°，那么經過第2025次旋轉后，頂點D的坐標為（ ）
A．（，）B．（，）C．（， SKIPIF 1 < 0 ）D．（，）
變式2-5．（2021·內蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學家劉的“割圓術”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計的值，下面d及的值都正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
變式2-6．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標是，則A點的坐標是___________．
變式2-7．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點M在邊AF上，且AM=2．若經過點M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是_____．
變式2-8．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形和等邊三角形組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若 SKIPIF 1 < 0 厘米，則這個正六邊形的周長為_________厘米．
變式2-9．（2021·內蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b=20mm，則邊長a為_________mm．
變式2-10．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．
變式2-11．（2021·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的周長是24cm，連接這個六邊形的各邊中點G，H，K，L，M，N，則六邊形GHKLMN的周長是 ___cm．
變式2-12．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正五邊形內接于⊙，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑 SKIPIF 1 < 0 ；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點M，N；③連接．
(1)求的度數(shù)．
(2)是正三角形嗎？請說明理由．
(3)從點A開始，以長為半徑，在⊙上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值．
變式2-13．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質解決有關數(shù)學問題，在解題中，靈活運用等面積法解決相關問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．
（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為_____，其內切圓的半徑長為______；
（2）①如圖1，是邊長為的正內任意一點，點為的中心，設點到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結果用含的式子表示）
②如圖2，是邊長為的正五邊形內任意一點，設點到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）
（3）①如圖3，已知的半徑為2，點為外一點，，切于點，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為______；（結果保留）
②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點在 SKIPIF 1 < 0 的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點的位置，并說明理由．
考查題型三 與弧長公式有關的計算
典例3．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則 的長為（ ）
A．6πB．2πC．πD．π
變式3-1．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）某仿古墻上原有一個矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為，高為，則改建后門洞的圓弧長是（ ）
A．B．C．D．
變式3-2．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長是（ ）
A．cmB．cmC． SKIPIF 1 < 0 cmD．cm
變式3-3．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計）的轉彎處是一段圓弧（），點是這段弧所在圓的圓心，半徑，圓心角，則這段彎路（）的長度為（ ）
A．B．C．D．
變式3-4（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）圓錐的底面圓半徑是1，母線長是3，它的側面展開圖的圓心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
變式3-5．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，點O在邊AC上，以O為圓心，4為半徑的圓恰好過點C，且與邊AB相切于點D，交BC于點E，則劣弧的長是________（結果保留）
變式3-6．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線AB＝6，底面半徑CB＝2，則其側面展開圖扇形的圓心角α＝_______．
變式3-7．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點A，交邊BC于點C，D，∠B=90°，連接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求的長（結果保留）．
(2)求證：AD平分∠BDO．
考查題型四 與扇形面積有關的計算
典例4．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式4-1．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點．假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（ ）
A．B．C．D．
變式4-2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（ ）
A．B． SKIPIF 1 < 0 C．D．
變式4-3．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將繞點B順時針旋轉90°得到．在此旋轉過程中所掃過的面積為( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
變式4-4．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為的正方形內接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A．B．C．D．
變式4-5．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，和交于點，過點的直線交于點（不與，重合），交于點．以點為圓心，為半徑的圓交直線于點，．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
變式4-6．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為4的正方形ABCD的對角線交于點O，以OC為半徑的扇形的圓心角．則圖中陰影部分面積是_____．
變式4-7．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一個圓錐體的底面積是其表面積的，則其側面展開圖圓心角的度數(shù)為______________．
變式4-8（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，點C為上一點，于點D，平分．
(1)求證：直線是的切線；
(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
變式4-9．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內接三角形，，經過圓心交于點，連接，．
(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
變式4-10．（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．
(1)求證：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結果保留π和根號）．
考查題型五 與圓錐側面積有關的計算
典例5．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側面積是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
變式5-1（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）用一張半圓形鐵皮，圍成一個底面半徑為的圓錐形工件的側面（接縫忽略不計），則圓錐的母線長為（ ）
A．B．C．D．
變式5-2．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是 SKIPIF 1 < 0 ．計時結束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（ ）
A．B．C．D．
變式5-3．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說法錯誤的是（ ）
A．圓柱的底面積為4πm2B．圓柱的側面積為10πm2
C．圓錐的母線AB長為2.25mD．圓錐的側面積為5πm2
變式5-4．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，錨標浮筒是打撈作業(yè)中用來標記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm）．電鍍時，如果每平方米用鋅0.1千克，電鍍1000個這樣的錨標浮筒，需要多少千克鋅？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
變式5-5．（2022·內蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，從一個邊長是的正五邊形紙片上剪出一個扇形，這個扇形的面積為_______（用含的代數(shù)式表示）；如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，圓錐的底面圓直徑為_______．
變式5-6．（2021·內蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長為10，高為8，則該圓錐的側面展開圖（扇形）的弧長為__________．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為__________度．
變式5-7．（2022·山東濰坊·中考真題）在數(shù)學實驗課上，小瑩將含角的直角三角尺分別以兩個直角邊為軸旋轉一周，得到甲、乙兩個圓錐，并用作圖軟件Gegebra畫出如下示意圖
小亮觀察后說：“甲、乙圓錐的側面都是由三角尺的斜邊旋轉得到，所以它們的側面積相等．”
你認同小亮的說法嗎？請說明理由．

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