中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破考點題型專練專題34 銳角三角函數(shù)（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識要點】
知識點一銳角三角函數(shù)
銳角三角函數(shù)：如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角
三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)
【正弦和余弦注意事項】
1)sinA、csA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。
2)sinA、csA是一個比值（數(shù)值，無單位）。
3)sinA、csA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)。
【0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值】
銳角三角函數(shù)的關(guān)系：
1）sin A = cs（90°-A）,即一個銳角的正弦值等于它余角的余弦值。
cs A = sin（90°-A）,即一個銳角的余弦值等于它余角的正切值。
3) tan A = ct(90°-A), 即一個銳角的正切值等于它余角的余切值。
4) ct A= tan(90°-A), 即一個銳角的余切值等于它余角的正切值。
正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤ SKIPIF 1 < 0 ≤90°時，sinα隨α的增大而增大，csα隨α的增大而減小。
正切的增減性：當(dāng)0°< SKIPIF 1 < 0 0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a1=1，a2=-2(不符合題意，舍去)，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =2，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數(shù)的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．
變式3-2．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC， SKIPIF 1 < 0 ，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．9.90cmB．11.22cmC．19.58cmD．22.44cm
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及BC＝44cm，可得 SKIPIF 1 < 0 cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，求得AD的長度．
【詳解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD為BC邊上的高，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BC＝44cm，
∴ SKIPIF 1 < 0 cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵AD為BC邊上的高， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 cm，
∴ SKIPIF 1 < 0 cm．
故選：B．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．
變式3-3．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上， SKIPIF 1 < 0 ，連接AC，過點O作 SKIPIF 1 < 0 交AC的延長線于P．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可知，OP與x軸的夾角為45°，又因為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線段進而求解．
【詳解】∵P點坐標(biāo)為（1，1），
則OP與x軸正方向的夾角為45°，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
則∠BAO=45°， SKIPIF 1 < 0 為等腰直角形，
∴OA=OB，
設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，
則OB=OA=3x，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點坐標(biāo)推出特殊角是解題的關(guān)鍵．
變式3-4．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物 SKIPIF 1 < 0 點處測得乙建筑物 SKIPIF 1 < 0 點的俯角 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 點的俯角 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，則甲建筑物的高度 SKIPIF 1 < 0 為________ SKIPIF 1 < 0 ．（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)果保留整數(shù)）．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】過 SKIPIF 1 < 0 點作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，進而可得出答案．
【詳解】解：如圖，過 SKIPIF 1 < 0 點作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)題意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∵從甲建筑物 SKIPIF 1 < 0 點處測得乙建筑物 SKIPIF 1 < 0 點的俯角 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 點的俯角 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為兩座建筑物的水平距離，乙建筑物的高度 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
經(jīng)檢驗 SKIPIF 1 < 0 是原分式方程的解且符合題意，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，涉及到銳角三角函數(shù)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，分式方程等知識．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
變式3-5．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD是平面鏡，光線從A點出發(fā)經(jīng)CD上點O反射后照射到B點，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖（見解析），先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)相似三角形的判定證出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 的長，然后根據(jù)正切的定義即可得．
【詳解】解：如圖，由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
經(jīng)檢驗， SKIPIF 1 < 0 是所列分式方程的解，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識點，正確找出兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．
變式3-6．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝ SKIPIF 1 < 0 ，則AD的長是___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【詳解】解：如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠ACB＝90°
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 tan∠CBD＝ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 AC＝BC，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了90°圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
變式3-7．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于點D，E，F(xiàn)分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點，O是 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 的延長線交線段 SKIPIF 1 < 0 于點G，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)E，F(xiàn)分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合O是 SKIPIF 1 < 0 的中點，利用“AAS”得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形；
（2）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 中點，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得出CD=2，根據(jù)勾股定理得出AC的長，即可得出DE，根據(jù)平行四邊形的性，得出 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）解：（1）∵E，F(xiàn)分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵O是 SKIPIF 1 < 0 的中點，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 中點，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了平行線四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，根據(jù)題意證明
SKIPIF 1 < 0 ，是解題的關(guān)鍵．
變式3-8．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓 SKIPIF 1 < 0 的頂部觀測信號塔 SKIPIF 1 < 0 底部的俯角為30°，信號塔頂部的仰角為45°．已知教學(xué)樓 SKIPIF 1 < 0 的高度為20m，求信號塔的高度（計算結(jié)果保冒根號）．
【答案】（20 SKIPIF 1 < 0 ＋20）m．
【分析】過點A作AE⊥CD于點E，則四邊形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的長，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的長，即可得到CD的長，得到信號塔的高度．
【詳解】解：過點A作AE⊥CD于點E，
由題意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四邊形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝20m，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，
∵tan∠DAE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 m，
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 m，
∴CD＝CE＋DE＝（20 SKIPIF 1 < 0 ＋20）m，
∴信號塔的高度為（20 SKIPIF 1 < 0 ＋20）m．
【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)等知識，借助仰角俯角構(gòu)造直角三角形與矩形是解題的關(guān)鍵．
考查題型四與特殊角三角函數(shù)值有關(guān)的計算題
典例4．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）計算： SKIPIF 1 < 0 4 SKIPIF 1 < 0 °．
【答案】2
【分析】先計算負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘法，再合并即可．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的運算，負整數(shù)指數(shù)冪的含義，二次根式的化簡，掌握“運算基礎(chǔ)運算”是解本題的關(guān)鍵．
變式4-1．（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）計算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)二次根式的化簡，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則分別化簡后再進行實數(shù)的加減法運算．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】此題考查實數(shù)的運算法則，正確掌握二次根式的化簡，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則是解題的關(guān)鍵．
變式4-2．（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，0
【分析】先算括號內(nèi)的減法，再將除法變成乘法進行計算，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，負指數(shù)冪和零次冪的性質(zhì)求出a，最后代入計算．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，銳角三角函數(shù)，負指數(shù)冪和零次冪的性質(zhì)，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
變式4-3．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）（1）計算： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）先化簡，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先每項化簡，再加減算出最終結(jié)果即可；
（2）先因式分解，化除為乘，通分，化簡；再帶入數(shù)值計算即可．
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴原式= SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，分式的化簡求值，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．
考查題型五解直角三角形
典例5．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的⊙O，∠BAC=θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】要使△ABC的面積S= SKIPIF 1 < 0 BC?h的最大，則h要最大，當(dāng)高經(jīng)過圓心時最大．
【詳解】解：當(dāng)△ABC的高AD經(jīng)過圓的圓心時，此時△ABC的面積最大，
如圖所示，
∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= SKIPIF 1 < 0 ，csθ= SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD=sinθ，OD=csθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+csθ，
∴S△A'BC= SKIPIF 1 < 0 AD?BC= SKIPIF 1 < 0 ?2sinθ（1+csθ）=sinθ（1+csθ）．
故選：D．
【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用與三角形面積的求法．
變式5-1．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求證：CE=CM．
(2)若AB=4，求線段FC的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC=MA=MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根據(jù)等角對等邊即可得證；
（2）根據(jù)CE=CM先求出CE的長，再解直角三角形即可求出FC的長．
【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，點M為邊AB的中點，
∴MC=MA=MB，
∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，
∵∠A=50°，
∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，
∵∠ACE=30°，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，
∴∠MEC=∠EMC，
∴CE=CM；
（2）解：∵AB=4，
∴CE=CM= SKIPIF 1 < 0 AB=2，
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴FC=CE?cs30°= SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈活運用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式5-2．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）問題背景：
一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，構(gòu)造相似三角形來證明 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；
②若BC＝m，∠AED＝ SKIPIF 1 < 0 ，求DE的長（用含m， SKIPIF 1 < 0 的式子表示）．
【答案】(1)詳見解析
(2)①DE= SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用AB∥CE，可證得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可證得結(jié)果；
（2）利用（1）中的結(jié)論進行求解表示即可．
【詳解】（1）解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由折疊可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
∵AC＝1，AB＝2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得：CD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴DE= CD= SKIPIF 1 < 0 ；
②由折疊可知∠AED＝∠C= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由①可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查的是相似三角形的綜合運用，靈活轉(zhuǎn)化比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
變式5-3．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，以AB為直徑作 SKIPIF 1 < 0 交AC、BC于點D、E，且D是AC的中點，過點D作 SKIPIF 1 < 0 于點G，交BA的延長線于點H．
(1)求證：直線HG是 SKIPIF 1 < 0 的切線；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求CG的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）連接OD，利用三角形中位線的定義和性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平行線的性質(zhì)即可證明；
（2）先通過平行線的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，再通過解直角三角形求出半徑長度，再利用三角形中位線定理和相似三角形的判定和性質(zhì)分別求出BC，BG的長度，即可求解．
【詳解】（1）連接OD，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵D是AC的中點，AB為直徑，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直線HG是 SKIPIF 1 < 0 的切線；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵D是AC的中點，AB為直徑，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了切線的判定，三角形中位線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
變式5-4．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為直徑作⊙ SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 邊于點 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上取一點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，作射線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 邊于點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見解析
(2)BF=5， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
（2）根據(jù)∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= SKIPIF 1 < 0 AB，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接CD，根據(jù)BC是⊙O的直徑，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，
∴AF=BF= SKIPIF 1 < 0 AB，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，AC=8，
∴AB=10，
∴BF=5，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
連接CD，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，
∴DE∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了圓周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理及推論，運用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．
變式5-5．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
證明：如圖1，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，則：
在 SKIPIF 1 < 0 中， CD=asinB
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
根據(jù)上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；
（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖2，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如圖3，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．
考查題型六與解直角三角形有關(guān)的計算題
典例6．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，則高BC是（）
A． SKIPIF 1 < 0 米B． SKIPIF 1 < 0 米C． SKIPIF 1 < 0 米D． SKIPIF 1 < 0 米
【答案】A
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定義，sinα= SKIPIF 1 < 0 ，代入AB值即可求解．
【詳解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC= sinα SKIPIF 1 < 0 AB=12 sinα（米），
故選：A．
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
變式6-1．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹 SKIPIF 1 < 0 的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，在點B處測得樹頂C的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，且A，B，D三點在同一直線上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則這棵樹 SKIPIF 1 < 0 的高度是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數(shù)值即可求解．
【詳解】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故選A．
【點睛】本題考查三角函數(shù)，根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系，建立三角函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．
變式6-2．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則房頂A離地面 SKIPIF 1 < 0 的高度為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】過點A作AD⊥BC于D，根據(jù)軸對稱圖形得性質(zhì)即可得BD=CD，從而利用銳角三角函數(shù)正切值即可求得答案．
【詳解】解：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：
∵它是一個軸對稱圖形，
∴ SKIPIF 1 < 0 m，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 房頂A離地面 SKIPIF 1 < 0 的高度為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選B．
【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握利用正切值及一條直角邊求另一條直角邊是解題的關(guān)鍵．
變式6-3．（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)活動小組到某廣場測量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．28mB．34mC．37mD．46m
【答案】C
【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．
【詳解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 m，
故選：C．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
變式6-4．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】應(yīng)充分利用所給的α和45°在樹的位置構(gòu)造直角三角形，進而利用三角函數(shù)求解．
【詳解】解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線交于點D，則AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt△CDB中，CD=mcsα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×csα×tan45°
=mcsα，
∴AB=AD-BD
=（mcsα-msinα）
=m（csα-sinα）．
故選：A．
【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．需注意構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法，另外，利用三角函數(shù)時要注意各邊相對．
變式6-5（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)俯角的定義可直接得出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)俯角的定義，朝下看時，視線與水平面的夾角為俯角，
∴∠DAC為對應(yīng)的俯角，
故選D．
【點睛】題目主要考查對俯角定義的理解，深刻理解俯角的定義是解題關(guān)鍵．
變式6-6．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，某一時刻太陽光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角 SKIPIF 1 < 0 ，已知窗戶的高度 SKIPIF 1 < 0 ，窗臺的高度 SKIPIF 1 < 0 ，窗外水平遮陽篷的寬 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長度為______（結(jié)果精確到 SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】4.4m##4.4米
【分析】根據(jù)題意可得AD∥CP，從而得到∠ADB=30°，利用銳角三角函數(shù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，
∴∠ADB=30°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AF=2m，CF=1m，
∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的長度為4.4m．
故答案為：4.4m.
【點睛】本題主要考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
變式6-7．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首．王安石曾賦詩聯(lián)“萬里衡陽雁，尋常到此回”．峰前開辟的雁峰廣場中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽．某課外實踐小組為測量大雁雕塑的高度，利用測角儀及皮尺測得以下數(shù)據(jù)：如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．已知測角儀 SKIPIF 1 < 0 的高度為 SKIPIF 1 < 0 ，則大雁雕塑 SKIPIF 1 < 0 的高度約為_________ SKIPIF 1 < 0 ．（結(jié)果精確到 SKIPIF 1 < 0 ．參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】10.2
【分析】先根據(jù)三角形外角求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)三角形的等角對等邊得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解題方法是解答的關(guān)鍵．
變式6-8．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝ SKIPIF 1 < 0 ，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長度為 ____m．
【答案】50
【分析】直接利用坡角的定義結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：∠ACB=90°，sinα＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BC＝30m，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得：AB=50m，
即迎水坡面AB的長度為50m．
故答案為：50
【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
變式6-9．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離是_____nmile．（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】34
【分析】作 SKIPIF 1 < 0 與點F，則CF為C島到航線AB的最短距離，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：作 SKIPIF 1 < 0 與點F，則CF為C島到航線AB的最短距離，
由圖可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴C島到航線AB的最短距離是34 nmile．
故答案為：34
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解CF為C島到航線AB的最短距離，求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 求解．
變式6-10．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展無人機測旗桿的活動：已知無人機的飛行高度為30m，當(dāng)無人機飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達B處，測得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為________m．（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）
【答案】12.7
【分析】設(shè)旗桿底部為點C，頂部為點D，過點D作DE⊥AB，交直線AB于點E．設(shè)DE=x m，在Rt△BDE中， SKIPIF 1 < 0 ，進而求得 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△ADE中， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)CD=CE-DE可得出答案．
【詳解】解：設(shè)旗桿底部為點C，頂部為點D，延長CD交直線AB于點E，依題意則DE⊥AB，
則CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，
設(shè)DE=x m，
在Rt△BDE中， SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 m，
在Rt△ADE中， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 m，
∴CD=CE-DE SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：12.7．
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
變式6-11．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，某座山 SKIPIF 1 < 0 的項部有一座通訊塔 SKIPIF 1 < 0 ，且點A，B，C在同一條直線上，從地面P處測得塔頂C的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，測得塔底B的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ．已知通訊塔 SKIPIF 1 < 0 的高度為 SKIPIF 1 < 0 ，求這座山 SKIPIF 1 < 0 的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】這座山 SKIPIF 1 < 0 的高度約為 SKIPIF 1 < 0
【分析】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，即可列出等式求解．
【詳解】解：如圖，根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
答：這座山 SKIPIF 1 < 0 的高度約為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查三角函數(shù)測高，解題的關(guān)鍵在運用三角函數(shù)的定義表示出未知邊，列出方程．
變式6-12．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線 SKIPIF 1 < 0 ．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．
(1)求∠C的大小及AB的長；
(2)請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 取4， SKIPIF 1 < 0 取4.1）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)見詳解，約 SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）由水面截線 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用銳角三角形的正切值即可求解．
（2）過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交MN于D點，交半圓于H點，連接OM，過點M作MG⊥OB于G，水面截線 SKIPIF 1 < 0 ，即可得DH即為所求，由圓周角定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，進而可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，從而可求解．
【詳解】（1）解：∵水面截線 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交MN于D點，交半圓于H點，連接OM，過點M作MG⊥OB于G，如圖所示：
SKIPIF 1 < 0 水面截線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為最大水深，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 最大水深約為 SKIPIF 1 < 0 米．
【點睛】本題考查了解直角三角形，主要考查了銳角三角函數(shù)的正切值、圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
變式6-13．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）無人機在實際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓 SKIPIF 1 < 0 樓頂D處的俯角為 SKIPIF 1 < 0 ，測得樓 SKIPIF 1 < 0 樓頂A處的俯角為 SKIPIF 1 < 0 ．已知樓 SKIPIF 1 < 0 和樓 SKIPIF 1 < 0 之間的距離 SKIPIF 1 < 0 為100米，樓 SKIPIF 1 < 0 的高度為10米，從樓 SKIPIF 1 < 0 的A處測得樓 SKIPIF 1 < 0 的D處的仰角為 SKIPIF 1 < 0 （點A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．
(1)填空： SKIPIF 1 < 0 ___________度， SKIPIF 1 < 0 ___________度；
(2)求樓 SKIPIF 1 < 0 的高度（結(jié)果保留根號）；
(3)求此時無人機距離地面 SKIPIF 1 < 0 的高度．
【答案】(1)75；60
(2) SKIPIF 1 < 0 米
(3)110米
【分析】（1）根據(jù)平角的定義求 SKIPIF 1 < 0 ，過點A作 SKIPIF 1 < 0 于點E，再利用三角形內(nèi)角和求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 求出DE的長度再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 計算即可；
（3）作 SKIPIF 1 < 0 于點G，交 SKIPIF 1 < 0 于點F，證明 SKIPIF 1 < 0 即可．
【詳解】（1）過點A作 SKIPIF 1 < 0 于點E，
由題意得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）由題意得： SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴樓 SKIPIF 1 < 0 的高度為 SKIPIF 1 < 0 米．
（3）作 SKIPIF 1 < 0 于點G，交 SKIPIF 1 < 0 于點F，
則 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS）．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
∴無人機距離地面 SKIPIF 1 < 0 的高度為110米．
【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-——仰角俯角問題的知識．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
變式6-14．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖1，紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱圖形，其示意圖如圖2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（結(jié)果精確到0.1 SKIPIF 1 < 0 ，參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
(1)連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長．
(2)求點A，B之間的距離．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）過點C作 SKIPIF 1 < 0 于點F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用銳角三角函數(shù)，即可求解；
（2）連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．設(shè)紙飛機機尾的橫截面的對稱軸為直線l，可得對稱軸l經(jīng)過點C．從而得到四邊形DGCE是矩形，進而得到DE=CG，然后過點D作 SKIPIF 1 < 0 于點G，過點E作EH⊥AB于點H，可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用銳角三角函數(shù)，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖2，過點C作 SKIPIF 1 < 0 于點F，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (cm)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：如圖3，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．設(shè)紙飛機機尾的橫截面的對稱軸為直線l，
∵紙飛機機尾的橫截面示意圖是一個軸對稱圖形，
∴對稱軸l經(jīng)過點C．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB∥DE．
過點D作 SKIPIF 1 < 0 于點G，過點E作EH⊥AB于點H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四邊形DGCE是矩形，
∴DE=HG，
∴DG∥l， EH∥l，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，BE⊥CE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (cm)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，明確題意，準確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
變式6-15．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識，某消防大隊進行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮（最長可伸至20m），且可繞點B轉(zhuǎn)動，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時，底部B到EF的距離BD為9m．
(1)若∠ABD=53°，求此時云梯AB的長．
(2)如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云梯能否伸到險情處？請說明理由．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】(1)15m
(2)在該消防車不移動位置的前提下，云梯能夠伸到險情處；理由見解析
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，即可解答；
（2）根據(jù)題意可得DE=BC=2m，從而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，進行比較即可解答．
【詳解】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB= SKIPIF 1 < 0 =15（m），
∴此時云梯AB的長為15m；
（2）解：在該消防車不移動位置的前提下，云梯能伸到險情處，
理由：由題意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= SKIPIF 1 < 0 （m），
∵ SKIPIF 1 < 0 m＜20m，
∴在該消防車不移動位置的前提下，云梯能伸到險情處．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
變式6-16．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．
(1)求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．
(2)實踐中發(fā)現(xiàn)，切點B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時點A距地面的距離AD最小，測得 SKIPIF 1 < 0 ．已知鐵環(huán)⊙O的半徑為25cm，推桿AB的長為75cm，求此時AD的長．
【答案】(1)見解析
(2)50 cm
【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進而即可得證；
（2）過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行線，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得到 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，求得 SKIPIF 1 < 0 ,進而求得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 ⊙O與水平地面相切于點C，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 AB與⊙O相切于點B，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）如圖，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行線，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （cm)，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 cm，
SKIPIF 1 < 0 (cm)，
SKIPIF 1 < 0 (cm)，
SKIPIF 1 < 0 (cm)，
SKIPIF 1 < 0 cm，
SKIPIF 1 < 0 (cm)．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
變式6-17．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：
(1)探究原理：制作測角儀時，將細線一段固定在量角器圓心 SKIPIF 1 < 0 處，另一端系小重物 SKIPIF 1 < 0 ．測量時，使支桿 SKIPIF 1 < 0 、量角器90°刻度線 SKIPIF 1 < 0 與鉛垂線 SKIPIF 1 < 0 相互重合（如圖①），繞點 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)動量角器，使觀測目標(biāo) SKIPIF 1 < 0 與直徑兩端點 SKIPIF 1 < 0 共線（如圖②），此目標(biāo) SKIPIF 1 < 0 的仰角 SKIPIF 1 < 0 ．請說明兩個角相等的理由．
(2)實地測量：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學(xué)們在觀測點 SKIPIF 1 < 0 處測得頂端 SKIPIF 1 < 0 的仰角 SKIPIF 1 < 0 ，觀測點與樹的距離 SKIPIF 1 < 0 為5米，點 SKIPIF 1 < 0 到地面的距離 SKIPIF 1 < 0 為1.5米；求樹高 SKIPIF 1 < 0 ．（ SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)果精確到0.1米）
(3)拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端 SKIPIF 1 < 0 距離地面高度 SKIPIF 1 < 0 （如圖④），同學(xué)們討論，決定先在水平地面上選取觀測點 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在同一直線上），分別測得點 SKIPIF 1 < 0 的仰角 SKIPIF 1 < 0 ，再測得 SKIPIF 1 < 0 間的距離 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 到地面的距離 SKIPIF 1 < 0 均為1.5米；求 SKIPIF 1 < 0 （用 SKIPIF 1 < 0 表示）．
【答案】(1)證明見解析
(2)10.2米
(3) SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）根據(jù)圖形和同角或等角的余角相等可以證明出結(jié)果；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意，可以計算出PH的長，注意最后的結(jié)果；
（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題目中的數(shù)據(jù)，可以用含 SKIPIF 1 < 0 、m的式子表示出PH．
【詳解】（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）由題意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△POQ中
tan∠POQ= SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （米）
故答案為：10.2米．
（3）由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
由圖得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 米
故答案為： SKIPIF 1 < 0 米
【點睛】本題考查解直角三角形中的仰角、俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
變式6-18．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬季奧林匹克運動會于今年2月4日至20日在北京舉行，我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國贏得了榮譽，激起了國人對冰雪運動的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺建了一個滑雪大跳臺（如圖），它由助滑坡道、弧形跳臺、著陸坡、終點區(qū)四部分組成．圖是其示意圖，已知：助滑坡道 SKIPIF 1 < 0 米，弧形跳臺的跨度 SKIPIF 1 < 0 米，頂端 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為40米， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求此大跳臺最高點 SKIPIF 1 < 0 距地面 SKIPIF 1 < 0 的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】70
【分析】過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，求得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，進而求得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【詳解】如圖，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 （米），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 頂端 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為40米，即 SKIPIF 1 < 0 米
SKIPIF 1 < 0 （米）．
SKIPIF 1 < 0 （米）．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
定義
表達式
取值范圍
關(guān) 系
正弦
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(∠A為銳角)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
余弦
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(∠A為銳角)
正切
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(∠A為銳角)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 (倒數(shù))
SKIPIF 1 < 0
余切(選)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(∠A為銳角)
三角函數(shù)
30°
45°
60°
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0

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