【知識要點(diǎn)】
菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
菱形的性質(zhì)：
1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
2）四條邊都相等；
3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角。
4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點(diǎn)，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心。
菱形的判定：
1）A
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
2）四條邊相等的四邊形是菱形。
3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
菱形的面積公式：菱形ABCD的對角線是AC、BD，則菱形的面積公式是：S＝底×高，S＝ SKIPIF 1 < 0
考查題型一 利用菱形的性質(zhì)求角度
典例1．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將菱形紙片沿著線段 SKIPIF 1 < 0 剪成兩個(gè)全等的圖形，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
變式1-1．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在 SKIPIF 1 < 0 上，連接 SKIPIF 1 < 0 ．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
變式1-2．（2020·湖北黃岡·中考真題）若菱形的周長為16，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式1-3．（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié) SKIPIF 1 < 0 間的距離，若 SKIPIF 1 < 0 間的距離調(diào)節(jié)到60 SKIPIF 1 < 0 ，菱形的邊長 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式1-4．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個(gè)菱形，將圖②截去一個(gè)邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是__________ SKIPIF 1 < 0 ．
變式1-5．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是菱形ABCD的一條對角線，點(diǎn)E在BC的延長線上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為_________度．
變式1-6．（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，取大于 SKIPIF 1 < 0 的長為半徑，分別以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交 SKIPIF 1 < 0 邊于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （作圖痕跡如圖所示），連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為_________．
考查題型二 利用菱形的性質(zhì)求線段長
典例2．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，2 SKIPIF 1 < 0 ），（﹣1，﹣ SKIPIF 1 < 0 ），點(diǎn)D在第一象限，且AD∥x軸，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）
A．（6，2 SKIPIF 1 < 0 ）B．（8，2 SKIPIF 1 < 0 ）C．（6， SKIPIF 1 < 0 ）D．（8， SKIPIF 1 < 0 ）
變式2-1．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形 SKIPIF 1 < 0 對角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式2-2．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE + PF的最小值是（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．1.5D． SKIPIF 1 < 0
變式2-3．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為4，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長是（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式2-4．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，M是對角線BD上的一個(gè)動點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
變式2-5．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．若M、N分別是邊 SKIPIF 1 < 0 上的動點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分別為E、F，則 SKIPIF 1 < 0 的值為______．
變式2-6．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF的長為________；當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時(shí)，DF長的最大值為________．
變式2-7．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）將正方形 SKIPIF 1 < 0 和菱形 SKIPIF 1 < 0 按照如圖所示擺放，頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合，菱形 SKIPIF 1 < 0 的對角線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
變式2-8．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在菱形ABCD中，對角線AC和BD的長分別是6和8，以AD為直角邊向菱形外作等腰直角三角形ADE．連接CE．請用尺規(guī)或三角板作出圖形，并直接寫出線段CE的長．
考查題型三 利用菱形的性質(zhì)求面積
典例3．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的兩個(gè)根是菱形的兩條對角線長，則這個(gè)菱形的面積為（ ）
A．6B．10C．12D．24
變式3-1．（2021·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ．若菱形 SKIPIF 1 < 0 的面積為8，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A．2B．3C．4D．5
變式3-2（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個(gè)菱形的面積為（ ）
A．16B．6 SKIPIF 1 < 0 C．12 SKIPIF 1 < 0 D．30
變式3-3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形 SKIPIF 1 < 0 中，分別以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為圓心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 長為半徑畫弧，分別交對角線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則圖中陰影部分的面積為_________．（結(jié)果不取近似值）
變式3-4．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心， SKIPIF 1 < 0 的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為__________．（結(jié)果保留 SKIPIF 1 < 0 ）
變式3-5．（2021·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）菱形 SKIPIF 1 < 0 中，對角線 SKIPIF 1 < 0 ，則菱形的高等于___________．
變式3-6．（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為10， SKIPIF 1 < 0 ，對角線 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對角線BD上，連接AE，作 SKIPIF 1 < 0 且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．
(1)求菱形 SKIPIF 1 < 0 的面積；
(2)求證 SKIPIF 1 < 0 ．
變式3-7．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 在格點(diǎn)上，每一個(gè)小正方形的邊長為1．
（1）以 SKIPIF 1 < 0 為邊畫菱形，使菱形的其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫出一個(gè)即可）．
（2）計(jì)算你所畫菱形的面積．
考查題型四 添加一個(gè)條件證明四邊形是菱形
典例4．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（ ）
A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形
C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形
變式4-1．（2021·山東德州·中考真題）如圖，下列條件中能使 SKIPIF 1 < 0 成為菱形的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式4-2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O， SKIPIF 1 < 0 ，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是______________．（只需寫出一個(gè)條件即可）
變式4-3．（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，從① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 中選擇一個(gè)作為條件，補(bǔ)充后使四邊形 SKIPIF 1 < 0 成為菱形，則其選擇是___（限填序號）．
30．（2022·浙江舟山·中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，對角線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)O， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．

若贊同小惠的證法，請?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．
變式4-4．（2022·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．請從以下三個(gè)條件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 中，選擇一個(gè)合適的作為已知條件，使 SKIPIF 1 < 0 為菱形．
(1)你添加的條件是______（填序號）；
(2)添加了條件后，請證明 SKIPIF 1 < 0 為菱形．
考查題型五 菱形的證明
典例5．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形CEDF的周長是_______．
變式5-1．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB SKIPIF 1 < 0 CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連接CE．
(1)求證：四邊形AECD為菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
變式5-2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，延長 SKIPIF 1 < 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
變式5-3．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．點(diǎn)D是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E.延長 SKIPIF 1 < 0 至點(diǎn)F，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為_______．
變式5-4．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）【閱讀材料】
【解答問題】
請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形．
變式5-5．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接BF．FD，DE，EB．
求證：四邊形DEBF是菱形．
變式5-6．（2021·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在⊙O中， SKIPIF 1 < 0 ，OC與AD相交于點(diǎn)E．求證：
（1）AD∥BC
（2）四邊形BCDE為菱形．
變式5-7．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
變式5-8．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）在復(fù)習(xí)菱形的判定方法時(shí)，某同學(xué)進(jìn)行了畫圖探究，其作法和圖形如下：
①畫線段AB；
②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長的一半為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)O；
③在直線MN上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)O重合），連接AC、BC；
④過點(diǎn)A作平行于BC的直線AD，交直線MN于點(diǎn)D，連接BD．
（1）根據(jù)以上作法，證明四邊形ADBC是菱形；
（2）該同學(xué)在圖形上繼續(xù)探究，他以點(diǎn)O為圓心作四邊形ADBC的內(nèi)切圓，構(gòu)成如圖所示的陰影部分，若AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，∠BAD＝30°，求圖中陰影部分的面積．
變式5-9．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．
(1)如圖1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求證：四邊形BCDE是菱形；
(2)如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．
（?。┣蟆螩ED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．
老師的問題：
已知：如圖， SKIPIF 1 < 0 ．
求作：菱形 SKIPIF 1 < 0 ，使點(diǎn)C，D分別在 SKIPIF 1 < 0 上．
小明的作法：
（1）以A為圓心， SKIPIF 1 < 0 長為半徑畫弧，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D；
（2）以B為圓心， SKIPIF 1 < 0 長為半經(jīng)畫弧，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)C；
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 ．
四邊形 SKIPIF 1 < 0 就是所求作的菱形，

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