【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)一 一元一次方程的基礎(chǔ)
等式的概念：用等號(hào)表示相等關(guān)系的式子。
【注意】
1）等式可以是數(shù)字算式，可以是公式、方程，也可以是運(yùn)算律、運(yùn)算法則等。
2）等式與代數(shù)式的區(qū)別：等式含有等號(hào)，表示兩個(gè)式子相等關(guān)系，而代數(shù)式不含等號(hào)，只能作為等式的一邊。
方程的概念：含有未知數(shù)的等式叫做方程。
【特征】它含有未知數(shù)，同時(shí)又是—個(gè)等式。
一元一次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)都是1（次），這樣的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（x為未知數(shù)，a、b是常數(shù)且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知識(shí)點(diǎn)二 等式的性質(zhì)（解一元一次方程的基礎(chǔ)）
等式的性質(zhì)1：等式兩邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。
表示為：如果a=b，則a±c=b±c
等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍相等。
表示為：如果 a=b，那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)，那么 =
【注意事項(xiàng)】
1．等式兩邊都要參加運(yùn)算，并且是同一種運(yùn)算。
2．等式兩邊加或減,乘或除的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子。
3．等式兩邊不能都除以0，即0不能作除數(shù)或分母。
4. 等式左右兩邊互換，所得結(jié)果仍是等式。
考查題型一 等式的性質(zhì)
題型１．（2022·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系： SKIPIF 1 < 0 去分母得 SKIPIF 1 < 0 ，那么其變形的依據(jù)是（ ）
A．等式的性質(zhì)1B．等式的性質(zhì)2C．分式的基本性質(zhì)D．不等式的性質(zhì)2
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 去分母得 SKIPIF 1 < 0 ，其變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2，故選：B．
題型１－１．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）下列說法中，正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A、若ac=bc，當(dāng)c≠0，則a=b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)正確；
D、若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．
題型１－２．（2021·安徽·中考真題）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故A錯(cuò)誤；
B．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故B錯(cuò)誤；
C． SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯(cuò)誤；
D． SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確；故選：D．
題型１－３．（2021·山東聊城·中考真題）若﹣3＜a≤3，則關(guān)于x的方程x＋a＝2解的取值范圍為（ ）
A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5
【詳解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，∵﹣3＜a≤3，∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，故選A．
題型１－４．（2022·福建·中考真題）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．
例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：
設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令 SKIPIF 1 < 0 ，
等式兩邊都乘以x，得 SKIPIF 1 < 0 ．①
等式兩邊都減 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．②
等式兩邊分別分解因式，得 SKIPIF 1 < 0 ．③
等式兩邊都除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．④
等式兩邊都減m，得x＝0.⑤
所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.
以上推理過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．
【詳解】等式的性質(zhì)2為：等式兩邊同乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式不變，
∴第④步等式兩邊都除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，前提必須為 SKIPIF 1 < 0 ，因此錯(cuò)誤；
故答案為：④．
知識(shí)點(diǎn)三 解一元一次方程
合并同類項(xiàng)：把若干能合并的式子的系數(shù)相加，且字母和字母的指數(shù)不變，起到化簡的作用。
移項(xiàng)：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊。（依據(jù)：等式的性質(zhì)1）
去括號(hào)：括號(hào)前負(fù)號(hào)時(shí)，去掉括號(hào)時(shí)里面各項(xiàng)應(yīng)變號(hào)。
去分母：在方程的兩邊都乘以各自分母的最小公倍數(shù)。
【去分母易錯(cuò)點(diǎn)】1）去分母時(shí)不含分母的項(xiàng)也需要乘分母的最小公倍數(shù)。
2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)。
例：嘗試通過計(jì)算加深理解：
解一元一次方程的基本步驟：
考查題型二 解一元一次方程
題型２．（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程 SKIPIF 1 < 0 的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得 SKIPIF 1 < 0 ①
去括號(hào)，得 SKIPIF 1 < 0 ②
移項(xiàng)，得 SKIPIF 1 < 0 ③
合并同類項(xiàng)，得 SKIPIF 1 < 0 ④
以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【詳解】解：方程兩邊同乘6，得 SKIPIF 1 < 0 ①∴開始出錯(cuò)的一步是①，故選：A．
題型２－１．（2022·廣西·中考真題）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【詳解】解：3x＝2x＋7移項(xiàng)得，3x-2x=7；合并同類項(xiàng)得，x＝7；故選：C．
題型２－２．（2021·浙江溫州·中考真題）解方程 SKIPIF 1 < 0 ，以下去括號(hào)正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故選：D．
題型２－３．（2022·浙江金華·中考真題）若分式 SKIPIF 1 < 0 的值為2，則x的值是_______．
【詳解】解：由題意得： SKIPIF 1 < 0
去分母： SKIPIF 1 < 0
去括號(hào)： SKIPIF 1 < 0
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)： SKIPIF 1 < 0
系數(shù)化為1： SKIPIF 1 < 0
經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解，
故答案為：4；
題型２－４．（2021·重慶·中考真題）若關(guān)于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的解是 SKIPIF 1 < 0 ，則a的值為__________．
【詳解】解：根據(jù)題意，知 SKIPIF 1 < 0 ，解得a=3．故答案是：3．
題型２－５．（2022·浙江杭州·中考真題）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ．圓圓在做作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數(shù)字是 SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．
【詳解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，
由題意，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以被污染的數(shù)字是3．
題型２－６．（2021·四川廣元·中考真題）解方程： SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：去分母得： SKIPIF 1 < 0 ，
去括號(hào)得： SKIPIF 1 < 0 ，
移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)得： SKIPIF 1 < 0 ，
系數(shù)化為1得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
知識(shí)點(diǎn)四 實(shí)際問題與一元一次方程
用方程解決實(shí)際問題的步驟：
審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;
設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);
列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;
解：求解方程;
驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;
答：實(shí)際問題的答案.
常見利用方程解決實(shí)際問題等量關(guān)系：
銷售中盈虧問題：
1）成本價(jià)：俗稱進(jìn)價(jià)，是商家進(jìn)貨時(shí)的價(jià)格；
2）標(biāo)價(jià)：商家出售時(shí)標(biāo)注的價(jià)格；
3）打折：打折就是以標(biāo)價(jià)為基礎(chǔ)，按一定比例降價(jià)出售。如：打9折，就是按標(biāo)價(jià)的90℅出售。
4）利潤=售價(jià)－進(jìn)價(jià)，利潤>0時(shí)盈利，利潤0，∴y隨x的增大而增大，當(dāng)x=100時(shí)，y最大為：20×100+6000=8000元，此時(shí)方案為：真絲襯衣件數(shù)進(jìn)貨100件，真絲圍巾進(jìn)貨200件，最大利潤為8000元；
（3）設(shè)降價(jià)z元，根據(jù)題意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z）≥8000×90%，解得：z≤28，∴每件最多降價(jià)28元．
題型４－２．（2022·四川資陽·中考真題）北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜愛，人們爭相購買．現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的“冰墩墩”，已知一個(gè)甲種型號(hào)比一個(gè)乙種型號(hào)多20元，購買甲、乙兩種型號(hào)各10個(gè)共需1760元．
(1)求甲、乙兩種型號(hào)的“冰墩墩”單價(jià)各是多少元？
(2)某團(tuán)隊(duì)計(jì)劃用不超過4500元購買甲、乙兩種型號(hào)的“冰墩墩”共50個(gè)，求最多可購買多少個(gè)甲種型號(hào)的“冰墩墩”？
（1）設(shè)乙種型號(hào)的單價(jià)是x元，則甲種型號(hào)的單價(jià)是 SKIPIF 1 < 0 元．
根據(jù)題意得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
答：甲種型號(hào)的單價(jià)是98元，乙種型號(hào)的單價(jià)是78元．
（2）設(shè)購買甲種型號(hào)的“冰墩墩”a個(gè)，則購買乙種型號(hào)的“冰墩墩” SKIPIF 1 < 0 個(gè)．
根據(jù)題意，得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴a最大值是30．
答：最多可購買甲種型號(hào)的“冰墩墩”30個(gè)．
考查題型五 比賽積分問題
題型５．（2022·貴州銅仁·中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生的安全防范意識(shí)，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識(shí)搶答賽，搶答題一共20個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或不答一個(gè)扣1分．小紅一共得70分，則小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．14B．15C．16D．17
【詳解】解：設(shè)小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為x個(gè)，由題意得，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故選B．
考查題型六 數(shù)字問題
題型６．（2021·吉林·中考真題）古埃及人的“紙草書”中記載了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：一個(gè)數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是33，若設(shè)這個(gè)數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ，則所列方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ．故選C
題型６－１．（2021·山東棗莊·中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮圖．將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，則 SKIPIF 1 < 0 的值為______．
【詳解】解：如圖，由題意，圖中①表示的數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ，
圖中②表示的數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：1．
考查題型七 幾何問題
題型７．（2022·四川自貢·中考真題）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【詳解】解：設(shè)這個(gè)底角的度數(shù)為x，則頂角的度數(shù)為（2x+20°），根據(jù)題意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即這個(gè)底角的度數(shù)為40°．故選：B
題型７－１．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．3D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)，
∴可設(shè) SKIPIF 1 < 0 表示的數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 表示的數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 表示的數(shù)為-3，
故選：A．
考查題型八 和差倍分問題
題型８．（2022·山東東營·中考真題）植樹節(jié)當(dāng)天，七年級(jí)1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的 SKIPIF 1 < 0 ，七年級(jí)2班植樹棵數(shù)是這批樹苗總數(shù)的 SKIPIF 1 < 0 ，則七年級(jí)2班植樹的棵數(shù)是（ ）
A．36B．60C．100D．180
【詳解】解：設(shè)這批樹苗一共有x棵，
由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴七年級(jí)2班植樹的棵數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 棵，故選C．
題型８－１．（2022·湖南岳陽·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：城中有多少戶人家？在這個(gè)問題中，城中人家的戶數(shù)為（ ）
A．25B．75C．81D．90
【詳解】解：設(shè)城中有 SKIPIF 1 < 0 戶人家，
依題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴城中有75戶人家．
故選：B．
題型８－２．（2022·遼寧大連·中考真題）我國古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足．”其大意是：“今有人合伙買豬，每人出100錢，則會(huì)多出100錢；每人出90錢，恰好合適．”若設(shè)共有x人，根據(jù)題意，可列方程為____________．
【詳解】依題意： SKIPIF 1 < 0 .故答案為：100x-100=90x.
題型８－３．（2021·重慶·中考真題）盲盒為消費(fèi)市場注入了活力，既能夠營造消費(fèi)者購物過程中的趣味體驗(yàn)，也為商家實(shí)現(xiàn)銷售額提升拓展了途徑．某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱共22個(gè)，搭配為A，B，C三種盲盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，1個(gè)迷你音箱；B盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，2個(gè)迷你音箱．經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為__________元．
【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)B盒中藍(lán)牙耳機(jī)3a個(gè)，迷你音箱2a個(gè)，優(yōu)盤的數(shù)量為3a+2a=5 a個(gè)，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得，a=1；
設(shè)藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列方程組得， SKIPIF 1 < 0
②-①得， SKIPIF 1 < 0 ，
③×3-①得， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：155．
題型８－４．（2022·廣東·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，幾名學(xué)生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學(xué)生人數(shù)和該書單價(jià)各是多少？
【詳解】解：設(shè)學(xué)生人數(shù)為x人，由題意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴該書的單價(jià)為 SKIPIF 1 < 0 （元），
答：學(xué)生人數(shù)為7人，該書的單價(jià)為53元．
題型８－５．（2022·湖南婁底·中考真題）“綠水青山就是金山銀山”．科學(xué)研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少 SKIPIF 1 < 0 ，若一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)請(qǐng)分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；
(2)婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計(jì)三棵銀杏樹共有約50000片樹葉．問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？
【詳解】（1）解：設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為 SKIPIF 1 < 0 mg，則一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為 SKIPIF 1 < 0 mg，則
SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
答：一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量分別為22mg，40mg．
（2）50000 SKIPIF 1 < 0 （mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克．
題型８－６．（2021·廣西梧州·中考真題）運(yùn)用方程或方程組解決實(shí)際問題：若干學(xué)生分若干支鉛筆，如果每人5支，那么多余3支；如果每人7支，那么缺5支．試問有多少名學(xué)生？共有多少支鉛筆？
【詳解】解：設(shè)學(xué)生有x人，由題意得5x＋3＝7x?5，
解得：x＝4，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意
則6x＋3＝23．
答：學(xué)生有4人，鉛筆23支．
考查題型九 電費(fèi)水費(fèi)問題
題型９．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）某超市糯米的價(jià)格為5元/千克，端午節(jié)推出促銷活動(dòng)：一次購買的數(shù)量不超過2千克時(shí)，按原價(jià)售出，超過2千克時(shí)，超過的部分打8折．若某人付款14元，則他購買了_______千克糯米；設(shè)某人的付款金額為 SKIPIF 1 < 0 元，購買量為 SKIPIF 1 < 0 千克，則購買量 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于付款金額 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)解析式為______．
【詳解】解：，
SKIPIF 1 < 0 超過2千克，
設(shè)購買了 SKIPIF 1 < 0 千克，則 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)某人的付款金額為 SKIPIF 1 < 0 元，購買量為 SKIPIF 1 < 0 千克，則購買量 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于付款金額 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)解析式為：
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：3， SKIPIF 1 < 0 ．
題型９－１．（2021·廣西賀州·中考真題）為了提倡節(jié)約用水，某市制定了兩種收費(fèi)方式：當(dāng)每戶每月用水量不超過 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，按一級(jí)單價(jià)收費(fèi)；當(dāng)每戶每月用水量超過 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，超過部分按二級(jí)單價(jià)收費(fèi)．已知李阿姨家五月份用水量為 SKIPIF 1 < 0 ，繳納水費(fèi)32元．七月份因孩子放假在家，用水量為 SKIPIF 1 < 0 ，繳納水費(fèi)51.4元．
（1）問該市一級(jí)水費(fèi)，二級(jí)大費(fèi)的單價(jià)分別是多少？
（2）某戶某月繳納水費(fèi)為64.4元時(shí)，用水量為多少？
【詳解】（1）設(shè)該市一級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為 SKIPIF 1 < 0 元/ SKIPIF 1 < 0 ，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為 SKIPIF 1 < 0 元/ SKIPIF 1 < 0 ，
依題意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
答：該市一級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為3.2元/ SKIPIF 1 < 0 ，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為6.5元/ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）當(dāng)水費(fèi)為64.4元，則用水量超過 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)用水量為 SKIPIF 1 < 0 ，得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
答：當(dāng)繳納水費(fèi)為64.4元時(shí)，用水量為 SKIPIF 1 < 0 ．
考查題型十 行程問題
題型１０．（2022·江蘇蘇州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時(shí)間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長度單位）”設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：令在相同時(shí)間 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走路快的人的速度 SKIPIF 1 < 0 ，走路慢的人的速度 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 根據(jù)題意可列出的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B．
題型１０－１．（2022·甘肅武威·中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時(shí)起飛，問經(jīng)過多少天相遇？設(shè)經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x天相遇，
根據(jù)題意得： SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0 x=1，
∴（ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ）x=1，
故選：A．
題型１０－２．（2022·遼寧營口·中考真題）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，依題意，得： 240x-150x=150×12．故選：D．
題型１０－３．（2022·湖南常德·中考真題）小強(qiáng)的爸爸平常開車從家中到小強(qiáng)奶奶家，勻速行駛需要4小時(shí)，某天，他們以平常的速度行駛了 SKIPIF 1 < 0 的路程時(shí)遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米／小時(shí)，到達(dá)奶奶家時(shí)共用了5小時(shí)，問小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是多少千米？
【詳解】解：設(shè)小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是 SKIPIF 1 < 0 千米，則平時(shí)每小時(shí)行駛 SKIPIF 1 < 0 千米，減速后每小時(shí)行駛 SKIPIF 1 < 0 千米，由題可知：遇到暴雨前用時(shí)2小時(shí)，遇到暴雨后用時(shí)5-2=3小時(shí)，
則可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
答：小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是240千米．
題型１０－４．（2022·重慶·中考真題）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從 SKIPIF 1 < 0 地沿相同路線騎行去距 SKIPIF 1 < 0 地30千米的 SKIPIF 1 < 0 地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先騎行2千米，甲才開始從 SKIPIF 1 < 0 地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎行的速度；
(2)若乙先騎行20分鐘，甲才開始從 SKIPIF 1 < 0 地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá) SKIPIF 1 < 0 地，求甲騎行的速度．
(1)解：設(shè)乙的速度為 SKIPIF 1 < 0 千米/時(shí)，則甲的速度為 SKIPIF 1 < 0 千米/時(shí)，
由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
答：甲騎行的速度為 SKIPIF 1 < 0 千米/時(shí)；
(2)設(shè)乙的速度為 SKIPIF 1 < 0 千米/時(shí)，則甲的速度為 SKIPIF 1 < 0 千米/時(shí)，
由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
經(jīng)檢驗(yàn) SKIPIF 1 < 0 是分式方程的解，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
答：甲騎行的速度為 SKIPIF 1 < 0 千米/時(shí)．
題型１０－５．（2021·廣西百色·中考真題）據(jù)國際田聯(lián)《田徑場地設(shè)施標(biāo)準(zhǔn)手冊(cè)》，400米標(biāo)準(zhǔn)跑道由兩個(gè)平行的直道和兩個(gè)半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.2米，直道長87米；跑道的彎道是半圓形，環(huán)形跑道第一圈（最內(nèi)圈）彎道半徑為35.00米到38.00米之間．
某校據(jù)國際田聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)校場地實(shí)際，建成第一圈彎道半徑為36米的標(biāo)準(zhǔn)跑道．小王同學(xué)計(jì)算了各圈的長：
第一圈長：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈長：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈長：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
請(qǐng)問：
（1）第三圈半圓形彎道長比第一圈半圓形彎道長多多少米？小王計(jì)算的第八圈長是多少？
（2）小王緊靠第一圈邊線逆時(shí)針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線順時(shí)針騎自行車（均以所靠邊線長計(jì)路程），在如圖的起跑線同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過20秒兩人在直道第一次相遇．若鄧教練平均速度是小王平均速度的2倍，求他們的平均速度各是多少？
（注：在同側(cè)直道，過兩人所在點(diǎn)的直線與跑道邊線垂直時(shí)，稱兩人直道相遇）
【分析】（1）根據(jù)題意，計(jì)算第三圈與第一圈的路程差即可解第一問，根據(jù)題中路程公式，可解得第八圈的路程；
（2）分析兩人在左邊的直道上相遇，且兩人的總路程剛好是第一圈的長度加上兩個(gè)半圓賽道長度的差，小王的速度為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則老師的速度為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，列關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的一元一次方程，解方程即可解題．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，第三圈彎道比第一圈彎道長：
SKIPIF 1 < 0 （米）；
第八圈長： SKIPIF 1 < 0 （米）
答：第三圈彎道比第一圈彎道長15米，第八圈長453米．
（2）由于兩人是第一次相遇，教練的速度更快，且是在直道上兩人相遇，
那么兩人一定在左邊的直道上相遇，
兩人的總路程剛好是第一圈的長度加上兩個(gè)半圓賽道長度的差：
SKIPIF 1 < 0 （米）
設(shè)小王的速度為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則老師的速度為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
答：小王的速度為 SKIPIF 1 < 0 ，老師的速度為 SKIPIF 1 < 0 ．
考查題型十一 其它問題
題型１１．（2022·河北·中考真題）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出．然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個(gè)搬運(yùn)工，這時(shí)水位恰好到達(dá)標(biāo)記位置．如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)搬運(yùn)工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置．已知搬運(yùn)工體重均為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（ ）
A．依題意 SKIPIF 1 < 0 B．依題意 SKIPIF 1 < 0
C．該象的重量是5040斤D．每塊條形石的重量是260斤
【詳解】解：根據(jù)題意可得方程； SKIPIF 1 < 0
則A錯(cuò)誤，B正確；
解上面的方程得：x=240,
故D錯(cuò)誤；
∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤）
故C錯(cuò)誤，
故選：B．
題型１１－１．（2022·四川南充·中考真題）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何．”設(shè)雞有x只，可列方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：設(shè)雞有x只，則兔子有（35-x）只，
根據(jù)題意可得：2x+4(35-x)=94，故選：D．
題型１１－２．（2022·湖北十堰·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐灑一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問清跴酒各幾何?”大意是：現(xiàn)有一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗?酒價(jià)值3斗谷子， 現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清灑， 酳酒各幾斗? 如果設(shè)清酒 SKIPIF 1 < 0 斗，那么可列方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：根據(jù)題意，得：10x+3（5－x）=30，故選：A．
題型１１－３．（2022·青海西寧·中考真題）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，興趣小組的同學(xué)用一根質(zhì)地均勻的輕質(zhì)木桿和若干個(gè)鉤碼做實(shí)驗(yàn)．如圖所示，在輕質(zhì)木桿O處用一根細(xì)線懸掛，左端A處掛一重物，右端B處掛鉤碼，每個(gè)鉤碼質(zhì)量是50g．若OA=20cm，OB=40cm，掛3個(gè)鉤碼可使輕質(zhì)木桿水平位置平衡．設(shè)重物的質(zhì)量為xg，根據(jù)題意列方程得（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：根據(jù)題意得： SKIPIF 1 < 0 ．故選：A．
題型１１－４．（2021·湖南株洲·中考真題）《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十……”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米），其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米……”．問題：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得糲米為（ ）
A．1.8升B．16升C．18升D．50升
【詳解】解：由題可知，3斗的粟即為30升的粟，設(shè)其可以換得糲米為x升，
則 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴可以換得糲米為18升；故選：C．
題型１１－５．（2022·浙江嘉興·中考真題）某動(dòng)物園利用杠桿原理稱象：如圖，在點(diǎn)P處掛一根質(zhì)地均勻且足夠長的鋼梁（呈水平狀態(tài)），將裝有大象的鐵籠和彈簧秤（秤的重力忽略不計(jì)）分別懸掛在鋼梁的點(diǎn)A，B處，當(dāng)鋼梁保持水平時(shí)，彈簧秤讀數(shù)為k（N）．若鐵籠固定不動(dòng)，移動(dòng)彈簧秤使 SKIPIF 1 < 0 擴(kuò)大到原來的n（ SKIPIF 1 < 0 ）倍，且鋼梁保持水平，則彈簧秤讀數(shù)為_______（N）（用含n，k的代數(shù)式表示）．
【詳解】設(shè)彈簧秤新讀數(shù)為x
根據(jù)杠桿的平衡條件可得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
題型１１－６．（2022·江蘇南通·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢。問人數(shù)、羊價(jià)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程為___________．
【詳解】解：依題意，得：5x+45=7x-3．故答案為：5x+45=7x-3．
題型１１－７．（2022·吉林長春·中考真題）《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可??；若每間住9人，則余下一間無人住，設(shè)店中共有x間房，可求得x的值為________．
【詳解】設(shè)店中共有x間房，
由題意得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，店中共有8間房，
故答案為：8．
題型１１－８．（2021·遼寧大連·中考真題）我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齊足”其大意是：“牧童們?cè)跇湎履弥窀透吲d地玩耍，不知與多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若設(shè)有牧童x人，根據(jù)題意，可列方程為__________．
【詳解】解：設(shè)有牧童x人，根據(jù)題意得：6x+14=8x，
題型１１－９．（2021·湖北湖北·中考真題）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：一支竿子一條索，索比竿子長一托，對(duì)折索子來量竿，卻比竿子短一托．如果1托為5尺，那么索長為_______尺．（其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對(duì)折后再去量竿，就比竿短5尺，則繩索長幾尺．）
【詳解】解：設(shè)繩索長 SKIPIF 1 < 0 尺，
由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即繩索長20尺，
故答案為：20．
題型１１－１０．（2022·江蘇連云港·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”其大意是：今有幾個(gè)人共同出錢購買一件物品．每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．問人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？請(qǐng)你求出以上問題中的人數(shù)和物品價(jià)格．
【詳解】解：設(shè)人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 人，由題意得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以物品價(jià)格是 SKIPIF 1 < 0 ．
答：有7人，物品價(jià)格是53錢．
題型１１－１１．（2022·湖南長沙·中考真題）電影《劉三姐》中，有這樣一個(gè)場景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達(dá)的是一道數(shù)學(xué)題．其大意是：把300條狗分成4群，每個(gè)群里，狗的數(shù)量都是奇數(shù)，其中一個(gè)群，狗的數(shù)量少：另外三個(gè)群，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同．問：應(yīng)該如何分？請(qǐng)你根據(jù)題意解答下列問題：
(1)劉三姐的姐妹們以對(duì)歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條給財(cái)主．”請(qǐng)你根據(jù)以上信息，判斷以下三種說法是否正確，在題后相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．
①劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案．（ ）
②劉三姐的姐妹們給出的答案是唯一正確的答案．（ ）
③該歌詞表達(dá)的數(shù)學(xué)題的正確答案有無數(shù)多種．（ ）
(2)若羅秀才再增加一個(gè)條件：“數(shù)量多且數(shù)量相同的三個(gè)群里，每個(gè)群里狗的數(shù)量比數(shù)量較少的那個(gè)群里狗的數(shù)量多40條”，求每個(gè)群里狗的數(shù)量．
(1)根據(jù)題意，姐妹們給出的答案是符合要求的；除此之外，還可分成97,97,97,9等，
SKIPIF 1 < 0 劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案，
∵這里的每群狗的數(shù)量還需要是正整數(shù)，
∴答案不是無數(shù)種，
∴①√，②×，③×，
故答案為：√，×，×；
(2)設(shè)數(shù)量少的狗群的數(shù)量為 SKIPIF 1 < 0 只，則狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為 SKIPIF 1 < 0 只，由題意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （只），
所以，數(shù)量少的群里狗的數(shù)量為45只，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為85只．
題型１１－１２．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某公司專業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，6月初（當(dāng)月月歷如圖）接到一份求購5000件該產(chǎn)品的訂單，要求本月底完成，7月1日按期交貨．
經(jīng)盤點(diǎn)目前公司已有該產(chǎn)品庫存2855件，補(bǔ)充原材料后，從本月7日開始生產(chǎn)剩余數(shù)量的該產(chǎn)品，已知該公司除周六、周日正常休息外，每天的生產(chǎn)量相同．但因受高溫天氣影響，從本月10日開始，每天的生產(chǎn)量比原來減少了25件，截止到17日生產(chǎn)結(jié)束，庫存總量達(dá)3830件．如果按照10日開始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，能否按期完成訂單？請(qǐng)說明理由．如果不能，請(qǐng)你給該公司生產(chǎn)部門提出一個(gè)合理的建議，以確保能按期交貨．
【分析】設(shè)10日開始每天生產(chǎn)量為 SKIPIF 1 < 0 件，根據(jù)題意列出一元一次方程，繼而根據(jù)，如果按照公司10日開始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，截止月底生產(chǎn)的天數(shù)為9天，列出一元一次不等式，求得從20日開始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件，即可求解．
【詳解】解：設(shè)10日開始每天生產(chǎn)量為 SKIPIF 1 < 0 件，
根據(jù)題意，得 SKIPIF 1 < 0 ．
解得， SKIPIF 1 < 0 ．
如果按照公司10日開始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，截止月底生產(chǎn)的天數(shù)為9天，
因此該公司9天共可生產(chǎn)900件產(chǎn)品．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以不能按期完成訂單，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以為確保按期交貨，從20日開始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件．
種類
真絲襯衣
真絲圍巾
進(jìn)價(jià)（元/件）
a
80
售價(jià)（元/件）
300
100
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
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24
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26
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