文字說(shuō)明：1）點(diǎn)A 為共用頂角頂點(diǎn)，看作頭
2）線段AB、AC為等腰?ABC的兩腰，看作兩條手臂
線段AM、AN為等腰?AMN的兩腰，看作兩條手臂
3）點(diǎn)B與點(diǎn)M看作左手，線段BM看作左手拉左手
點(diǎn)C與點(diǎn)N看作右手，線段CN看作右手拉右手
解題步驟：①找共用頂點(diǎn)，確定“四只手”；
②連接對(duì)應(yīng)端點(diǎn)；
③SAS證明全等。
常見(jiàn)模型：

模型一：如圖，直線AB的同一側(cè)作?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)共線），連接BM、CN，兩者相交于點(diǎn)E，則
1）?ABM≌?ACN 2）BM=CN 3）∠MEN=∠2=60°（拉手線的夾角等于頂角）
4）?ANF≌?AMD 5）?AFC≌?ADB 6）連接DF，DF∥BN 7）連接AE，AE平分∠BEN
8）存在3組四點(diǎn)共圓 9）EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF
10）存在多組相似三角形
備注：1）-7）為基礎(chǔ)，8）-10）為提高
證明：
1）∵?ABC和?AMN都為等邊三角形
∴AB=AC，AM=AN，∠1=∠2=60°
∴∠1 +∠CAM =∠2 +∠CAM
則∠BAM=∠CAN
在?ABM和?ACN中
AB=AC
∠BAM=∠CAN ∴?ABM≌?ACN ∴BM=CN，∠BMA=∠CMA, ∠ABM=∠ACN
AM=AN
3)方法一：在?EFM和?AFN中
∵∠MEN+∠EMF+∠3=180°,∠2 +∠FNA+∠4=180°而∠3=∠4，∠EMF=∠FNA
∴∠MEF=∠2=60°
方法二：∵∠MEF=∠EBN+∠BNE
∠MAN=∠ABM+∠AMB 而∠EBN=∠ABM, ∠BNE=∠AMB，∠2=60°
∴∠MEF=∠2=60°
4）∵∠1+∠2+∠5=180°而∠1=∠2=60°∴∠5=60°
在?AFN和?ADM中
∠5=∠2=60°
AM=AN ∴?AFN≌?ADM
∠DMA=∠ANF
5）在?AFC和?ADB中
∠5=∠1=60°
AB=AC ∴?AFC≌?ADB ∴AD=AF
∠ABD=∠ACF
6）∵AD=AF，∠5=60°
∴?ADF是等邊三角形 ∴∠DFA=60°
∴∠DFA=∠2=60°
∴DF∥BN
7）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BM交BM于點(diǎn)P，AQ⊥CN交CN于點(diǎn)Q
∵?ABM≌?ACN ∴S?ABM =S?ACN ,BM=CN
則AP=AQ，∴AE平分∠BEN
8）
① ∵∠ACN=∠ABM ∴∠ACE=∠ABE則點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)共圓
②∵∠ANC=∠AMB ∴∠ANE=∠AME則點(diǎn)A、N、M、E四點(diǎn)共圓
③∵∠BAC=∠MAN=60°∴∠CAM=60°
∵∠MEF=60°∴∠CED=60° 則∠DEF =120°
∵∠CAM+∠DEF=180° 則點(diǎn)A、D、E、F四點(diǎn)共圓
9)
方法一：①過(guò)點(diǎn)M作MY交NC于點(diǎn)Y，使∠EMY=60°
∵∠EMY=∠AMN=∠MEN=60°
∴∠EMY -∠AMY=∠AMN-∠AMY 則∠EMA=∠YMN
∵∠EMY+∠MEY+∠EYM=180° 則∠EYM=60°
∴?MEY是等邊三角形，則EM=EY=MY
∵∠MYN是?MEY的外角，∴∠MYN=120°
∵∠CEB=60°且AE平分∠BEN
∴∠AEF=60°則∠AEM=120°
在?AEM和?NYM
∠EMA=∠YMN
EM =MY ∴?AEM ≌ ?NYM ∴NY=AE
∠AEM=∠MYN =120°
則EN=EY+YN=EM+AE
②過(guò)點(diǎn)A作AZ交BM于點(diǎn)Z，使∠EAZ=60°,證明方法同上
③過(guò)點(diǎn)F作FH交AE于點(diǎn)H，使∠EFH=60°，證明方法同上
方法二:
根據(jù)托勒密定理和8）中內(nèi)容，得
EN?AM=AE?MN+EM?AN 而AM=AN=MN ∴EN=AE+EM
同理EB=EC+EA,EA=ED+EF
*托勒密定理內(nèi)容：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。
10）模型一中存在的相似三角形。（嘗試簡(jiǎn)述證明過(guò)程）
模型二：如圖，?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)不共線），連接BM、CN，兩者相交于點(diǎn)O，則
1）?ABM≌?ACN 2）BM=CN 3）∠MON=60°（拉手線的夾角等于頂角）
4）連接AO，AO平分∠BON 5）存在2組四點(diǎn)共圓
6）ON=OM+OA，OB=OC+OA 7）存在多組相似圖形
模型三：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，連接EB和GD，兩者交于點(diǎn)O，則1）?AGD≌?AEB 2）GD=EB 3）GD⊥EB 4）AO平分∠EOD
證明：
1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形
∴∠GAE =∠BAD=90°，AB=AD，AE=AG
∴∠GAE+∠1=∠BAD+∠1 ∴∠GAD=∠EAB
在?AGD與?AEB中
AE=AG
∠GAD=∠EAB ∴?AGD≌?AEB ∴∠AGD=∠AEB，GD=EB
AB=AD
3）在?GOM與?AEM中
∵∠OGM+∠GMO+∠MOG=180°
∠MEA+∠AME+∠MAE =180° 而∠AGD=∠AEB，∠GMO=∠AME
∴∠MOG=∠MAE=90°
∴GD⊥EB
4）過(guò)點(diǎn)A分別作AW⊥BE交BE于點(diǎn)W, AX⊥GD交GD于點(diǎn)X
∵?AGD≌?AEB ∴S?AGD =S?AEB 而GD=BE
則AW=AX，∴AO平分∠EOD
【提高測(cè)試】
1．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．∠AOB=60°B．AP=BQ
C．PQ∥AED．DE=DP
2．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，分別以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為邊作等邊 SKIPIF 1 < 0 和等邊 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
3．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CE交AD于點(diǎn)F，連接BD交CE于點(diǎn)G，連接BE．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（ ）
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四邊形BCDE＝ SKIPIF 1 < 0 BD?CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4．如圖，正 SKIPIF 1 < 0 和正 SKIPIF 1 < 0 中，B、C、D共線，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)F，以下結(jié)論中正確的有（ ）個(gè)
① SKIPIF 1 < 0 ②連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
A．4B．3C．2D．1
5．如圖，在直線AC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD交于點(diǎn)H，AE與DB交于點(diǎn)G，BE與CD交于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥點(diǎn)H是線段DC的中點(diǎn)．正確的有（ ）
A．6個(gè)B．5個(gè)C．4個(gè)D．3個(gè)
6．如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)在同一直線上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是等邊三角形，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ：下列結(jié)論中正確的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；④△BPO≌△EDO．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
7．如圖，點(diǎn)C是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，有以下5個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（ ）個(gè)
A．1B．2C．3D．4
8．如圖，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，AD與BE相交于點(diǎn)G，BE與AC相交于點(diǎn)F，AD與CE相交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論①△ACD≌△BCE ②∠AGB＝60° ③BF＝AH ④△CFH是等邊三角形 ⑤連CG，則∠BGC＝∠DGC．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空題
9．如圖 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 外兩個(gè)等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，下列說(shuō)法正確的是：________．
① SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；④取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
10．如圖，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；② SKIPIF 1 < 0 ；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是______．（填序號(hào)）
11．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論：①PQ SKIPIF 1 < 0 AE；②∠AOE＝120°；③CO平分∠BCD；④△CPQ是等邊三角形，⑤OC+BO＝AO恒成立的是_____．
12．如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠CHE=_______．
13．在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．
14．如圖， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是兩個(gè)等邊三角形，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
15．如圖，正三角形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結(jié)論有______________．并寫(xiě)出3對(duì)全等三角形___________________________．
16．如圖，C在線段AB上，在AB的同側(cè)作等邊三角形△ACM和△BCN，連接AN，BM，若∠MBN＝38°，則∠ANB＝_____．
三、解答題
17．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)O是 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)， SKIPIF 1 < 0 的兩邊分別與射線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)D、E．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖一所示的位置時(shí)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖二所示的位置時(shí)，線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
18．如圖1，B、C、D三點(diǎn)在一條直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，△ABC和△ECD是等邊三角形．
(1)求證：△ACD≌△BCE；
(2)求∠BOD的度數(shù)；
(3)如圖2，若B、C、D三點(diǎn)不在一條直線上，∠BOD的度數(shù)是否發(fā)生改變？ （填“改變”或“不改變”）
19．（1）如圖1，已知△CAB和△CDE均為等邊三角形，D在AC上，E在CB上，易得線段AD和BE的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線AD和直線BE交于點(diǎn)F．
①判斷線段AD和BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②圖2中∠AFB的度數(shù)是 ．
（3）如圖3，若△CAB和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直線AD和直線BE交于點(diǎn)F，分別寫(xiě)出∠AFB的度數(shù)，線段AD、BE間的數(shù)量關(guān)系．
20．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D、E分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 .
（1）如圖1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的外心在三角形的外部時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
21．如圖，點(diǎn)C為線段 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 都是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)G．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；（2）求證： SKIPIF 1 < 0 （3）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
22．如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE，CF相交于點(diǎn)D,
（1）求證：BE＝CF ；（2）當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng)．
23．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接CE．
（1）如圖（1），若點(diǎn)D在線段BC上， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（不必說(shuō)明理由）
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上移動(dòng)時(shí)，如圖（2）， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．
24．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按背景圖位置擺放（點(diǎn)E，A，D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：
（1）將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請(qǐng)給出證明．如若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由：
（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，（如圖2）試問(wèn)當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)論BE=DG仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且 SKIPIF 1 < 0 ，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG．小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中， BG2+DE2是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值．
25．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)連接起來(lái)得到兩個(gè)全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．
(1)請(qǐng)證明圖1的結(jié)論成立；
(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；
(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．
26．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．
（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；
（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為 ；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
（3）解決問(wèn)題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
27．已知：△ABC與△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．
（1）如圖1，如果A、B、D在一直線上，且∠ABC＝60°，求證：△BMN是等邊三角形；
（2）在第（1）問(wèn)的情況下，直線AE和CD的夾角是 °；
（3）如圖2，若A、B、D不在一直線上，但∠ABC＝60°的條件不變則直線AE和CD的夾角是 °；
（4）如圖3，若∠ACB＝60°，直線AE和CD的夾角是 °．
28．如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．
（1）求證：AE＝DC；
（2）求∠BFE的度數(shù)；
（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．
29．（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知 SKIPIF 1 < 0 ，小涵同學(xué)以AB、AC為邊向 SKIPIF 1 < 0 外作等邊 SKIPIF 1 < 0 和等邊 SKIPIF 1 < 0 ．連接BE，CD、這時(shí)他發(fā)現(xiàn)BE與CD的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）拓展探究：如圖2，已知 SKIPIF 1 < 0 ，小涵同學(xué)以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，試判斷BE與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）解決問(wèn)題：如圖3，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測(cè)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 ，求BE的距離．
30．在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：模型是由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則在相對(duì)位置變化的過(guò)程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下操作：
（1）如圖1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB＞AD），連接BD，CE，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上，且D，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，則在這個(gè)“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是 ，∠BDC的度數(shù)為 ．
（2）如圖2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)判斷線段BD和CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，已知△ABC，請(qǐng)畫(huà)出圖形：以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE（等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都等于60°），連接BE，CD，交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠BPD的度數(shù)．
31．如圖， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是以 SKIPIF 1 < 0 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖1，試判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 恰好在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
（3）如圖3，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)．
32．已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 引一條射線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)．
【問(wèn)題解決】
（1）如圖1，若 SKIPIF 1 < 0 ，射線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．小明同學(xué)展示的做法是：在 SKIPIF 1 < 0 上取一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，通過(guò)已知的條件，從而求得 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出證明過(guò)程；
【類比探究】
（2）如圖2，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
①當(dāng)射線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
②當(dāng)射線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 下方，如圖3所示，請(qǐng)問(wèn) SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)會(huì)變化嗎？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由，若改變，請(qǐng)求出 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)
33．（1）如圖1， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等邊三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)在一條直線上，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如圖2，在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，分別以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 為邊在 SKIPIF 1 < 0 外部作等邊 SKIPIF 1 < 0 ，等邊 SKIPIF 1 < 0 ，等邊 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 恰交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②如圖2，在（2）的條件下，試猜想 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
34．給出定義，若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．
（1）在你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中，寫(xiě)出兩種勾股四邊形的名稱；
（2）如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求證：△BCE是等邊三角形；
②求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
35．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．
（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．
①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出夾角度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
36．如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接BD和CE相交于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．
(1)求證：BD=CE．
(2)求證：AP平分∠BPE．
(3)若α=60°，試探尋線段PE、AP、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
37．邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2 SKIPIF 1 < 0 的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．
（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；
（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個(gè)定值若不是，說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在DE上時(shí)，求α的值．

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