第五章 一元一次方程B卷壓軸題考點訓(xùn)練 1．若關(guān)于x的方程，無論k為任何數(shù)時，它的解總是，那么_______． 2．已知關(guān)于x的方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)k的值為_________． 3．已知關(guān)于的方程的解為x=4，那么關(guān)于的方程的解為___________． 4．如圖，直線AB⊥OC于點O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個頂點與點O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現(xiàn)將三角形EOF以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至三角形E′OF′，同時直線PQ也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至P′Q′，設(shè)運動時間為m秒（0≤m≤20），當(dāng)直線P′Q′平分∠E′OF′時，則∠COP′＝___． 5．我們知道在9點整時，時鐘的分針與時針恰好互相垂直，那么從9點開始，到10點之前，經(jīng)過__________分鐘后，時鐘的時針與分針的夾角為105°． 6．關(guān)于x的方程2a （x+5）＝3x+1無解，則a＝______． 7．某超市出售一種禮品混合糖是由兩種糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的進(jìn)價為15元/千克，糖果的進(jìn)價為10元/千克，按現(xiàn)行價格銷售每千克獲得56%的利潤率．物價上漲，A糖果進(jìn)價上漲20%，糖果進(jìn)價上漲10%，配制后的總進(jìn)價增加了12%，公司為了拓展市場，打算再投入現(xiàn)總進(jìn)價的25%做廣告宣傳，如果要保證每千克利潤不變，則此時這種禮品糖果的利潤率是____． 8．甲、乙兩人騎車從學(xué)校出發(fā)，先上坡到距學(xué)校千米的地，再下坡到距學(xué)校千米的地，甲、乙兩人行駛的路程千米與時間小時之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，若甲、乙兩人同時從地按原路返回到學(xué)校，返回時，甲和乙上、下坡的速度仍保持不變，則在返回途中二人相遇時離地的距離是______ 千米． 9．已知關(guān)于的一元一次方程的解為，那么關(guān)于的y一元一次方程解為__________． 10．已知數(shù)軸上有A，B，C三點，分別代表﹣30，﹣10，10，動點P從A點出發(fā)經(jīng)過2秒后，動點P到A，B，C的距離和為48個單位，則動點P的速度為每秒__________個單位． 11．平價商場經(jīng)銷的甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價60元，利潤為20元；乙種商品每件進(jìn)價50元，售價80元． （1）甲種商品每件進(jìn)價為 　 　元，每件乙種商品利潤率為 　 　． （2）若該商場同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價為2100元，求購進(jìn)甲種商品多少件？ （3）在“元旦”期間，該商場只對甲乙兩種商品進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷活動： 按上述優(yōu)惠條件，若小華一次性購買乙種商品實際付款504元，求小華在該商場購買乙種商品多少件？ 12．某中學(xué)在2021年元旦前夕，由校團(tuán)委組織全校學(xué)生開展一次書法比賽，為表彰在書法比賽中的優(yōu)秀學(xué)生，計劃購買鋼筆30支，毛筆20支，共需1070元，其中每支毛筆比鋼筆貴6元． （1）求鋼筆和毛筆的單價各為多少元？ （2）后來校團(tuán)委決定調(diào)整設(shè)獎方案，擴(kuò)大表彰面，需要購買上面的兩種筆共70支（每種筆的單價不變）．張老師做完預(yù)算后，向財務(wù)處王老師說：“我這次買這兩種筆需支領(lǐng)1574元．”王老師算了一下，說：“如果你用這些錢只買這兩種筆，那么帳肯定算錯了．”請你用學(xué)過的方程知識解釋王老師為什么說他算錯了． （3）張老師突然想起，所做的預(yù)算中還包括校長讓他買的一支簽字筆．如果簽字筆的單價不大于10元，且金額數(shù)為整數(shù)，請通過計算，直接寫出簽字筆的單價可能為_______元． 13．某社區(qū)超市第一次用6000元購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的倍多15件，甲、乙兩種商品的進(jìn)價和售價如表：（注：獲利=售價-進(jìn)價） （1）該超市購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？ （2）該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？ （3）該超市第二次以第一次的進(jìn)價又購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)不變，乙商品的件數(shù)是第一次的3倍；甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多180元，求第二次乙商品是按原價打幾折銷售？ 14．挑戰(zhàn)： （1）在高速公路上，一輛車長，速度為的轎車準(zhǔn)備超越一輛長，速度為的卡車，則轎車從開始追及到超越卡車，需要花費的時間約是______秒； （2）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1：2：1，用兩個相同的管子在容器的高度處連通（即管子底端離容器底），現(xiàn)三個容器中，只有甲中有水，水位高，如圖所示．若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升，則開始注入______分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是． （3）某個體服裝店銷售的服裝只要高出進(jìn)價的便可盈利，但個體服裝店老板們常高出進(jìn)價標(biāo)價，假如你準(zhǔn)備買一件標(biāo)價為200元的服裝，應(yīng)在______至______元的范圍內(nèi)還價，個體服裝老板們便可盈利． 15．解下列方程： (1)； (2)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0； (3)； (4)． 打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施少于等于450元不優(yōu)惠超過450元但不超過600元按售價打九折超過600元其中600元部分八點二折優(yōu)惠，超過600元的部分打三折優(yōu)惠甲乙進(jìn)價（元/件）2230售價（元/件）2940 第五章 一元一次方程B卷壓軸題考點訓(xùn)練 1．若關(guān)于x的方程，無論k為任何數(shù)時，它的解總是，那么_______． 【答案】 【詳解】解：將代入， ， ， 由題意可知：無論為任何數(shù)時恒成立， ， ，， ， 故答案為： 2．已知關(guān)于x的方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)k的值為_________． 【答案】3或7． 【詳解】解：， 解得，， ∵k為整數(shù)，關(guān)于x的方程的解為正整數(shù)， ∴k-2=1或k-2=5， 解得，k=3或k=7， 故答案為：3或7． 3．已知關(guān)于的方程的解為x=4，那么關(guān)于的方程的解為___________． 【答案】 【詳解】解：∵關(guān)于的方程的解為x=4 ∴ ∵，且 ∴??∴ 故答案為：． 4．如圖，直線AB⊥OC于點O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個頂點與點O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現(xiàn)將三角形EOF以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至三角形E′OF′，同時直線PQ也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至P′Q′，設(shè)運動時間為m秒（0≤m≤20），當(dāng)直線P′Q′平分∠E′OF′時，則∠COP′＝___． 【答案】或 【詳解】平分， ， 以每秒的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，以每秒的速度點O順時針旋轉(zhuǎn)， ①如圖1中，當(dāng)平分時， 解得 ， ②如圖2，當(dāng)平分時， 解得 故答案為：或 5．我們知道在9點整時，時鐘的分針與時針恰好互相垂直，那么從9點開始，到10點之前，經(jīng)過__________分鐘后，時鐘的時針與分針的夾角為105°． 【答案】或30 【詳解】解：分針的旋轉(zhuǎn)速度是度/分鐘，時針的旋轉(zhuǎn)速度是0.5度/分鐘，設(shè)經(jīng)過x分鐘后，時鐘的時針與分針的夾角為105°， 分兩種情況： 如圖： 此時，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，則∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°， 解得x=；如圖： 此時，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x， 則∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，解得x=30； 綜上，經(jīng)過或30分鐘后，時鐘的時針與分針的夾角為105°， 故答案為：或30 6．關(guān)于x的方程2a （x+5）＝3x+1無解，則a＝______． 【答案】 【詳解】解：∵，∴，∴， ∵關(guān)于的方程無解，∴，∴， 故答案為：． 7．某超市出售一種禮品混合糖是由兩種糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的進(jìn)價為15元/千克，糖果的進(jìn)價為10元/千克，按現(xiàn)行價格銷售每千克獲得56%的利潤率．物價上漲，A糖果進(jìn)價上漲20%，糖果進(jìn)價上漲10%，配制后的總進(jìn)價增加了12%，公司為了拓展市場，打算再投入現(xiàn)總進(jìn)價的25%做廣告宣傳，如果要保證每千克利潤不變，則此時這種禮品糖果的利潤率是____． 【答案】40% 【詳解】解：A糖果的進(jìn)價為15元/千克，糖果的進(jìn)價為10元/千克， 漲價后，A糖果進(jìn)價上漲20%，變?yōu)?8元；糖果進(jìn)價上漲10%，變?yōu)?1元，總成本上漲12%， 設(shè)每100千克成品中，原料A占x千克，B占（100-x）千克， 則漲價前每100千克成本為15x+10（100-x）， 漲價后每100千克成本為18x+11（100-x）， 解得：x=千克， 100-x=千克， 即二者的比例是：A：B=1：6， 則漲價前每千克的成本為元，銷售價為元， 利潤為6元， 原料漲價后，每千克成本變?yōu)樵?，成本?5%=3元，保證利潤為6元， 則利潤率為：6÷（12+3）=40%． 故答案為40%． 8．甲、乙兩人騎車從學(xué)校出發(fā)，先上坡到距學(xué)校千米的地，再下坡到距學(xué)校千米的地，甲、乙兩人行駛的路程千米與時間小時之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，若甲、乙兩人同時從地按原路返回到學(xué)校，返回時，甲和乙上、下坡的速度仍保持不變，則在返回途中二人相遇時離地的距離是______ 千米． 【答案】5 【詳解】解：乙上坡的速度是：（千米小時），下坡的速度是：（千米小時）． 甲的速度是：（千米小時）， ∵A地距離學(xué)校6千米，B地距離學(xué)校16千米， ∴AB兩地距離10千米， 返回時，上坡，甲與乙之間的距離是越來越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，設(shè)小時乙追上甲． 則有：，小時， 此時離地距離千米． 故答案為：． 9．已知關(guān)于的一元一次方程的解為，那么關(guān)于的y一元一次方程解為__________． 【答案】． 【詳解】解：將關(guān)于的一元一次方程變形為， 即， ∵一元一次方程， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案為： y=3 ． 10．已知數(shù)軸上有A，B，C三點，分別代表﹣30，﹣10，10，動點P從A點出發(fā)經(jīng)過2秒后，動點P到A，B，C的距離和為48個單位，則動點P的速度為每秒__________個單位． 【答案】6或14 【詳解】解：設(shè)動點的速度為每秒個單位，則動點從點出發(fā)經(jīng)過2秒后，動點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為， 由題意得：， 即， ①當(dāng)時，則， 解得，符合題設(shè)； ②當(dāng)時，則， 解得，符合題意； ③當(dāng)時，則， 解得，不符題設(shè)，舍去； 綜上，動點的速度為每秒6或14個單位， 故答案為：6或14． 11．平價商場經(jīng)銷的甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價60元，利潤為20元；乙種商品每件進(jìn)價50元，售價80元． （1）甲種商品每件進(jìn)價為 　 　元，每件乙種商品利潤率為 　 ?。?（2）若該商場同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價為2100元，求購進(jìn)甲種商品多少件？ （3）在“元旦”期間，該商場只對甲乙兩種商品進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷活動： 按上述優(yōu)惠條件，若小華一次性購買乙種商品實際付款504元，求小華在該商場購買乙種商品多少件？ 【答案】（1）40， ；（2）40；（3）7件或8件 【詳解】解：（1）甲種商品每件進(jìn)價為 元， 每件乙種商品利潤率為 ； （2）設(shè)購進(jìn)甲種商品 件，則購進(jìn)乙種商品 件，根據(jù)題意得： ， 解得： ， 答：購進(jìn)甲種商品40件； （3）設(shè)小華打折前應(yīng)付款為y元， ①打折前購物金額超過450元，但不超過600元，由題意得： 0.9y= 504， 解得：y= 560， 560 ÷ 80 = 7（件）， ②打折前購物金額超過600元， 600 × 0.82 +（y-600）× 0.3= 504，解得：y= 640，640÷80=8（件）， 綜上可得：小華在該商場購買乙種商品件7件或8件． 12．某中學(xué)在2021年元旦前夕，由校團(tuán)委組織全校學(xué)生開展一次書法比賽，為表彰在書法比賽中的優(yōu)秀學(xué)生，計劃購買鋼筆30支，毛筆20支，共需1070元，其中每支毛筆比鋼筆貴6元． （1）求鋼筆和毛筆的單價各為多少元？ （2）后來校團(tuán)委決定調(diào)整設(shè)獎方案，擴(kuò)大表彰面，需要購買上面的兩種筆共70支（每種筆的單價不變）．張老師做完預(yù)算后，向財務(wù)處王老師說：“我這次買這兩種筆需支領(lǐng)1574元．”王老師算了一下，說：“如果你用這些錢只買這兩種筆，那么帳肯定算錯了．”請你用學(xué)過的方程知識解釋王老師為什么說他算錯了． （3）張老師突然想起，所做的預(yù)算中還包括校長讓他買的一支簽字筆．如果簽字筆的單價不大于10元，且金額數(shù)為整數(shù)，請通過計算，直接寫出簽字筆的單價可能為_______元． 【答案】（1）鋼筆的單價為19元，毛筆的單價為25元；（2）見詳解；（3）4或10 【詳解】解：（1）設(shè)鋼筆的單價為x元，則毛筆的單價為（x＋6）元， 由題意得：30x＋20（x＋6）＝1070，解得：x＝19，則x＋6＝25， 答：鋼筆的單價為19元，毛筆的單價為25元； （2）設(shè)單價為19元的鋼筆y支，則單價為25元的毛筆為（70?y）支， 根據(jù)題意得：19y＋25（70?y）＝1574， 解得：y＝，不合題意，即張老師肯定搞錯了； （3）設(shè)單價為19元的鋼筆z支，簽字筆的單價為a元， 根據(jù)題意得：19z＋25（70?z）＝1574?a，即6z＝176＋a， 由a，z都是整數(shù)，且176＋a應(yīng)被6整除， 經(jīng)驗算當(dāng)a＝4時，6z＝180，即z＝30，符合題意； 當(dāng)a＝10時，6z＝186，即z＝31，符合題意，則簽字筆的單價為4元或10元．故答案為：4或10． 13．某社區(qū)超市第一次用6000元購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的倍多15件，甲、乙兩種商品的進(jìn)價和售價如表：（注：獲利=售價-進(jìn)價） （1）該超市購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？ （2）該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？ （3）該超市第二次以第一次的進(jìn)價又購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)不變，乙商品的件數(shù)是第一次的3倍；甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多180元，求第二次乙商品是按原價打幾折銷售？ 【答案】（1）購進(jìn)甲種商品150件、乙種商品90件；（2）1950元；（3）8.5折 【詳解】解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)甲種商品x件，則購進(jìn)乙種商品件， 根據(jù)題意得：22x+30=6000， 解得：x=150， ∴=90， 答：該超市第一次購進(jìn)甲種商品150件、乙種商品90件． （2）（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）． 答：該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得利潤1950元． （3）設(shè)第二次乙種商品是按原價打y折銷售， 根據(jù)題意得：（29-22）×150+（40×-30）×90×3=1950+180， 解得：y=8.5． 答：第二次乙商品是按原價打8.5折銷售． 14．挑戰(zhàn)： （1）在高速公路上，一輛車長，速度為的轎車準(zhǔn)備超越一輛長，速度為的卡車，則轎車從開始追及到超越卡車，需要花費的時間約是______秒； （2）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1：2：1，用兩個相同的管子在容器的高度處連通（即管子底端離容器底），現(xiàn)三個容器中，只有甲中有水，水位高，如圖所示．若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升，則開始注入______分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是． （3）某個體服裝店銷售的服裝只要高出進(jìn)價的便可盈利，但個體服裝店老板們常高出進(jìn)價標(biāo)價，假如你準(zhǔn)備買一件標(biāo)價為200元的服裝，應(yīng)在______至______元的范圍內(nèi)還價，個體服裝老板們便可盈利． 【答案】（1）5.76秒；（2）0，，分鐘；（3）120；160 【詳解】解：（1）花費時間x秒，根據(jù)題意得： ， 解方程得x=5.76， ∴需花費時間約是5.76秒； （2）甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為， 注水1分鐘，乙的水位上升cm， 注水1分鐘，丙的水位上升cm， 設(shè)開始注入分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是1cm， 甲與乙的水位高度之差是1cm有三種情況： ①當(dāng)乙的水位低于甲的水位時， 有， 解得：分鐘； ②當(dāng)甲的水位低于乙的水位時，甲的水位不變時， ， 解得：， ， 此時丙容器已向乙容器溢水， 分鐘，，即經(jīng)過分鐘丙容器的水到達(dá)管子底部，乙的水位上升， ，解得：； ③當(dāng)甲的水位低于乙的水位時，乙的水位到達(dá)管子底部，甲的水位上升時， 乙的水位到達(dá)管子底部的時間為：分鐘， ， 解得：， 綜上所述開始注入0，，分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是1cm． （3）設(shè)進(jìn)價為x元，那么x應(yīng)該符合的范圍是 ，解得100≤x≤，那么還價范圍為120≤（1+20%）x≤160， 即應(yīng)該在120至160元之間討價． 15．解下列方程： (1)； (2)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0； (3)； (4)． 【答案】(1) x＝－1.(2) x＝3.(3) x＝－8.(4) x＝0. 【詳解】(1) x＋＝x－； 解： x－x＝－－，x＝－1. (2)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0； 解：278(x－3)＋463×2(x－3)－888×7(x－3)＝0， (278＋463×2－888×7)(x－3)＝0，x＝3. (3) [ (－1)－2]－x＝2； 解：－1－3－x＝2， x＝－8. (4)x－ [x－ (x－9)]＝ (x－9)． 解：x－x＋ (x－9)＝ (x－9)， x＝0， x＝0. 打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施少于等于450元不優(yōu)惠超過450元但不超過600元按售價打九折超過600元其中600元部分八點二折優(yōu)惠，超過600元的部分打三折優(yōu)惠甲乙進(jìn)價（元/件）2230售價（元/件）2940

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