北師大版2023-2024學年七年級數(shù)學上冊壓軸題攻略(成都專用)專題09線段上的動點問題(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

專題09 線段上的動點問題類型一、求線段長度問題例1．數(shù)軸上有A，B，C三點，A，B表示的數(shù)分別為m，n，點C在B的右側(cè)，． (1)如圖1，若多項式是關(guān)于x的二次三項式，請直接寫出m，n的值： (2)如圖2，在（1）的條件下，長度為1的線段（E在F的左側(cè)）在A，B之間沿數(shù)軸水平滑動（不與A，B重合），點M是的中點，N是的中點，在滑動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化，請判斷并說明理由； (3)若點D是的中點． ①直接寫出點D表示的數(shù)____________（用含m，n的式子表示）； ②若，試求線段的長．例2．已知在數(shù)軸上點A、B、C對應的數(shù)分別為a、b、c． (1)如圖1是一個正方體的表面展開圖，已知正方體的每一個面都有一個有理數(shù)，其相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，并且圖2中，點C為線段AB的中點，則a=_____，b=____，c =______； (2)如圖3，若a，b，c滿足， ①=_____，b=_____，c=_____； ②若點A、B沿數(shù)軸同時出發(fā)向右勻速運動，點A速度為2個單位長度/秒，點B速度為1個單位長度/秒．設(shè)運動時間為t秒，運動過程中，當A為BC的中點時，求t的值．例3.已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上） (1)若AB＝11cm，當點C、D運動了1s，求AC+MD的值． (2)若點C、D運動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．【變式訓練1】【新知理解】如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“和諧點”． (1)線段的中點（）這條線段的“和諧點”（填“是”或“不是”）； (2)【初步應用】如圖②，若CD＝12cm，點N是線段CD的和諧點，則CN＝（）cm； (3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點B勻速移動：點Q從點B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設(shè)移動的時間為t，請直接寫出t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．【變式訓練2】已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上） (1)若AB＝11cm，當點C、D運動了1s，求AC+MD的值． (2)若點C、D運動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．【變式訓練3】已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動． (1)如圖1，當為中點時，求的長； (2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．類型二、定值問題例．如圖1，線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點，設(shè)P的運動時間為x秒． (1)P在線段AB上運動，當時，求x的值． (2)當P在線段AB上運動時，求的值． (3)如圖2，當P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長度．如變化，請說明理由．【變式訓練1】如圖，數(shù)軸上點，表示的有理數(shù)分別為，3，點是射線上的一個動點（不與點，重合），是線段靠近點的三等分點，是線段靠近點的三等分點．（1）若點表示的有理數(shù)是0，那么的長為________；若點表示的有理數(shù)是6，那么的長為________；（2）點在射線上運動（不與點，重合）的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出求的長的過程；若改變，請說明理由．【變式訓練2】如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．【變式訓練3】(1)如圖1，在直線上，點在、兩點之間，點為線段PB的中點，點為線段的中點，若，且使關(guān)于的方程無解. ①求線段的長； ②線段的長與點在線段上的位置有關(guān)嗎？請說明理由； (2)如圖2，點為線段的中點，點在線段的延長線上，試說明的值不變. 類型三、數(shù)量關(guān)系例．已知線段AB，點C在直線AB上，D為線段BC的中點． (1)若，，求線段CD的長． (2)若點E是線段AC的中點，請寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式訓練1】如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．（1）請根據(jù)題意將圖形補充完整．直接寫出＝ _______；（2）設(shè)AB ＝ 9cm，點D從點B出發(fā)，點E從點A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運動． ①當點D在線段AB上運動，求的值； ②在點D，E沿直線AB向左運動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點．當點C恰好為線段BD的三等分點時，求MN的長．【變式訓練2】已知代數(shù)式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+9是關(guān)于x的二次多項式，且二次項系數(shù)為b．如圖，在數(shù)軸上有A、B、C三個點，且A、B、C三點所表示的數(shù)分別是a、b、c，已知AC＝6AB．（1）直接依次寫出a、b、c的值：　　，　　，　　；（2）若動點P、Q分別從C、O兩點同時出發(fā)，向右運動，且點Q不超過點A．在運動過程中，E為線段AP的中點，F(xiàn)為線段BQ的中點，若動點P的速度為每秒2個單位長度，動點Q的速度為每秒3個單位長度，則的值是　 ?。?（3）若動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，都以每秒2個單位長度的速度向左運動，動點M從點C出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，設(shè)運動時間為t秒，若動點P、Q分別從C、O兩點同時出發(fā)，3＜t時，數(shù)軸上有一點N與點M的距離始終為2個單位長度，且點N在點M的左側(cè)，T為線段MN上的一點（點T不與M、N重合），在運動的過程中，若滿足MQ﹣NT＝3PT（點T不與點P重合），求出此時線段PT的長度．【變式訓練3】已知點C在線段AB上，AC＝2BC，點D、E在直線AB上，點D在點E的左側(cè)，（1）若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動， ①如圖1，當E為BC中點時，求AD的長； ②當點C是線段DE的三等分點時，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線上移動，且滿足關(guān)系式，則＝　 ?。? 專題09 線段上的動點問題類型一、求線段長度問題例1．數(shù)軸上有A，B，C三點，A，B表示的數(shù)分別為m，n，點C在B的右側(cè)，． (1)如圖1，若多項式是關(guān)于x的二次三項式，請直接寫出m，n的值： (2)如圖2，在（1）的條件下，長度為1的線段（E在F的左側(cè)）在A，B之間沿數(shù)軸水平滑動（不與A，B重合），點M是的中點，N是的中點，在滑動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化，請判斷并說明理由； (3)若點D是的中點． ①直接寫出點D表示的數(shù)____________（用含m，n的式子表示）； ②若，試求線段的長．【答案】(1)，；(2)不變化，理由見解析；(3)①；② 【解析】(1)解：由題可知，n-1=0，7+m=2， ∴，故答案為：， (2)解：MN的長不發(fā)生變化，理由如下：由題意，得點C表示的數(shù)為3，設(shè)點E表示的數(shù)為x，則點F表示的數(shù)為 ∴ ，，，，，， ∵點M是的中點，N是的中點 ∴，，即 (3)解：①∵A，B表示的數(shù)分別為m，n 又點C在B的右側(cè)，∴AB=n-m ∵，∴AC= n-m+2 ∵點D是的中點，∴AD=AC= （n-m+2） ∴D表示的數(shù)為：m+ （n-m+2）= ②依題意，點C表示的數(shù)分別為 ∴， ∴， ∵，即當時．， ∵，∴不符合題意，舍去當時．，綜上所述，線段的長為. 例2．已知在數(shù)軸上點A、B、C對應的數(shù)分別為a、b、c． (1)如圖1是一個正方體的表面展開圖，已知正方體的每一個面都有一個有理數(shù)，其相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，并且圖2中，點C為線段AB的中點，則a=_____，b=____，c =______； (2)如圖3，若a，b，c滿足， ①=_____，b=_____，c=_____； ②若點A、B沿數(shù)軸同時出發(fā)向右勻速運動，點A速度為2個單位長度/秒，點B速度為1個單位長度/秒．設(shè)運動時間為t秒，運動過程中，當A為BC的中點時，求t的值．【答案】(1)-7，3，-2；(2)①-5，-4，3，②當A為BC的中點時，t=3 【解析】(1)解： “a”與“7”相對，“b”與“-3”相對， ∵相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，∴a=-7，b=3， ∵點C為線段AB的中點，∴c==-2，故答案為：-7，3，-2； (2)解：①∵|a+5|≥0，2|b+4|≥0，（c-3）2≥0， ∴a+5=0，b+4=0，c-3=0，∴a=-5，b=-4，c=3，故答案為：-5，-4，3； ②當點A與點C重合時，則2t=3-（-5），解得t=4，當點B與點C重合時，則t=3-（-5），解得t=8，可見點A先到達點C，只存在AB=AC，且點A在點B右側(cè)而在點C左側(cè)的情況， ∴=-5+2t，解得：t=3． ∴當A為BC的中點時，t=3．例3.已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上） (1)若AB＝11cm，當點C、D運動了1s，求AC+MD的值． (2)若點C、D運動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：當點C、D運動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． (2)解：設(shè)運動時間為t，則CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM 故答案為：． (3)解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB， ①當點N在線段AB上時，如圖 ∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=． ②當點N在線段AB的延長線上時，如圖 ∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴=1,即=．綜上所述＝或【變式訓練1】【新知理解】如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“和諧點”． (1)線段的中點（）這條線段的“和諧點”（填“是”或“不是”）； (2)【初步應用】如圖②，若CD＝12cm，點N是線段CD的和諧點，則CN＝（）cm； (3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點B勻速移動：點Q從點B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設(shè)移動的時間為t，請直接寫出t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．【答案】(1)是；(2)6或4或8c；(3)t為3或或或或或6 【解析】(1)解：若點M是線段AB的中點時，滿足AB＝2AM＝2BM， ∴線段的中點是這條線段的“和諧點”，故答案為：是； (2)解：①當N為中點時，CN＝＝6cm； ②N為CD的三等分點，且N靠近C時，CN＝＝4cm； ③N為CD的三等分點且N靠近D時，CN＝＝8cm．故答案為：6cm或4cm或8cm； (3)解：∵AB＝15cm，∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），由題意可知，A不可能為P、Q的和諧點，此情況排除； ①P為A、Q的和諧點，有三種情況： 1）P為中點，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝； 2）P為AQ的三等分點，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝3； 3）P為AQ的三等分點，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝； ②Q為A、P的和諧點，有三種情況： 1）Q為中點，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝6； 2）Q為AP的三等分點，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝； 3）Q為AP的三等分點，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝．綜上所述，t為3或或或或或6時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．【變式訓練2】已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上） (1)若AB＝11cm，當點C、D運動了1s，求AC+MD的值． (2)若點C、D運動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：當點C、D運動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． (2)解：設(shè)運動時間為t，則CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM，故答案為：． (3)解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM，∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB， ①當點N在線段AB上時，如圖 ∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=． ②當點N在線段AB的延長線上時，如圖 ∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，，∴=1,即=．綜上所述＝或【變式訓練3】已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動． (1)如圖1，當為中點時，求的長； (2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．【答案】(1)7；(2)3或5 【解析】(1)，，，，如圖1，為中點，，，∴，∴， (2)Ⅰ、當點在點的左側(cè)，如圖2，或 ∵，，點是的中點， ∴，∴，∴， ∵，故圖2（b）這種情況求不出； Ⅱ、如圖3，當點在點的右側(cè)，或，，∴， ∴，． ∵，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．類型二、定值問題例．如圖1，線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點，設(shè)P的運動時間為x秒． (1)P在線段AB上運動，當時，求x的值． (2)當P在線段AB上運動時，求的值． (3)如圖2，當P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長度．如變化，請說明理由．【答案】(1)；(2)為定值24；(3)．【解析】(1)解：∵M是線段AP的中點，∴，， ∵，∴，解得． (2)解：∵，，， ∴，即為定值24． (3)解：當P在AB延長線上運動時，點P在B點的右側(cè)． ∵，，，， ∴，所以MN的長度無變化是定值．【變式訓練1】如圖，數(shù)軸上點，表示的有理數(shù)分別為，3，點是射線上的一個動點（不與點，重合），是線段靠近點的三等分點，是線段靠近點的三等分點．（1）若點表示的有理數(shù)是0，那么的長為________；若點表示的有理數(shù)是6，那么的長為________；（2）點在射線上運動（不與點，重合）的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出求的長的過程；若改變，請說明理由．【答案】（1）6；6；（2）不發(fā)生改變，MN為定值6，過程見解析【詳解】解：（1）若點P表示的有理數(shù)是0（如圖1），則AP=6，BP=3． ∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點． ∴MP=AP=4，NP=BP=2，∴MN=MP+NP=6；若點P表示的有理數(shù)是6（如圖2），則AP=12，BP=3． ∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點． ∴MP=AP=8，NP=BP=2，∴MN=MP-NP=6．故答案為：6；6．（2）MN的長不會發(fā)生改變，理由如下：設(shè)點P表示的有理數(shù)是a（a＞-6且a≠3）．當-6＜a＜3時（如圖1），AP=a+6，BP=3-a． ∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點． ∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（3-a），∴MN=MP+NP=6；當a＞3時（如圖2），AP=a+6，BP=a-3． ∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點． ∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（a-3），∴MN=MP-NP=6．綜上所述：點P在射線AB上運動（不與點A，B重合）的過程中，MN的長為定值6．【變式訓練2】如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】（1）點P在線段AB的處；（2）或；（3）結(jié)論②的值不變正確，. 【詳解】解：（1）設(shè)運動時間為t秒，則，由得，即，，，即，所以點P在線段AB的處；（2）①如圖，當點Q在線段AB上時，由可知，，， ②如圖，當點Q在線段AB的延長線上時，，，，綜合上述，的值為或；（3）②的值不變. 由點、運動5秒可得，如圖，當點M、N在點P同側(cè)時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，，，，當點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；如圖，當點M、N在點P異側(cè)時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，，，，當點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；所以②的值不變正確，. 【變式訓練3】(1)如圖1，在直線上，點在、兩點之間，點為線段PB的中點，點為線段的中點，若，且使關(guān)于的方程無解. ①求線段的長； ②線段的長與點在線段上的位置有關(guān)嗎？請說明理由； (2)如圖2，點為線段的中點，點在線段的延長線上，試說明的值不變. 【答案】（1）①AB=4；②線段的長與點在線段上的位置無關(guān)，理由見解析；（2）見解析. 【詳解】解：（1）①∵關(guān)于的方程無解．∴=0，解得：n=4．故AB=4． ②線段的長與點在線段上的位置無關(guān)，理由如下： ∵M為線段PB的中點，∴PM= PB．同理：PN= AP．． ∴MN=PN+PM= （PB+AP）= AB= ×4=2． ∴線段MN的長與點P在線段AB上的位置無關(guān)．（2）設(shè)AB=a，BP=b，則PA+PB=a+b+b=a+2b． ∵C是AB的中點，，，所以的值不變. 類型三、數(shù)量關(guān)系例．已知線段AB，點C在直線AB上，D為線段BC的中點． (1)若，，求線段CD的長． (2)若點E是線段AC的中點，請寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)或5 (2)，理由見解析【解析】(1)解：如圖1，當C在點A右側(cè)時， ∵，，∴， ∵D是線段BC的中點，：∴；如圖2，當C在點A左側(cè)時， ∵，，∴， ∵D是線段BC的中點，∴；綜上所述，或5； (2)解：．理由是：如圖3，當C在點A和點B之間時， ∵E是AC的中點，D是BC的中點，∴，， ∴；如圖4，當C在點A左側(cè)時，同理可得：；如圖5，當C在點B右側(cè)時，同理可得：．【變式訓練1】如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．（1）請根據(jù)題意將圖形補充完整．直接寫出＝ _______；（2）設(shè)AB ＝ 9cm，點D從點B出發(fā)，點E從點A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運動． ①當點D在線段AB上運動，求的值； ②在點D，E沿直線AB向左運動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點．當點C恰好為線段BD的三等分點時，求MN的長．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【詳解】解：（1）圖形補充完整如圖， ∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案為：；（2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），設(shè)運動的時間為t秒， cm，cm，， ②當時，∵AB ＝ 9cm， cm，∴cm， ∴cm，cm，運動時間為：18÷3=6（秒），則cm， cm，cm， ∵M，N分別是線段DE、AB的中點．∴cm，cm， cm，當時，∵AB ＝ 9cm， cm，∴cm，∴cm，運動時間為：36÷3=12（秒），則cm，cm，cm， ∵M，N分別是線段DE、AB的中點．∴cm，cm， cm，綜上，MN的長是12cm或24cm．【變式訓練2】已知代數(shù)式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+9是關(guān)于x的二次多項式，且二次項系數(shù)為b．如圖，在數(shù)軸上有A、B、C三個點，且A、B、C三點所表示的數(shù)分別是a、b、c，已知AC＝6AB．（1）直接依次寫出a、b、c的值：　　，　　，　　；（2）若動點P、Q分別從C、O兩點同時出發(fā)，向右運動，且點Q不超過點A．在運動過程中，E為線段AP的中點，F(xiàn)為線段BQ的中點，若動點P的速度為每秒2個單位長度，動點Q的速度為每秒3個單位長度，則的值是　 ??；（3）若動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，都以每秒2個單位長度的速度向左運動，動點M從點C出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，設(shè)運動時間為t秒，若動點P、Q分別從C、O兩點同時出發(fā)，3＜t時，數(shù)軸上有一點N與點M的距離始終為2個單位長度，且點N在點M的左側(cè)，T為線段MN上的一點（點T不與M、N重合），在運動的過程中，若滿足MQ﹣NT＝3PT（點T不與點P重合），求出此時線段PT的長度．【答案】（1）16，20，﹣8；（2）2；（3）PT＝1或PT 【詳解】解：（1）∵是關(guān)于x的二次多項式，二次項的系數(shù)為 ∴a＝16，＝20，∴AB＝4， ∵AC＝6AB，∴AC＝24，∴，∴，故答案為：，，（2）設(shè)點P的出發(fā)時間為t秒，由題意得：①當t時， EF＝AE﹣AFAPBQ+AB（24﹣2t）（20﹣3t）+4＝6， ∴BP﹣AQ＝（28﹣2t）﹣（16﹣3t）＝12+t，∴2； ②當時，此時點與點重合，即AQ＝0，點F對應的數(shù)值為（16+20）＝18；此時點P在點O的右側(cè)，即OP＝2t﹣8，而PB＝|2t﹣8﹣20|＝|28﹣2t|，則點E對應的值為（2t﹣8+16）＝t+4，則EF＝|18﹣（t+4）|＝|14﹣t|，而BP﹣AQ＝PB＝|28﹣2t|，故2；故答案為：（3）設(shè)點P的出發(fā)時間為t秒，P點表示的數(shù)為16﹣2t，Q點表示的數(shù)為20﹣2t，M點表示的數(shù)為6t﹣8，N點表示的數(shù)為6t﹣10，T點表示的數(shù)為x， ∴MQ＝28﹣8t，NT＝x﹣6t+10，PT＝|16﹣2t﹣x|， ∵MQ﹣NT＝3PT， ∴28﹣8t﹣（x+10﹣6t）＝3|16﹣2t﹣x|， ∴x＝15﹣2t或x2t， ∴PT＝1或PT．【變式訓練3】已知點C在線段AB上，AC＝2BC，點D、E在直線AB上，點D在點E的左側(cè)，（1）若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動， ①如圖1，當E為BC中點時，求AD的長； ②當點C是線段DE的三等分點時，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線上移動，且滿足關(guān)系式，則＝　 ?。?【答案】（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或【詳解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12， ①∵E為BC中點，∴CE＝3， ∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7； ②∵點C是線段DE的三等分點，DE＝8， ∴CE＝DE＝或CE＝DE＝， ∴CD＝或CD＝， ∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；（2）當點E在線段BC之間時，如圖，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x， ∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y， ∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y， ∵，∴，∴y＝x， ∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；當點E在點A的左側(cè)，如圖，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC+DE＝y(tǒng)+1.5x， ∴AD＝DC﹣AC＝y(tǒng)+1.5x﹣2x＝y(tǒng)﹣0.5x， ∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴， ∴y＝4x，∴CD＝y(tǒng)+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y(tǒng)+1.5x+x＝6.5x， ∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x， ∴，當點E在線段AC上及點E在點B右側(cè)時，無解，綜上所述的值為或．故答案為：或．