專題02 數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)綜合問題 【知識(shí)點(diǎn)梳理】 1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離 數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|； 2.數(shù)軸上點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律 數(shù)軸上點(diǎn)向右移動(dòng)則數(shù)變大（增加），向左移動(dòng)數(shù)變?。p小）； 當(dāng)數(shù)a表示的點(diǎn)向右移動(dòng)b個(gè)單位長度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a+b；向左移動(dòng)b個(gè)單位長度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a－b. 類型一、求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 例.如圖，已知數(shù)軸上有、、三點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，且與滿足，． (1)直接寫出、的值，___________，___________； (2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，請用含的式子表示線段的長度； (3)在（2）的條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求為何值時(shí)，滿足． 【變式訓(xùn)練1】如圖，已知數(shù)軸上的點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別是－5和1． (1)若P到點(diǎn)A、B的距離相等，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)； (2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)長度單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問：是否存在某個(gè)時(shí)刻t，恰好使得P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的2倍？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由； (3)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過2秒相遇；若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)與點(diǎn)P同向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過6秒相遇，試求P點(diǎn)與Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度（長度單位/秒） 【變式訓(xùn)練2】如圖一，已知數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒 (1)線段__________． (2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長線時(shí)_________．（用含的代數(shù)式表示） (3)如圖二，當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求此時(shí)的長度． (4)當(dāng)點(diǎn)從出發(fā)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線向右運(yùn)動(dòng)， ①點(diǎn)表示的數(shù)為：_________（用含的代數(shù)式表示）， 點(diǎn)表示的數(shù)為：__________（用含的代數(shù)式表示）． ②存在這樣的值，使、、三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，請直接寫出值．______________． 【變式訓(xùn)練3】如圖，單位長度為1的數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，其中A、C點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)． (1)點(diǎn)B表示的數(shù)是________； (2)若線段向左以每秒1單位運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C向左每秒2單位運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過幾秒點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離相等？ (3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以每秒1個(gè)單位向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始以每秒4個(gè)單位在A、C之間做往返運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，請問經(jīng)過幾秒P，Q兩點(diǎn)相遇． 【變式訓(xùn)練4】如圖，數(shù)軸上線段（單位長度），（單位長度），點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-8，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是10，若線段以3個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以1個(gè)單位長度/秒的速度也向右勻速運(yùn)動(dòng)． (1)線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長時(shí)間； (2)問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)（單位長度）； (3)設(shè)線段，開始運(yùn)動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，恰好滿足． 類型二、定值問題 例1．點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b，且a、b滿足． (1)如圖1，求線段AB的長； (2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使，若存在，求出點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)，若不存在，說明理由； (3)如圖2，點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，PA的中點(diǎn)為M，N為PB靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請判斷正確的結(jié)論，并直接寫出該值． 例2.如圖，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)3cm到達(dá)A點(diǎn)，再向右移動(dòng)4cm到達(dá)B點(diǎn)，然后再向右移動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，數(shù)軸上一個(gè)單位長度表示1cm． (1)請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點(diǎn)的位置； (2)把點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離記為CA，則CA=______cm． (3)若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸以每秒3cm勻速向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少秒后點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為3cm？ (4)若點(diǎn)A以每秒1cm的速度勻速向左移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C分別以每秒4cm、9cm的速度勻速向右移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，試探索：的值是否會(huì)隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值． 【變式訓(xùn)練1】如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且a，b滿足，O為原點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）． (1)求a，b的值． (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OB上時(shí)，分別取OB和AP的中點(diǎn)E，F(xiàn)，試探究下列結(jié)論：①的值為定值；②的值為定值，其中有且只有一個(gè)是正確的，請將正確的選出來并求出該值． (3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度在OB間往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PQ＝1時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值． 【變式訓(xùn)練2】如圖，直線上有兩條可以左右移動(dòng)的線段和，線段在線段的左邊，，，且，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)、始終分別是線段、的中點(diǎn)． (1)求線段，的值； (2)若線段以每秒4個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，線段以每秒1個(gè)單位長度的速度也向右運(yùn)動(dòng)，且線段運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)，，求運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)、之間的距離； (3)設(shè)，且線段不動(dòng)，將線段以每秒4個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)．在向右運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)時(shí)間段內(nèi)，是否存在的值為定值，若存在，請直接寫出這個(gè)定值，并直接寫出這個(gè)時(shí)間段；若不存，請說明理由． 【變式訓(xùn)練3】如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且a，b滿足|a+8|=-（b-6）2． (1)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為a＝______，b＝______． (2)若點(diǎn)A，B分別以4個(gè)單位/秒和2個(gè)單位/秒的速度相向而行，則幾秒后A，B兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長度？ (3)若點(diǎn)A，B以（2）中的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從原點(diǎn)O以7個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請問：在運(yùn)動(dòng)過程中，AP+2OB-OP的值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請用t表示這個(gè)值；若不變，請求出這個(gè)定值． 專題02 數(shù)軸上的四種動(dòng)點(diǎn)問題 【知識(shí)點(diǎn)梳理】 1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離 數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|； 2.數(shù)軸上點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律 數(shù)軸上點(diǎn)向右移動(dòng)則數(shù)變大（增加），向左移動(dòng)數(shù)變?。p?。?當(dāng)數(shù)a表示的點(diǎn)向右移動(dòng)b個(gè)單位長度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a+b；向左移動(dòng)b個(gè)單位長度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a－b. 類型一、求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 例.如圖，已知數(shù)軸上有、、三點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，且與滿足，． (1)直接寫出、的值，___________，___________； (2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，請用含的式子表示線段的長度； (3)在（2）的條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求為何值時(shí)，滿足． 【答案】(1)4；10；(2)；(3)當(dāng)或時(shí)，滿足 【解析】(1)解：∵，∴，解得：；故答案為4；10； (2)解：∵，且點(diǎn)A表示的數(shù)為4，∴點(diǎn)C所表示的數(shù)為-20， 由題意可得：，則有點(diǎn)P在數(shù)軸上所表示的數(shù)為，點(diǎn)Q在數(shù)軸上所表示的數(shù)為， ∴； (3)解：由（1）（2）可得：點(diǎn)P在數(shù)軸上所表示的數(shù)為，點(diǎn)Q在數(shù)軸上所表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為4，點(diǎn)B表示的數(shù)為10，點(diǎn)C表示的數(shù)為-20，∴，， ∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，， ①當(dāng)點(diǎn)P、M都在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，可得：，如圖所示： ∴，， ∵，∴，解得：； ②當(dāng)點(diǎn)P、M都在點(diǎn)O的右側(cè)且在點(diǎn)A的左側(cè)，即，如圖所示： ∴，， ∵，∴，解得：（不符合題意，舍去）； ③當(dāng)點(diǎn)P、M都在點(diǎn)A的右側(cè)且在點(diǎn)P、Q沒有重合，即，如圖所示： ∴，， ∵，∴，解得：； ④當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，顯然是不符合； ∴綜上所述：當(dāng)，或． 【變式訓(xùn)練1】如圖，已知數(shù)軸上的點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別是－5和1． (1)若P到點(diǎn)A、B的距離相等，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)； (2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)長度單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問：是否存在某個(gè)時(shí)刻t，恰好使得P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的2倍？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由； (3)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過2秒相遇；若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)與點(diǎn)P同向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過6秒相遇，試求P點(diǎn)與Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度（長度單位/秒） 【答案】(1)；(2)存在；2或6；(3)2單位長度/秒；1單位長度/秒 【解析】(1)點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別是-5和1， 設(shè)點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為x，則，， ∵，∴，解得：， ∴點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為-2； (2)P對應(yīng)的數(shù)為，∴，， ∵，∴， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 答：當(dāng)或6時(shí)，恰好使得P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的2倍； (3)設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度m單位長度/秒，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度n單位長度/秒，根據(jù)題意得， ，解得：， 答：P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度2單位長度/秒，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度1單位長度/秒． 【變式訓(xùn)練2】如圖一，已知數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒 (1)線段__________． (2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長線時(shí)_________．（用含的代數(shù)式表示） (3)如圖二，當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求此時(shí)的長度． (4)當(dāng)點(diǎn)從出發(fā)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線向右運(yùn)動(dòng)， ①點(diǎn)表示的數(shù)為：_________（用含的代數(shù)式表示）， 點(diǎn)表示的數(shù)為：__________（用含的代數(shù)式表示）． ②存在這樣的值，使、、三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，請直接寫出值．______________． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)①；?????②秒或秒或秒或秒 【解析】(1)解：∵在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為－6，點(diǎn)B表示的數(shù)為8， ∴． 故答案為：14 (2)∵在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒， ∴， ∴． 故答案為： (3)∵點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)秒時(shí)，， ∴， 又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)， ∴，， ∴． ∴此時(shí)的長度為． (4)①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線向右運(yùn)動(dòng)， ∴，， ∴點(diǎn)所表示的數(shù)為：，點(diǎn)所表示的數(shù)為：， 故答案為：； ②結(jié)合①的結(jié)論和點(diǎn)所表示的數(shù)，可知： 點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)所表示的數(shù)為：，點(diǎn)所表示的數(shù)為：， 分以下三種情況：若點(diǎn)為中點(diǎn)，則， ∴，解得：或； 若點(diǎn)為中點(diǎn)，則， ∴，解得：； 若點(diǎn)為中點(diǎn)，則， ∴，解得：． 綜上所述，當(dāng)為秒或秒或秒或秒時(shí)，、、三點(diǎn)中有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)． 【變式訓(xùn)練3】如圖，單位長度為1的數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，其中A、C點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)． (1)點(diǎn)B表示的數(shù)是________； (2)若線段向左以每秒1單位運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C向左每秒2單位運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過幾秒點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離相等？ (3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以每秒1個(gè)單位向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始以每秒4個(gè)單位在A、C之間做往返運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，請問經(jīng)過幾秒P，Q兩點(diǎn)相遇． 【答案】(1)-1；(2)6.5秒；(3)經(jīng)過1.6秒或秒或4.8秒8秒后，P、Q兩點(diǎn)相遇． 【解析】(1)解：、點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)．， 、點(diǎn)表示的數(shù)為，4， 點(diǎn)表示的數(shù)是， 故答案為：； (2)解：設(shè)經(jīng)過秒點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離相等，由題意得： ，解得， 答：經(jīng)過6.5秒點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離相等； (3)解：設(shè)經(jīng)過秒、兩點(diǎn)相遇， ①當(dāng)點(diǎn)第一次從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中，解得秒； ②當(dāng)點(diǎn)第一次從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中，，解得秒； ③當(dāng)點(diǎn)第二次從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中，解得秒； ④當(dāng)點(diǎn)第一次從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中，解得秒； 答：經(jīng)過1.6秒或秒或4.8秒8秒后，、兩點(diǎn)相遇． 【變式訓(xùn)練4】如圖，數(shù)軸上線段（單位長度），（單位長度），點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-8，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是10，若線段以3個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以1個(gè)單位長度/秒的速度也向右勻速運(yùn)動(dòng)． (1)線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長時(shí)間； (2)問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)（單位長度）； (3)設(shè)線段，開始運(yùn)動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，恰好滿足． 【答案】(1)秒；(2)①、相遇之前：秒，②、相遇之后：秒 (3)當(dāng)為5秒或9秒后恰好滿足 【解析】(1)解：、相遇后到A點(diǎn)完全離開： 秒 (2)解：①、相遇之前：秒 ②、相遇之后：秒 (3)由題可得，秒后A，，，可分別表示為：A：，：，：，：． 則：，， ①、相遇之前，由題可得：，， ②、相遇之后，由題可得：，， 綜上所述：當(dāng)為5秒或9秒后恰好滿足． 類型二、定值問題 例1．點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b，且a、b滿足． (1)如圖1，求線段AB的長； (2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使，若存在，求出點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)，若不存在，說明理由； (3)如圖2，點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，PA的中點(diǎn)為M，N為PB靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請判斷正確的結(jié)論，并直接寫出該值． 【答案】(1)4；(2)存在，當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)為-1.5或3.5時(shí)，；理由見解析 (3)結(jié)論①正確，=2 【解析】(1)解：∵|a+1|+（b-3）2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3， ∴AB=|-1-3|=4．答：AB的長為4； (2)解：存在，∵，∴x=-2，∴BC==5． 設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是m，∵，∴|m+1|+|m-3|=5， 令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3． ①當(dāng)m≤-1時(shí)，-m-1+3-m=5，m=-1.5； ②當(dāng)-1＜m≤3時(shí)，m+1+3-m=5，（舍去）； ③當(dāng)m＞3時(shí)，m+1+m-3=5，m=3.5．∴當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)為-1.5或3.5時(shí)，； (3)解：設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為n，∴PA=n+1，PB=n-3． ∵PA的中點(diǎn)為M，∴PM=PA=． ∵N為PB的四等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，∴BN=PB=，∴①PM-2BN=-2×=2（不變）， ②PM+BN=+×=（隨點(diǎn)P的變化而變化）， ∴正確的結(jié)論為①，且PM-2BN=2． 例2.如圖，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)3cm到達(dá)A點(diǎn)，再向右移動(dòng)4cm到達(dá)B點(diǎn)，然后再向右移動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，數(shù)軸上一個(gè)單位長度表示1cm． (1)請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點(diǎn)的位置； (2)把點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離記為CA，則CA=______cm． (3)若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸以每秒3cm勻速向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少秒后點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為3cm？ (4)若點(diǎn)A以每秒1cm的速度勻速向左移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C分別以每秒4cm、9cm的速度勻速向右移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，試探索：的值是否會(huì)隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值． 【答案】(1)見解析；(2)；(3)經(jīng)過或秒后點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為3cm (4)的值不會(huì)隨著t的變化而變化， 【解析】(1)解：由題意得：A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為1，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為， 點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上表示如圖： (2)解：設(shè)原點(diǎn)為O，如圖， ∴，，∴． 故答案為：． (3)解：①當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為3cm， 由題意得：，解得：． ②當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為3cm， 由題意得：，解得：． 綜上，經(jīng)過或秒后點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為3cm． (4)解：的值不會(huì)隨著t的變化而變化，． 由題意：，， ∵移動(dòng)t秒后，，， ∴．∴的值不會(huì)隨著t的變化而變化，． 【變式訓(xùn)練1】如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且a，b滿足，O為原點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）． (1)求a，b的值． (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OB上時(shí)，分別取OB和AP的中點(diǎn)E，F(xiàn)，試探究下列結(jié)論：①的值為定值；②的值為定值，其中有且只有一個(gè)是正確的，請將正確的選出來并求出該值． (3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度在OB間往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PQ＝1時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值． 【答案】(1)；(2)①正確，該定值為2；(3)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間或t＝4或t＝6或 【解析】(1)由題得，∵，， ∴，，∴a+2＝0，b－5＝0，∴． (2)設(shè)P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為x，則，∵OB與AP的中點(diǎn)分別為E、F，則E點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，F(xiàn)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，則AB＝7，OP＝x，， 對于①有為定值， 對于②有不為定值． ∴①正確，該定值為2． (3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到6對應(yīng)的點(diǎn)時(shí)t＝8，此后PB>1恒成立，由于Q在OB間往返運(yùn)動(dòng)． 則PQ＝1不會(huì)再成立，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O時(shí)，t＝2， ∴，且由題得P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為t－2， 點(diǎn)Q第一次到達(dá)O時(shí)，，點(diǎn)Q第一次到達(dá)B時(shí)，， 點(diǎn)Q第二次到達(dá)O時(shí)，， ∴①時(shí)，Q點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為．則， I． 11－3t＝1，， II． 11－3t＝－1，t＝4． ②時(shí)，Q點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為， ， I．t－7＝1，t＝8（舍）， II．t－7＝－1，t＝6． ③時(shí)，Q點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，， I． 21－3t ＝1，（舍）， II． 21－3t ＝－1，． 綜上P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間或t＝4或t＝6或． 【變式訓(xùn)練2】如圖，直線上有兩條可以左右移動(dòng)的線段和，線段在線段的左邊，，，且，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)、始終分別是線段、的中點(diǎn)． (1)求線段，的值； (2)若線段以每秒4個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，線段以每秒1個(gè)單位長度的速度也向右運(yùn)動(dòng)，且線段運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)，，求運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)、之間的距離； (3)設(shè)，且線段不動(dòng)，將線段以每秒4個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)．在向右運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)時(shí)間段內(nèi)，是否存在的值為定值，若存在，請直接寫出這個(gè)定值，并直接寫出這個(gè)時(shí)間段；若不存，請說明理由． 【答案】(1)m＝8，n＝16；(2)運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)B、C之間的距離為10或2； (3)當(dāng)9≤t≤12時(shí)，MN＋AD＝12為定值． 【解析】(1)∵|m?8|＋（n?16）2＝0，∴m?8＝0，n?16＝0，解得：m＝8，n＝16； (2)由（1）可得：AB＝8，CD＝16， ∵點(diǎn)M、N始終分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，∴AM＝BM＝AB＝4，CN＝DN＝CD＝8， ①若6秒后，M′在點(diǎn)N′左邊時(shí)，由MN＋NN′＝MM′＋M′N′， 即4＋8＋BC＋6×1＝6×4＋4，解得：BC＝10， ②若6秒后，M′在點(diǎn)N′右邊時(shí)，則MM′＝MN＋NN′＋M′N′， 即6×4＝4＋BC＋8＋6×1＋4，解得BC＝2， 綜上，運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)B、C之間的距離為10或2； (3)存在．運(yùn)動(dòng)t秒后：MN＝|36?4t|，AD＝|48?4t|， 當(dāng)0≤t＜9時(shí)，MN＋AD＝84?8t， 當(dāng)9≤t≤12時(shí)，MN＋AD＝12， 當(dāng)t＞12時(shí)，MN＋AD＝8t?84， ∴當(dāng)9≤t≤12時(shí)，MN＋AD＝12為定值． 【變式訓(xùn)練3】如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且a，b滿足|a+8|=-（b-6）2． (1)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為a＝______，b＝______． (2)若點(diǎn)A，B分別以4個(gè)單位/秒和2個(gè)單位/秒的速度相向而行，則幾秒后A，B兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長度？ (3)若點(diǎn)A，B以（2）中的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從原點(diǎn)O以7個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請問：在運(yùn)動(dòng)過程中，AP+2OB-OP的值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請用t表示這個(gè)值；若不變，請求出這個(gè)定值． 【答案】(1)-8；6；(2)2秒或秒；(3)不變，20 【解析】(1)解：∵a，b滿足|a+8|=-（b-6）2， ∴a+8=0，b-6=0，∴a=-8，b=6．故答案為：-8；6； (2)解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒時(shí)，點(diǎn)A表示的數(shù)為4x-8，點(diǎn)B表示的數(shù)為-2x+6． 依題意得：|-2x+6-（4x-8）|=2， 即14-6x=2或6x-14=2，解得：x=2或x=． 答：經(jīng)過2秒或秒后，A，B兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長度； (3)解：在運(yùn)動(dòng)過程中，AP+2OB-OP的值不會(huì)發(fā)生變化． 當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)A表示的數(shù)為4t-8，點(diǎn)B表示的數(shù)為2t+6，點(diǎn)P表示的數(shù)為7t， ∴AP=7t-（4t-8）=3t+8，OB=2t+6，OP=7t， ∴AP+2OB-OP=（3t+8）+2（2t+6）-7t=3t+8+12+4t-7t=20． ∴在運(yùn)動(dòng)過程中，AP+2OB-OP的值不會(huì)發(fā)生變化，該定值為20．

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