例題1如圖，已知△ABC，點(diǎn)O是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，B，C重合的任意一點(diǎn)，連接OA，OB，OC，并順次連接AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G得四邊形DEFG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）若使四邊形DEFG為矩形，則OA與BC的位置關(guān)系是 ；若使四邊形DEFG為菱形，則OA與BC的數(shù)量關(guān)系 ．
【答案】（1）見解析；（2）OA⊥BC，OA＝BC
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DG SKIPIF 1 < 0 BC，DG＝ SKIPIF 1 < 0 BC，EF SKIPIF 1 < 0 BC，EF＝ SKIPIF 1 < 0 BC，進(jìn)而可得DG SKIPIF 1 < 0 EF，DG＝EF，再由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；
（2）由矩形的判定和菱形的判定可得出答案．
【詳解】
（1）證明：∵D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DG SKIPIF 1 < 0 BC，DG＝ SKIPIF 1 < 0 BC，
∵E、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，
∴EF SKIPIF 1 < 0 BC，EF＝ SKIPIF 1 < 0 BC，
∴DG＝EF，DG SKIPIF 1 < 0 EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）解：當(dāng)四邊形DEFG是矩形，OA⊥BC．
由三角形中位線性質(zhì)得∠EDG＝90°，
所以平行四邊形DEFG是矩形．
當(dāng)OA＝BC時(shí)，四邊形DEFG是菱形．
由三角形中位線性質(zhì)得DE＝EF，
所以平行四邊形DEFG是菱形．
故答案為：OA⊥BC，OA＝BC．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，矩形的判定，菱形的判定，解本題的關(guān)鍵是判定四邊形DEFG是平行四邊形．
練習(xí)題
1．我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．
（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？
（2）任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中點(diǎn)四邊形分別是什么形狀？為什么？
【答案】（1）平行四邊形，理由見解析；（2）平行四邊形；理由見解析；（3）菱形、矩形、正方形．理由見解析．
【解析】
【分析】
（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求證；
（2）連接AC，DB，根據(jù)三角形的中位線定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求證；
（3）利用（1）的判定方法，再根據(jù)三角形的中位線定理和矩形、菱形、正方形的判定方法來判定，即可求證．
【詳解】
（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由如下：
已知四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接BD，如圖1：
∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，
∴EH是△ABD的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴FG是△BCD的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴EH∥GF，EH =FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由如下：
已知平行四邊形ABCD，E，N，M，F(xiàn)分別是DA，AB，BC，DC的中點(diǎn)，連接AC，DB，如圖2：
∵E，F(xiàn)分別是DA，DC的中點(diǎn)，
∴EF是△ACD的中位線，
∴EF∥AC，EF= SKIPIF 1 < 0 ，
∵M(jìn)，N分別是BC，AB的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN∥AC，MN= SKIPIF 1 < 0 AC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四邊形MNEF是平行四邊形；
（3）如果原四邊形為矩形，則形成的中點(diǎn)四邊形為菱形，理由如下：
已知矩形ABCD，H，E，F(xiàn)，G分別是DA，AB，BC，DC的中點(diǎn)，連接AC，DB，如圖：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，
∴EH是△ABD的中位線，
∴EH= SKIPIF 1 < 0 BD，
∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴GF是△BCD的中位線，
∴GF= SKIPIF 1 < 0 BD，
∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF= SKIPIF 1 < 0 AC，
∵G是CD的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，
∴GH是△ACD的中位線，
∴GH= SKIPIF 1 < 0 AC，
又∵AC=BD，
∴EF=GF=EH=GH，四邊形EFGH是菱形；
如果原四邊形為菱形，則形成的中點(diǎn)四邊形為矩形，
理由如下；已知菱形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接BD，AC，如圖：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，
∴EH是△ABD的中位線，
∴EH∥BD， SKIPIF 1 < 0 ，
∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴GF是△BCD的中位線，
∴GF∥BD， SKIPIF 1 < 0 ，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥EH，
∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AC，
∴EH⊥EF，
∴四邊形EFGH是矩形；
如果原四邊形為正方形，則形成的中點(diǎn)四邊形為正方形，理由如下：
已知正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接BD，AC，如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，
∴EH是△ABD的中位線，
∴EH∥BD，EH= SKIPIF 1 < 0 BD，
∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴GF是△BCD的中位線，
∴GF∥BD，GF= SKIPIF 1 < 0 BD，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥EH，
∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AC，EF= SKIPIF 1 < 0 AC，
∴EF⊥EH，
∴四邊形EFGH是矩形，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四邊形EFGH是正方形．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是 ．
（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．
（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．
【答案】（1）平行四邊形；（2）菱形，見解析；（3）正方形
【解析】
【分析】
（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理證明EH∥FG，EH=FG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；
（2）證明△APC≌△BPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，再證明EF=FG，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；
（3）證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明即可．
【詳解】
解：（1）如圖1，連接BD，
∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，EH= SKIPIF 1 < 0 BD，
∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，
∴FG∥BD，F(xiàn)G= SKIPIF 1 < 0 BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，
故答案為：平行四邊形；
（2）結(jié)論：四邊形EFGH是菱形，
理由：如圖2，連接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，
∴EF= SKIPIF 1 < 0 AC，F(xiàn)G= SKIPIF 1 < 0 BD，
∴EF=FG，
由（1）知中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是菱形；
（3）結(jié)論：四邊形EFGH是正方形，
理由：如圖2，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠DOC=90°，
由（2）知中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，學(xué)會(huì)添加常用輔助線．
3．如圖， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是四邊形 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)角線，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的中點(diǎn)

（1）求證：線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互相平分；
（2）四邊形 SKIPIF 1 < 0 滿足什么條件時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ？證明你得到的結(jié)論．
【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，EG⊥FH，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）連接EF、GF、GH、HE，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥AB，EF= SKIPIF 1 < 0 AB，GH∥AB，GH= SKIPIF 1 < 0 AB，證明四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的判定定理得到平行四邊形EFGH是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)定理證明即可．
【詳解】
解：（1）證明：連接EF、GF、GH、HE，
∵點(diǎn)E、F分別是線段AD、DB的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，EF= SKIPIF 1 < 0 AB，
∵點(diǎn)G、H分別是線段BC、AC的中點(diǎn)，
∴GH∥AB，GH= SKIPIF 1 < 0 AB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∴線段EG、FH互相平分；
（2）解：當(dāng)AB=CD時(shí)，EG⊥FH，
理由如下：∵點(diǎn)G、F分別是線段BC、BD的中點(diǎn)，
∴GF= SKIPIF 1 < 0 CD，
∵AB=CD，
∴EF=GF，
∴平行四邊形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握菱形的對(duì)角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．
4．如圖1，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，如果對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．
（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；
②若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是等角線四邊形 SKIPIF 1 < 0 四邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 還要滿足______時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
（2）如圖2，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為平面內(nèi)一點(diǎn)．
①若四邊形 SKIPIF 1 < 0 是等角線四邊形，且 SKIPIF 1 < 0 ，求符合條件的等角線四邊形的面積．
②設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在平面上的任意一點(diǎn)且 SKIPIF 1 < 0 ，若四邊形 SKIPIF 1 < 0 是等角線四邊形，求出四邊形 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值，并說明理由．
【答案】（1）①矩形；② SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②18，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，只有矩形的對(duì)角線相等，所以矩形是等角線四邊形；②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，首先證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，再證明有一個(gè)角是直角即可；
（2）①如圖2中，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．根據(jù) SKIPIF 1 < 0 計(jì)算，求出相關(guān)線段即可；②如圖3中，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，只要證明當(dāng) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共線時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積最大即可．
【詳解】
解：（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，
SKIPIF 1 < 0 矩形的對(duì)角線相等，
SKIPIF 1 < 0 矩形一定是等角線四邊形，
故答案為：矩形；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
理由：如圖1，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是等角線四邊形 SKIPIF 1 < 0 四邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①如圖2，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是等角線四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ；
②如圖3中，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是等角線四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即線段 SKIPIF 1 < 0 最大時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積最大，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最大值為6，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共線時(shí)，取等號(hào)，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】
本題考查四邊形綜合題、中點(diǎn)四邊形、三角形中位線定理、正方形的判定和性質(zhì)、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解等角線四邊形的定義，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
5．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．
（1）如圖1，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形 SKIPIF 1 < 0 是_______________．
（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并證明你的猜想．
（3）若改變（2）中的條件，使 SKIPIF 1 < 0 ，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．
【答案】（1）平行四邊形；（2）四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，證明見解析；（3）四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
【解析】
【分析】
（1）如圖1中，連接BD，根據(jù)三角形中位線定理可得：EH∥FG， SKIPIF 1 < 0 ，然后利用平行四邊形的判定定理即可證明；
（2）四邊形EFGH是菱形．先證明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角形中位線定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)菱形的判定定理即可證明；
（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)正方形的判定定理即可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：如圖1中，連接BD，
∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，
∴EH∥BD， SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，
∴FG∥BD， SKIPIF 1 < 0 ，
∴EH∥FG， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）解：如圖2中，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（3）四邊形EFGH是正方形，
證明：如圖2中，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，AC與PD交于點(diǎn)M，AC與EH交于點(diǎn)N．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴四邊形EFGH是正方形．
【點(diǎn)睛】
題目主要考查平行四邊形、菱形、正方形的判定定理及三角形的中位線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．
6．四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．
（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：
①當(dāng)對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形；
②當(dāng)對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．
（2）如圖：四邊形ABCD中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．
【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形見解析
【解析】
【分析】
（1）①連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH都是平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；
②根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明；
（2）分別延長BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，證明 SKIPIF 1 < 0 ，得到AC=DB，根據(jù)（1）①證明即可．
【詳解】
（1）解：（1）①連接AC、BD，
∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，
∴EH∥FG，
同理EF∥HG，
∴四邊形EFGH都是平行四邊形，
∵對(duì)角線AC=BD，
∴EH=EF，
∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是菱形；
②當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，EF⊥EH，
∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是矩形；
故答案為：菱；矩；
（2）四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．理由如下：
分別延長BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等，中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是矩形、菱形的判定、中點(diǎn)四邊形的定義，掌握中點(diǎn)四邊形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，順次連接E、G、F、H．
（1）求證：四邊形EGFH是菱形．
（2）當(dāng)∠ABC與∠DCB滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形EGFH為正方形，并說明理由．
（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三個(gè)角之間的關(guān)系，并證明你的猜想是成立的．
【答案】（1）見解析（2）當(dāng)∠ABC＋∠DCB＝90°時(shí)，四邊形EGFH為正方形（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EG＝ SKIPIF 1 < 0 AB，EH＝ SKIPIF 1 < 0 CD，HF＝ SKIPIF 1 < 0 AB，EG SKIPIF 1 < 0 AB，HF SKIPIF 1 < 0 AB，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根據(jù)平角的定義得到∠GFH＝90°，于是得到結(jié)論；
（3）由平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，
∴EG＝ SKIPIF 1 < 0 AB，EH＝ SKIPIF 1 < 0 CD，HF＝ SKIPIF 1 < 0 AB，EG SKIPIF 1 < 0 AB，HF SKIPIF 1 < 0 AB，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，EG＝EH，
∴四邊形EGFH是菱形；
（2）當(dāng)∠ABC＋∠DCB＝90°時(shí)，四邊形EGFH為正方形，
理由：∵GF SKIPIF 1 < 0 CD，HF SKIPIF 1 < 0 AB，
∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，
∵∠ABC＋∠DCB＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴菱形EGFH是正方形；
（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°，
理由：∵GF SKIPIF 1 < 0 CD，HF SKIPIF 1 < 0 AB，
∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，
∵∠BFG＋∠GFH＋∠HFC＝180°，
∴∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了中點(diǎn)四邊形，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．已知：在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖1，E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)、求證：四邊形EFGH是菱形；
（2）如圖2，若菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在AD，AB，CD上， SKIPIF 1 < 0 ．
①連接BG，若 SKIPIF 1 < 0 ，求AF的長；
②設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，△GFB的面積為S，且S滿足函數(shù)關(guān)系式 SKIPIF 1 < 0 ．在自變量m的取值范圍內(nèi)，是否存在m，使菱形EPGH面積最大？若存在，請直接寫出菱形EFGH面積最大值，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②存在m= SKIPIF 1 < 0 ，菱形EFGH面積最大為 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即結(jié)論得證；
（2）①過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 延長線于 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 證 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 即可；
②延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延長線于 SKIPIF 1 < 0 ，由①知 SKIPIF 1 < 0 ，同理可證 SKIPIF 1 < 0 ，則菱形的面積 SKIPIF 1 < 0 矩形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積，得出關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系式即可得出 SKIPIF 1 < 0 最大時(shí)菱形面積最大，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重合時(shí) SKIPIF 1 < 0 有最大值，求出此時(shí)的 SKIPIF 1 < 0 值即可．
【詳解】
解：（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）①如圖2，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 延長線于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
②如圖2，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延長線于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由已知可得，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
由①知 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可證 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 菱形的面積 SKIPIF 1 < 0 矩形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取最大值時(shí)菱形 SKIPIF 1 < 0 面積最大，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重合時(shí) SKIPIF 1 < 0 有最大值，即 SKIPIF 1 < 0 取到最大值，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，菱形 SKIPIF 1 < 0 面積最大為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
二、十字模型
例題2如圖，將一邊長為12的正方形紙片 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)A折疊至 SKIPIF 1 < 0 邊上的點(diǎn)E，使 SKIPIF 1 < 0 ，若折痕為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，由折疊得到PQ⊥AE，從而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，從而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】
解：過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，
由折疊得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∴∠APQ=∠PQM，
∴∠PQM=∠APQ=∠AED，
∵PM⊥BC，
∴PM=AD，
∵∠D=∠PMQ=90°，
∴△PQM≌△ADE，
∴PQ=AE，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，AD=12，
由勾股定理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴PQ=13．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)題
1．如圖，將正方形紙片 SKIPIF 1 < 0 折疊，使邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均落在對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 上，折痕為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，則 SKIPIF 1 < 0 的大小為（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠CAE SKIPIF 1 < 0 ∠BAC，∠CAF SKIPIF 1 < 0 ∠DAC，再由正方形的可得∠BAD＝90°，從而在∠BAC+∠DAC＝90°，從而可求解．
【詳解】
解：由題意得：∠CAE SKIPIF 1 < 0 ∠BAC，∠CAF SKIPIF 1 < 0 ∠DAC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝90°，
∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠EAF SKIPIF 1 < 0 ∠BAC SKIPIF 1 < 0 ∠DAC
SKIPIF 1 < 0 （∠BAC+∠DAC）
＝45°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查角的計(jì)算，解答的關(guān)鍵是熟記折疊的性質(zhì)，明確角與角之間的關(guān)系．
2．如圖，現(xiàn)有一張邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正方形紙片 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為正方形 SKIPIF 1 < 0 邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 邊上的 SKIPIF 1 < 0 處，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 處， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，折痕為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .則 SKIPIF 1 < 0 的周長是______．
【答案】16.
【解析】
【分析】
解過點(diǎn)A作AM⊥GH于M，由正方形紙片折疊的性質(zhì)得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，則EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，由垂直于同一條直線的兩直線平行得出AM∥EG，得出∠EGA=∠GAM，則∠EAG=∠GAM，得出AG平分∠DAM，則DG=GM，由AAS證得△ADG≌△AMG得出AD=AM=AB，由HL證得Rt△ABP≌Rt△AMP得出BP=MP，則△PGC的周長=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=16．
【詳解】
解：過點(diǎn)A作AM⊥GH于M，如圖所示：
∵將正方形紙片折疊，使點(diǎn)A落在CD邊上的G處，
∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，
∴EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，
∴AM∥EG，
∴∠EGA=∠GAM，
∴∠EAG=∠GAM，
∴AG平分∠DAM，
∴DG=GM，
在△ADG和△AMG中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADG≌△AMG（AAS），
∴AD=AM=AB，
在Rt△ABP和Rt△AMP中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴Rt△ABP≌Rt△AMP（HL），
∴BP=MP，
∴△PGC的周長=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16，
故答案為16．
【點(diǎn)睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
3．正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，求證AE⊥BF；
（2）如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線交CD于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)N，連接CN，求證：AN+CN＝ SKIPIF 1 < 0 BN；
【答案】（1）見解析；（2）見解析；
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC， SKIPIF 1 < 0 ，用SAS證明 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換即可得；
（2）過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 ，交AN于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，用SAS證明 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)角平分線性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，用SAS證明 SKIPIF 1 < 0 ，得AH=CN，在 SKIPIF 1 < 0 中，根據(jù)勾股定理即可得；
【詳解】
解：（1）∵四邊形ABCD 是正方形，
∴AB=BC， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （SAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖所示，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 ，交AN于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AC， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （SAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AN平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴BH=BN，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （SAS），
∴AH=CN，
在 SKIPIF 1 < 0 中，根據(jù)勾股定理
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．
4．如圖1，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖2，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，試判斷四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并說明理由；
（3）如圖3，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，把正方形沿直線 SKIPIF 1 < 0 翻折，使得 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)邊 SKIPIF 1 < 0 恰好經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，正方形的邊長為3，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1）見解析；（2）四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，推得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可證 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2） SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，可得 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，可證 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，可得PQ是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，MQ為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，NP為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，可證 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可證四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形．再證四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形，最后證 SKIPIF 1 < 0 即可；
（3）延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，由對(duì)稱性可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可求 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，可求 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】
（1）證明：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠AHB=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，理由如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴PQ是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，MQ為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，NP為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形．
（3）解：延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
由對(duì)稱性可知
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形性質(zhì)與判定，等角的余角性質(zhì)三角形全等判定與性質(zhì)，三角形中位線判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理建構(gòu)方程，解拓展一元一次方程等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．
5．如圖，正方形ABCD邊長為4，點(diǎn)G在邊AD上（不與點(diǎn)A、D重合），BG的垂直平分線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EG．
（1）當(dāng)AG=1時(shí)，求EG的長；
（2）當(dāng)AG的值等于 時(shí)，BE=8－2DF；
（3）過G點(diǎn)作GM⊥EG交CD于M
①求證：GB平分∠AGM；
②設(shè)AG=x，CM=y，試說明 SKIPIF 1 < 0 的值為定值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 （3）①見解析；② SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)EF是線段BG的垂直平分線，BE=EG，設(shè)EG=EB=x，則AE=AB-BE=4-x，再由勾股定理求解即可；
（2）過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，連接FB，F(xiàn)G，由BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，得到BE=2CF，先證明四邊形BCFH是矩形，得到CF=HB，則BH=EH=FC，設(shè)AG=x，BE=y，則AE=4-y，GD=4-x，CF= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可以得到 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，聯(lián)立①②求解即可得到答案；
（3）①先證明∠EBG=∠EGB，然后根據(jù)ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°，即可得到∠AGB=∠BGM；
②連接BM，過點(diǎn)B作BH⊥GM，由角平分線的性質(zhì)得到BH=AB=4，由 SKIPIF 1 < 0 ，可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可以得到 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，最后解方程即可得到答案．
【詳解】
解：（1）∵EF是線段BG的垂直平分線，
∴BE=EG，
∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為4，
∴AB=4，∠A=90°，
設(shè)EG=EB=x，則AE=AB-BE=4-x，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖所示，過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，連接FB，F(xiàn)G
∵EF是線段BG的垂直平分線，
∴BF=FG，
∵BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，
∴BE=2CF，
∵四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)H⊥AB，
∴∠HBC=∠C=∠BHF=90°，
∴四邊形BCFH是矩形，
∴CF=HB，
∴BH=EH=FC，
設(shè)AG=x，BE=y，則AE=4-y，GD=4-x，CF= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
聯(lián)立①②解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，BE=8-2DF，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①∵EF是線段BG的垂直平分線，
∴EG=BE，
∴∠EBG=∠EGB，
∵四邊形ABCD是正方形，EG⊥GM，
∴∠A=∠EGM=90°，
∴∠ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°，
∴∠AGB=∠BGM，
∴BG平分∠AGM；
②如圖，連接BM，過點(diǎn)B作BH⊥GM，
由（3）①得BG平分∠AGM，
∴BH=AB=4，
∵AG=x，CM=y，
∴DG=4-x，DM=4-y，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （不符合題意），
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
6．如圖1，正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是對(duì)角線，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，連接 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不垂直），點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交線段 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．

（1）猜想 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）探索 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延長線上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延長線上，其他條件不變，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線，分別交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，利用正方形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，證明出 SKIPIF 1 < 0 ，通過等量代換得出 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；
（2）由（1）中 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得 SKIPIF 1 < 0 ，通過等量代換計(jì)算可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂線，分別交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，證明出 SKIPIF 1 < 0 ，通過等量代換計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下；
過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線，分別交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為正方形，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 為斜邊的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
由（1）中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由下圖：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正方形的性質(zhì)知，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正方形的性質(zhì)知，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂線，分別交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形、解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，通過等量代換的思想進(jìn)行求解．
7．已知四邊形 SKIPIF 1 < 0 和四邊形 SKIPIF 1 < 0 都是正方形，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖1，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖2，將正方形 SKIPIF 1 < 0 繞著點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)到某一位置，恰好使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
①求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
②若正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，請直接寫出正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）∠BDE=60°；（3） SKIPIF 1 < 0 ?1
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，再證明△BCG≌△DCE就可以得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出∠DCG=∠BDC=45°，可以得出∠BCG=∠BCE，可以得出△BCG≌△BCE，得出BG=BE得出△BDE為正三角形就可以得出結(jié)論；
②延長EC交BD于點(diǎn)H，通過證明△BCE≌△BCG就可以得出∠BEC=∠DEC，就可以得出EH⊥BD，BH= SKIPIF 1 < 0 BD，由勾股定理就可以求出EH的值，從而求出結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG為正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°.
∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
∴∠BCG=∠DCE.
在△BCG和△DCE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BCG≌△DCE(SAS).
∴BG=DE；
（2）①連接BE.
由（1）可知：BG=DE.
∵CG//BD，
∴∠DCG=∠BDC=45°.
∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90°+45°=135°.
∵∠GCE=90°，
∴∠BCE=360°?∠BCG?∠GCE=360°?135°?90°=135°.
∴∠BCG=∠BCE.
∵BC=BC，CG=CE，
在△BCG和△BCE中，
SKIPIF 1 < 0 ,
∴△BCG≌△BCE(SAS).
∴BG=BE.
∵BG=BD=DE，
∴BD=BE=DE.
∴△BDE為等邊三角形．
∴∠BDE=60°.
②延長EC交BD于點(diǎn)H，
在△BCE和△DCE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BCE≌△BCG(SSS)，
∴∠BEC=∠DEC，
∴EH⊥BD，BH= SKIPIF 1 < 0 BD.
∵BC=CD= SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△BCD中由勾股定理，得
∴BD= SKIPIF 1 < 0 2.
∴BE=2
∴BH=1.
∴CH=1.
在Rt△BHE中，由勾股定理，得
EH SKIPIF 1 < 0 ，
∴CE= SKIPIF 1 < 0 ?1.
∴正方形CEFG的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ?1.
【點(diǎn)睛】
此題考查四邊形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理.
8．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：
(1)【觀察與猜想】
如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為______；
(2)【類比探究】
如圖2，在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE，BD，日 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)【拓展延伸】
如圖3，在四邊形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長線于點(diǎn)G，交AD的延長線于點(diǎn)F，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求AB的長；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)
解：設(shè)DE與CF的交點(diǎn)為G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
在△AED與△DFC中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE=CF，
∴ SKIPIF 1 < 0 =1，
故答案為：1；
(2)
解：如圖2，設(shè)DB與CE交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
(3)
解：如圖3，過點(diǎn)C作 SKIPIF 1 < 0 交AF的延長線于點(diǎn)H，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形ABCH為矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．采用類比的數(shù)學(xué)思想方法是解題的關(guān)鍵．
三、與正方形有關(guān)的三垂直模型
例題3如圖，四邊形AFDC是正方形， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角，且E，A，B三點(diǎn)共線， SKIPIF 1 < 0 ，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
易證△AEC≌△FBA，得AB=EC，即可求得．
【詳解】
∵四邊形AFDC是正方形
∴AC=AF，∠FAC=90°
∴∠CAE+∠FAB=90°
又∵∠CAE+∠ACE=90°
∴∠ACE=∠FAB
又∵∠CEA=∠FBA=90°
∴△AEC≌△FBA
∴AB=EC=4
∴圖中陰影部分的面積= SKIPIF 1 < 0
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)題
1．如圖在直線上一次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1＋2S2＋2S3＋S4=__．
【答案】6
【解析】
【分析】
先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABD=90°，AB=DB，再根據(jù)等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，則可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代換后有DE2+AC2=BD2，根據(jù)正方形的面積公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同樣方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通過計(jì)算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
【詳解】
解：如圖，∵圖中的四邊形為正方形，
∴∠ABD=90°，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∵在△ABC和△BDE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE，
∵DE2+BE2=BD2，
∴DE2+AC2=BD2，
∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，
∴S1+S2=1，
同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，
∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)．
2．綜合與實(shí)踐：如圖1，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，連接對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)O是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，O重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F．
（1）試猜想線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）試猜想線段 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖2，當(dāng)E在線段 SKIPIF 1 < 0 上時(shí)（不與點(diǎn)C，O重合）， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延長線于點(diǎn)F，保持其余條件不變，直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證得 SKIPIF 1 < 0 ，等量代換可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，再等量代換即可得證；
（2）過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 交CB的延長線于點(diǎn)G，先證明 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后再等量代換即可得證；
（3）仿照（1）和（2）的證明即可證得 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
如圖，過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 交CB的延長線于點(diǎn)G，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
如圖，過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 交BC于點(diǎn)G，設(shè)CD與EF的交點(diǎn)為點(diǎn)P，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，作出正確的輔助線并能靈活運(yùn)用相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
3．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置，接EF．
（1）求證：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四邊形AECF的面積為25，DE=2，求AE的長．
【答案】（1）見解析；（2）AE的長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AF，∠EAF=90°，可得結(jié)論；
（2）由題意可得四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，可求正方形的邊長，由勾股定理可求解．
【詳解】
（1）∵把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．
∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，AE= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正確利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2 SKIPIF 1 < 0 ，求CG的長度；
（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）2 SKIPIF 1 < 0 ；（3）∠EFC＝130°
【解析】
【分析】
（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；
（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題；
（3）分兩種情形：①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，求得∠DEC＝45°＋40°＝85°，得到∠CEF＝5°，根據(jù)角的和差得到∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：如圖1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如圖2中，在Rt△ABC中，AC＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝4 SKIPIF 1 < 0 ，
∵CE＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE＝CE，
∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，
∴四邊形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝2 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，
∠DEC＝45°＋40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
綜上所述，∠EFC＝130°或40°．
【點(diǎn)睛】
此題考查了正方形的判定以及性質(zhì)，涉及了全等三角形的證明、等腰直角三角形等性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)時(shí)．
(1)求證：△ABD≌△ACF；
(2)若正方形ADEF的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)角線AE，DF相交于點(diǎn)O，連接OC，求OC的長度．
【答案】(1)證明見解析； (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由題意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，則有∠DAB＝∠FAC，進(jìn)而可證AB＝AC，然后問題可證；
（2）由（1）可得△ABD≌△ACF，則有∠ABD＝∠ACF，進(jìn)而可得∠ACF＝135°，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可求解．
【詳解】
(1)證明：∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABD≌△ACF(SAS)；
(2)解：由(1)知△ABD≌△ACF，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACF＝135°，
由(1)知∠ACB＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵正方形ADEF邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴DF＝4，
∴OC＝ SKIPIF 1 < 0 DF＝ SKIPIF 1 < 0 ×4＝2．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為直角頂點(diǎn)作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的角平分線于 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）在邊 SKIPIF 1 < 0 上截取線段 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 連 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（2）由（1） SKIPIF 1 < 0 ，證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形即可求解；
（3）過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ；得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，可知三角形 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，再用勾股定理即可求出和MN和DN．
【詳解】
（1）證明：在邊 SKIPIF 1 < 0 上截取線段 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 連 SKIPIF 1 < 0 ．
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形
SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵BN平分 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如圖，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 與CE的交點(diǎn)為H，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形．
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：如圖所示，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．
由（2）知， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴三角形 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
此題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定和判定以及勾股定理的應(yīng)用，掌握它們的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
7．（1）如圖1，正方形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長線于F，猜想AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接AC，過點(diǎn)A作AM⊥AC交CB的延長線于M，觀察并猜想CE與MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）解決問題：
王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王師傅想切一刀后把它拼成正方形．請你幫王師傅在圖3中畫出剪拼的示意圖．
【答案】（1）AE=AF，理由見解析；（2）CE=MF，理由見解析；（3）如圖所示，見解析．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)兩角互余的關(guān)系先求出∠BAF=∠DAE，再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE，由全等三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）根據(jù)△ABF≌△ADE及三角形外角的性質(zhì)可求出∠AFM=∠AEC，根據(jù)兩角互余的關(guān)系∠MAF=∠EAC，再由ASA定理求出△AMF≌△ACE，可得CE=MF；
（3）畫出示意圖，只要求出C、D、F共線，即可求出四邊形AECF是正方形；
【詳解】
（1）AE=AF．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ADE=90°，AB=AD．
∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE．
在△ABF和△ADE中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABF≌△ADE（ASA）
∴AE=AF；
（2）CE=MF．
理由：∵△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，
即∠AFM=∠AEC．
∵∠MAF+∠FAC=90°，∠EAC+∠FAC=90°，
∴∠MAF=∠EAC，
在△AMF和△ACE中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AMF≌△ACE（ASA），
∴CE=MF．
(3)如圖所示．
過A作AE⊥BC交BC于E，由于AB=AD，所以可以把△ABE切下，拼到△ADF的位置，
∵∠C=∠BAD=90°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADF+∠ADC=180°，
∴C、D、F共線，
∵AE=AF，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，
∴四邊形AECF是正方形．
【點(diǎn)睛】
此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、余角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是利用全等三角形進(jìn)行割補(bǔ)．
8．（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若線段MN垂直AP于點(diǎn)E，交線段AB于點(diǎn)M，交線段CD于點(diǎn)N，證明：AP＝MN；
（2）如圖2，正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，若線段MN垂直平分線段AP，分別交AB，AP，BD，DC于點(diǎn)M，E，F(xiàn)，N．求證：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的邊長為2，求線段EF的最大值與最小值．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EF最大值： SKIPIF 1 < 0 ，EF最小值：1
【解析】
【分析】
（1）過B點(diǎn)作BH∥MN交CD于H，則AP⊥BH，根據(jù)平行四邊形和正方形的性質(zhì)求證△ABP≌△BCH（ASA），然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求得FP＝FC，然后根據(jù)等邊對(duì)等角和等量代換求得∠AFP＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到FE＝ SKIPIF 1 < 0 AP，結(jié)合（1）問結(jié)論即可求證；
（3）根據(jù)（2）問結(jié)論得到EF＝ SKIPIF 1 < 0 MN，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，EF有最小值；當(dāng)點(diǎn)P和C重合時(shí)，EF有最大值，根據(jù)正方形的對(duì)角線即可求解．
【詳解】
（1）如圖1，過B點(diǎn)作BH∥MN交CD于H，則AP⊥BH，
∵BM∥NH，
∴四邊形MBHN為平行四邊形，
∴MN＝BH，
∵四邊形ABCD是正方形．
∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，
∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，
∴∠BAP＝∠CBH，
∴△ABP≌△BCH（ASA），
∴BH＝AP，
∴MN＝AP；
（2）如圖2，連接FA，F(xiàn)P，F(xiàn)C
∵正方形ABCD是軸對(duì)稱圖形，F(xiàn)為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FE＝ SKIPIF 1 < 0 AP，
由（1）知，AP＝MN，
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN；
（3）由（2）有，EF＝ME+FN，
∵M(jìn)N＝EF+ME+NF，
∴EF＝ SKIPIF 1 < 0 MN，
∵AC，BD是正方形的對(duì)角線，
∴BD＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，EF最小值＝ SKIPIF 1 < 0 MN＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝1，
當(dāng)點(diǎn)P和C重合時(shí)，EF最大值＝ SKIPIF 1 < 0 MN＝ SKIPIF 1 < 0 BD＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，本題考查較為綜合，題目較難，熟練掌握各部分定理和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
9．如圖1，已知正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在同一直線上，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如圖2， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）見解析；（2）①見解析；② SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性質(zhì)得出BC=CD，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS證明△BCE≌△DCF，得出對(duì)應(yīng)邊相等BE=FD；
（2）①由正方形的性質(zhì)得出CD//GE，得出 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合已知條件利用比例的性質(zhì)即可得證
②由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合①可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而即可得出 SKIPIF 1 < 0 的值
【詳解】
解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，
∴BC=CD=AB，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE=FD；
（2）①∵四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，
∴CD//GE，GF=EC
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵BC=CD
∴ SKIPIF 1 < 0
②∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵AB=CD
∴ SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、相全等三角形的性質(zhì)和判定，得出 SKIPIF 1 < 0 是解題的關(guān)鍵
10．如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．
（1）試猜想線段BG和AE的關(guān)系（直接寫出答案，不用證明）；
（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α （0°＜α≤60°），判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖②證明你的結(jié)論；
（3）若BC＝DE＝4，當(dāng)α等于多少度時(shí)，AE最大？并求出此時(shí)AF的值．
【答案】（1）BG＝AE，BG⊥AE，見解析；（2）結(jié)論成立，BG＝AE，BG⊥AE，見解析；（3）當(dāng)α為270°時(shí)，AE最大，AF＝ SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論．
（2）如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論．
（3）由（2）可知BG=AE，當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）結(jié)論：BG＝AE，BG⊥AE．
理由：如圖1，延長EA交BG于K．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE＝DG．
在△BDG和△ADE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE，∠BGD＝∠AED，
∵∠GAK＝∠DAE，
∴∠AKG＝∠ADE＝90°，
∴EA⊥BG．
（2）結(jié)論成立，BG＝AE，BG⊥AE．
理由：如圖2，連接AD，延長EA交BG于K，交DG于O．
∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB＝90°．
∵四邊形EFGD為正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE，∠BGD＝∠AED，
∵∠GOK＝∠DOE，
∴∠OKG＝∠ODE＝90°，
∴EA⊥BG．
（3）∵BG＝AE，
∴當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值．
如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270°時(shí)，BG＝AE．
∵BC＝DE＝4，
∴BG＝2+4＝6．
∴AE＝6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AF＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．
四、垂美四邊形
例題4如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是_____________．
（2）性質(zhì)探究：如圖2，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究其兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE交AB于點(diǎn)M，已知AC=4，AB=5，求GE的長．
【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD2+BC2=AB2+CD2，證明見解析；（3）GE= SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)即可判斷；
（2）連接AC，BD，設(shè)其交點(diǎn)為E，由垂美四邊形的性質(zhì)可得AC⊥BD，即可得到∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理可得結(jié)果；
（3）連接CG，BE，根據(jù)條件可得△GAB≌△CAE，可得∠ABG=∠AEC，根據(jù)條件證明四邊形CGEB是垂美四邊形，由勾股定理，得CB2=9，CG2=32，BE2=50，GE2=CG2+BE2-CB2=73，即可得到 GE= SKIPIF 1 < 0 ；
【詳解】
（1）菱形，正方形．
（2）AD2+BC2=AB2+CD2．
證明：連接AC，BD，設(shè)其交點(diǎn)為E．
∵四邊形ABCD是垂美四邊形，
∴AC⊥BD，
即∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理，得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）連接CG，BE．
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAE．
∴∠ABG=∠AEC．
又∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°．
又∵∠BMC=∠AME，
∴∠ABG+∠BMC=90°．
∴CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形．
由（2），得CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=4，AB=5，
∴由勾股定理，得CB2=9，CG2=32，BE2=50，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73.
∴GE= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)題
1．如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．
（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB2，CD2與BC2，AD2之間的數(shù)量關(guān)系 ．
（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．
【答案】（1）垂美四邊形，證明見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；
（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．
【詳解】
解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．
證明：∵AB=AD，
∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，
∵CB=CD，
∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，
∴直線AC是線段BD的垂直平分線，
∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；
（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等．
如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，
求證：AD2+BC2=AB2+CD2．
證明：∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
故答案為：AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）連接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 =3，CG=4 SKIPIF 1 < 0 ，BE=5 SKIPIF 1 < 0 ，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，
∴GE= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是： （填寫序號(hào)）；
（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE長．
【答案】（1）①③；（2）結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2．證明見解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)垂美四邊形的定義判斷即可；
（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理得出AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出結(jié)論；
（3）先由SAS證明△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，進(jìn)而證出CE⊥BG，再根據(jù)勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算，即可得出結(jié)果．
【詳解】
解：（1）∵正方形，菱形的對(duì)角線互相垂直，
∴正方形，菱形是垂美四邊形，
故答案為：①③．
（2）結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2．
理由：∵四邊形ABCD是垂美四邊形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）連接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
∴CG2+BE2=CB2+GE2，
∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 =8，
∴CG= SKIPIF 1 < 0 ，BE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=292，
∴GE= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題屬于四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，垂美四邊形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運(yùn)用及全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定等知識(shí)點(diǎn)．
3．如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（如圖1）
（1）概念理解：在平行四邊形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四邊形的是 ；
（2）性質(zhì)證明：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出其兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系 _________________________；
（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，聯(lián)結(jié)CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．
【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD2+BC2＝AB2+CD2；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出CE⊥BG，得出四邊形CGEB是垂美四邊形，借助（2）的結(jié)論即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四邊形，
故答案為：菱形、正方形；
（2）如圖1，∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
故答案為：AD2+BC2＝AB2+CD2，
（3）如圖2，設(shè)AB與CE相交于點(diǎn)M，連接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4 SKIPIF 1 < 0 ，BE＝5 SKIPIF 1 < 0 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
此題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
4．若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則稱這個(gè)四邊形為垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖1，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判斷四邊形 SKIPIF 1 < 0 是否為垂美四邊形，并說明理由；
（2）性質(zhì)探究：如圖2，試在垂美四邊形 SKIPIF 1 < 0 中探究 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE、CE交BG于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M．若AB=3，AC=2，求線段GE的長．

【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由見解析；（2）AB2+CD2=AD2+BC2，證明見解析；（3）EG= SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；
（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．
【詳解】
解：（1）如圖，四邊形ABCD是垂美四邊形；
理由如下：
連接AC、BD交于點(diǎn)E，
∵AB=AD，
∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，
∵CB=CD，
∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，
∴直線AC是線段BD的垂直平分線，
∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；
（2）猜想結(jié)論：AB2+CD2=AD2+BC2，
證明：在四邊形ABCD中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2=AO2+BO2+OD2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）如圖3，連接CG，BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，
∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNC=90°，即BG⊥CE，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
由（2）得：EG2+BC2=CG2+BE2，
∵AC=2，AB=3，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 ，CG=2 SKIPIF 1 < 0 ，BE=3 SKIPIF 1 < 0 ，
∴EG2=CG2+BE2-BC2=8+18-5=21，
∴EG= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．（1）【知識(shí)感知】如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號(hào)）
（2）【概念理解】如圖2，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，問四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形嗎？請說明理由．
（3）【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形 SKIPIF 1 < 0 的兩對(duì)角線交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，試探究 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；
（4）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以 SKIPIF 1 < 0 的直角邊 SKIPIF 1 < 0 和斜邊 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 長．
【答案】（1）③④；（2）四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析；（4） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)垂美四邊形的定義及特殊平行四邊形的特點(diǎn)即可判斷；
（2）連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)垂直平分線的判定得到AC⊥BD，故可求解；
（3）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；
（4）連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，再得到四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形，結(jié)合（3）的結(jié)論即可求解．
根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（3）的結(jié)論計(jì)算．
【詳解】
（1）①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，對(duì)角線垂直的有菱形與正方形
故能稱為垂美四邊形是菱形與正方形
故答案為：③④
（2）四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形，
理由如下：連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 都在線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，
∴AC⊥BD
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形
（3）猜想： SKIPIF 1 < 0 ．
證明： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）如圖3，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形
由性質(zhì)探究知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形的綜合題，考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，問四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形嗎？請說明理由．
（2）性質(zhì)探究：試探究垂美四邊形 SKIPIF 1 < 0 兩組對(duì)邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過程（先畫出圖形）
（3）問題解決：如圖，分別以 SKIPIF 1 < 0 的直角邊 SKIPIF 1 < 0 和斜邊 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1）是，理由見解析；（2）垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等，證明見解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；
（3）先判斷出△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，進(jìn)而根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．
【詳解】
解：（1）四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形．
證明：連接AC、BD交于點(diǎn)E ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線上，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線上，
∴直線 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形；
（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等．
如圖2，已知四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，
求證： SKIPIF 1 < 0
證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形，
由（2）得， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】
此題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7．定義：有一組鄰邊垂直且對(duì)角線相等的四邊形稱為垂等四邊形．
（1）寫出一個(gè)已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是_________；
（2）如圖1，在 SKIPIF 1 < 0 方格紙中，A，B，C在格點(diǎn)上，請畫出兩個(gè)符合條件的不全等的垂等四邊形，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是對(duì)角線，點(diǎn)D在格點(diǎn)上．
（3）如圖2，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂等四邊形，且 SKIPIF 1 < 0 ．
①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求n的值；
【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）見解析；（3）①見解析；② SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）矩形的鄰邊垂直且對(duì)角線相等，則矩形是垂等四邊形；
（2）根據(jù)垂等四邊形的定義畫出兩個(gè)符合條件的不全等的垂等四邊形即可；
（3）①由SAS證得△ADF≌△CDG（SAS），得出DF=DG，再由垂等四邊形定義得出EG=DF，即可得出結(jié)論；
②過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，則四邊形CDHG為矩形，得出CG=DH，由①得EG=DG，由等腰三角形的性質(zhì)得DH=EH，推出CG=DH=EH，證明△BFG為等腰直角三角形，得出∠GFB=45°，再證明△AEF為等腰直角三角形，得出AE=AF=CG，則AE=EH=DH，推出BC=3AE，BG=2AE，即可得出結(jié)果．
【詳解】
解：（1）∵矩形的鄰邊垂直且對(duì)角線相等，
∴矩形是垂等四邊形，
故答案為：矩形；
（2）由垂等四邊形的定義畫出兩個(gè)符合條件的不全等的垂等四邊形，如圖1所示：
∵∠ABC=90°，BD=AC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形ABCD是垂等四邊形；
（3）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=90°，
在△ADF和△CDG中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF=DG，
∵四邊形DEFG是垂等四邊形，
∴EG=DF，
∴EG=DG；
②過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，如圖2所示：
則四邊形CDHG為矩形，
∴CG=DH，
由①得：EG=DG，
∵GH⊥DE，
∴DH=EH，
∴CG=DH=EH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD，
∵AF=CG，
∴AB-AF=BC-CG，
即BF=BG，
∴△BFG為等腰直角三角形，
∴∠GFB=45°，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFA=180°-90°-45°=45°，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴AE=AF=CG，
∴AE=EH=DH，
∴BC=3AE，BG=2AE，
∵BC=nBG，
∴n= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形綜合題，考查了垂等四邊形的定義、正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；正確理解垂等四邊形的定義、證明△BFG和△AEF都為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
8．問題情景：如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”，按照此定義，我們學(xué)過的平行四邊形中的菱形、正方形等都是“垂美四邊形”，“菱形”也是“垂美四邊形”．
概念理解：
（1）如圖2，已知等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 是“垂美四邊形”， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
性質(zhì)探究：
（2）如圖3，已知四邊形 SKIPIF 1 < 0 是“垂美四邊形”，試探究其兩組對(duì)邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
問題解決：
（3）如圖4，分別以 SKIPIF 1 < 0 的直角邊 SKIPIF 1 < 0 和斜邊 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 與正方形 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的中線 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
解：（1）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形，則可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 的長度；
（2）由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，化簡后可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易證 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 可視為 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 后得到的，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知， SKIPIF 1 < 0 ，得到四邊形 SKIPIF 1 < 0 為“垂美四邊形”．根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 為直角三角形， SKIPIF 1 < 0 為其斜邊上的中線，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】
解：（1）由題意知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，②
∴由①②可知，“垂美四邊形”的兩組對(duì)邊之間的數(shù)量關(guān)系是 SKIPIF 1 < 0
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 可視為 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 后得到的．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知， SKIPIF 1 < 0 ．
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為“垂美四邊形”．
∴由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形， SKIPIF 1 < 0 為其斜邊上的中線，
∴ SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形綜合題，主要考查的是等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解“垂美四邊形”的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
9．若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則稱這個(gè)四邊形為垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖1，在四邊形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，判斷四邊形ABCD是否為垂美四邊形，并說明理由；
（2）性質(zhì)探究：如圖2，試在垂美四邊形ABCD中探究 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFD和正方形ABGE，連接BD、CE、DE，CE分別交AB、BD于點(diǎn)M、N，若AB＝2，AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，求線段DE的長．
【答案】（1）是，見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）證法一：證明△ABC≌△ADC，即可得解；證法二：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)勾股定理解答即可；
（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可；
【詳解】
解：（1）如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形．
理由如下：
證法一：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴∠BAC＝∠DAC．
∴AC是等腰三角形ABD頂角∠BAD的平分線．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴四邊形ABCD是垂美四邊形．
證法二：
連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)E．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上．
∴直線AC是線段BD的垂直平分線．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴四邊形ABCD是垂美四邊形．
（2）如圖2，在垂美四邊形ABCD中，
∵ SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)O，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）分別連結(jié)CD、BE，
如圖3，∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵∠BAE＝90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∴四邊形CDEB是垂美四邊形．
由（2）得： SKIPIF 1 < 0 ．
∵AB＝AE＝2，AC＝AD＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了四邊形綜合，結(jié)合勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
10．定義：有一組鄰邊垂直且對(duì)角線相等的四邊形為垂等四邊形．
（1）寫出一個(gè)已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是 ．
（2）如圖1，在3×3方格紙中，A，B，C在格點(diǎn)上，請畫出兩個(gè)符合條件的不全等的垂等四邊形，使AC，BD是對(duì)角線，點(diǎn)D在格點(diǎn)上．
（3）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求證：四邊形DEFG是垂等四邊形．
（4）如圖3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，以AC為邊在AC的右上方作等腰三角形，使四邊形ABCD是垂等四邊形，請直接寫出四邊形ABCD的面積．
【答案】（1）正方形，矩形；（2）見解析；（3）見解析；（4）2 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)垂等四邊形的定義判斷即可．
（2）根據(jù)垂等四邊形的定義畫出圖形即可．
（3）想辦法證明∠EFG＝90°，EG＝DF即可．
（4）分三種情形：①如圖4﹣1中，當(dāng)AD＝AC時(shí)，連接BD，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H．②如圖4﹣2中，當(dāng)CA＝CD時(shí)，連接BD，過點(diǎn)D作DH⊥BA交BA的延長線于H，DT⊥BC于T．③如圖4﹣3中，當(dāng)DA＝DC時(shí)，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，BH，過點(diǎn)D作DT⊥BH交BH的延長線于T．分別求解即可．
【詳解】
解：（1）正方形，矩形是垂等四邊形．
故答案為正方形，矩形．
（2）如圖1中，四邊形ABCD即為所求．
（3）在正方形ABCD中，
∵AF＝CG，AB＝BC，
∴FB＝BG，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°，
∴∠EFG＝90°，
∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，AF＝CG，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG，
∵AD∥CB，
∴∠EDG＝∠DGC，
∵∠DGC＝∠DEG，
∴∠GDE＝∠GED，
∴DG＝EG，
∴DF＝EG，
∴四邊形DEFG是垂等四邊形．
（4）①如圖4﹣1中，當(dāng)AD＝AC時(shí)，連接BD，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H．
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，BC＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形ABCD是垂等四邊形，
∴BD＝AC＝4，
∴AD＝BD＝4，AH＝BH＝1，
∴DH＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴S四邊形ABCD＝S△ADB+S△BCD＝ SKIPIF 1 < 0 ×2× SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ×2 SKIPIF 1 < 0 ×1＝ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ．
②如圖4﹣2中，當(dāng)CA＝CD時(shí)，連接BD，過點(diǎn)D作DH⊥BA交BA的延長線于H，DT⊥BC于T．
同法可得，S四邊形ABCD＝S△DCB+S△ABD＝ SKIPIF 1 < 0 ×2 SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ×2× SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ．
③如圖4﹣3中，當(dāng)DA＝DC時(shí)，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，BH，過點(diǎn)D作DT⊥BH交BH的延長線于T．
設(shè)DH＝y(tǒng)，
∵AB＝AH＝BH＝2，
∴∠CHT＝∠AHB＝60°，
∵DA＝DC，AH＝HC，
∴DH⊥AC，
∴∠DHC＝90°，
∴∠DHT＝30°，
∴DT＝ SKIPIF 1 < 0 DH＝ SKIPIF 1 < 0 y，HT＝ SKIPIF 1 < 0 DT＝ SKIPIF 1 < 0 y，
在Rt△BDT中，∵BD＝AC＝4，
∴42＝（ SKIPIF 1 < 0 y）2+（2+ SKIPIF 1 < 0 y）2，
解得y＝ SKIPIF 1 < 0 ﹣ SKIPIF 1 < 0 ，
∴S四邊形ABCD＝S△ACB+S△ADC＝ SKIPIF 1 < 0 ×2×2 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ×4×（ SKIPIF 1 < 0 ﹣ SKIPIF 1 < 0 ）＝2 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題屬于幾何變換綜合題，考查了垂等四邊形的定義，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．

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